– 离心力
k j
i r
• 计算举例
– 问题
• 一厚壁封闭容器，两端为半球形，中部为圆柱形，材料 为普通碳素钢，其弹性模量为 E 2.1101，1 N泊/ m松2比
为 。 0已.3知圆柱段的长度为240mm，外径D＝
100mm，内径d＝60mm。该容器560以0r / min 的转速绕 其轴线旋转，容器内壁受p 1.510 2 M的Pa均匀内压。计算该 容器的应力分布及变形。
– 最大应力发生在结构的上下表面
– 应力应变分量
• 应力分量
x
y
z
xy
yz
T zx
• 应变分量
x
y
z
xy
yz
T zx
– 单元类型举例
• 4节点单元
7
3 6
• 8节点曲面单元
4
2
– 源自文库元自由度
• 节点自由度（位移分量）
8
5
1
i ui
vi
wi
xi
yi
T zi
x
y
T xy
• 应变分量 zx xz 0, zy yz 0
z x y
u
x y
xy
v x
x v
y u
y
x 0
y
0
y
uv
x
平面应力问题的由来 由虎克定律求得
– 应力和应变分量
• 应力分量
x
y
T xy
l k
单元e j
i
四边形单元
k i 单元e 三角形单元
j
7 4
8
1
5
3 6 2
8节点单元
– 单元网格划分：生成单元节点信息
• 应力梯度变化比较大的地方，网格应密一些 • 有应力集中的地方，网格应密一些 • 单元边界长度不要相差过大 • 单元各边夹角不要太大 • 集中载荷处要设置节点 • 结构不同材料交界面处要设置节点并作为单元边界 • 结构厚度突变处要设置节点并作为单元边界 • 分布载荷突变处要设置节点 • 施加位移约束处要设置节点 • 注意单元间的连接
第二章 平面问题的有限元法
• 基本思想
y
– 三维问题：十五个偏微分方程
• 应力 x
y
z
xy
yz
T zx
• 应变 x
y
z
xy
yz
T zx
• 位移 f u v wT
z
– 二维问题
• 平面应力问题：想法让与z有关的应力分量为零
x
y
T xy
y
• 平面应变问题：想法让与z有关的应变分量为零
– 4节点平面问题单元 – 8节点平面问题单元
z
rz
r
对称面上无剪应力
– 节点位移（同平面应力问题）
• 每节点两个自由度，r和z方向位移 • 4节点单元，单元节点位移矢量为
e ui vi u j v j uk vk ul vl T
– 载荷
• 集中力
l
• 分布面力
z
• 分布体积力
– 重力
x
y
T xy
z
• 位移分量 f u vT
x
xy
x
• 平面应力问题（Plane stress)
– 结构特点
y
P
t b
x
z
a
p
• 载荷沿厚度方向不变化，其合力在中面内
• 板的两面为自由面
• 板关于中面对称
• 板可以是变厚度的t<<a或t<<b
– 位移、应力和应变分量的简化
• 位移分量: f u vT • 应力分量 z 0, zx xz 0, zy yz 0
• 载荷绕结构对称
z
z
• 约束绕轴线对称
• 材料绕轴线对称
– 力学特点
• Z轴横截面对称 • 环向位移为零
r
r
• 应力应变、位移只与r和z有关，与 无关
• 简化成平面问题
• 单元及节点位移
– 应力应变分量
• 应力分量
r
z
T rz
• 应变分量
r
z
T rz
– 单元节点位移
• 单元类型举例（同平面应力问题）
• 应变分量
x
y
T xy
– 单元类型
• 3节点三角形单元 • 4节点4边形 • 8节点4边形单元
yx y
x xy
y
X
– 节点位移分量
• 每节点2个位移分量（自由度）
– x方向的位移u， – y方向的位移v
• 单元位移分量（4节点单元，8自由度）
e ui vi u j v j uk vk ul vl T
– 分析
• 典型的轴对称问题
• 可利用结构的对称性
• 载荷包括内压和离心力
– 建立几何模型
• 利用对称性，只取截面的1／2部分
– 划分网格
• 选择8节点单元
– 给定单元材料常数
• 质量密度查表得出
– 施加载荷和约束
• 内压载荷 • 离心力通过指定转速来施加
此线上各点 r方向
的位移为零
内压
此线上各点 z方向
• 平面应变问题（Plane Strain）
– 结构特点
• Z方向尺寸远大于x、y方向，横截面沿z轴不变化
• 载荷平行于横截面，且沿z轴不变化
• 任一横截面均可看成对称面（简化成平面问题）
• 典型结构如大坝
– 处理方法
z
• 同平面应力
x
x
y y
第三章 轴对称问题的有限元法
• 特点
– 结构特点
• 几何结构绕轴线z对称（完整的旋转体）
i 1,2,3,4,5,6,7,8
• 单元自由度（8节点单元48个自由度）
e 1 2 3 4 5 6 7 8T
– 载荷
• 节点力矢量
Fi Qxi Qyi Qzi M xi M yi M zi T
• 集中力、力矩
• 分布面力
• 分布体力
– 边界条件
• 简支
• 固支
位移为零
– 计算结果
变形图 －虚线为原结构
变形图 －网格线为 变形后结构
Von Miss 应力云图
第四章板壳问题有限元法
• 结构特点
– 薄壁构件，t远小于结构边长
– 受全方位载荷
– 车身为典型的板壳结构
• 有限元要点（通常情况）
– 几何模型为板壳中面（t/2处）的形状
t
– 几何模型无厚度
– 单元和节点均在中面上
– 举例说明
设置节点
这样不行
设置节点
材料A
界面 材料B
正确
a c
b
病态单元 a-边长差别太大 b-边长差别太大 c-边夹角太大
• 计算举例
– 问题
• 一方板,边长140mm,板厚10mm，板中心孔直径为20mm， 两端受均匀拉伸分布力1.0E10Pa。材料弹性模量 2.0E11Pa，泊松比为0.3。如图所示，计算结构应力和变 形。
140
– 建立几何模型
• 对称结构，只取其四分之一部分计算
– 选择单元
• 选平面问题4节点8自由度单元 • 划分网格
– 给定材料常数和单元厚度
– 施加载荷和约束
该线上各点 X方向位移为零
– 提交计算
分布拉力
该线上各点 y方向位移为零
– 计算结果
Von Miss应力和 结构变形＋ 原结构轮廓
局部应力放大 Von Miss应力
