二、常用相关分析方法及其计算
在教育与心理研究实践中，常用的相关分析方法有积差相关法、等级相关法、质量相关法，分述如下。
（一）积差相关系数
1. 积差相关系数又称积矩相关系数，是英国统计学家皮尔逊（Pearson ）提出的一种计算相关系数的方法，故也称皮尔逊相关。这是一种求直线相关的基本方法。
积差相关系数记作XY r ，其计算公式为
∑∑∑===----=
n
i i
n i i
n
i i
i
XY Y y X x Y y X x r 1
2
1
2
1
)
()()
)(( (2-20)
式中i x 、i y 、X 、Y 、n 的意义均同前所述。
若记X x x i -=,Y y y i -=，则（2-20）式成为
Y
X XY S nS xy
r ∑= (2-21)
式中n
xy ∑称为协方差，n
xy ∑的绝对值大小直观地反映了两列变量的一致性程
度。然而，由于X 变量与Y 变量具有不同测量单位，不能直接用它们的协方差
n
xy ∑来表示两列变量的一致性，所以将各变量的离均差分别用各自的标准差
除，使之成为没有实际单位的标准分数，然后再求其协方差。即：
∑∑⋅=
=
)()(1Y
X Y
X XY S y
S x n S nS xy
r Y X Z Z n
∑⋅=
1
(2-22) 这样，两列具有不同测两单位的变量的一致性就可以测量计算。
计算积差相关系数要求变量符合以下条件：（1）两列变量都是等距的或等比的测量数据；（2）两列变量所来自的总体必须是正态的或近似正态的对称单峰分布；（3）两列变量必须具备一一对应关系。
2. 积差相关系数的计算
利用公式 (2-20)计算相关系数，应先求两列变量各自的平均数与标准差，再
求离中差的乘积之和。在统计实践中，为方便使用数据库的数据格式，并利于计算机计算，一般会将(2-20)式改写为利用原始数据直接计算XY r 的公式。即： ∑∑∑∑∑∑∑---=
2
22
2)
()
(i i
i i
i
i i i XY y y n x x n y x y x n r (2-23)
（二）等级相关
在教育与心理研究实践中，只要条件许可，人们都乐于使用积差相关系数来度量两列变量之间的相关程度，但有时我们得到的数据不能满足积差相关系数的计算条件，此时就应使用其他相关系数。
等级相关也是一种相关分析方法。当测量得到的数据不是等距或等比数据，而是具有等级顺序的测量数据，或者得到的数据是等距或等比的测量数据，但其所来自的总体分布不是正态的，出现上述两种情况中的任何一种，都不能计算积差相关系数。这时要求两列变量或多列变量的相关，就要用等级相关的方法。
1. 斯皮尔曼(Spearman )等级相关
斯皮尔曼等级相关系数用R r 表示，它适用于两列具有等级顺序的测量数据，或总体为非正态的等距、等比数据。
斯皮尔曼等级相关的基本公式如下：
)
1(6122--=∑n n D r R (2-24)
式中：
Y X R R D -=____________对偶等级之差；
n ____________对偶数据个数。
如不用对偶等级之差，而使用原始等级序数计算，则可用下式
)]1()1(4[13+-+⋅-=∑n n n R R n r Y
X R (2-25)
式中：
X R ___________X 变量的等级； Y R ____________Y 变量的等级；
n ____________对偶数据个数。
(2-25)式要求∑∑=Y X R R ，∑∑=2
2Y
X R R ，从而保证22Y X S S =。在观测变量中没有相同等级出现时可以保证这一条件。但是，在教育与心理研究实践中，搜集到的观测变量经常出现相同等级。在这种情况下，∑∑=Y X R R 的条件仍可得
到保证，但∑∑=2
2Y
X R R 的条件则不能得到满足。在有相同等级出现的情况下，
∑2
R
随相同等级数目的逐渐增多而有规律地减少，其减少的规律如下：
12
)1(2-=t t c
其中：
c ___________差数值（几个相同等级出现的∑2R 与没有相同等级出现的∑2R 之
差）；
t
____________
某一等级的相同数。
当一列变量中有多个相同等级出现时，他们的差数值为：
∑∑-=12)
1(2t t c
从而，在出现相同等级情况下，计算斯皮尔曼等级相关系数的公式为：
∑∑∑∑∑⋅-+=
2
2
2
22
2y
x D y x r Rc (2-26)
式中：
∑∑---=12)
1(12)1(222
t t n n x ；
∑∑---=12)
1(12)1(222
t t n n y ；
n ____________对偶数据个数。 t
___________
各列变量相同等级数； D ____________对偶等级差数；
2. 肯德尔W 系数（肯德尔和谐系数）
肯德尔W 系数又称肯德尔和谐系数，是表示多列等级变量相关程度的一种方法，它适用于两列以上等级变量。
肯德尔和谐系数用W 表示，其公式为
)(12
13
n n K SS W n Ri
-= (2-27)
式中：
Ri SS ___________i R
的离差平方和；
2
2
)
()
(∑∑∑-=-=n
R R R R SS i
i
i Ri
n
R R i i 2
2
)(∑∑-
=
