离散系统的时域分析

17
3.3 单位序列响应和阶跃响应
一、单位序列响应
h(k)=T[0, δ(k)]
二、阶跃序列响应
g(k)=T[0, ε(k)]
18
{x( 0 )} = {0}
f (k ) LTI yzs (k)
Relation?
{x( 0 )} = {0}
δ (k ) LTI h (k )
yzs (k ) = f (k ) ? h (k )
n
f (k) = Acos(kω0 )
12
3.2 LTI离散系统的响应
一、线性常系数差分方程
1、差分方程
G[k, y(k), y(k − 1), , y(k − n)] = 0
2、线性常系数差分方程
线性：y(k ) y(k − 1), , y(k − n) 均为一次式 常系数：y(k ) y(k − 1), , y(k − n) 系数均为常数
优点：简单、直观 缺点：画图麻烦，无法得到闭合解
29
3、列表法 ∞ f (k ) = f1(k )∗ f2 (k ) = ∑ f1(i) f2 (k − i) i =−∞
f1(k) = f2 (k) = 0, k < 0
k
∑ f (k) = f1(k) * f2 (k) = f1(i) f2 (k − i)
(1) +
( )−1
f1 2 f2
(00 ) 1
f1(i )
k2
3
i
3
f (3) = f1(0) f2(3)+ f1(1) f2(2)+ f1(2) f2(1)+ f1(3) f2(0) = 6 2
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) f (4) = f1 3
f2 1 + f1
4
f2
0
=
−1
5
f01(i )1
特征方程
λn
+
λ a n−1 n−1
+
+a1λ +a0 = 0
特征根
λi (i = 1, 2,⋅⋅⋅y,(n0)), y (1), , y (n −1)
n
∑ yh (k ) =
C
i
λ
k
i
特解：
i =1
特解的形式由激励的形式决定
n
全解：y(k ) =
yh (k ) +
y p (k ) =
∑C
i
λ
k
i
+
2 k3 3
i
2
1
1
27
10 1 2 3k i
f1(i )
3 2
f (5) = f1(2) f2(3) = 3
1
1
−1
0 f1
(i
1)
2
3
k
i
f (k) = 0 k ≥ 6
3 2
1
1
−1 0 1 2 3
k
i
28
f (k )
66
5
3
3
1 k
−1 0 1 2 3 4 5 6
**一个M点序列与一个N点序列卷积，其卷积的长 度为M+N-1。
列表法优缺点： 优点：计算简单 缺点：无法用于无限长序列，无法得
到闭合解
32
三、卷积和的性质
1 .代数运算性质
(1)交换律
f1(k) ∗ f2 (k) = f2 (k) ∗ f1(k)
33
(2)分配律
f1(k)∗[ f2(k)+ f3(k)] = f1(k)∗ f2(k) + f1(k)∗ f3(k)
(5)若f (k) = f1(k) ∗ f2 (k) 则f1(k − k1 ) ∗ f2 (k − k2 ) = f (k − k1 − k2 )
36
例3.3-3： 如图的复合系统由两个子系统级联
组成，已知子系统的单位序列响应分别为
h1(k) = akε (k)，h2(k) = bkε (k)，(a，b为常数)
?
∑
i=?
23
例3.3-2
如有两序列
f1
(k
)
=
⎧k + ⎨ ⎩0,
1,
k = 0,1,2 其余
f
2
(k
)
=
⎧1, ⎩⎨0,
k = 0,1,2,3 其余
试求二序列的卷积和 f1 (k)
f (k ) = f1(k )∗
f2 (k)
f2 (k )
3
2
1
1
−1 0 1 2 3
i
−1 0 1 2 3
i
24
子系统并联 ∴ h(k ) = h1(k ) + h2(k )
f (k)
h1(k) + yzs (k )
∑
+
h2(k)
h(k)
34
（3）结合律:
[ f1(k) ∗ f2 (k )]∗ f3 (k) = f1 (k ) ∗[ f2 (k ) ∗ f3 (k )]
子系统级联
h1(k)
h2(k)
h(k)
1
2
f2 (0 ) 1 1
2
f2 (1 ) 1 1
2
f2 (2 ) 1 1
2
f2 (3 ) 1
1
2
f2 (4 ) 0 0
0
f1 (2 ) 3 3 3 3 3 0
f1 (3 ) 0 0
0 f1(k)* f2(k)=
0Biblioteka Baidu
0 0
0，k<0 1，k=0 3，k=1 6，k=2 6，k=3 5，k=4 3，k=5 0，k>531
0
δ
(k
−
i)
=
⎧1 ⎨⎩0
(k = i) (k ≠ i)
加权性质0
k
δ (k − i)
i
k
f (k )δ (k − i ) = f (i )δ (k − i )
5
利用单位序列表示任意序列
加权
∞
f (k) = ∑ f (i)δ (k − i) i = −∞
f (t)
∞
∑ δ (k −i)
i=−∞
f (k)
∫ f (t) = +∞ f (τ )δ (t −τ )dτ −∞
6
2、单位阶跃序列
ε(k)
=
⎧1 ⎨⎩0
(k ≥0) (k <0)
ε (k)
1
0 1 2 3 4 .....
k
ε (k − i)
ε(k
−i)
=
⎧1 ⎨⎩0
(k ≥i) (k <i)
1
和
0 ...i...
k
差 关 系
ε (k) = δ (k) + δ (k −1) + δ (k − 2) + δ (k − 3) +
当 k < 0 时， f (k) = 0
f1(i )
3 2
1
1
k −1 0 1 2 3
i
f1(i )
当 k = 0 时，
0
f (0) = ∑ f1(i)f2 (0 − i) = f1(0) f2 (0) = 1 i=0
当 k = 1 时，
f
(1) =
1
∑
f1 (i ) f 2 (1 − i )
i=0
19
3.4 卷积和
一、卷积和定义
T [{0}, δ (k )] = h(k ) → T [{0},δ (k − i)] = h(k − i)
∞ → T [{0}, aδ (k − i)] = ah(k − i)
f (k ) = ∑ f (i )δ (k − i )
( ) i=−∞
=
∞
f
(k ) ∗δ
21
二、卷积和的计算
1、解析法
按公式计算
∞
f (k ) = f1(k )∗ f2 (k ) = ∑ f1(i) f2 (k − i) i =−∞
优点：适用于无限长序列，有闭合解 缺点：解析式复杂时，易出错
22
2、图解法 ∞ f (k ) = f1(k )∗ f2 (k ) = ∑ f1(i) f2 (k − i) i =−∞
1.换元( k → i )，即 f1(k) → f1(i)，f2 (k) → f2 (i)
2.反转( i → −i )，即 f2 (i) → f2 (−i)
3.平移( −i → k − i )，即 f2 (−i) → f2 (k − i)
4.相乘 ，即 f1(i) f2 (k − i)
∞
∑ 5.求和 ，即 f1(i) f2 (k − i) i = −∞
y(k) + an−1 y(k − 1) + + a0 y(k − n)
= bm f (k ) + bm−1 f (k − 1) + + b0 f (k − m)
13
二、差分方程的求解
1、迭代法 2、时域经典法 3、双零法 4、Z变换法 5、状态变量法
1、迭代法
f(k),y(-1) y(0) y(1) y(2) ┈y(k)
N k
−1) ≥ N)
1
012 N k
=ε(k)−ε(k −N)
9
4、斜变序列
R(k) = kε (k)
12 3 45
0
0 1 2 3 4 5 .....k
10
5、指数序列 f (k) = akε (k)
α >1
0< a <1
11
6、正弦序列
f (k) = Asin(kω0 )
012 3 4
N −1
求复合系统的单位序列响应h(k)。
f (k )
xf (k) h1 (k )
h2 (k )
y f (k)
h(k )
37
∑ 解：h(k) = h1(k) * h2(k) =
∞
aiε (i) ⋅ bk−iε (k − i)
i =−∞
∑ ∑ = k ai ⋅ bk−i = bk k ( a )i
当a ≠ b时 =
y p (k )
i=1
16
3、零输入响应和零状态响应
( ) ( ) ( ) y k = yzi k + y yzi (0),zsyzi (k1), , yzi (n −1)
n
∑ ( ) yzi k = Cziiλik i =1 yzs (0) , yzs (1),
, yzs (n −1)
n
∑ yzs (k ) = ( ) Czsiλik + yp k i =1
解：(1)变量代换，并将第二个函数反转、平移，得：
f1(i) f1 (i) 、f2 (k − i)
3
f 2 (i )
2
1
1
−1
0
1
2
i
3 f2(− i)
−1 0 1 2 3
i
f2(k − i)
1 −4 −3−2−1 0 1 i
1
k
0
i
25
(2)讨论k的区间，并求
∞
f (k) = ∑ f1(i) f2(k − i) i = −∞
第三章 离散系统 的时域分析
离散时间系统：
输入、输出都是离散时间 信号的系统
优点：
精度高、抗干扰能力强 、可集成化
1
离散系统与连续系统的区别
连续系统
离散系统
微分方程
差分方程
卷积积分
卷积和
拉氏变换
Z变换
连续傅立叶变换 离散傅立叶变换
2
3.1 离散时间信号
一、定义
仅在不连续的离散时刻有定义的信号
3
二.表示方法 f(k)
1、序列形式
⎧
⎫
f (k) = ⎨ 3.1,3.8, 4.3, 4.5, 4,3.5, 2.5, 0.7 ⎬
⎩
↑
k =0
⎭
2、闭合形式
f(k)
4
f (k) = 2k ε (k)
2
3、图形形式
1
012
4
三.典型离散信号
1、单位序列
δ (k)
δ
(k
)
=
⎧1 ⎨⎩0
(k = 0) (k ≠ 0)
i=0
k
=
i + k-i
30
f1 (k )
f2(k )
f1 (0 ) f1 (1 )
f1 (2 ) f1 (3 )
f2 (0) f1 (0) f2 (0) f1 (1) f2 (0) f1 (2) f2 (0) f1 (3) f2 (0) f2 (1) f1 (0) f2 (1) f1 (1) f2 (1) f1 (2) f2 (1) f1 (3) f2 (1)
∫ ∞
k
= ∑δ (k − i) = ∑ δ ( j)
δ
(k
)
=
iε=0(k
)
−
ε
(k
j = −∞
−1)
t δ (x)dx
δ
−∞
(t) =
dε (t)
dt
7
如：
f
(k)
=
⎧2k ⎨
,
⎩0 ,
k≥2 k<2
f (k ) = 2k ε (k − 2)
8
3、矩形序列
GN
(k)
=
⎧1 ⎨⎩0
(
(0≤k ≤ k <0 or
∴ yzs (k ) = T[{0}, ∑ f (i)δ (k − i)]
k
卷积和
∞
i = −∞
= ∑ f (i)h(k − i) = f (k) ∗ h (k )
i = −∞
20
f1(k ) 和 f2 (k ) 的卷积和
∞
f (k ) = f1(k )∗ f2 (k ) = ∑ f1(i) f2 (k − i) i =−∞
= f1 (0 ) f 2 (1) + f1 (1) f 2 (0 ) = 3
3 2
11
− 1 k0 1 2 3
i
f1(i )
3 2
11
26
1 0 k1 2 3
i
f1(i )
当 k = 2 时，
f
(2)
=
2
∑
f1
(
i
)
f
2
(
2
−
i
)
3 2
11
i=0
= =
f1 (0)
6
f2
(2) +
f1 (1)
f2
f2 (2) f1 (0) f2 (2) f1 (1) f2 (2) f1 (2) f2 (2) f1 (3) f2 (2)
f2 (3) f1 (0) f2 (3) f1 (1) f2 (3) f1 (2) f2 (3) f1 (3) f2 (3)
f1 (k ) f1 (0 ) f1 (1 )
f2 (k )
∴ h(k ) = h1(k )∗ h2 (k )
35
2、与单位序列的卷积
(1) f (k) ∗δ (k) = f (k)
(2) f (k)∗δ(k − k1) = f (k − k1) (3)δ (k − k1)∗δ (k − k2 ) = δ (k − k1 − k2 ) (4) f (k −k1)∗δ(k −k2) = f (k −k1 −k2)
优点： 概念清楚， 比较简便 缺点： 不易得到解析解
14
2、时域经典法
n
m
∑ ai y(k − i) = ∑ bj f (k − j)
i=0
j=0
y(k) = yh (k )+ y p (k )
齐次解 特解
15
齐次解：
y(k) + an−1 y(k − 1) + + a0 y(k − n) = 0