中考数学复习新定义题型专题训练
典例精析：
例1.我们把分子为1的分数叫做理想分数，如,,,111
234
任何一个理想分数都可以写成两个不
同理想分数的和，如()=+;=+;=+;=1111111111
236341245209 ；根据对上述式子的观察
思考：如果理想分数111
n a b
=+（n 是不小于2的正整数），那么a b += (用含n 的
点评：
本题可以视为“规律性的题型中的定义”，主要是根据定义（本题是“理想分数”）计算推理发现规律，从实例规律迁移解决问题.
2.若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1112
=--，1-的差倒数为()11
112
=--，现已知11x 3=-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的
差倒数，…，依次类推，则 2020x =
.
例2.我们把a b c d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为
a b
ad bc c d
=-，比如：232534245=⨯-⨯=-，如果有23x
01x
->，则x 的取值范围为 . 分析：
根据二阶行列式规定的运算法则可知：()2x 3x 10--⨯> ，解得：x 1>；∴故应填：
x 1>.
点评：
本题可以视为“运算建模题型中定义”，主要是根据定义所规定的运算法则进行运算推理来解决问题；这类题可以串联起数学的多个知识点，是中考中出现频率比较高的一种题型.追踪练习：
1.对于点(),x y 的一次操作变换()(),,1p x y x y x y =+-，且规定()()(),,n 1n 1p x y P P x y -=（n 为大于1的整数）；如()(),,1p 1231=-，()()()(),,(.),2111p 12P 12P 3124==-=，(),3p 12=
((,))(,)(,)122P p 12p 2462==-，则(,)2019p 11-= （ ）
A.()
,100902-
B.()
,101002-
C.(),100902
D.()
1010
02、2.对于正数x ，如果规定()1f x 1x =
+，例如：()11f 4145
==+，114f 145
14
⎛⎫
== ⎪⎝⎭+;根据上面的规定计算()()()()111f 2019f 2018f 2f 1f f f 220182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++
++ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ 的值
为
， ()()()()111f 2020f 2019f 2f 1f f f 220192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值
二阶行列式运算法则”，计算填空：
； ⑵.
x 3x 2x 4x 3
+---= ；⑶.
2x x 26x 2
x
-=+，则x = .
4.若定义()a,b ☆()m,n am bn =+ ，则
⎛⋅ ⎝= .
5.对于两个不相等的实数a,b
，定义一种新的运算如下，)a b a b 0=+> ，如：
32= ()654 的值.
6.我们定义
a b ad bc c d =-，比如：()12
1623661236
-=-⨯-⨯=--=-；若x,y 均为
点评：
本题可以视为“探索题型中的新定义”，主要是根据定义计算推理论证，这类题一般要在定义的前提下进行匪类讨论，往往和存在性问题交融在一起.
追踪练习：
1.若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线成轴对称，则这两点就是互为镜面点， 这条直线叫镜面直线，如(),A 23）和(),B 32是以x y =为镜面直线的镜面点． ⑴.若(),M 41和(),N 14--是一对镜面点，则镜面直线为 .
⑵.若以y =为镜面直线，则(),E 20-的镜面点为 ．
2.如图，A,B 是⊙O 上的两个顶点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A,B 重合），我们称APB
∠是⊙O 上关于点A,B 的滑动角.
3.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内
ABCD 的准内点．⑴.如图2,AFD ∠与DEC ∠的角平分线相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．⑵.分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
⑶.判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（ ）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）
③若点P 是四边形ABCD 的准内点，则PA PB PC PD +=+或PA PC PB PD +=+（ ）.
例4. 对于实数a b 、，定义运算某“*”：()()
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a a
b a b a b ab b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩*.例如42*，因为42>，所
以2
424428=-⨯=*.若12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根，则*12
x x = .
分析：
∵12x x 、是一元二次方程2
x 5x 60-+=的两个根∴()()x 2x 30--= 解得：x 3= 或x 2=
①.当12x 3,x 2== 时，1x *2x =2
3233-⨯=；②.当12x 2,x 3== 时，1x *2x =2
2333⨯-=-.
故应填：3或3-. 点评：
本题可以视为“开放题型中的新定义”，本题的结论是开放的，常常要根据条件分类讨论，结
合对应的定义法则进行运算推理（实际上是同一名称多种形式），这类题容易漏解.追踪练习：
1. 对实数a ☆b ()()
-⎧>≠⎪=⎨≤≠⎪⎩b b a a b,a 0a a b,a 0 ；比如2☆3-==3128，计算[2☆()-4]× [()-4☆
()-2]= .
2.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()111P x ,y 和()222P x ,y 的“非常距离”，给出以下概念：
若1212x x y y -≥- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12x x -；.若1212x x y y -<- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12y y -.
例如：点()1P 1,2和()2P 3,5。因为1325-<-，点1P 和2P 的“非常距离”距离为253
-=.
也就是图1中线段1P Q 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1P Q 与垂直于x 轴的直线2P Q 交点）.
⑴.已知点1A ,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
,B 为y 轴上的一动点.①.若点A 和点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件点B 的坐标；②.直接写出点A 和点B 的“非常距离”的最小值.
⑵.已知C 是直线3
y x 34
=+的一个动点.
①.如图2，点D 的坐标是()0,1，求点C 和点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；
②.如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 和点E 的“非常距离”的C 的坐标 .
例5.先阅读材料，再根据解答：对于一个关于x 的代数式A ,若存在一个系数为正数关于x 的单项式F ,使
⋅A F
2x
的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式F 为代数式A 的“整系单项式” ，例如：
①2①1
