§2.5圆锥曲线的统一定义
教学目的：
1、知识与技能:
掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念 2.过程与方法
类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的方程。 3.情感、态度与价值观
通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,探究能力，激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成 教学难点：圆锥曲线方程的推导 教学过程： 一.情境设置
复习回顾
1、抛物线的定义：
探究与思考:
1≠d
PF
呢 2、在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子： 将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
二、知识建构
例 1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2
:=的距离的比是常数 c
a
(a>c>0),求P 的轨迹.
变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2
:= 的距离的比是常数 c
a
(c>a>0),求P 的轨迹.
222)(y c x a cx a +-=-a c x c a y c x =-+-2
2
2)(
圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点 F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是 (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是
其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率, 定点F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l 就是该圆锥曲线的准线. 思考
1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？
2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？
3、题中的|MF|=ed 的距离d 到底是到哪一条准线的距离？能否随意选一条？
准线: 定义式:
)0(12222>>=+b a b y a x )0,0(122
22>>=-b a b
y a x (0,0)
a b >>
三、应用知识
例２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦点的位置→确定a,c,p 的值,得出焦点坐标与准线方程. 例3已知双曲线 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.
辨析：点P 与定点F （2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1/2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
1925)1(2
2=+y
x 164)2(22=+y x 19
25)3(22=-y x 164)4(22=-x y x y 16)5(2=y x 16)6(2-=136642
2=-y x 1
2
=
直译法： 动点P （x,y ），则
化简得： 所以动点P 的轨迹方程为： 轨迹 为椭圆 待定系数法： 由题意所求点的轨迹为椭圆，所以设为： )0(1222
2>>=+b a b y a x 则 解得：
所以所求点P 的轨迹方程为： 以上两种做法都正确吗？ 轨迹方程的思考:
例4.已知点P 到定点F(1,0)的距离与它到定直线5:=x l 的距离的比是常数5
5
，求P 的轨迹方程.
思考(1):已知点P 到定点F(1,0)的距离与它到定直线5:=x l 的距离的比是常数
5
7
求P 的轨迹方程.
(2)到点A （1，1）和到直线x+2y-3=0距离相等的点的轨迹方程为 。
椭圆的焦半径
例5、椭圆 上一点P （0,0y x ），21,F F 分别为椭圆的左、右焦点， 求证：01ex a PF +=，02ex a PF -=
双曲线焦半径公式及推导
双曲线上一点与其焦点的连线段叫做双曲线上这点的焦半径.
例.P(0,0y x )为双曲线122
22=-b
y a x 上一点,求证:|1PF |=|0ex a + |;|2PF |=|0ex a - |
22
11612x y +=22
11612x y +=222
2/1/2c c a b a c ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22
1
1612x y +=22
2
21(0)x y a b a b +=>>
练习
椭圆
的离心率为
A 、1/25
B 、1/5
C 、1/10
D 、无法确定
2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上点到椭圆中心距离的取值范围是 A 、[8,10] B 、[4,5] C 、[6,10] D 、[2,8]
3、若椭圆的长轴长为200,短轴长为160,则椭圆上点到焦点距离范围是 A 、[40,160] B 、[0,100] C 、[40,100] D 、[80,100]
4、P 是椭圆 上点,F1、F2是两焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值的差是
5.双曲线 的右支上有A,B,C 三个不同的点,若此三点关于右焦点的焦半
径成等差数列,则它们的横坐标m,n,p 满足的关系式为
例7.已知点A （1，2）在椭圆3x2+4y2=48内，F （2,0）是焦点，在椭圆上求一点P ，使|PA|+2|PF|最小，求P 点的坐标及最小值。
变题:已知双曲线 的右焦点为F,点A(9,2),试在此双曲线上求一点M,使
|MA|+ |MF|的值最小,并求出这个最小值.(与椭圆题型比较)
四、课堂小结：
1.圆锥曲线的共同性质;
2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式);
3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法) 五、作业 创新训练
|348|25
x y ++=22
143
x y +=22
22
1x y a b -=22
1916
x y -=3
5
