立体几何空间角

EF 2 d 2 m2 n 2 2mn cos
用此公式为空间余弦定理，可求异面直线上两点的距离，异面直线 所成角，还可求二面角的平面角。
返回
在空间任取一点o，分别 作a，b的平行线，从而 形成的的锐（直）角
斜线与它在平面 内的射影所成的 锐角。


1.作出所求的空间角 <定位>
2.证明所作的角符合定义 <定性> 3.构造三角形并求出所要求角<定量> 简言之，空间角的求解步骤为： “一作” “二证” “三算”
“一作”
“二证” “三算”
例1. 如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内
例2. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设 PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
解析3
利用三垂线求解
P
E
把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱 PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B 互补，转化为求二面角E-PC-D。 易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD于F，显 然PF ⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG ⊥PC于G， 连接GF，由三垂线得GF⊥ PC 即角EGF为二面角E-P C-D的平面角，只需解△EFG即可。 解析4
n c
m
ｃ2＝ａ2＋ｂ2
ｃ2＝ａ2＋ｂ2－2abcos

E
推广
m

d n
F
C
l
EF2＝ａ2＋ｂ2+d 2－2abcos
撤消

如图，CBF= 为二面角的平面角 ，在CBF中， 由余弦定理可求得CF E
m
A

d mB
C
d n
F
CF m n 2mn cos
2 2 2
l
再由RtECF可得
β
B
ι
O
A α
针对训练4 在直角坐标系中，设A （－2 , 3 ）、B（3 ，－2 ），沿x轴把
直角坐标平面折成大小为 的二面角后， AB 4 2，则
y
的值为
y
。
A
A
o
B
x
o
B
x

本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平 面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：
线线角，用平移，妙选顶点， 线面角，作射影，二足相连。 二面角，求法多，空间余弦， 用定义，三垂线，射影垂面。 熟化归，解三角，算准结果， 作证求，三环节，环环相扣。
（4） 射影面积法 利用射影面积与斜面的关系求解 B A
如图所示， 射影DBC、斜面△ABC与两面所 成的二面角之间有： cos S DBC

H C
D
S ABC
M
（5）空间余弦定理
运用公式 EF
2
d 2 m2 n 2 2mn cos 求解，如例3解析5
返回
n c
m 推广
返回
求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作 平行线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的 性质等作出符合要求的平行线。
方法提炼1
方法提炼2
求直线和平面所成角要领 “找射影，二足相
连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关
键在于寻该斜线在面上的射影。
撤消
返回
方法提炼3 求二面角的方法比较多，常见的有
（1） 定义法 在棱上的点分别作棱的垂线，如例3解析1
在棱上的点分别作棱的垂线，如例3解析2 （2） 利用三垂线求解
（3） 垂面法
在棱上的点分别作棱的垂线， 如例3解析3
(1)定义法（点在棱上）

A o
(2) 三垂线定理法 （点在面内）
A

l
B

o
(3) 垂面法（点在空间内）
o


B
l

A
l
方法提炼3（续）
EGF
A
G
F D
P
E
B
C
PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得sin
射影面积法 由解析3的分析过程知，△PFC为△
5 10
F A
＝
，余下的问题比较容易解决！
D
跳转
B
C
例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面 ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
KEY:

针对训练2 如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是 底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= 2 ，求二面 角P-AB-C的正切值。 KEY: 22
6
A.
P
P

O l
A
E O B
E
O
D

C
撤消
针对训练3 如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α, PB⊥β,且PA=5， P PB=8，AB=7，求这二面角的度数。 KEY 120º
专 题 讲
座
空间角及 其求法
（1）教材地位分析
立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型 （2）有关的 几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。 空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何 板块的一个重点，也是难点。
（2） 高考地位分析
在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线 面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。
理解空间角的概念、会求空间角的大小。
立体几何高考分 析
高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题 和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。 在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。
异面直线所成角
直线与平面所成角
二 面 角
图 形
从一条直线引出的两 定 个半平面所组成的图 义 形叫做二面角。 ） 表示 异面直线a，b所成角 线a与平面 所成角 l （面－棱－面 [0 , ] （0 , ] 范围 [0 ， ] 2 2 要点 找适当点、 作平行线 找射影、二足相连 用什么度量？
求解的基本思路为：
空间 问题
平面 “移”、“补” 、“换” 问题
技 巧
老本 师专 、题 朋到 友此 ，结 请束 批， 评各 、位 指领 正导 、
1.定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分 别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做 二面角的平面角。
O l
O

B
A

AOB＝AOB
.
AP CQ 2 分点，满足 PB QC1
（1）求证：A1P⊥平面AQD； （2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值.
解析 （1）易证，略 （2）如何作出线面角
D1
C1
B1
A1
Q
C
A1P交AR与S，连接SQ即可。
过Q作QR平行AD，交BB1与R，连 接AR，易知面ADQR即为面AQD 由（1）知A1P ⊥面AQD，设
解析5
复习
利用空间余弦定理求解 P
在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC于 E，BF ⊥PC于F，连接EF即可。 利用平面知识求BF、EF、DE的长度， 再利用空间余弦定理求出 即可。 F
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A
E
D
B
C
方法提炼
针对训练1 已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的 距离为 2 ，到l 的距离为4。求二面角 － l － 的大小。
A
E
D
P Q N
解析2
B
F
C
M
A D
垂面法 易证面PAB⊥面PBC，过A作AM
⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相 交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q， MQN 则 为二面角B-PC-D的平面角；再利 用三面角公式可解。 跳转
B
C
D A
R
S
由以上的作法可知 SQP即为所求角。 只需解△QSP即可。
P
B
方法提炼
例2. 在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面 ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。
解析1
定义法
P
过D作DE ⊥PC于E，过E作EF ⊥PC于F， 连接FD，由二面角的平面角的定义可知 SQP 是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角BPC-D的大小只需解△DEF即可。
等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。 二面角的平面角必须满足： （1）角的顶点在棱上。 （2）角的两边分别在两个面内。 （3）角的边都要垂直于二面角的棱。 返回
?
B
A
方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。 常选中点 或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作 出符合要求的平行线。