《材料力学》弯曲应力 ppt课件

回顾与比较
内力
应力公式及分布规律
均匀分布 F
A
线形分布 T
IP
M
?
FA
FS
?
y
§7-1 梁弯曲时的正应力 一、纯弯曲
Fs
F
F
M
Fa
Fa
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
二、弯曲时的正应力
纯弯曲的内力 剪力Fs=0
四 横力弯曲正应力
弹性力学精确分析表明：
对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h > > 5的细长梁，
用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，
满足工程中所需要的精度。
误差<<2%
横力弯曲最大正应力
max

Mymax Iz
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力公式 My
IZ
1、纯弯曲或细长梁的横力弯曲;
IZ

bh3 12

0.12 0.183 12
5.832105 m4
q=60KN/m
A
1m C
FAY
3m
6、常见图形的惯性矩及抗弯截面系数：
z hb
d z
D dz
Iz

1 bh3, 12
Wz

1 bh2 6
Iz

d4,
64
Wz


32
d3
Iz

(D4
64

d4)

D4 (1 4 )
64
Wz


32
D3(1 4 )
三、横力弯曲
F
Fs
F
x
M x
FL
横截面上内力
剪力+弯矩
横截面上的应力 既有正应力， 又有切应力
静力学关系 正应力公式
1M
EIZ
My
IZ
E y
5、横截面上最大弯曲正应力
max

Mym a x Iz
M I z / ymax
Wz

Iz ym a x
——截面的抗弯截面系数；。
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
max
M
WZ
适用条件 截面关于中性轴对称。
（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
例1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。
求最大拉应力、最大压应力。
9KN 4KN
A
C
B
1m 1m
1m
Iz 7.64 106 m4
52 zc
88
分析： 非对称截面， 要寻找中性轴位置； 作弯矩图，寻找最大弯矩的截面 计算最大拉应力、最大压应力
9KN 4KN

46.1MPa
9KN
A
CB
4KN C截面应力计算 C截面应力分布
FA 1m 1m
F1B m
2.5KNm
M
应用公式
My
Iz
4KNm
t,max

2.5103 88103 7.64 106

28.8MPa
（3）结论
52 zc
88
c,max 46.1MPa t,max 28.8MPa
1、变形几何关系 2、物理关系

3、静力学关系
横截面上没有切应力 只有正应力。
弯曲正应力的 分布规律和计算公式
变形与应变 观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况
<1>. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的 纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面 的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；
3、静力学关系
dA FN 0
A
E y
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Sz 0 中性轴过截面形心
M y z dA 0
A
M z y dA M
A 1M
EIZ
坐标轴是主轴
中性层的曲率计算公式 EIz 抗弯刚度
4、弯曲正应力计算公式
变形几何关系 y
物理关系 E
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。 从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时
虎克定律
弯曲正应力的分布规律
E E y
a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度 线性分布；
y
z
b、沿截面宽度 均匀分布；
c、正弯矩作用下， 上压下拉；
d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
2、横截面惯性积 IYZ=0;
3、弹性变形阶段;
推导弯曲正应力计算公式的方法总结
（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数） 横力弯曲
（2）“实验—观察—假设” ：梁弯曲假设
（3）外力
内力
应力法
（4）三关系法
变形几何关系 物理关系 静力学关系
（5）数学方法
积分
应力合成内力
注意
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；
（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；
（4）中性轴上正应力为零， 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来 确定。
此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。
横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧 的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一 层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与 横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━ 中 性轴 (neutral axis)。
（f)
1、变形几何关系
A
CB
FA
1m 1m
1m
2.5KNm FB
M
（1）求支反力，作弯矩图 FA=2.5KN （2）计算应力： B截面应力分布
4KNm 52 zc
88
应用公式 My
Iz
t,max

4103 52103 7.64 106

27.2MPa
c,max

4103 88103 7.64 106
例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示
q=60KN/m
120
A
B
1m C
3m
180
30 K
z
1、C 截面上K点正应力
y
2、C 截面上最大正应力
3、全梁上最大正应力
4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
180
1、截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置