2020年上海市延安中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
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请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
6．函数 的最小正周期是__.
7．函数 的单调递减区间是__.
8．使函数 取得最小值的 的集合是__.
9．求值： __.
10．已知 ，则 ____．
11．已知角 的终边位于函数 来自百度文库图象上，则 的值为__.
12．函数 的值域用区间表示为__.
13．在 中，已知 ， ， ，则角 的大小为__.
【详解】
.
令 ，则 ， .
∵ .
∴ 是奇函数.
∴ ，
∴ .
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查三角函数的最值，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题.
6．
【解析】
【分析】
根据函数 的最小正周期是 ，运算可得结果.
【详解】
函数 的最小正周期是 ，
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题.
7． ，
【解析】
【分析】
根据正切函数 的单调递增区间，即可写出函数 的单调递减区间.
【详解】
由正切函数的图象与性质，知；
函数 的单调递增区间为： ， ，
所以函数 的单调递减区间是： ， ，
故答案为： ， .
【点睛】
本小题主要考查正切型函数的单调区间的求法，属于基础题.
8．
【解析】
【分析】
由条件根据余弦函数的图象与性质，以及余弦函数的最小值，求得x的集合.
绝密★启用前
2020年上海市延安中学高一下学期期中数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．函数 （）
A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数
【详解】
使函数 取得最小值时， ， ， ，
故 的集合是为 ，
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查余弦函数的最值有关问题的求解，属于基础题.
9．
【解析】
【分析】
利用反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，求得要求式子的值.
【详解】
，
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查反三角函数的运用，属于基础题.
10．
14．在 中，已知 ， ，则 的值为__.
15．在 中，已知 ， ，并且 的面积为10，则角 的大小为__.
16．已知 ，并且 是第二象限角，则 的值为__.
17．化简： __.
18． 可以写成 的形式，其中 ，则 __________．
19．把函数 的图象向右平移 个单位，得函数 的图象，则 的值为__.
【解析】
【分析】
由同角的三角函数关系，可以求出 的值，利用二倍角的正切公式直接求解．
【详解】
．
【点睛】
本题考查了二倍角的正切公式及同角的三角函数关系．
11．
【解析】
【分析】
设角 的终边上非原点的点的坐标为 ，则 ，分类讨论，即可求 ， 的值，利用倍角公式即可得解.
【详解】
设角 的终边上非原点的点的坐标为 ，则 ，
则 ，
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.
15． 或
【解析】
【分析】
根据题意和三角形的面积公式列出方程求出 ，由内角的范围和特殊角的正弦值求出 .
【详解】
∵ ， ，并且 的面积为10，
∴ ，得 ，
∵ ，∴ 或 ，
故答案为： 或 .
【点睛】
本小题主要考查三角形的面积公式，属于基础题.
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
2．化简 所得的结果是（）
A． B． C． D．
3．方程 的解为（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4． 的一个充要条件是（）
A． B． C． D．
5．若函数 既存在最大值 ，又存在最小值 ，则 的值为（）
A．-1B．-2C．-3D．-4
第II卷（非选择题)
即 ， ，
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查解三角方程，属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
利用 ，代入化简即可得出 的一个充要条件.
【详解】
.
∵ ，∴ ，
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查三角恒等变换，属于基础题.
5．D
【解析】
【分析】
将 代入函数式化简得 ，令 ，则 为奇函数，故而 .
13．
【解析】
【分析】
由题意和余弦定理可得 ，由三角形内角的范围可得.
【详解】
∵在 中 ， ， ，
∴由余弦定理可得
，
∵ ，∴ .
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
由题意和内角定理求出角 ，根据正弦定理求出 的值.
【详解】
在 中，∵ ， ，∴ ，
由正弦定理得 ，
23．（1）证明三倍角的余弦公式： ；
（2）利用等式 ，求 的值.
24．设 .
（1）若锐角 满足 ，问： 是否为方程 的解？为什么？
（2）求方程 在区间 上的解集.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
将函数化简，利用奇偶性的定义，判断出正确选项.
【详解】
函数 ，
∵ ，
∴函数 是偶函数.
故选:B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基础题.
， ， ， ；
， ， ， .
综上， 的值为 .
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义，属于基础题.
12．
【解析】
【分析】
由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得结果.
【详解】
∵ ，∴ ，
故函数 的值域为 ，
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查三角函数值域的求法，属于基础题.
2．C
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简后，利用两角和的余弦函数化简求解即可.
【详解】
诱导公式： ， ；
， ；
余弦的两角和公式： ，
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
由题意可得可得 ，或 ， ，从而得出结论.
【详解】
由 ，可得 ，或 ， ，
16．
【解析】
【分析】
由条件利用同角三角的基本关系求得 的值，再利用二倍角的正切公式求得 的值.
【详解】
∵ ，并且 是第二象限角，
∴ ，∴ .
由 ，求得 ，
故 是第一或第三象限角，∴ .
再根据 ，求得 或 （舍去），
20．已知函数 ，其中 ， ， ，在一个周期内，当 时，函数取得最小值-2；当 时，函数取得最大值2，由上面的条件可知，该函数的解析式为__.
评卷人
得分
三、解答题
21．求方程 在区间 上的解.
22．已知函数 的值域为 .
（1）求 、 的值与 的最小正周期；
（2）用五点法画出上述函数在区间 上的大致图象.
评卷人
得分
二、填空题
6．函数 的最小正周期是__.
7．函数 的单调递减区间是__.
8．使函数 取得最小值的 的集合是__.
9．求值： __.
10．已知 ，则 ____．
11．已知角 的终边位于函数 来自百度文库图象上，则 的值为__.
12．函数 的值域用区间表示为__.
13．在 中，已知 ， ， ，则角 的大小为__.
【详解】
.
令 ，则 ， .
∵ .
∴ 是奇函数.
∴ ，
∴ .
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查三角函数的最值，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题.
6．
【解析】
【分析】
根据函数 的最小正周期是 ，运算可得结果.
【详解】
函数 的最小正周期是 ，
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题.
7． ，
【解析】
【分析】
根据正切函数 的单调递增区间，即可写出函数 的单调递减区间.
【详解】
由正切函数的图象与性质，知；
函数 的单调递增区间为： ， ，
所以函数 的单调递减区间是： ， ，
故答案为： ， .
【点睛】
本小题主要考查正切型函数的单调区间的求法，属于基础题.
8．
【解析】
【分析】
由条件根据余弦函数的图象与性质，以及余弦函数的最小值，求得x的集合.
绝密★启用前
2020年上海市延安中学高一下学期期中数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．函数 （）
A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数
【详解】
使函数 取得最小值时， ， ， ，
故 的集合是为 ，
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查余弦函数的最值有关问题的求解，属于基础题.
9．
【解析】
【分析】
利用反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，求得要求式子的值.
【详解】
，
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查反三角函数的运用，属于基础题.
10．
14．在 中，已知 ， ，则 的值为__.
15．在 中，已知 ， ，并且 的面积为10，则角 的大小为__.
16．已知 ，并且 是第二象限角，则 的值为__.
17．化简： __.
18． 可以写成 的形式，其中 ，则 __________．
19．把函数 的图象向右平移 个单位，得函数 的图象，则 的值为__.
【解析】
【分析】
由同角的三角函数关系，可以求出 的值，利用二倍角的正切公式直接求解．
【详解】
．
【点睛】
本题考查了二倍角的正切公式及同角的三角函数关系．
11．
【解析】
【分析】
设角 的终边上非原点的点的坐标为 ，则 ，分类讨论，即可求 ， 的值，利用倍角公式即可得解.
【详解】
设角 的终边上非原点的点的坐标为 ，则 ，
则 ，
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.
15． 或
【解析】
【分析】
根据题意和三角形的面积公式列出方程求出 ，由内角的范围和特殊角的正弦值求出 .
【详解】
∵ ， ，并且 的面积为10，
∴ ，得 ，
∵ ，∴ 或 ，
故答案为： 或 .
【点睛】
本小题主要考查三角形的面积公式，属于基础题.
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
2．化简 所得的结果是（）
A． B． C． D．
3．方程 的解为（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4． 的一个充要条件是（）
A． B． C． D．
5．若函数 既存在最大值 ，又存在最小值 ，则 的值为（）
A．-1B．-2C．-3D．-4
第II卷（非选择题)
即 ， ，
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查解三角方程，属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
利用 ，代入化简即可得出 的一个充要条件.
【详解】
.
∵ ，∴ ，
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查三角恒等变换，属于基础题.
5．D
【解析】
【分析】
将 代入函数式化简得 ，令 ，则 为奇函数，故而 .
13．
【解析】
【分析】
由题意和余弦定理可得 ，由三角形内角的范围可得.
【详解】
∵在 中 ， ， ，
∴由余弦定理可得
，
∵ ，∴ .
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
由题意和内角定理求出角 ，根据正弦定理求出 的值.
【详解】
在 中，∵ ， ，∴ ，
由正弦定理得 ，
23．（1）证明三倍角的余弦公式： ；
（2）利用等式 ，求 的值.
24．设 .
（1）若锐角 满足 ，问： 是否为方程 的解？为什么？
（2）求方程 在区间 上的解集.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
将函数化简，利用奇偶性的定义，判断出正确选项.
【详解】
函数 ，
∵ ，
∴函数 是偶函数.
故选:B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基础题.
， ， ， ；
， ， ， .
综上， 的值为 .
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义，属于基础题.
12．
【解析】
【分析】
由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得结果.
【详解】
∵ ，∴ ，
故函数 的值域为 ，
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查三角函数值域的求法，属于基础题.
2．C
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简后，利用两角和的余弦函数化简求解即可.
【详解】
诱导公式： ， ；
， ；
余弦的两角和公式： ，
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
由题意可得可得 ，或 ， ，从而得出结论.
【详解】
由 ，可得 ，或 ， ，
16．
【解析】
【分析】
由条件利用同角三角的基本关系求得 的值，再利用二倍角的正切公式求得 的值.
【详解】
∵ ，并且 是第二象限角，
∴ ，∴ .
由 ，求得 ，
故 是第一或第三象限角，∴ .
再根据 ，求得 或 （舍去），
20．已知函数 ，其中 ， ， ，在一个周期内，当 时，函数取得最小值-2；当 时，函数取得最大值2，由上面的条件可知，该函数的解析式为__.
评卷人
得分
三、解答题
21．求方程 在区间 上的解.
22．已知函数 的值域为 .
（1）求 、 的值与 的最小正周期；
（2）用五点法画出上述函数在区间 上的大致图象.