农作物施肥分析
1 问题重述
某研究所为了研究氮肥(N)、磷肥(P)、钾肥(K)三种肥料对于土豆和生菜的作用，分别对土豆和生菜两种作物做了三组实验，实验中将每种肥料的施肥量分为10个水平，在考察其中一种肥料的施肥量对土豆或生菜的产量的影响时，其他两种肥料的施肥量均在第七个水平上，实验数据如下面表格所示，其中ha 表示公顷,t 表示吨,kg 表示千克，试建立反映施肥量与产量关系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价. 施肥量与产量关系的实验数据： 土豆: 氮肥 磷肥
钾肥
生菜： 氮肥 磷肥
钾肥
施肥量 (/)kg ha 产量 (/)t ha 0 15．18 34 21．36 67 25．72 101 32．29 135 34．03 202 39．45 259 43．15 336 43．46 404 40．83 471 30．75 施肥量 (/)kg ha 产量 (/)t ha
0 33．46 24 32．47 49 36．06 73 37．96 98 41．04 147 40．09
196 41．26
245 42．17 294 40．36 342 42．73
施肥量 (/)kg ha 产量
(/)t ha 0 18．98 47 27．35 93 34．86 140 38．52 186 38．44 279 37．73 372 38．43 465 43．87 558 42．77 651
46．22
施肥量 (/)kg ha 产量 (/)t ha 0 6．39 49 9．48 98 12．46 147 14．33 196 17．10 294 21．94 391 22．64 489 21．34 587 22．07 685 24．53 施肥量 (/)kg ha 产量 (/)t ha
0 11．02 28 12．70 56 14．56 84 16．27 112 17．75 168 22．59
224 21．63 280 19．34 336 16．12
392 14．11
施肥量 (/)kg ha 产量 (/)t ha 0 15．75 47 16．76 93 16．89 140 16．24 186 17．56 279 19．20 372 17．97 465 15．84 558 20．11 651
19．40
2模型假设：
1、忽略土壤现有肥力对农作物生长的影响.
2、假设在所有作物的生长环境的阳光，空气、水、温度变化都相同.
3、假设施肥时肥料的质量准确.
3问题分析：
我们研究的是不同肥料的施肥量对农作物产量的影响，就是要求出施肥量与作物产量之间的关系，目前我们仅有单一施肥量与作物产量的数据，我们需要用线性回归的方法拟合出每一种肥料对作物产量影响的方程，然后根据第七个水平的共同施肥量建立多种肥料对一种作物产量影响的方程，从而找到最佳施肥量使得作物的产量最大.
4模型的建立和求解
4.1氮肥施肥量改变时对土豆产量的影响
由现有数据建立氮肥施肥量对土豆产量的影响散点图如下:
图 1 氮肥施肥量与土豆产量关系散点图
由图 1 氮肥施肥量与土豆产量关系散点图我们发现氮肥的施肥量与土豆产量大致成二次关系，故我们建立如下模型：
1112121
2221
2
111p p n n np x x x x
x x X x x x ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，12n y y Y y ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ ，01p b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ . 因
1
11
11
1212
11
2112122211
111
1
121
2
21
1
1
11
11111n
n
i ip i i p n n
n
n p i i i ip T i i i p p
np n n np n
n
n
ip
ip i ip i i i n x x x x x x x x x x x x x
x x X X x x x x x x x
x
x
x ========⎡
⎤⎢⎥⎢
⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑∑∑∑∑
1
111211211
121111n i i n
n i i T i p p np n n ip i
i y y x x x y x y X Y x x x y x y ===⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
∑∑∑ 于是（4.5）式可写成
T T X XB X Y = （4.5）’ 这就是正规方程组的矩阵形式. 在()4.5’式两边左乘T X X 的逆矩阵
()
1
T
X X -（设()1
T
X X - 存在）得到()4.5’ 的解.
011ˆˆˆ()ˆT T p b b B X X X Y b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， 这就是我们需要求的01(,,
)T p b b b 的最大似然估计. 我们取
011
ˆˆˆˆp p
b b x b x y ++= 作为12011(,,,)p p p x x x b b x b x μ=+++的估计. 则可以得到p 元线性回归方程
方程：
011ˆˆˆˆp p
y b b x b x =++
