2020年上海市延安中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)

2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C三点.则△ABC的面积为___ ．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．6.（填空题.3分）已知sin（x- π4）= 35.则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.为了得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义.直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点.因为A（2.-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5 .∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义.以及学生的运算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性.得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2.故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性.属于基础题．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm.圆心角α的弧度数为2.则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象.求出三个点的坐标.然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象.可得A（0.0）.B（π.0）.令sinx= 12 tanx.解得C（π3. √32）.所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法.考查转化思想以及计算能力．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限.或第二象限.根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.∴sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13.当α在第一象限时.cosα=2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第二象限时.sinβ=sinα= 13.cosβ=-cosα=- 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 .当α在第二象限时.cosα=-2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第一象限时.sinβ=sinα= 13 .cosβ=-cosα= 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α.β角的终边关于y 轴对称. ∴α+β=π+2kπ.k∈Z .∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79． 故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式.以及同角的三角函数的关系.需要分类讨论.属于基础题6.（填空题.3分）已知sin （x- π4 ）= 35 .则sin2x 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925.从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35. ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925. ∴1-sin2x= 1825. ∴sin2x= 725 ． 故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦.考查诱导公式的应用.考查转化思想与运算能力.属于中档题．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件.利用和差角公式.平方关系化简可得sin（x-y）=1.进而得到答案．【解答】：解：∵x.y∈（0.π）.且-π＜x-y＜π.∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π）.故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值.考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0.整理得：acosB+bcosA=-3ccosA.故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA.即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA.故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2.整理得bc=3.所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题.作出两个函数的图象.可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点.横坐标分别为x1.x2.数形结合可知. x1+x22=π6，1−a∈[1，2) .∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质.以及利用数形结合思想解决问题的能力.同时考查了学生的运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 .据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则有f（α）-f（β）＞0.即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.又由0＜α＜β＜π2 .则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0 .变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1 .必有m≤1.即m的取值范围为（-∞.1]；故答案为（-∞.1]．【点评】：本题函数的单调性的性质.涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用.属于基础题11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα.从而由诱导公式即可得解．【解答】：解：∵cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.∴sinα= √1−cos2α = √1−k2 .∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用.运用诱导公式化简求值.属于基本知识的考查．12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A.B中的α.β可以分别令为30°.60°验证即可.对于C中的α.β可以令他们都等于15°.验证即可.对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α.β可以分别令为30°.60°则知道A.B均不成立对于C中的α.β可以令他们都等于15°.则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式.同时也考查了放缩法对命题的证明.属于基础题．13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π）.为了2得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π12个单位B.向右平移π6C.向左平移π个单位12个单位D.向左平移π6【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得f（x）的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）的图象.可得A=1. 14•2πω= π3- π12.∴ω=2．再根据五点法作图.可得2× π12+φ= π2.∴φ= π3.故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位.可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象.故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0.π）上的单调递减区间.从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0. 5π12）上单调递增.在（5π12 . 11π12）上单调递减.在（11π12.π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0. 3π4）上单调递减.在（3π4.π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12 . 3π4）上单调递减.∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题.是中档题．15.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α.β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ. cosβsinα的取值范围.再对x的值分类讨论.结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α.β为锐角且α+β＞π2 .∴ π2＞α＞π2-β＞0.∴cosα＜cos（π2 -β）.sinα＞sin（π2-β）.即0＜cosα＜sinβ.sinα＞cosβ＞0.∴0＜cosαsinβ＜1.0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞.0]上. f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数.在（0.+∞）上. f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点.考查了三角函数的性质.属于基础题．16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.所以a2+b2-c2=2019c2.则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB).= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C.= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子.再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.诱导公式的应用.要特别注意公式中的符号．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象.利用余弦函数的性质即可求解其值域.最小正周期.对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6）.列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2.2].最小正周期为π.对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象.令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象.y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.考查正弦函数的性质.属于基础题．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系.即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α.所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0) .从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213.sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35.所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题.也考查了三角函数化简求值问题.是中档题．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中.分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中.利用正弦定理可得：BC.再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中. ∠CDA=θ+π6.由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA.得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6) .在△ABC中. ∠ACB=π3−θ .由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC.得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中.由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC.得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ .∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3 .∵ π12≤θ≤π6.∴ π6≤2θ≤π3.∴当θ=π12时.AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ.f（x）是偶函数. ∴（4ta nθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立.∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1）.其最小值为-6.此时sinθ=35，cosx=−1 .∴f（x）=3（cosx-1）.从而f（x）的最大值为0.此时x的取值为x=2kπ.k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值.知g（x）的图象关于x=π6对称.有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0 .且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0 .从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3) .则ωπ3=kπ−2ωπ3.即ω=k（k∈Z）又ω＞0.则ω是正整数.∵λ＞0.ω是正整数.∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3 .当ω=1时. g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=4时. g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3 .显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=7时. g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3 .显然.g（x）g（x）在x=π6处有最小值.且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称.∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.分类讨论思想的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．。

上海市2020年〖人教版〗高一数学下册复习试卷期中数学试卷创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、填空题（本大题共17小题，每小题5分，满分70分）1．sin135°=．2．已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC=．3．直线y=2x+1的斜率为．4．圆（x﹣1）2+y2=9的半径为．5．等差数列{a n}，a1=1，a2=2，则a3=．6．函数f（x）=sin2x+sinxcosx的周期为．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b ﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．8．已知过点A（﹣2，m）和点B（m，4）的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n=．9．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．10．（B）已知等比数列{a n}，首项为3，公比为，前n项之积最大，则n=．11．已知cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且0＜β＜＜α＜π，则sin=．12．在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣，则sin（2B+）=．13．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的取值范围是．14．设点M（x0，1），已知圆心C（2，0），半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为．15．已知各项均为正数的数列{a n}的首项a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=a n a n+1，则S12=．16．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为．17．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为．二、解答题18．（1）已知sinα=，α∈（，π），求sin2α；（2）已知tanα=，求tan2α的值．19．在△ABC中，（1）已知a=2bsinA，求B；（2）已知a2+b2+ab=c2，求C．20．（1）求过点A（2，3），且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程；（2）已知直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程．21．过点P（﹣3，﹣4）作直线l，当l的斜率为何值时（1）l将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分？（2）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相切？（3）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2？22．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）求数列{}的前n项和T n．23．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求的值；（2）若，求tanA及tanC的值．24．如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC 平行，DF过点A，EF过点C；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF 过点C．（1）求方案一中三角形DEF面积S1的最小值；（2）求方案二中三角形DEF面积S2的最大值．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共17小题，每小题5分，满分70分）1．sin135°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】运用特殊角的三角函数值，和诱导公式即可化简求值．【解答】解：sin135°=sin=sin45．故答案为：．2．已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC= 1 ．【考点】正弦定理．【分析】根据含有30°的直角三角形的性质得出．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AB=2，∴AC=．故选1．3．直线y=2x+1的斜率为 2 ．【考点】直线的斜率．【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k，写出斜率即可．【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2．故答案为：2．4．圆（x﹣1）2+y2=9的半径为 3 ．【考点】圆的标准方程．【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径．【解答】解：由圆（x﹣1）2+y2=9，得r2=9，∴r=3．即圆（x﹣1）2+y2=9的半径为3．故答案为：3．5．等差数列{a n}，a1=1，a2=2，则a3= 3 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列{a n}的性质可得：2a2=a1+a3．即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：2a2=a1+a3．∴2×2=1+a3，解得a3=3．故答案为：3．6．函数f（x）=sin2x+sinxcosx的周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可将f（x）=sin2x+sinxcosx+2化为：f（x）=sin（2x﹣）+，利用周期公式即可求得其周期．【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=（sin2x﹣cos2x）+=sin（2x﹣）+，∴其最小正周期T==π．故答案为：π．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b ﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c=a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，故答案为：﹣．8．已知过点A（﹣2，m）和点B（m，4）的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n= ﹣10 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率之积等于﹣1，分别求得m、n的值，可得m+n的值．【解答】解：由题意可得，直线为l1的斜率为，直线l2的斜率为﹣2，且l1∥l2，∴=﹣2，求得m=﹣8．由于直线l3的斜率为﹣，l2⊥l3，∴﹣2×（﹣）=﹣1，求得n=﹣2，∴m+n=﹣10，故答案为：﹣10．9．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r= 2 ．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B 两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．10．（B）已知等比数列{a n}，首项为3，公比为，前n项之积最大，则n= 3 ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】a n=3×，可得前n项之积T n=，对n分类讨论，底数与1比较大小关系即可得出．【解答】解：a n=3×，∴前n项之积T n=3n×==，由于n≤3时，≥1；由于n≥4时，＜1．∴n=3时，前n项之积最大，故答案为：3．11．已知cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且0＜β＜＜α＜π，则sin=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣）和cos （﹣β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin的值．【解答】解：∵cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且0＜β＜＜α＜π，∴α﹣∈（，π），sin（α﹣）==；﹣β∈（0，），cos（﹣β）==．则sin=sin[（α﹣）﹣（﹣β）]=sin（α﹣）cos （﹣β）﹣cos（α﹣）sin（﹣β）=•+•=．12．在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣，则sin（2B+）=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得sinA的值，利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：△ABC中，∵已知AC=2，BC=3，cosA=﹣∈（，π），∴B∈（0，），∴sinA==，则由正弦定理可得==，∴sinB=，cosB==，∴sin2B=2sinBcosB=，∴cos2B=1﹣2sin2B=，sin（2B+）=sin2Bcos+cos2Bsin=•+•=，故答案为：．13．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的取值范围是[，]．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】由题意和韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d2===，由0≤c≤和不等式的性质可得．【解答】解：∵a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，∴由韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，∴两平行线间的距离d=，故d2===，∵0≤c≤，∴0≤4c≤，∴﹣≤﹣4c≤0，∴≤1﹣4c≤1，∴≤≤，∴≤d2≤，∴≤d≤故答案为：[，]14．设点M（x0，1），已知圆心C（2，0），半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】作出对应的同学根据条件∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函数容易求出x0的范围．【解答】解：易知M（x0，1）在直线y=1上，设圆C的方程为（x﹣2）2+y2=1与直线y=1的交点为T，假设存在点N，使得∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以要是圆上存在点N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°，因为T（2，1），所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT==≥tan45°=1，即|x0﹣2|≤1，则﹣1≤x0﹣2≤1，即1≤x0≤3故x0∈[1，3]．则x0的最大值为3，故答案为：3．15．已知各项均为正数的数列{a n}的首项a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=a n a n+1，则S12= 3 ．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】根据题意，利用等比数列的前n项和公式求出通项公式a n，进一步求出数列对应的前n项和公式，再计算S12的值．【解答】解：∵a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=a n a n+1，且S n+1=S n+a n+1，∴（a n﹣a n+1）S n+a n a n+1+a n﹣a n+1=0，∴S n++1=0；又∵a1=1，令n=1，则1++1=0，解得a2=，同理可得a3=，猜想a n=；下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==1，成立；②假设当n≤k（k∈N*）时成立，a k=，则S k==；∵S k++1=0，∴++1=0，解得a k+1=；因此当n=k+1时也成立，综上，对于n∈N*，a n=都成立；由等差数列的前n项和公式得，S n=；∴S12=×=3．16．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为．【考点】余弦定理．【分析】已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出sinC的值，即可确定出C的度数．【解答】解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，①2+②2得：（3sinA+4cosB）2+（3cosA+4sinB）2=37，化简得：9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=37，即sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC=，又∠C∈（0，π），∴∠C的大小为或，若∠C=π，得到A+B=，则cosA＞，所以3cosA＞＞1，∴3cosA+4sinB＞1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以∠C≠π，∴满足题意的∠C的值为．则∠C的大小为．故答案为：17．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为 3 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由已知，结合向量的基本运算可求得=，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC【解答】解：∵ =2∴===∵AD=||=，AC=||=3，A=，设AB=c∴=||||cosA=则13==∴13=1整理可得，2c2﹣54=0∵c＞0解可得，c=3由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA=二、解答题18．（1）已知sinα=，α∈（，π），求sin2α；（2）已知tanα=，求tan2α的值．【考点】二倍角的正切；二倍角的正弦．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式，求得 sin2α的值．（2）由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：（1）∵已知sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．（2）∵已知tanα=，∴tan2α===．19．在△ABC中，（1）已知a=2bsinA，求B；（2）已知a2+b2+ab=c2，求C．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB=，即可得出；（2）利用余弦定理即可得出．【解答】解：（1）∵a=2bsinA，由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB=，B∈（0，π），∴B=或．（2）∵a2+b2+ab=c2，∴cosC===﹣，又C∈（0，π），∴C=．20．（1）求过点A（2，3），且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程；（2）已知直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）由已知方程和垂直关系可得所求直线的斜率，写出点斜式方程，化为一般式即可；（2）可设直线l的方程为kx﹣y=0，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得．【解答】解：（1）∵直线3x+2y﹣1=0的斜率为﹣，∴由垂直关系可得所求直线的斜率k=，又直线过点A（2，3），∴方程为y﹣3=（x﹣2）化为一般式可得2x﹣3y+5=0；（2）∵直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，∴可设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由点到直线的距离公式可得=3，解得k=±∴直线l的方程为y=±x，即3x±4y=021．过点P（﹣3，﹣4）作直线l，当l的斜率为何值时（1）l将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分？（2）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相切？（3）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2？【考点】直线的点斜式方程．【分析】（1）当l经过圆心Q（1，﹣2）时，可将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分，利用点斜式即可得出．（2）设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kx﹣y+3k﹣4=0，根据直线l与圆相切，可得圆心Q（1，﹣2）到直线l的距离d==2，解出即可．（3）由于l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2，可得直线l的距离d==，解出k即可．【解答】解：（1）当l经过圆心Q（1，﹣2）时，可将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分，∴直线l的方程为：y+2=（x﹣1），化为x﹣2y﹣5=0．（2）设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kx﹣y+3k﹣4=0，∵直线l与圆相切，∴圆心Q（1，﹣2）到直线l的距离d==2，化为：3k2﹣4k=0，解得k=0或．∴当k=0或时，直线l与圆相切．（3）∵l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2，∴直线l的距离d==，化为13k2﹣16k+1=0，解得k=．∴当k=时，满足条件．22．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；（2）直接利用等差数列的前n项和公式求解；（3）把数列{a n}的通项公式代入，利用错位相减法求前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2=0，a6+a8=﹣10，得，解得．∴a n=1﹣（n﹣1）=2﹣n；（2）=；（3）=，∴，，两式作差得：==．∴．23．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求的值；（2）若，求tanA及tanC的值．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，变形后求出sin2C的值，由C为三角形的内角，得到sinC大于0，开方可得出sinC的值，利用正弦定理化简得到的关系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin（A+C），代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinAsinC不为0，等式左右两边同时除以cosAcosC，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值；（2）由第一问求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B换为π﹣（A+C），利用诱导公式化简后，将表示出的tanA代入，得到关于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值．【解答】解：（1）∵，cos2C=1﹣2sin2C，∴，∵C为三角形内角，∴sinC＞0，∴，∵，∴，∴sinC=，即2sinB=sinAsinC，∵A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，∵sinA•sinC≠0，∴；（2）∵，∴，∵A+B+C=π，∴．∴，整理得tan2C﹣8tanC+16=0，解得：tanC=4，将tanC=4代入得： =4．24．如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC 平行，DF过点A，EF过点C；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF 过点C．（1）求方案一中三角形DEF面积S1的最小值；（2）求方案二中三角形DEF面积S2的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈（0，），表示出三角形DEF面积S1，利用基本不等式求出最小值；（2）在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈（0，），表示出三角形DEF面积S1，利用辅助角公式求出最小值．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01【解答】解：（1）在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈（0，），则，…因为DE∥AC，所以∠E=α，，且，即，…解得，…所以，所以当sin2α=1，即α=45°时，S1有最小值．…（2）在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈（0，），则，解得，…三角形CBE 中，有，解得，…则等边三角形的边长为，…所以边长的最大值为，所以面积S2的最大值为．…创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01。

上海市延安中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．用描述法表示被7除余2的正整数的集合为__________2．函数()f x =的定义域为__________ 3．若函数2()f x x =,4()g x x =，则()()f x g x ⋅=_____________ 4．函数()20y x x x=+>的单调递增区间为______________ 5．已知四边形ABCD 为正方形，则其面积y 关于周长x 的函数解析式为_________ 6．不等式2311x x -≤+的解集为__________ 7．已知集合{}32A x x =-<≤，集合{}15B x x x =≤->或，则A B =_________ 8．已知集合{}10,A x ax x R =+=∈，集合{}2280B x x x =--=，若A B ⊆,则a 所有可能取值构成的集合为______________9．已知函数()f x 是偶函数，且当0x >时，()()1f x x x =-，则当0x <时，该函数的解析式为()f x =__________10．已知命题α的逆命题为：“已知,x y R ∈，若1,2x y >>则3x y +>”，则a 的逆否命题为__________命题（填“真”或“假”）11．已知集合{}{}2,211,230U R A x x B x x x ==-<=--<，则U C A B =__________12．当0,0a b c d >><<时，给出以下结论：（1）ad bc <；（2）22a c b d +>+；（3）()()a b c b d a ->-,其中恒成立的序号为_______________13．已知1x >，则431x x x +-的最小值为_____________ 14．设数集{}31,,0143M x m x m N x n x n P x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且,M P N P ⊆⊆，如果把b a -叫做集合{}x a x b ≤≤的长度，那么集合M N ⋂的长度的最小值与最大值的和为____________15．已知集合(){}22330,,A x x a x a a R x R =+--=∈∈，集合(){}22330,,B x x a x a a a R x R =+-+-=∈∈，若,A B A B ≠⋂≠∅，则A B =_______二、单选题16．如果,,x y R ∈那么""xy o >是""x y x y +=+成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 17．若1a b >>,全集{},|,2a b U R M x b x N x a +⎧⎫==<<=<<⎨⎬⎩⎭,{P x b x =<≤，则（ ）A ．U P M C N =B ．U PC M N = C ．P M N =D ．P M N =⋂ 18．下列函数中，既不是奇函数，又不是偶函数，并且在(),0-∞上是增函数的是（ ）A ．221y x x =--+B ．5y x =C ．21y x =-+D ．53y x =+ 19．已知2211()f x x x x-=+，则()1f x +等于（ ） A ．221(1)(1)x x +++ B ．2211()1()x x x x-+- C ．2(1)2x ++D ．2(1)2x +-三、解答题20．已知集合{}{}23,4,31,2,3A a a B a =--=-，{}3A B =-，求实数a 的值. 21．解关于x 的不等式2(21)20()ax a x a R -++<∈22．已知：,,a b c 为三角形的三边长，求证：23()()4()ab bc ca a b c ab bc ca ++≤++<++；23．现有A,B,C,D 四个长方体容器，已知容器A,B 的底面积均为2x ，高分别为,x y ，容器C,D 的底面积为2y ，高也分别为(),0,0,x y x y x y >>≠；现规定一种两人游戏规则：每人从四个容器中取出两个分别盛满水，两个容器盛水的和多者为胜，若事先不知道,x y 的大小，问如何取法可以确保一定获胜？请说明理由.24．某段地铁线路上有A,B,C 三站，5AB =（千米），3BC =（千米），在列车运行时刻表上，规定列车8:00从A 站出发，8:07到达B 站，并停留1分钟，8:12到达C 站，并在行驶时以同一速度v （千米/分）匀速行驶；列车从A 站出发到达某站的时间与时刻表上相应时间差的绝对值，称为列车在该站的运行误差；（1）分别用速度v 表示列车在B,C 两站的运行误差；（2）若要求列车在B,C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求列车速度v 的取值范围；参考答案1．{|72,}x x n n =+∈N【分析】设被7除余2的正整数为x ,即72x n =+,用描述法写成集合形式,即可得到答案.【详解】设该数为x ,则该数x 满足72x n =+,n N ∈∴所求的正整数集合为{|72,}x x n n =+∈N故答案为:{|72,}x x n n =+∈N .【点睛】本题考查了用描述法表示集合,掌握集合的表示方法是解题关键.2．[1,0)(0,2]-⋃【分析】根据偶次根式下被开方数非负,分数分母不为零,列出关于x 的不等式组,即可求出函数()f x 的定义域.【详解】由题意可得:2200x x x ⎧-++≥⎨≠⎩ 所以函数的定义域为:12x -且0x ≠即:[1,0)(0,2]-⋃故答案为: [1,0)(0,2]-⋃【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解,要求能够熟练掌握常见函数成立条件.3．4x (0x ≠)【分析】 将函数24(),()f x x g x x ==，代入()()⋅f x g x 即可求得答案. 【详解】函数24(),()f x x g xx==∴ ()()244=f x g x x x x⋅=⋅,(0x ≠) 故答案为:4x (0x ≠).【点睛】本题考查了求解函数表达式,能够理解函数的概念是解题关键.4．)+∞【分析】解法一: 根据函数单调性的定义,先任取1212,0,x x D x x ∈>>,能保证120y y ->的区间D ,即为函数()20y x x x=+>的单调递增区间; 解法二:求函数的导数,利用函数的导数大于零,则函数递增,即可求得函数()20y x x x =+>的单调递增区间.【详解】解法一:设()20y x x x=+>的单调增区间为D ,任取1212,0,x x D x x ∈>> ()()211212*********()x x y y x x x x x x x x --=-+-=-+ ()()()121212121222(1)0x x x x x x x x x x -=--=-⋅> ∴120x x >>所以1220x x ->,即122x x >∴12,x x D ∈在区间上具有任意性,故:{|D x x =≥ 则函数2y x x=+的单调递增区间为)+∞. 解法二:由题函数()20y x x x =+>,故22()1f x x '=- 令22()10f x x'=->,解得:x >x <x ∴<(舍去)函数()f x的单调递增区间为)+∞故答案为:)+∞.【点睛】本题考查了求函数单调区间.求函数单调区间既可以用函数单调性定义法判断,也可以采用导数知识求解.5．216x y = 【分析】正方形的周长x ,则边长为4x ,即可求得的面积y 关于周长x 的函数解析式. 【详解】正方形的周长为x ,则正方形的边长为4x (0x >) ∴正方形的面积为:216x y = 故答案为: 216x y =(0x >) .【点睛】本题考查了实际问题中的求解函数关系式,能够通过周长求得正方形边长,是求出面积关于周长解析式的关键.6．{}14x x -<≤或写成(1,4]-【分析】把原不等式右边的1移项到左边,通分后变成401x x -≤+,不等式可化为两个不等式组,分别求出两不等式组的解集,两解集的并集即为原不等式的解集.【详解】 2311x x -≤+ 即23101x x --≤+ 401x x -∴≤+ 可化为:4010x x -≤⎧⎨+>⎩ ┄①或4010x x -≥⎧⎨+<⎩┄②解①得:14x -<≤解②得:无解. 故不等式2311x x -≤+的解集为:{}14x x -<≤. 故答案为:{}14x x -<≤或写成:(1,4]-【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解,属于基础试题.7．]((),25,-∞⋃+∞【分析】根据集合的并集定义,即可求得A B .【详解】(]{|32}3,2A x x =-<≤=- {}15(,1]B x x x =≤->=-∞-或()5+⋃∞，∴ ]((),25,A B ⋃=-∞⋃+∞故答案为: ]((),25,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查了集合的并集运算,掌握并集的概念是解本题关键.8．11{0,,}24-【分析】先化简集合B ,利用A B ⊆,分类讨论=0a 和0a ≠,即可求出构成a 的集合.【详解】 由{}2280B x x x =--=可得:2280x x --= 即:()()240x x +-=解得2x =-或4x = 故:{}2,4B =- {}10,A x ax x R =+=∈由10ax += 可得:1ax =-当0a =时,方程1ax =-无实数解,此时A =∅,满足A B ⊆当0a ≠时,方程1ax =-的实数解为1x a =-,故:1{}A a=- 由A B ⊆可得:12a -=-或14a-= 解得12a =或14a =- a 的所有取值构成的集合为:11{0,,}24-. 故答案为:11{0,,}24-. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系以及一元二次方程的解法,要注意集合A 是集合B 的子集时,集合A 有可能是空集.9．()1x x -+【分析】设0x <,则0x ->,当0x >时,()()1f x x x =-于是可求得()f x -,再利用偶函数()()=f x f x -的性质,即可求得0x <函数的解析式.【详解】设0x <,则0x ->()()1f x x x -=-+∴根据偶函数()()=f x f x -()()()1f x f x x x ∴=-=-+ () 0x <故答案为:()1x x -+.【点睛】已知函数的奇偶性求解析式,将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出()f x 的解析式.10．假【分析】根据命题α的逆命题,写的其原命题.根据原命题和逆否命题真假相同,即可得出α逆否命题真假.【详解】命题α的逆命题为：“已知,x y R ∈，若1,2x y >>，则3x y +>”∴ 命题α的原命题为：“已知,x y R ∈，若3x y +>，则1,2x y >>”当5x =-,10y =满足3x y +>,但不满足1,2x y >>命题α的原命题为假命题.根据原命题和逆否命题真假相同∴ α的逆否命题为:假.故答案为假.【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,掌握原命题和逆否命题真假相同是解本题关键.11．(1,0][1,3)-【分析】化简集合,A B ,求出U C A ,即可求解U C A B ⋂.【详解】 ,{||21|1}(0,1)U R A x x ==-<={}2|230(1,3)B x x x =--<=-(,0][1,)U C A ∴=-∞⋃+∞(1,0][1,3)U C A B ∴⋂=-⋃故答案为:(1,0][1,3)-.【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,掌握集合运算基本知识是解题关键.12．（1）（2）【分析】由0,0a b c d >><<,根据不等式的基本性质,逐项检验即可得出答案.【详解】对于（1）项,由0,0a b c d >><<,得0ad <,0bc >,则ad bc <,故（1）项正确;对于（2）项,由0,0a b c d >><<,得22c d >,则22a c b d +>+,故（2）项正确;对于（3）项,令1,3,2,1a b c d ==-=-=-,满足0,0a b c d >><<则()1a b c -=-,()6b d a -= 可得:()()a b c b d a -<- 故（3）项错误.所以恒成立的序号为:（1）（2）.故答案为:（1）（2）.【点睛】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.13．7【分析】根据1x >,可得10x ->,然后把431x x x +-整理成43(1)+71x x -+-,进而利用均值不等式求其最小值.【详解】 44(1)443=3(1)+3=3(1)+7111x x x x x x x x -++-+-+--- 1x > 43(1)0,01x x ∴->>-43(1)7771x x ∴-++≥=-(当且仅当43(1)1x x -=-,即1x =+∴ 431x x x +-的最小值为:7.故答案为: 7.【点睛】本题考查均值不等式,构造出均值不等式的形式是解题的关键,但要注意均值不等式成立条件.14．512【分析】根据题意中集合长度的定义,可得M 的长度为34,N 的长度为13.当集合M N ⋂的长度为最小值时,即重合部分最少时,M 与N 应分别在区间0,1的左右两端,当集合M N ⋂的长度为最大值时,即重合部分最多时,M 与N 应分别在区间0,1的中间,进而得出答案.【详解】34M x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭,13N x n x n ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭,{}01P x x =≤≤ 又,M P N P ⊆⊆∴M 的长度为34,N 的长度为13. 当M N ⋂的长度为最小值,M 与N 分别在区间0,1的左右两端∴M N ⋂长度的最小值为31114312+-= 又M N ⋂长度的最大值为:13则M N ⋂的长度的最小值与最大值的和为:11512312+= 故答案为:512. 【点睛】 本题主要考查集合新定义,能够理解所定义的集合的长度和结合数轴求解是解题关键. 15．{2,3,1}--【分析】设公共根是b ,代入两方程,作差可得b a =,即公共根就是a ,进一步代入原方程求解两集合,即可得出答案.【详解】A B ⋂≠∅∴两个方程有公共根设公共根为b∴2(23)30b a b a +--=,22(3)30b a b a a +-+-=两式相减得:20ab a -=,即()0a b a -=.①若0a =,则两个方程都是230x x -=,与A B ≠矛盾;②0,a ≠则b a =,∴公共根为a ,代入2(23)30x a x a +--=得:2(23)30a a a a +--= 即220a a -=,解得:0a =(舍),2a ={}2|60{3,2}A x x x ∴=+-==- 2|20{1,2}B x x x{2,3,1}A B ∴⋃=--故答案为:{2,3,1}--【点睛】本题考查了集合并集运算,能够通过,A B A B ≠⋂≠∅解读出两个集合中的方程有公共根,是解题的关键.16．A【解析】考点：充要条件．分析：由已知中x ，y ∈R ，根据绝对值的性质，分别讨论“xy ＞0”?“|x+y|=|x|+|y|”，与“|x+y|=|x|+|y|”?“xy ＞0”，的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．解答：解：若“xy ＞0”，则x ，y 同号，则“|x+y|=|x|+|y|”成立即“xy ＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分条件但“|x+y|=|x|+|y|”成立时，x ，y 不异号，“xy≥0”，“xy ＞0”不一定成立，即“xy ＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的不必要条件即“xy ＞0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分不必要条件故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的性质，判断“xy ＞0”?“|x+y|=|x|+|y|”，与“|x+y|=|x|+|y|”?“xy ＞0”的真假，是解答本题的关键．17．A【分析】题目给出了1a b >>,且题中含有2a b +,可利用均值不等式求解.1a b >>根据均值不等可得2a b a b +>>>,结合交集与补集的定义即可得出答案. 【详解】 1a b >>,22a b a b a b ++∴>>>2a b a b +∴>>>{}N x a =<< 则:{}C =R N x x x a ≤≥ (){}{C |==2R a b M N x b x x x x a x b x P +⎧⎫∴⋂=<<⋂≤≥<≤⎨⎬⎩⎭ ()C R P M N ∴=⋂故选:A.【点睛】本题考查了集合之间的基本运算以及基本不等式的知识,解答本题的关键在于明确基本不等式的内容.18．D【分析】根据奇函数满足()()f x f x -=-,偶函数满足()()f x f x -=.逐个选项判断其奇偶性和单调性即可得出答案.【详解】对于A,函数为二次函数221y x x =--+,图像为抛物线,开口向下,对称轴为:1x =- ∴函数在(,1)-∞-单调递增,在(1,)-+∞单调递减,故A 不正确;对于B,函数的定义域为R ,定义域关于原点对称,令()5f x x =,满足()()f x f x -=-,函数为奇函数,故B 不正确;对于C,函数的定义域为R ,定义域原点对称,令2()1f x x =-+ 2()()1()f x x f x ∴-=--+=,所以2()1f x x =-+为偶函数,故C 不正确;对于D,函数的定义域为R ,定义域关于原点对称,令()53f x x =+∴ ()()f x f x -≠±函数为非奇非偶函数,且在R 上是单调递增,满足题意,故D 正确. 故选:D.【点睛】本题考查奇偶性的判断,考查了函数的单调性,属于基础题.19．C【分析】 把2211()f x x x x -=+等价转化211()()2f x x x x-=-+ 即可求得()f x 进而求得()1f x +.【详解】211()()2f x x x x-=-+ 设1t x x=- ∴ 2()=2f t t +∴2(1)(1)2f x x +=++.故选:C.【点睛】本题主要考查函数解析式求解.求解函数解析式常用方法有代入法,换元法以及构造方程组法.20．1【解析】【分析】由{}3A B ⋂=-，则可得2313a a --=-，计算出结果，进行验证【详解】由题意得2313a a --=- ，解得1a =或2a =，当1a =时，{}{}3,4,3,2,3A B =-=-，满足要求；当2a =时，{}{}3,4,3,4,3A B =-=-，不满足要求，综上得：1a =【点睛】本题考查了集合的交集，由已知条件，代入求出参量的值，注意代回的检验尤为重要。

上海市2020年〖人教版〗高一数学下册复习试卷期中考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝．3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P(1，－2)，则sin2α＝．4．在△ABC中，若AC＝3，∠A＝45°，∠C＝75°，则BC＝．5．在△ABC中，若sin A︰sin B︰sin C＝3︰2︰4，则cos C ＝．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝．7．若等比数列{a n}满足a1＋a3＝5，a3＋a5＝20，则a5＋a7＝．8．若关于x的不等式ax2＋x＋b＞0的解集是(－1，2)，则a＋b ＝．≤0的解集是[－2，1)，则k＝．9．若关于x的不等式1＋kx－110．若数列{a n }满足a 11＝152，1 an+1－1 an ＝5(n ∈N *)，则a 1＝． 11．已知正数a ，b 满足1a ＋2b＝2，则a ＋b 的最小值是． 12．下列四个数中，正数的个数是．①b ＋m a ＋m －b a，a ＞b ＞0, m ＞0； ②(n ＋3＋n )－(n ＋2＋n ＋1),n ∈N*； ③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R ； ④x2＋3x2＋2－2，x ∈R .13．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan A ＋tan C tan B ＝1，则a2＋b2c2＝． 14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)设f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R )．(1)当t ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)已知f (x )≥0对一切实数x 成立，求t 的值．16．(本题满分14分)设函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)求函数f(x)的最小正周期；的条件下，求f(x)的取值范围．(2)在0＜x≤π317．(本题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12. (1)求角A 的大小；(2)当a ＝5，b ＝4时，求△ABC 的面积．18．(本题满分16分)已知{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12．(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？19．(本题满分16分)如图，扇形AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB 的大小等于π3，半径OA ＝200m ，点M 在半径OA 上，点N 在AB 弧上，且MN ∥OB ，求观光道路OM 与MN 长度之和的最大值．20．(本题满分16分)设正项数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1 1＋an ， n ∈N *. (1)证明：若a n ＜5－12，则a n ＋1＞5－12； (2)回答下列问题并说明理由：是否存在正整数N，当n≥N时｜a n－5－12｜＋｜a n＋1－5－12｜＜0.001恒成立?参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 6 －242．123．－454．2 5．－146．12 7．80 8．19．3 10．1211．12(3＋22) 12．2 13．3 14．(n－1)2n＋2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)当t＝3时，不等式f(x)＞0与不等式x2－4x＋3＞0同解，得(x－1)(x－3)＞0，……………………………………… ............. ...........3分不等式f(x)＞0的解集是(－∞，1)∪(3．＋∞); …… ........................6分(2)不等式f(x)≥0对一切实数x成立等价于△＝(t＋1)2－4t≤0，........................10分即(t －1)2≤0，即t ＝1． ........................14分16．(1)f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1，……........................6分所以，函数f(x)的最小正周期为π; ........................8分(2)0＜x ≤π3时，π6＜2x ＋π6≤5π6，…........................10分 函数y ＝sin x 在区间[π6，π2]是增函数，在区间[π2，5π6]是增函数，f (x )的值域是[2sin 5π6＋1， 2sin π2＋1]，即[2，3]．........................14分17．(1)由cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12得cos(B ＋C )＝－12，........................4分∴cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3;........................7分 (2) 由c 2＋42－2×c ×4 cos π3＝52及c ＞0得c ＝2＋13，........................11分△ABC的面积S△ABC＝12×4×(2＋13)×sinπ3＝23＋39．.........................14分18．(1)设{a n}的公差为d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，∴d＝0，或d＝2 a1，........................4分当d＝0时，∵a3＋a4＝12，∴a1＝a3＝6，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝30， .................... ....6分当d≠0时，∵a3＋a4＝12，∴a1＝1，d＝2， .........................8分∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25;(2)∵b1≠b2，b n＝10－a n，∴a1≠a2，∴d≠0，∴b n＝10－a n＝10－(2n－1)＝11－2n，........................12分当n≤5时，b n＞0，当n≥6时，b n＜0，当n＝5时，S n最大，S n最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25．........................16分19．连ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜π3, 在△MON 中，ON ＝200，∠OMN ＝2π3， 200sin 2π3＝MN sinθ＝OM sin(π3－θ)，........................4分∴MN ＝4003sin θ， OM ＝4003sin(π3－θ)，........................8分MN ＋OM ＝4003[ sin θ＋sin(π3－θ)] ＝4003( sin θ＋32cos θ－12sin θ)＝4003sin(π3＋θ)，........................13分∵0＜θ＜π3，∴π3＜π3＋θ＜2π3， ∴当θ＝π6时，sin(π3＋θ) 最大， MN ＋OM 最大，最大值是40033m ．........................16分20．(1)若0＜a n ＜5－12，则0＜1＋a n ＜1＋5－12， 则a n ＋1＝1 1＋an ＞11＋5－12＝5－12; ........................4分 (2)仿(1)可得，若a n ＞5－12，则a n ＋1＜5－12，........................6分则n ≥2时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＝｜a n ＋1－a n ｜＝｜1 1＋an －1 1＋an －1｜＝｜an －an －1｜(1＋an) (1＋an －1)， ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝1 1＋an ＜1 ( n ∈N *)， ∴n ≥2时， a n ＝1 1＋an －1＞12，又a 1＝12， ∴n ≥2时，(1＋a n ) (1＋a n －1)＝(1＋1 1＋an －1) (1＋a n －1)＝2＋a n －1≥52，...................8分 ∴｜a n ＋1－a n ｜＝｜an －an －1｜(1＋an) (1＋an －1)≤25｜a n －a n －1｜≤(25)2｜a n －1－a n －2｜≤…≤(25)n －1｜a 2－a 1｜＝16×(25)n －1，........................12分数列{16×(25)n －1}递减，16×(25)7－1＜0．001，只要N ≥7，当n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001， 即｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0．001成立． ........................16分。

2021-2022学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷试题数：23，总分：1001.（填空题，3分）已知A={x|x为矩形}，B={x|x为菱形}，则A∩B=___ ．2.（填空题，3分）不等式x+2x−1≤0的解集为___ ．3.（填空题，3分）已知集合A={x|x2-3x≤0，x∈Z}，用列举法表示集合A为 ___ ．4.（填空题，3分）已知集合A={1，2}，集合B={4，8}，则集合{z|z=xy，x∈A，y∈B}的所有元素之和为 ___ ．5.（填空题，3分）已知实数x、y满足-1＜x≤2，-3≤y＜5，则x-y的取值范围为 ___ ．6.（填空题，3分）已知集合A={-1，2m+3}，集合B={-|2m+1|，m2}，且A=B，则实数m=___ ．7.（填空题，3分）已知正数x、y满足x+y=3，则x- 4y的最大值是 ___ ．8.（填空题，3分）已知条件α：m＜x≤2m+5，条件β：0≤x≤1，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围为 ___ ．9.（填空题，3分）已知a＞0，a≠1，x∈R，且a2x=2，则a3x+a−3xa x+a−x的值为 ___ ．10.（填空题，3分）已知集合A={x|ax-2=0，a∈R}，集合B={x|x2+x-2=0}，且A∩B=A，则实数a的所有可能取值组成的集合为 ___ ．11.（填空题，3分）已知关于x的不等式kx2−kx+1 x2−3x+7≤0的解集为空集，则实数k的取值范围是___ ．12.（填空题，3分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则在下列不等式① ab≤1；② a2+b2≥2；③ √a + √b≤ √2；④ 1a + 1b≥2；⑤ a3+b3≥3中恒成立的是 ___ .（写出所有正确命题的序号）13.（填空题，3分）对实数x、y定义运算⊕：x⊕y=x（2-y），若关于t的不等式（t-a）⊕（t+a）＜1对任意实数t都成立，则实数a的取值范围是 ___ ．14.（填空题，3分）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有（x+y）∈S，（x-y）∈S，（xy）∈S，则称集合S为“完美集合”．给出下列命题：① 若S为“完美集合”，则一定有0∈S；② “完美集合”一定是无限集；③ 集合A={x|x=a+ √5 b，a∈Z，b∈Z}为“完美集合”；④ 若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合”．其中真命题是 ___ .（写出所有正确命题的序号）15.（单选题，3分）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.a|c|＞b|c|D. ac2+1＞bc2+116.（单选题，3分）命题“存在x∈R，使得x2-2x+5≤0”的否定是（）A.存在x∈R，使得x2-2x+5≥0B.对任意x∈R，都有x2-2x+5＞0C.存在x∈R，使得x2-2x+5＞0D.对任意x∈R，都有x2-2x+5≤017.（单选题，3分）若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（）A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M18.（单选题，3分）已知m、n是非零常数，不等式m（x+1）（x-3）≥0的解集为A，不等式n（x+1）（x-3）＞0的解集为B，则“mn＜0”是“A∪B=R”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件19.（问答题，8分）求不等式组{|3x−1|＞5x+3x−1≥2的解集．20.（问答题，8分）设a＞b＞0，比较a2−b2a2+b2与a−ba+b的大小．21.（问答题，10分）已知关于x的一元二次方程（m2-1）x2+（2m-1）x+1=0（m∈R）的两个实根是x1、x2．（1）求1x1 + 1x2的取值范围；（2）是否存在m，使得|x1-x2|= 11−m2？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．22.（问答题，10分）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C．已知AB长为4米，AD长为3米．（1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值．23.（问答题，10分）若实数x、y、t满足|x-t|＞|y-t|，则称x比y远离t．（1）若x2-1比2远离3，求实数x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，判断命题“（a+b）3比4a2b+4ab2远离8ab √ab”的真假，并说明理由．2021-2022学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：23，总分：1001.（填空题，3分）已知A={x|x 为矩形}，B={x|x 为菱形}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{x|x 为正方形}【解析】：矩形的几何特征是有一个角为直角的平行四边形，菱形的几何特征是邻边相等的平行四边形，故两集合的交集中元素的几何特征是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形，由此可得．【解答】：解：∵A={x|x 为矩形}，∴其元素的几何特征是有一个角为直角的平行四边形， ∵B={x|x 为菱形}，∴其元素的几何特征是邻边相等的平行四边形，由交集的性质，A∩B 中元素的特征是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形，这样的图形是正方形，故A∩B={x|x 为正方形}故答案为 {x|x 为正方形}【点评】：本题考点是交集及其运算，考查背景是四边形，此是一个集合的运算与平面几何相结合的题型，以集合的方式考查几何图形的性质．2.（填空题，3分）不等式 x+2x−1≤0 的解集为___ ．【正确答案】：[1][-2，1）【解析】：原不等式等价于 {(x +2)(x −1)≤0x −1≠0，解不等式组可得．【解答】：解：原不等式等价于 {(x +2)(x −1)≤0x −1≠0， 解得 {−2≤x ≤1x ≠1，即-2≤x ＜1 故原不等式的解集为：[-2，1）故答案为：[-2，1）【点评】：本题考查分式不等式的解集，把分式不等式化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．3.（填空题，3分）已知集合A={x|x2-3x≤0，x∈Z}，用列举法表示集合A为 ___ ．【正确答案】：[1]{0，1，2，3}【解析】：根据集合的表示方法即可求出．【解答】：解：集合A={x|x2-3x≤0，x∈Z}={x|0≤x≤3}={0，1，2，3}．故答案为：{0，1，2，3}．【点评】：本题考查了集合的表示方法，属于基础题．4.（填空题，3分）已知集合A={1，2}，集合B={4，8}，则集合{z|z=xy，x∈A，y∈B}的所有元素之和为 ___ ．【正确答案】：[1]28【解析】：根据新定义，求解出z的所有元素，再求所有元素之和．【解答】：解：有题意：{z|z=xy，x∈A，y∈B}，设A={1，2}，B={4，8}，那么：当x=1时：y=4或8，可得z：4、8，当x=2时：y=4或8，可得z：8、16，故得z的所有元素：4、8、16，即集合{z|z=xy，x∈A，y∈B}的所有元素为：4、8、16，元素之和为：16+4+8=28．故答案为：28．【点评】：本题考查集合的基本运算，新定义的应用，是基础题．5.（填空题，3分）已知实数x、y满足-1＜x≤2，-3≤y＜5，则x-y的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]（-6，5]【解析】：由不等式的性质直接求解即可．【解答】：解：因为-1＜x≤2，-3≤y＜5，所以-5＜-y≤3，所以-6＜x-y≤5，即x-y的取值范围为（-6，5]．故答案为：（-6，5]．【点评】：本题主要考查不等式的性质，考查运算求解能力，属于基础题．6.（填空题，3分）已知集合A={-1，2m+3}，集合B={-|2m+1|，m 2}，且A=B ，则实数m=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由A=B ，列方程组，能求出实数m ．【解答】：解：∵集合A={-1，2m+3}，集合B={-|2m+1|，m 2}，且A=B ，∴ {−1=−|2m +1|2m +3=m 2， 解得实数m=-1．故答案为：-1．【点评】：本题考查实数值的求法，考查集合相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，3分）已知正数x 、y 满足x+y=3，则x- 4y 的最大值是 ___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：根据题意可得x=3-y ，则x- 4y =3-（y+ 4y ），再利用基本不等式求出最大值即可．【解答】：解：由x+y=3，得x=3-y ，所以x- 4y =3-（y+ 4y ）≤3-2 √y •4y =-1，当且仅当y= 4y ，即y=2时等号成立，所以x- 4y 的最大值为-1．故答案为：-1．【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．8.（填空题，3分）已知条件α：m ＜x≤2m+5，条件β：0≤x≤1，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][-2，0）【解析】：问题转化为[0，1]⊆（m ，2m+5]可解决此题．【解答】：解：问题转化为[0，1]⊆（m ，2m+5]，∴ {m ＜02m +5≥1 ，解得：m∈[-2，0）．故答案为：[-2，0）．【点评】：本题考查必要条件应用，考查数学运算能力，属于基础题．9.（填空题，3分）已知a＞0，a≠1，x∈R，且a2x=2，则a3x+a−3xa x+a−x的值为 ___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：先利用立方和公式化简所求式子，再代入已知条件即可求出结果．【解答】：解：∵a3x+a-3x=（a x+a-x）（a2x-1+a-2x），∴ a3x+a−3xa x+a−x =a2x-1+a-2x=2-1+ 12= 32，故答案为：32．【点评】：本题主要考查了立方和公式，考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．10.（填空题，3分）已知集合A={x|ax-2=0，a∈R}，集合B={x|x2+x-2=0}，且A∩B=A，则实数a的所有可能取值组成的集合为 ___ ．【正确答案】：[1]{0，-1，2}【解析】：由A∩B=A得A⊆B，然后对A=∅，A={1}，A={-2}三种情况进行分类讨论进行求解．【解答】：解：A={x|ax-2=0，a∈R}={x|ax=2}，集合B={x|x2+x-2=0}={1，-2}，由A∩B=A得A⊆B，当A=∅时，满足题意，此时a=0，当A={1}时，a=2，当A={-2}时，a=-1，故实数a的所有可能取值组成的集合{0，-1，2}．故答案为：{0，-1，2}．【点评】：本题主要考查了集合包含关系的应用，不要漏掉对集合A为空集的考虑，体现了分类讨论思想的应用．11.（填空题，3分）已知关于x的不等式kx2−kx+1 x2−3x+7≤0的解集为空集，则实数k的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0，4）【解析】：∵x 2-3x+7=（x- 32 ）2+ 194 ＞0，关于x 的不等式 kx 2−kx+1 x 2−3x+7 ≤0的解集为空集，可得kx 2-kx+1≤0解集为空集，可求得k 的取值范围．【解答】：解：∵x 2-3x+7=（x- 32 ）2+ 194 ＞0，关于x 的不等式 kx 2−kx+1 x 2−3x+7 ≤0的解集为空集，可得kx 2-kx+1≤0解集为空集，当k=0时，不等式为：1≤0满足题意；当k≠0时， {k ＞0Δ=(−k )2−4k ×1＜0，解得：k∈（0，4） 综上，k 的取值范围是[0，4）．【点评】：本题考查一元二次不等式解法，考查数学运算能力，属于中档题．12.（填空题，3分）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则在下列不等式 ① ab≤1； ② a 2+b 2≥2； ③ √a + √b ≤ √2 ； ④ 1a + 1b ≥2； ⑤ a 3+b 3≥3中恒成立的是 ___ .（写出所有正确命题的序号）【正确答案】：[1] ① ② ④【解析】：根据不等式的性质和基本不等式分别进行判断即可．【解答】：解： ① ∵a ＞0，b ＞0，a+b=2，∴2=a+b≥2 √ab ，当且仅当a=b=1时取等号，∴ab≤1，∴ ① 正确，② ∵a 2+b 2≥2ab ，∴2（a 2+b 2）≥（a+b ）2，∴a 2+b 2≥2，当且仅当a=b=1时取等号，∴ ② 正确，③ ∵ (√a +√b)2 =a+b+2 √ab =2+2 √ab ≤2+2=4，当且仅当a=b=1时取等号，∴ √a + √b ≤2，∴ ③ 错误，④ ∵a ＞0，b ＞0，a+b=2，且ab≤1，∴ 1a + 1b ≥2 √1ab ≥2，当且仅当a=b=1时取等号，∴ ④ 正确，⑤ 当a=b=1时，满足a ＞0，b ＞0，a+b=2，但a 3+b 3=2，∴ ⑤ 错误．故答案为： ① ② ④ ．【点评】：本题主要考查基本不等式的性质，属于中档题．13.（填空题，3分）对实数x 、y 定义运算⊕：x⊕y=x （2-y ），若关于t 的不等式（t-a ）⊕（t+a ）＜1对任意实数t 都成立，则实数a 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（0，2）【解析】：把不等式（t-a）⊕（t+a）＜1对任意实数t都成立，化为t2-2t-a2+2a+1＞0对任意实数t都成立，利用Δ＜0即可求得实数a的取值范围．【解答】：解：∵x⊕y=x（2-y），∴（t-a）⊕（t+a）＜1对任意实数t都成立⇔（t-a）[2-（t+a）]＜1对任意实数t都成立，即t2-2t-a2+2a+1＞0对任意实数t都成立，∴Δ=4-4（-a2+2a+1）＜0，化为a2-2a＜0，解得a∈（0，2）故答案为：（0，2）．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，考查了一元二次不等式的解法，是中档题．14.（填空题，3分）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有（x+y）∈S，（x-y）∈S，（xy）∈S，则称集合S为“完美集合”．给出下列命题：① 若S为“完美集合”，则一定有0∈S；② “完美集合”一定是无限集；③ 集合A={x|x=a+ √5 b，a∈Z，b∈Z}为“完美集合”；④ 若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合”．其中真命题是 ___ .（写出所有正确命题的序号）【正确答案】：[1] ① ③【解析】：根据“完美集合”的定义逐项判断即可．【解答】：解：对于① ，当x=y时，有x-y=0∈S，故一定有0∈S，故① 对；对于② ，例如S={0}为“完美集合”，为有限集，故② 错；对于③ ，设x=a+√5b，y=m+√5n，a，b，m，n∈Z，显然x+y，x-y∈A，而xy=(a+√5b)(m+√5n) = am+5bn+√5(an+bm)∈S，故③ 对；对于④ ，取S={0}，T={0，1}，显然T不是“完美集合”，故④ 错误．故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查集合的性质以及命题真假的判断，属于基础题．15.（单选题，3分）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A. 1a ＜1bB.a2＞b2C.a|c|＞b|c|D. ac2+1＞bc2+1【正确答案】：D【解析】：本题中a，b，c∈R，a＞b，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项．【解答】：解：A选项不对，当a＞0＞b时不等式不成立，故排除；B选项不对，当a=0，b=-1时不等式不成立，故排除；C选项不对，当c=0时，不等式不成立，故排除；D选项正确，由于1c2+1＞ 0，又a＞b故ac2+1＞bc2+1故选：D．【点评】：本题考查不等式与不等式关系，考查不等式的性质，根据不等式的性质作出正确判断得出正确选项，本题易因考虑不全面选错答案，如武断认为a＞b得出1a ＜1b致使出错．16.（单选题，3分）命题“存在x∈R，使得x2-2x+5≤0”的否定是（）A.存在x∈R，使得x2-2x+5≥0B.对任意x∈R，都有x2-2x+5＞0C.存在x∈R，使得x2-2x+5＞0D.对任意x∈R，都有x2-2x+5≤0【正确答案】：B【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为特称命题，则命题的否定为对任意x∈R，都有x2-2x+5＞0，故选：B．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．17.（单选题，3分）若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（）A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M【正确答案】：A【解析】：本题考虑2、0是否在不等式的解集中，可以代入验证，也可以求出不等式的解集再进行判断．原不等式是关于x的一次不等式【解答】：解：方法1：代入判断法，将x=2，x=0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R；方法2：求出不等式的解集：（1+k2）x≤k4+4 ⇒x≤k4+4k2+1=(k2+1)+5k2+1−2⇒x≤[(k2+1)+5k2+1−2]min=2√5−2；故选：A．【点评】：本题考查含参数的不等式的解集问题，难度一般．18.（单选题，3分）已知m、n是非零常数，不等式m（x+1）（x-3）≥0的解集为A，不等式n（x+1）（x-3）＞0的解集为B，则“mn＜0”是“A∪B=R”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：C【解析】：根据充分条件与必要条件的定义、一元二次不等式的解法以及集合并集的运算进行分析求解即可．【解答】：解：① 当mn＜0时，若m＜0，则n＞0，此时A=[-1，3]，B=（-∞，-1）∪（3，+∞），所以A∪B=R；当m＞0，n＜0时，此时A=（-∞，-1]∪[3，+∞），B=（-1，3），所以A∪B=R，所以“mn＜0”是“A∪B=R”的充分条件；② 当A∪B=R时，若m＜0，此时A=[-1，3]，当n＜0时，B=（-1，3），不满足题意，当n＞0时，B=（-∞，-1）∪（3，+∞），符合题意，此时mn＜0；若m＞0，此时A=（-∞，-1]∪[3，+∞），当n＞0时，B=（-∞，-1）∪（3，+∞），不符合题意；当n＜0时，B=（-1，3），满足题意，此时mn＜0；所以“mn＜0”是“A∪B=R”的必要条件．综上所述，“mn＜0”是“A∪B=R”的充要条件．故选：C．【点评】：本题考查了充分条件与必要条件的判断，一元二次不等式的解法，集合之间关系的运用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题．19.（问答题，8分）求不等式组{|3x−1|＞5x+3x−1≥2的解集．【正确答案】：【解析】：根据绝对值不等式与分式不等式解法可解决此题．【解答】：解：由|3x-1|＞5得3x-1＜-5或3x-1＞5，解得x＜- 43或x＞2；由x+3x−1≥2得x+3x−1-2≥0，得x+3−2x+2x−1≥0，即−x+5x−1≥0，解得1＜x≤5，∴不等式组{|3x−1|＞5x+3x−1≥2的解集是：（2，5]．【点评】：本题考查含绝对值不等式与分式不等式的不等式组的解法，考查数学运算能力，属于中档题．20.（问答题，8分）设a＞b＞0，比较a2−b2a2+b2与a−ba+b的大小．【正确答案】：【解析】：因为两个数都大于0，所以可以用作商比较其大小．【解答】：解：∵a＞b＞0，∴a-b＞0，a2＞b2，∴ a 2−b2a2+b2＞0，a−ba+b＞0．两数作商a 2−b2a2+b2 ÷ a−ba+b= (a+b)(a−b)a2+b2×a+ba−b= (a+b)2a2+b2=1+ 2aba2+b2＞1，∴ a2−b2 a2+b2＞a−ba+b．【点评】：熟练掌握当两个数都大于0时可以用作商比较其大小的方法是解题的关键．21.（问答题，10分）已知关于x的一元二次方程（m2-1）x2+（2m-1）x+1=0（m∈R）的两个实根是x1、x2．（1）求1x1 + 1x2的取值范围；（2）是否存在m，使得|x1-x2|= 11−m2？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由一元二次方程有两个根，则Δ＞0，求出m的范围，再利用韦达定理求解即可，（2）由（1）中结论，对所求式子进行变形，再求解．【解答】：解：（1）由题意知，Δ=（2m-1）2-4（m2-1）=4m2-4m+1-4m2+4=5-4m⩾0，∴ m⩽54，∵m2-1≠0，∴m≠±1，∴m的取值范围是(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]，由题意x1+x2=1−2mm2−1，x1x2=1m2−1∴ 1 x1+1x2=x1+x2x1x2=1−2m，又m∈(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]，∴ 2m∈(−∞，−2)∪(−2，2)∪(2，52]，∴ 1−2m∈[−32，−1)∪(−1，3)∪(3，+∞)，所以1x1+1x2的取值范围是[- 32，−1）∪（-1，3）∪（3，+∞）．（2）(x1−x2)2=(x2+x2)2−4x1x2= (1−2m)2 (m2−1)2−4m2−1= 5−4m(m2−1)2，∴ |x1−x2|=√5−4m|m2−1|，若|x1−x2|=−1m2−1，则m2-1＜0，即m∈（-1，1），∴5-4m=1，即m=1∉（-1，1），故不存在．【点评】：本题考查一元二次方程及韦达定理求参数的范围，属于中档题．22.（问答题，10分）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C．已知AB长为4米，AD长为3米．（1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值．【正确答案】：【解析】：（1）设AN=x（x＞3），利用线段成比例可得|AM|= 4xx−3，所以S矩形AMPN= 4x2x−3（x＞3），再由4x 2x−3＞54，即可求出x的取值范围．（2）令y= 4x 2x−3（x＞3），令t=x-3（t＞0），则x=t+3，所以y= 4(t+3)2t=4（t+ 9t+6），再利用基本不等式即可求出y的最小值，以及此时x的值．【解答】：解：设AN=x（x＞3），∵ABCD是矩形，∴ |DN||AN|=|DC||AM|，∴|AM|= 4xx−3，∴S矩形AMPN=|AN|•|AM|= 4x2x−3（x＞3），（1）又S矩形AMPN＞54，得4x 2x−3＞54，∴x＞3，∴（2x-9）（x-9）＞0，解得3 ＜x＜92或x＞9，∴AN的长的取值范围为（3，92）∪（9，+∞）．（2）令y= 4x 2x−3（x＞3），令t=x-3（t＞0），则x=t+3，∴y= 4(t+3)2t =4（t+ 9t+6）≥48，当且仅当t= 9t，即t=3时，等号成立，此时AN=6AM=8，∴当AN的长度是6米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为48平方米．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．23.（问答题，10分）若实数x、y、t满足|x-t|＞|y-t|，则称x比y远离t．（1）若x2-1比2远离3，求实数x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，判断命题“（a+b）3比4a2b+4ab2远离8ab √ab”的真假，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由已知条件可得，|x2-1-3|＞|2-3|，解出x，即可求解．（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】：解：（1）∵x2-1比2远离3，∴|x2-1-3|＞|2-3|，即|x2-4|＞1，解得x＞√5或x＜- √5或- √3＜x＜√3，故实数x的取值范围为（−∞，−√5）∪（√5，+∞）∪ (−√3，√3)．（2）对任意两个不相等正数a，b，有a+b＞2 √ab，即(a+b)3＞8ab√ab，4a2b+4ab2＞8ab√ab，∵ |(a+b)3−8ab√ab|−|4a2b+4ab2−8ab√ab| =（a+b）（a-b）2＞0，∴ |(a+b)3−8ab√ab|＞|4a2b+4ab2−8ab√ab|，故命题（a+b）3比4a2b+4ab2远离8ab √ab为真命题．【点评】：本题主要考查命题的真假判断与应用，考查基本不等式公式的应用，属于中档题．。

上海市2020年〖人教版〗高一数学下册复习试卷第二学期期中考试高一数学试题创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校第Ⅰ卷一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. sin120的值为（ ）A ．32B ．12C ．12-D ．32-２.下列角中终边与 330°相同的角是（ ）A. 30°B. - 30°C. 630°D.- 630° ３.如果αα αα cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么tan α的值为( )A.-2B. 2C. 1623D.-1623４.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移32π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是（ ）（A ）23 （B ）43 （C ） 32（D ） 35.在ABC △中，.,b AC c AB ==若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．3132+ B ．3235-C ．3132-D ．3231+6.三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 ( ) A ．1242+ B ．622+ C ．842+ D ．4 7.已知函数(21,x f x a c =-<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是（ ）A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ．222a c +<D ．22a c -< ８．集合{}{},|),(,,|),(a y x y x M R y R x y x U <+=∈∈={},)(|),(x f y y x P ==现给出下列函数：①x a y =，②x y a log =，③()sin y x a =+，④cos y ax =，若10<<a 时，恒有,P M C P U = 则所有满足条件的函数)(x f 的编号是．Ａ ①② Ｂ ①②③ Ｃ ④ Ｄ ①②④第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） ９、过点（1，2）且与直线210x y --=平行的直线方程为．10、若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间为． 11、若212a y a x-=⋅是幂函数，则该函数的值域是__________.12、已知2,1==b a ，a 与b 的夹角为3π，那么b a b a -⋅+=13、在ABC ∆中，,45,2,0===B b x a 若三角形有两解，则x 的取值范围是 14、对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为()f x 的＂下确界＂，则函数x x x x f cos sin 32cos 2)(2+=的＂下确界＂等于_________.22主视图左视图 俯视图2三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、（本题满分12分）已知向量=( )cos ,sin αα， =( )cos ,sin ββ．（1）当2,65πβπα-==时，求b a ⋅的值。

上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______ 4、若要将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。

其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______ 二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分） 解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知7174tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值（2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分）已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π（1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里 （1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫⎝⎛-∈3,2,ππαα （1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值上海市高一下学期数学期中考试试卷一、填空题1.幂函数()x f 的图像经过点()4273，，则()x f 的解析式是 . 2.若角α的终边上一点)0)(4,3≠-a a a P （，则cos α= . 3.若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 . 4.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.5.已知(()sin 5πα-=α在第二象限角，则 tan α= . 6.已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α= .7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-= . 8.已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = . 9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 . 10.ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则B = .11.已知函数()1()2xf x =，()12log g x x =，记函数()()()⎩⎨⎧=x f x g x h ()()()()x g x f x g x f ＞≤，则函数()()5-+=x x h x F 所有零点的和为 .12. 如果满足︒=45B ，10=AC ，k BC =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题13. 2πθ=“”是“x x cos )sin(=+θ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的值等于（ ）A. 2cosB. 21cos C. 2cos - D.21cos - 15.ABC ∆中，三边长分别为x 、y 、z ，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0＞＞＞＞b a a c ，若a b c 、、是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）①存在x R +∈，使xa 、xb 、xc 不能构成一个三角形的三条边 ②对一切()1,∞-∈x ，都有()0＞x f③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()2,1∈x ，使()0=x fA.①②B. ①③C.②③D. ①②③三、解答题17.已知α为第二象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+．18.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα＜＜＜，求：（1）tan 2α；（2）βcos ． 19.如图，D C 、是两个小区所在地，D C 、到一条公路AB 的垂直距离分别为km DB km CA 2,1==，AB 两端之间的距离为km 6.（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对C A 、的张角与P 对D B 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对D C 、所张角最大，试确定点Q 的位置.20.若函数()x f 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()x f 为“V 形函数”，若函数()x g 定义域为R ，函数()0＞x g 对任意R x ∈恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若()1()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()x f 是“V 形函数”，且满足对任意R x ∈，有()2＞x f ，问()x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c 、、b a 满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中)(21c b a p ++=， 三角形面积的海伦公式）， ∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（ ()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++--()222222[]4c a ba b=--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36≤S ，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与43≤≤c 矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．试卷答案一、填空题1. ()34f x x=2. 35± 3.2:3 4. 二 5. 12- 6. 39. 3π 10.34π11. 512. (0,10]{k ∈U二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-==--18. 【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）[]cos cos ()βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+⨯= 19.【解析】（1）张角相等，∴2:1::==DB CA PB AP ，∴4,2==PB AP (2)设AQ =x ，∴6QB x =-，∴tan C x =，6tan 2x D -=，tan tan tan tan()1tan tan C D C D C D θ+=+=-2662x x x +=-+，设6+=x t ，)6,0(∈x ，2tan 1874tt t θ=-+，(6,12)t ∈， ∴1tan 7418t tθ=∈+-(,(3,)-∞+∞U，(arctan 3,θπ∈-， 当且仅当74=t 时，等号成立，此时674-=x ，即674-=AQ20.【解析】（1）()()21212f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数”（2）1()()02xg x a =+＞恒成立，∴0≥a ，根据题意，1212()()()g x x g x g x +⋅＜恒成立， 即1212111()()][()]222x x x x a a a ++++＜[，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥（3）1122()()()f x f f x x x +<+，∵()12f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->， ∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x +＞，∴1212()()()f x x f x f x +＜，[][][]1212lg ()lg ()lg ()f x x f x f x ++＜，是“对数V 形函数”21.【解析】（1）设两直角边为b a 、=≥=∴12P a b =++2612+（2）设夹α的两边为b a 、，则第三边b a p --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴0)38)(34(≥--p ab p ab ，∵0)34＜（p ab -，∴038≤-p ab ，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换， ∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c =+=，a =16上海高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 已知角θ的终边在射线2y x =(0)x ≤上，则sin cos θθ+=2. 若32ππα<<1111cos22222α++= 3. 函数2cos(3)5y x π=+的最小正周期为4. 在△ABC 中，若sin sin()1cos()cos 22A B B A ππ-=--，则△ABC 为 三角形 （填“锐角”、“直角”或“钝角”）5. 若3cos()5αβ+=，4cos()5αβ-=，则tan tan αβ= 6. 已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x = （用反正弦表示） 7. 函数22sin 3sin 1y x x =-+，5[,]66x ππ∈的值域为8. 将函数cos2sin 2y x x =-的图像向左平移m 个单位后，所得图像关于原点对称，则实数m 的最小值为9. 若函数sin3cos3y x a x =+的图像关于9x π=-对称，则a =10. 若函数()sin f x x =和()cos()3g x x π=-定义域均是[,]ππ-，则它们的图像上存在个点关于y 轴对称11. 已知k 是正整数，且12017k ≤≤，则满足方程sin1sin 2sin k ︒︒︒++⋅⋅⋅+=sin1sin 2sin k ︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有 个12. 已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，且0A >，0ω>，||2πϕ<，写出满足(1)2f =，1(2)2f =，(3)1f =-，(4)2f =的一个函数()f x = （写出一个即可）二. 选择题13. 已知02πα-<<，则点(cot ,cos )αα在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)π上单调递增的是（ ）A. tan ||y x =B. cos()y x =-C. sin()2y x π=- D. 3cos()2y x π=+ 15. 将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '，若 点P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A. 12t =，s 的最小值为6π B. 2t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3π D. t =，s 的最小值为3π 16. 若α、[,]22ππβ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论中正确的是（ ） A. αβ> B. 0αβ+> C. αβ< D. 22αβ>三. 简答题17.求证：sin(2)sin2cos()sin sinαββαβαα+-+=.18.已知tan2θ=-(,)42ππθ∈. （1）求tanθ的值；（2）求22cos sin12sin()4θθπθ--+的值.19.写出函数222sin cosy x x x x=+的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称点坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图像.20. 已知集合{()|()(2)(1)}A f x f x f x f x =++=+，()sin()3xg x π=.（1）求证：()g x A ∈；（2）()g x 是周期函数，据此猜想A 中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）()g x 是奇函数，据此猜想A 中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.21. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的最小正周期为π，其图像的一个对称 中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再 将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点.参考答案一. 填空题1. 5-2. sin 2α 3. 23π 4. 直角 5. 176. 2arcsin5π+ 7. 1[,0]8- 8. 8π 9. 10. 2 11. 11 12. 21()3sin()332f x x ππ=-+ 二. 选择题13. B 14. C 15. A 16. D三. 简答题17. 略.18.（1）2； （2）3.19. 值域：[2,2]-；递增区间：5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈；对称轴：526k x ππ=+，k Z ∈； 对称中心：(,0)23k ππ+，k Z ∈；作图：略. 20.（1）略； （2）是； （3）不是，反例：()cos()3f x x π=.21.（1）()cos2f x x =，()sin g x x =； （2）1a =，1345n =.。

创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01上海市2020年〖人教版〗高一数学下册试卷第二学期期中考试一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若0=225θ则tan θ=（ ）A. 1-B. 1C. 2-2. 在右图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别为（ ） A.42，42 B.45, 42 C.45, 46 D.42, 463圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则直线AB 的的方程是（ ）A.30x y += B 3+0x y =C 30x y -=D 350y x -=4. 为了了解学生每天的睡眠时间，某调查机构对实验学校1202名学生用系统抽样的方式获取样本。

已知样本容量为30，则分段间隔k 的值与该校高一（2）班李玲被抽中的概率分别为（ ） A ．401,40B ．60115,40C ．401,30D ．60115,30 5. 已知角α的终边经过点)4,3(-P ，那么ααcos 2sin +的值等于（ ） A.52B.51- C.51D.52- 6．执行如图所示的程序框图，若输入1.0=x ，则输出m 的值是（ ）A ．0B ．1.0C ．1D ．1-7. 若)2,0(πθ∈，则使23sin 0<<θ成立的θ的取值范围是（ ） A.（ ）3,3ππ- B. （ ）3,0πC.（ ）ππ2,35 D.（ ）3,0π（ ）ππ,32 8．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为70颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积大约为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．209．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是（ ） A.310 B. 15C. 52 D. 11210．已知点()P a b ，（ ）0ab ≠是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是（ ）甲乙8 2 9 9 1 3 4 5 2 5 4 8 2 6 7 8 5 5 3 56 6 7第2题图第8题图第6题A ．相切B ．相离C ．相交D ．不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.设扇形的半径长为10cm ，扇形的圆心角为101弧度，则该扇形的 面积是2cm .12．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了95人，则该校的女生人 数应是人．13. 已知圆C ：422=+y x ,则过点)1,3(P 的圆的切线方程是______. 14.如果右图中算法程序执行后输出的结果是990，那么在程序框图中判断框中的“条件”应为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知)cos()2sin()2cos()tan()(πααπαπαπα--+⋅-⋅-=f（Ⅰ）化简)(αf ；（Ⅱ）若53)2(-=-απf ，且α是第二象限角，求.tan α16.（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和2个黑球，且分别标记为：1（红）、2、3号;乙盒内有大小相同的2个红球和1个黑球，且分别标记为：4（红）、5（红）、6号.现从甲、乙两个盒内各任取1个球.（Ⅰ）试列举出所有的基本事件，并求取出的2个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的2个球中恰有1个红球的概率. 17.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在直线y x =-上，半径为22的圆C 与直线x y =相切于坐标原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程;（Ⅱ）若直线0:=+-a y x l 与圆C 相交，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分14分）湛江市某公司近五年针对某产品的广告费用与销售收入资料如下（单位：万元）：（Ⅰ）画出散点图，并指出两变量是正相关还是负相关；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出两变量的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （III ）若该公司在预算投入10万元广告费用，试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测销售收入是多少？参考数值：1380708506605404302=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯; 550x y ==； 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：第14题12211ˆˆˆni i i ni x y nx yba y bxx nx==-==--∑∑，．19．（本小题满分14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图． （1）求图中实数a 的值；（2）在随机抽取40名学生中，分别估计成绩不低于60分的人数、成绩在[)40,50分及[]90,100分的人数;（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．20.（本小题满分14分）已知直线kx y l =:，圆C ：012222=+--+y x y x ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点；点),0(t T 满足.BT AT ⊥（Ⅰ）当点),0(t T 在圆C 上时，求实数k 的值； （Ⅱ）当∈t （1,23）时，求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 二、填空题：本大题共4小题，每小题520分．11. 5 ; 12. 760 ; 13. _____4y +=___ ;14. .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)cos()2sin()2cos()tan()(πααπαπαπα--+⋅-⋅-=f αααααsin cos cos cos tan =-⋅⋅-=………………6分（Ⅱ）由53)2sin(-=-απ得53cos -=α，………………8分又α是第二象限角所以54cos 1sin 2=-=αα……………………10分 则34cos sin tan -==ααα…………………12分 13．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知从甲乙两盒各任取一个球的所有基本事件如下：()()()()()()()()()6,3,5,3,4,3,6,25,2,4,2,6,1,5,1,4,1共9个 ………………4分记事件A={取出的2个球均为红球},则A 包含基本事件有：()()5,1,4,192)(=∴A P …………………………………………7分 （Ⅱ）记事件B 表示“取出的2个球中恰有1个红球” 则B 所包含的基本事件有：()()()()()5,3,4,3,5,2,4,2,6,1共5个分图495)(=∴B P …………………………………………12分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题设可知圆心C 在直线x y -=上于是设圆心),(n n C -，（ ）0>n ……………………3分 则2222)22()(=+-=n n OC ，解得2=n ……………………5分∴圆C 的方程为8)2()2(22=-++y x ……………………7分（Ⅱ）若直线0:=+-a y x l 与圆C 相交，则圆心)2,2(-C 到直线l 的距离22<d ……………………9分 即22222<+--=ad ，得44<-a ……………………12分即80<<a …………………………………………14分 18.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）散点图如图所示： ……………………4分……………………6分 （Ⅱ）由于,50,5==y x1380=，1452=∑i x ……………………………………8分5.62551455055138055225151=⨯-⨯⨯-=-∑-∑=∴==∧xx yx y x b i i i i i ，5.17=-=∧∧x b y a5.175.6+=∴∧x y …………………………………………12分（III ）令10=x ，得5.825.17105.6=+⨯=∧y所以预测销售收入是82.5万元.……………………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=．………………2分 解得0.03a =．……………3分 （2）解：根据频率分布直方图，可估计在随机抽取40名学生中成绩不低于60分的人数约为400.85=34⨯人,…………………5分成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人, …………………7分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人. …………………9分（3）解：设成绩在[)40,50分数段内的2人分别记为A ，B .成绩在[]90,100分数段内的4人，分别记为C ，D ，E ，F ．…………10分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…12分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．…13分所以所求概率为()715P M =．………14分 2. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）圆C 的方程可化为1)1()1(22=-+-y x ，故圆心为)1,1(，半径为1，则当点),0(t T 在圆C 上时， ……………………………………2分由AT BT ⊥知AB 为圆C 直径，即直线l 经过圆心)1,1(1=∴k ……………………5分（Ⅱ）联立⎩⎨⎧=+--+=012222y x y x kxy 消y 得：.01)1(2)1(22=++-+x k x k ①由0>∆解得：0>k . 设),(),,(2211y x B y x A ，.11,1)1(2221221k x x k k x x +=++=+∴……………………7分 1,-=⋅∴⊥BT AT k k BT AT ,得12211-=-⨯-x t y x t y ……………………8分 即0))((2121=--+t y t y x x ，又由于2211,kx y kx y ==代入得：0))((2121=--+t kx t kx x x ，即0)()1(221212=++-+t x x kt x x k.01)1(211)1(2222=+++⋅-+⋅+∴t kk kt k k ……………………………………9分 整理得.11)1(22tt k k k +=++ 令,1)(t t t f +=∈t （1,23） 由于任取)23,1(,21∈t t （ ）21t t <，有01)()()(21212121<-⋅-=-t t t t t t t f t f )(t f ∴在区间（1,23）上单调递增，61312<+<∴t t ，即6131)1(222<++<k k k …………12分即222(1)2(1)12(1)13(1)k k k k k k ⎧+>+⎪⎨+<+⎪⎩解得：⎩⎨⎧+>-<>2362361k k k 或 故),236()236,1(+∞+-∈ k ………………………………………14分。

2023年延安中学高一年级下学期期中试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.―2023°的终边在第_________象限.2.已知1cos 3α=，则cos 2=α__________．3.在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 的正半轴，顶点为坐标原点，若角α的终边经过点()1,2-，则sin α=__________.4.若34AB a b =- ，53AC a b =+ ，则BC =_________.5.若扇形的圆心角为30°，半径为2，则该扇形的面积为__________.6.函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为______.7.已知3sin 5x =-，[]π,πx ∈-，则x =_________.8.已知tan 2θ=，则sin cos(2)23cos sin()2πθπθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭________．9.已知函数sin y x =在定义域为π,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为1,2⎡-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为_________.10.若存在常数a 使关于xcos x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同解123,,x x x ，则123x x x ++=_________.11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4S b c a =+-，则B ∠=__________．12.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x <时，()0f x <；若对任意π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()4sin 22sin cos 320sin cos f m f m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭恒成立，则实数m的取值范围是__________.二、选择题（每小题3分，共12分）13.“α是锐角”是“α是第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.在下列函数中，既是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的严格增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是（）A.sin 2y x =B.cos 2y x =C.sin y x= D.sin y x=15.对于函数()sin(26f x x π=+,下列命题①函数图象关于直线12x π=-对称;②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把sin 2y x =的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把sin()6y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是(▲)A.0B.1C.2D.316.设函数()()()3cos 0f x x ωϕω=+>，若π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()π0f =，()f x 在ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上为严格减函数，那么ω的不同取值的个数为（）A.5B.4C.3D.2三、解答题（共52分）17.已知tan tan αβ、是方程240x ++=的两根，且ππππ,2222αβ-<<-<<求：（1）()tan αβ+（2）αβ+18.已知三个内角、、A B C 所对的边分别为1,,4,cos 4a b c a B ==-，（1）若sin 2sin A C =，求ABC 的面积；（2）设线段AB 的中点为D，若CD =，求ABC 外接圆半径的值.19.某同学用“五点法”画函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：（1）请写出表格中空格处的值，写出函数()f x 的解析式，并画出函数()f x 的大致图像；（2）将函数()f x 的图像向右平移2π3个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，求()123log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦的单调减区间.20.随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C A ---为某区的一条健康步道，,AB AC 为线段， BC是以BC 为直径的半圆，AB =，4AC =km.π6BAC ∠=（1）求 BC的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A D C --（B D 、在AC 两侧），其中,AD CD 为线段.若π3ADC ∠=，求新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道A B C --的路程增加多少长度？21.已知函数()22cos cos f x x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期，值域；（2）定义：对于任意实数1x ，2x ，{}11212212,max ,,x x x x x x x x ≥⎧=⎨<⎩，设()}maxsin ,cos g x x a x =，x ∈R （a 为常数），若对任意1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()12g x f x =恒成立，求实数a 的取值范围.2023年延安中学高一年级下学期期中试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.―2023°的终边在第_________象限.【答案】二【解析】【分析】利用角终边相同公式得到α的终边与137︒的终边相同，从而得到α的终边所在象限.【详解】因为20233606137α=-︒=-︒⨯+︒，而90137180︒<︒<︒，所以α的终边在第二象限.故答案为：二.2.已知1cos 3α=，则cos 2=α__________．【答案】79-【解析】【详解】1cos 3α=()217cos 22cos 12199αα∴=-=⨯-=-3.在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 的正半轴，顶点为坐标原点，若角α的终边经过点()1,2-，则sin α=__________.【答案】5-【解析】【分析】直接根据三角函数的定义即可得结果.【详解】由于角α的终边经过点()1,2-，所以25sin 5α==-，故答案为：5-.4.若34AB a b =- ，53AC a b =+ ，则BC =_________.【答案】27a b + ##72b a+【解析】【分析】根据BC AC AB=-计算得到答案.【详解】()()533427a B AC AB b b bC a a -=+-=-=+故答案为：27a b+5.若扇形的圆心角为30°，半径为2，则该扇形的面积为__________.【答案】π3【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，圆心角为α，半径为r ，π6α=，2r =.所以扇形的面积为2111ππ422263S rl r α===⨯⨯=.故答案为：π36.函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为______.【答案】3,,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】tan y x =的增区间是,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，由此可列式求解.【详解】令24x πα=-，因为tan y α=的增区间是,,22k k k Z ππαππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭，所以2,224,k k k x Z πππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭-，所以3,,2828x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈⎪⎝⎭.故答案为3,,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.7.已知3sin 5x =-，[]π,πx ∈-，则x =_________.【答案】3arcsin 5-或3πarcsin 5-+【解析】【分析】首先确定[π,0]x ∈-，然后根据反正弦函数的定义求解．【详解】3sin 5x =-，[]π,πx ∈-，则[π,0]x ∈-，所以3arcsin 5x =-或3πarcsin 5-+.故答案为：3arcsin5-或3πarcsin 5-+．8.已知tan 2θ=，则sin cos(2)23cos sin()2πθπθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭________．【答案】12-【解析】【分析】由已知利用诱导公式化简，再利用同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】因为tan 2θ=，所以sin()cos(2)cos cos 1123sin sin tan 2cos()sin()2πθπθθθπθθθθπθ-+-+==-=------．故答案为：12-．9.已知函数sin y x =在定义域为π,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为31,2⎡-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为_________.【答案】4ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由定义域和对应的值域即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题意，在sin y x =中，定义域为π,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为32⎡-⎢⎣⎦，周期为2π，∴π331sin 2a x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，解得：4ππ32a -≤≤-，故答案为：4ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.10.若存在常数a 使关于xcos x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同解123,,x x x ，则123x x x ++=_________.【答案】8π3##8π3【解析】【分析】方程化为πsin(62a x +=，由函数πsin(6y x =+在[0,2π]x ∈上的图象，可得1a =满足题意，由此可求得123,,x x x ，即可得结论．cos x x a +=即为πsin(62ax +=，由于πsin(6y x =+的最小正周期是2π，作出πsin(6y x =+在[0,2π]x ∈时的图象，如图，只有直线12y =与它有三个交点，cos x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同解123,,x x x ，不妨设123x x x <<，则10x =，32πx =，由2ππsin()sin 66x +=，得22π3x =，所以1238π3x x x ++=．故答案为：8π3．11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4S b c a =+-，则B ∠=__________．【答案】4π【解析】【详解】试题分析：∵222cos 2b c a A bc+-=，∴22211sin ()24S bc A b c a ==+-，∴11sin 2cos 24bc A bc A =⨯，∴tan 1A =，4A π=．∵cos cos sin a B b A c C +=，∴2sin()sin A B C +=，∴sin 1C =，∴2C π=，∴4B π=．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得tan 1A =，可得4A π=，再用正弦定理把cos cos sin a B b A c C +=中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得90C =︒，最后根据三角形内角和，进而求得B ．12.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x ，都有()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x <时，()0f x <；若对任意π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()4sin 22sin cos 320sin cos f m f m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是__________.【答案】()3,+∞【解析】【分析】采用赋值法可求得()f x 为奇函数，由奇函数性质可确定当0x >时，()0f x >；利用已知关系式可将不等式化为()()4sin 22sin cos 320sin cos f m m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，令πsin cos4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，采用分离变量法可得2m t t >+，结合对勾函数性质可求得结果.【详解】令120x x ==，则()()()000f f f =+，解得：()00f =；取1x x =，2x x =-，则()()()f x x f x f x -=+-，即()()0f x f x +-=，()f x \为定义在R 上的奇函数；当0x <时，()0f x <，∴当0x >时，()0f x >；令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1t θθθ==-，当π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π2sin ,142θ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，t ⎡∴∈⎣；由()()()4sin 22sin cos 320sin cos f m f m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭得：()()4sin 22sin cos 320sin cos f m m θθθθθ⎛⎫⎡⎤-++-++> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭；()()4sin 22sin cos 320sin cos m m θθθθθ∴-++-++>+，即()2412320t m t m t --+-++>，()()()2222t t m t t t-∴->-+，t ⎡∈⎣，22t ⎡⎤∴-∈⎣⎦，2m t t∴>+，2y t t =+在⎡⎣上单调递减，max 2123t t ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，3m ∴>，即m 的取值范围为()3,+∞.故答案为：()3,+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的恒成立问题的求解；本题的解题关键是能够采用赋值法，结合抽象函数关系式得到函数的奇偶性，结合已知关系式可将恒成立的不等式转化为自变量满足的不等式，从而采用分离变量法进行求解.二、选择题（每小题3分，共12分）13.“α是锐角”是“α是第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据锐角与象限角的概念及充分条件、必要条件求解.【详解】因为α是锐角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400︒是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件，故选：A14.在下列函数中，既是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的严格增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是（）A.sin 2y x =B.cos 2y x =C.sin y x =D.sin y x=【答案】C 【解析】【分析】由周期性排除一个选项，由奇偶性排除一个选项，再由单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】选项ABC 中函数的最小正周期都是π，而选项D 中函数不是周期函数，其图象如下所示：排除D ；易知函数sin 2y x =是奇函数，排除A ；π(0,)2x ∈时，2(0,π)x ∈，则cos 2y x =是减函数，排除B ；根据函数sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上严格单调递增，且其最小正周期为2π，则()sin x y f x ==在在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上严格单调递增，其最小正周期为π，且()()()sin sin sin f x x x x f x -=-=-==，又因为其定义域为R ，则其为偶函数，故C 正确，故选：C ．15.对于函数()sin(26f x x π=+,下列命题①函数图象关于直线12x π=-对称;②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把sin 2y x =的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把sin()6y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是(▲)A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【详解】考点：正弦函数的对称性；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．专题：综合题．分析：①把x=-π12代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；②把x=5π12，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移个π6单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y=sin （x+π6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．解答：解：①把x=-π12代入函数f （x ）=sin （2x+π6）=0，所以，①不正确；②把x=5π12，代入函数f （x ）=sin （2x+π6）=0，函数值为0，所以②正确；③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移π6个单位得到函数为f （x ）=sin （2x+3π），所以不正确；④函数图象可看作是把y=sin （x+π6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数f （x ）=sin （2x+π6），正确；故选C ．点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．16.设函数()()()3cos 0f x x ωϕω=+>，若π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()π0f =，()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上为严格减函数，那么ω的不同取值的个数为（）A.5 B.4C.3D.2【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期T 的范围，从而得ω的范围，再由函数值为0得出,ωϕ的关系式，从而得出216()5k k ω=-，12,Z k k ∈，取出可能的ω，确定出ϕ值，即可得结论．【详解】π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上为严格减函数，则ππ436T ≥-，2π3T ≥又π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()π0f =，因此π5ππ266T ≤-=，5π3T ≤，又0ω>，所以2π2π5π33ω≤≤，即635ω≤≤，由ππ()3cos()066(π)3cos(π)0f f ωϕωϕ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，则1πππ62k ωϕ+=+且2πππ2k ωϕ+=+，12,Z k k ∈，216()5k k ω=-，12,Z k k ∈，因此ω=65，125，若65ω=，则12πππ526πππ52k k ϕϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，取3π10ϕ=，63π()3cos()510f x x =+满足题意，若125ω=，则122πππ5212πππ52k k ϕϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，取10πϕ=，12π()3cos(510f x x =+满足题意，ω的值有2个．故选：D ．三、解答题（共52分）17.已知tan tan αβ、是方程240x ++=的两根，且ππππ,2222αβ-<<-<<求：（1）()tan αβ+（2）αβ+【答案】（1（2）2π3-【解析】【分析】（1）利用韦达定理可得tan tan tan tan 4αβαβ+=-=，再利用两角和的正切公式即可得解；（2）先判断tan tan αβ、的符号，从而可求得,αβ的范围，即可得出αβ+的范围，从而可得出答案.【小问1详解】解：因为tan tan αβ、是方程240x ++=的两根，所以tan tan tan tan 4αβαβ+=-=，所以()tan tan 33tan 1tan tan 14αβαβαβ+-+===--；【小问2详解】解：因为tan tan tan tan 4αβαβ+=-=，所以tan 0,tan 0αβ<<，故ππ0,022αβ-<<-<<，所以π0αβ-<+<，所以2π3αβ+=-.18.已知三个内角、、A B C 所对的边分别为1,,4,cos 4a b c a B ==-，（1）若sin 2sin A C =，求ABC 的面积；（2）设线段AB 的中点为D ，若CD =，求ABC 外接圆半径的值.【答案】（1（2）4105【解析】【分析】（1）由题知2a c =，进而根据余弦定理，结合已知得b =，sin 4B =，再根据三角形面积公式计算即可；（2）在BCD △中由余弦定理得2c =，进而在ABC 中，b =，再根据正弦定理求解即可.【小问1详解】解：因为sin 2sin A C =，所以2a c =，因为14,cos 4a B ==-，所以2c =，因为()0,B π∈，所以215sin 1cos 4B B =-=，所以ABC 的面积为1115sin 4215224ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△.【小问2详解】解：因为线段AB 的中点为D ，19CD =，14,cos 4a B ==-，所以在BCD △中，由22221619124cos 4422c ca CD B c c a ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭===-⋅⋅，解得2c =（6c =-舍），所以在ABC 中，2222cos 24b a c ac B =+-=，即26b =，因为()0,B π∈，所以215sin 1cos 4B B =-=，所以由正弦定理得ABC 外接圆半径R 满足268102sin 5154b R B ===，所以ABC 外接圆半径4105R =19.某同学用“五点法”画函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x2π3-π310π3（1）请写出表格中空格处的值，写出函数()f x 的解析式，并画出函数()f x 的大致图像；（2）将函数()f x 的图像向右平移2π3个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，求()123log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦的单调减区间.【答案】（1）4π7π,33，，()1π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象见解析（2）ππ(2π,2π](Z)62k k k ++∈【解析】【分析】（1）根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可；（2）根据平移变换及周期变换的规则可得函数()g x 的解析式,求出定义域，再由复合函数的单调性求解即可.【小问1详解】设第一行两个数分别为12,x x ，第四行待求数为2y ，依题意可知，2π03ππ32ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得123ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又ππsin 32f A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故由11ππ23x +=，21π3π232x +=，解得124π7π,33x x ==，又2221π3π()232f x y x ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭=，综上：124π7π,33x x ==，2y =()1π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,函数图象为：【小问2详解】函数()f x 的图象向右平移2π3个单位，得到12ππ12332y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x x =，函数()123log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦中，()302g x ->，即()32g x >，所以()32g x x =>，即1sin 2x >，所以π5π2π2π,Z 66k x k k +<<+∈，即函数的定义域为()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎫++∈⎪⎝⎭，因为12log y t =为减函数，所以当2t x -=为增函数时，即ππ2π2π,Z 62k x k k +<≤+∈时，函数()123log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦为减函数.即函数的单调减区间为ππ(2π,2π](Z)62k k k ++∈.20.随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C A ---为某区的一条健康步道，,AB AC 为线段， BC是以BC为直径的半圆，AB =，4AC =km.π6BAC ∠=（1）求 BC的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A D C --（B D 、在AC 两侧），其中,AD CD 为线段.若π3ADC ∠=，求新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道A B C --的路程增加多少长度？【答案】（1）πkm（2）8π--【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得BC ，从而求得 BC的长度（2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道A D C --的最长路程，由此求得增加的长度.【小问1详解】联结BC ，在ABC 中，由余弦定理可得，2BC ===，所以 12π1π2BC=⨯⨯⨯=，即 BC的长度为()πkm ；【小问2详解】记AD a,CD b ==，则在ACD 中，由余弦定理可得：22π2cos163a b ab +-=，即2216a b ab +-=，从而()221631632a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭所以()21164a b +≤，则8a b +≤，当且仅当4a b ==时，等号成立；新建健康步道A D C --的最长路程为()8km ，故新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道A B C --的路程增加)8πkm --21.已知函数()22cos cos f x x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期，值域；（2）定义：对于任意实数1x ，2x ，{}11212212,max ,,x x x x x x x x ≥⎧=⎨<⎩，设()}maxsin ,cos g x x a x =，x ∈R （a 为常数），若对任意1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()12g x f x =恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为πT =，值域为[]1,3-.（2）2323,33a ⎡∈-⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）结合二倍角余弦公式和辅助角公式化简()f x ，由三角函数的性质求解即可；（2）根据题意可得，()()()()min min max max ,g x f x g x f x ≥≤，求出()g x 的值域，列出关于a 的不等式组，即可求解.【小问1详解】()2π2cos cos cos 2212sin 216f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，因为x ∈R ，所以[]πsin 21,16x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以π2sin 216x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭[]1,3-，所以函数()f x 的值域为[]1,3-.【小问2详解】若对于任意1R x ∈，总存在2R x ∈，使得()()12g x f x =恒成立，则(){}(){}y y g x y y f x =⊆=，}sin sin cos()max sin,coscos,cos sinx x a xg x x a xa x a x x≥==>⎪⎩，sin cosx a x≥sin cos0x a x-≥，即πsin06a x⎛⎫-≥⎪⎝⎭，若0a≥，则πsin06x⎛⎫-≥⎪⎝⎭，即π2π2ππ,Z6k x k k≤-≤+∈，即π7π2π,2π66x k k⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()sin2g x x a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，同理当cos sina x x>，即5ππ2π,2π66x k k⎛⎫∈-++⎪⎝⎭时，()cos,2g x a x a a⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，故()32g x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3123aa≥⎧⎪⎪-≥-⎨≤，解得230,3a⎡∈⎢⎣⎦，所以实数a 的取值范围是230,3⎡⎢⎣⎦.若a<0，则πsin06x⎛⎫-≤⎪⎝⎭，即π2ππ2π,Z6k x k k-≤-≤∈，即5ππ2π,2π66x k k⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦时，()3sin,2g x x a⎤=∈⎥⎣⎦，同理当cos sina x x>，即π7π2π,2π66x k k⎛⎫∈++⎪⎝⎭时，()cos,2g x a x a a⎛⎤=∈-⎥⎝⎦，故()3,2g x⎤∈⎥⎣⎦，所以3123aa<⎧≥-⎨⎪⎪≤⎩，解得23,03a⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭，故2323,33a⎡∈-⎢⎣⎦。