平面内曲线平移伸缩变换的技巧
江苏省靖江高级中学 蔡正伟
在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。
曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。
一、平移
规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。下面举例说明。
例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。求平移后的函数解析式。
解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成2+x ；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成1-y 。
所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。
例2 求)43sin(21π+=
x y 向右平移3π个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。
解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3π-
x ，y 变成1+y ， 所以平移后的函数解析式是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+4)3(3sin 211ππx y ， 化简后得1)4
33sin(21--=πx y 。 例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是14)3(3sin 211-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+ππx y 。 二、放缩
课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。
具体的规律是：纵坐标不变横坐标变为原来的ω倍就是将原来解析式中的x 变成ωx ；横坐标不变纵坐标变为原来的A 倍就是将原来解析式中的y 变成A
y 。 例 3 （2000年理科全国卷）x y sin =经过怎样的平移和伸缩得到1cos sin 2
3cos 212++=x x y 。 解：4
5)62sin(211cos sin 23cos 212++=++=πx x x x y 。 （变化一）
45)62sin(21)62sin(212sin 21sin 21sin )4()3()2()1(++=−→−+=−→−=−→−=
−→−=ππx y x y x y x y x y （1）y 变成了2y ，故横坐标不变，纵坐标变为原来的
2
1； （2）x 变成了2x ，故纵坐标不变，横坐标变为原来的2
1； （3）x 变成了12x x +，故将图象右移12π个单位，需要将)6
2sin(21π+=x y 写成)12
(2sin 21π+=x y ； （4）y 变成了45-y ，故将图象上移45个单位。 变换一和变换二的差别就先放缩后平移还是平移后放缩，变换一的第（3）步比较容易错，如果理解“都是x 、y 在变，变化规律与习惯相反”的规律后，每一步只需抓住变的实质，就可以轻松处理类似问题。另外，这个结论对于平面内的曲线平移都是适用的。有兴趣的读者不防一试。
