参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()
()
x f t y g t =??
=?①,并且对于
t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系
变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()
()
x f t y g t =??=?就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一
致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 例5：将下列数方程化成普通方程．
①22()2x t t y t ?=?
=?为参数， ②22
21()21x t t t y t ?=??+??=?+?为参数，③22211()21t x t t t y t ?-=??+??=?+?
为参数， ④1()()1()
x a t t
t y b t t ?
=+????=-??
为参数，⑤???+=+-=11mx y my x ， ⑥)0,(.sin ,cos >>???==b a b y a x 为参数ααα ， ⑦
?
?
?==θθsin cos 2y x ()θ为参数， ⑧)(.cos21y ,
cos x 为参数θθθ???+== 3．圆的参数
设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则
cos ()sin x r y r θ
θθ=??
=?
为参数。 这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。 圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是2
2
2
()()x a y b r -+-=，
它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ
=+??
=+?为参数。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>其参数方程为
cos ()sin x a y b ???=??
=?
为参数，其中参数?称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22
221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ?
??
=??
=?为参数其中参数?仍为离心角，通常规定参数?的范围为?∈[0，2π）
。 注：椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02
π
α≤≤
时，相应地也有02
π
?≤≤
，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22
221(0,0),x y a b a b
-=>>其参数方程为
sec ()tan x a y b ???
=??
=?为参数，其中3[0,2),.22ππ
?π??∈≠≠且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22
2
21(0,0),y x a b a b
-=>>其参数方程为cot ((0,2).csc x b e y a ?
??π?π?=?∈≠?
=?
为参数，其中且 以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。 6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2
2(0)y px p =>的参数方程为2
2().2x pt t y pt ?=?=?
为参数
7．直线的参数方程
经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2
π
αα≠
的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾
斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α=+??
=+?
()t 为参数。 注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为
00cos sin x x t y y t α
α
=+??
=+?()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M 的数量，
当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。
我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
①设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为A B t t 、，则AB ＝A B t t -
②线段AB 的中点所对应的参数值等于
2
B
A t t +． ②椭圆)(.3sin y ,
5cos x 为参数θθθ?
?
?==的焦点坐标是_________________________.
③双曲线)t (.
t 1t y ,t 1t x 为参数???
????-=+=的离心率是_________________________.
15.曲线)(.
sin y ,
cos 1x 为参数θθθ??
?=+=上的点与定点A （-1，-1）距离的最小值是_____________.
16. 已知369y 4x 2
2=+，则y 32x -的最小值是_________________.
17．点M （x,y ）在椭圆14
y 12x 2
2=+上，则点M 到直线04y x =-+的最大距离为________, 此时，点M 的坐标是_____________.
例1.讨论下列问题：
1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ，以分点M （x ，y ）分21M M 所成的比λ为参数，写出参数方程。
2、直线???
???
?+=-=t y t x 211233(t 为参数)的倾斜角是
3、方程?
??+=+-=αsin 3cos 1t y t x （t 为非零常数，α为参数）表示的曲线是
( )
4、已知椭圆的参数方程是???=θ
sin 4y （θ为参数），则椭圆上一点 P (25
，32-)的离心角可以是
A ．
3
π
B ．32π
C ．34π
D ．35π
例2 把弹道曲线的参数方程
??
?
??-?=?=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程． 例4. 直线3x －2y ＋6=0，令y = tx ＋6（t 为参数）．求直线的参数方程． 例5.已知圆锥曲线方程是?
?
?-+-=++=5sin 461
cos 532
??t y t x （1） 若t 为参数，?为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离； （2） 若?为参数，t 为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。 例6. 在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大．
例7. 在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ，使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短（或最长）． 例8.已知直线；l ：??
?+=--=t
y t x 4231与双曲线（y-2）2-x 2=1相交于A 、B 两点，P 点坐标P(-1，2)。求：
（1）|PA|.|PB|的值； （2）弦长|AB|; 弦AB 中点M 与点P 的距离。
例9.已知A （2,0）,点B,C 在圆x 2+y 2=4上移动，且有π3
2
=∠BAC 求ABC ?重心G 的轨迹方程。
例10.已知椭圆18
322
2=+y x 和圆x 2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P 1,在圆上求一点 P 2,使|P 1P 2|达到最大值，并求出此最大值。
例11.已知直线l 过定点P(-2,0),与抛物线C: x 2+ y-8=0相交于A 、B 两点。（1）若P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（2）若l 绕P 点转动，求AB 的中点M 的方程.
例12.椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上是否存在点P ，使得由P 点向圆x 2+y 2=b 2所引的两条切线互相垂直？若存在，
求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
四、全国历届高考试题选编：
1．设b a b a b a +=+∈则,62,,2
2
R 的最小值是
（ ）
A ．22-
B ．335-
C ．－3
D ．2
7
- 2.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ ）
A.ρθ=22cos
B.ρθ=-22c o s
C.ρθ=22sin
D.ρθ=-
22s i n 3.极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝ 1
2
的图形是( )
A.
B.
C.
D.
4.极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是（ ）
A ．两条相交直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
5．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，π/6)到直线l 的距离为 ．
6．点)0,1(P 到曲线???==t
y t x 22
（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2
12
x
12
x
0 12 0 12
7.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33
R t t y t x ∈?
?
?-=+=参数，圆C 的参数方程为
[])20(2
sin 2cos 2πθθθ
，参数∈??
?+==y x ，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 . 8． ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．
(Ⅰ)把⊙O 1和⊙O 2化为直角坐标方程；(Ⅱ)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程． 五、模拟试题选编：
1．在极坐标系中，已知点A （1，43π）和B )4
,2(π
,则A 、B 两点间的距离是 ． 2． 将极坐标方程cos(
)4
π
ρθ=-化为直角坐标方程是_____________.
3.在极坐标系中，过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．
4.在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()
6sin 3cos =+θθρ 的
距离的最小值是 _____ ．
5．在极坐标系中，圆ρ=cos θ与直线ρcos θ=1的位置关系是 ．
6．椭圆??
?==θ
θ
sin 4cos 3y x 的离心率是_______．
14．在极坐标系中，曲线sin a ρθ=与θρcos a =（a>0，0,0ρθπ>≤<）的交点的极坐标为
14．在极坐标系中，过点4π??
??
?
作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ． 14.极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t
y t
=--??
=+?（t 为参数）所表示的图形分别是下列图形中的（依次．．
填写序号） ** ．①直线；②圆；③抛物线；④椭圆；⑤双曲线. 【答案】②;①.
1．若直线l 的参数方程为???
x ＝1＋3t ，
y ＝2－4t.
(t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为(B)
A ．－45
B ．－35
C ．35
D ．45
2．已知动圆方程x 2＋y 2－xsin2θ＋22·ysin(θ＋π
4
)＝0 (θ为参数)，那么圆心的轨迹是(D)
A ．椭圆
B ．椭圆的一部分
C ．抛物线
D ．抛物线的一部分 3．在极坐标系中，点(2，π
3
)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( D)
A ．2 B.
4＋π2
9
C.
1＋π2
9
D.3
4．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，π
6
)作曲线C 的切线，则切线长为( C )
A ．4 B.7 C ．2 2 D ．23
精品
5．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：?
??
x ＝2＋cosθ
y ＝sinθ(θ为参数)有唯一的公共点，则实数k ＝( C )
A ．33
B ．－33
C ．±3
3
D ．3
6．如果曲线C ：?
??
x ＝a ＋2cosθ
y ＝a ＋2sinθ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是( C )
A ．(－22，0)
B ．(0,22)
C ．(－22，0)∪(0,22)
D ．(1,22)
7．在极坐标系中，直线l 1的极坐标方程为ρ(2cosθ＋sinθ)＝2，直线l 2的参数方程为?
??
x ＝1－2t
y ＝2＋kt (t 为参数)，若直线
l 1与直线l 2垂直，则k ＝________.－1
8．已知定点A(1,0)，F 是曲线???
x ＝2cosθ
y ＝1＋cos2θ
(θ∈R)的焦点，则|AF|＝________.52
9．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π
3
)＝1，M 、N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为 10．(10分)已知曲线C ：?
??
x ＝3cosθ
y ＝2sinθ，直线l ：ρ(cosθ－2sinθ)＝12.
(1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点P 在曲线C 上，求点P 到直线l 的距离的最小值． 11．(15分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?
??
??
x ＝3－2
2t
y ＝5＋2
2t
(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系
xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sinθ.
(1)求圆C 的直角坐标方程；x 2＋(y －5)2＝5.
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B.若点P 的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|. 3 2.
12．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为?
??
x ＝3cosα
y ＝sinα(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P
精品
的极坐标为(4，π
2
)，判断点P 与直线l 的位置关系；P 在直线l
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．2
13.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 0,,sin 22x t t y t αππαπα=-+???
????∈?
? ? ??= ???????
为参数,，以原点为极点，以x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ?
?=+ ??
?.
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 和直线l 交于,A B 两点，且AB =tan α的值.
14.已知曲线C 的极坐标方程为： 2
2cos 4sin 10ρρθρθ-++=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 经过点P （-1，1）且倾斜角为 2
3
π (I)写出直线 l 的参数方程和曲线C 的普通方程；
(Ⅱ)设直线 l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求 PA PB ?的值
15.
C 的参数方程1cos ()sin x y ?
??=+??=?
为参数，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求圆C 的极坐标方程，（2）射线:4
OM π
θ=与圆C 的交点为,O P 两点，求点P 的极坐标。
六、13 14 高考题
13．[2014·天津卷] 在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．3
4．[2014·安徽卷] 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同
的长度单位．已知直线l 的参数方程是???x ＝t ＋1，
y ＝t －3
(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C
截得的弦长为( D )
A.14 B ．214 C. 2 D ．22
3．[2014·北京卷] 曲线?
??x ＝－1＋cos θ，
y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( B )
A ．在直线y ＝2x 上
B ．在直线y ＝－2x 上
C ．在直线y ＝x －1上
D ．在直线y ＝x ＋1上
21． [2014·福建卷] 已知直线l 的参数方程为???x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为???x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ
(θ为参数)．
(1)求直线l 和圆C 的普通方程；2x －y －2a ＝0， x 2＋y 2＝16. (2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．－25≤a ≤2 5.
14．[2014·广东卷]在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为______． (1，1)
16．[2014·湖北卷] 已知曲线C 1
的参数方程是??
?x ＝
t ，
y ＝
3t 3
(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．
(
)
3，1
11．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：???x ＝2＋cos α，
y ＝1＋sin α
(α为参数)交于A ，B 两
点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________． ρ
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴
y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为
参数方程单元测试题 一、选择题 1．将参数方程? ? ?α α cos ＝－1 － cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋2y ＋1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1) D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1) 2．双曲线xy ＝1的参数方程是( )． A ． ?? ?????21 －21＝＝t y t x B ． ?? ???t y t x sin 1＝ sin ＝ C ． ?? ???t y t x tan 1＝ tan ＝ D ． ??? ??? ?t t t t y x －－e ＋e 2＝ 2 ＋e ＝e 3．对于参数方程和? ?? 30sin ＋2 ＝ 30 cos －1 ＝ t y t x ????? 30sin 2＝ 30 cos ＋ 1 ＝ t －y t x 的曲线，正确的结论是( )． A ．是倾斜角为30o的平行线 B ．是倾斜角为30o的同一直线 C ．是倾斜角为150o的同一直线 D ．是过点(1，2)的相交直线 4．参数方程??? ??? ?)(θθθ sin ＋121＝2 sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)的曲线( )． A ．抛物线的一部分，且过点(－1，21) B ．抛物线的一部分，且过点(1，21 ) C ．双曲线的一支，且过点(－1，21) D ．双曲线的一支，且过点(1，2 1 ) 5．直线? ??t y t x ＋ 3＝－－ 2＝(t 为参数)上与点A (2，－3)的距离等于1的点的坐标是( )． A ．(1，－2)或(3，－4) B ．(2－2，－3＋2)或(2＋2，－3－2) C ．(2－ 22，－3＋22)或(2＋22，－3－2 2) D ．(0，－1)或(4，－5) 6．直线x cos α＋y sin α＝2与圆? ??θθ ＝ ＝2sin 2cos y x (θ 为参数)的位置关系是( )． A ．相交不过圆心 B ．相交且过圆心 C ．相切 D ．相离 7．若点P (4，a )在曲线??? ??t y t x 2＝2＝(t 为参数)上，点F (2，0)，则|PF |等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8． 已知点(m ，n )在曲线???? ?α αsin 6＝ cos 6 ＝ y x (α为参数)上，点(x ，y )在曲线???ββsin 24＝ cos 24＝y x (β为参数)上，则mx ＋ny 的最大值为( )． Ａ．12 B ．15 C ．24 D ．30 9．直线y ＝kx ＋2与曲线?? ? ??αα sin 3＝ 2cos y x ＝至多一个交点的充要条件是( )．
常微分方程及空间解析几何单元测试题 （考试时间：150分钟） 一、填空题：（每小题3分，合计15分） 1．设有一个一阶微分方程的通解为22222()()x y C x y +=-，则该方程为 ． 2．方程(4)20y y y '''''-+=的通解为 ． 3．设2()(sin 2,,cos2)r t t t t = ，则(0)r ''= ． 4．如果直线λ12111: 1-=+=-z y x L 与直线1 1111:2z y x L =-=+相交，那么常数λ的值为 ． 5．已知三向量,,a b c 两两互相垂直，且1,,1 ==a b c ，则向量=+-s a b c 的模等于 ． 二、选择题：（每小题3分，合计15分） １．方程22x y y xe '''-=的一个特解具有形式（ ）． （A ）2()x x Ax B e + （B ）2x Axe （C ）22x Ax e （D ）2()x Ax B e + 2．已知123,,y y y 为方程12()()()y a x y a x y f x '''++=的三个线性无关的特解，123,,C C C 均为任意常数，则该方程的通解为（ ）． （A ）1122C y C y + （B ）112233C y C y C y ++ （C ）11223C y C y y ++ （D ）1122132()()C y y C y y y -+-+ 3．已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2 1y x y x α??= ++，且当0x ?→时，α是x ?的高阶无穷小，(0)y π=，则(1)y 等于（ ）． （A ）2π （B ）4 e π （C ）4e π π （D ）π 4．设有直线?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ ） （A ）平行于π， （B ）在π上， （C ）垂直于π， （D ）与π斜交． 5．方程122222=-+c z b y a x 代表的曲面是（ ）． (A)单叶双曲面 (B)椭圆抛物面 (C)双叶双曲面 (D)椭圆柱面
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
坐标系与参数方程 31793
暑假作业---坐标系与参数方程试题 一、选择题 1．若直线的参数方程为?Skip Record If...?，则直线的斜率为（）A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...? D．?Skip Record If...? 2．下列在曲线?Skip Record If...?上的点是（） A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...? 3．将参数方程?Skip Record If...?化为普通方程为（） A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...? 4．化极坐标方程?Skip Record If...?为直角坐标方程为（） A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...? 5．点?Skip Record If...?的直角坐标是?Skip Record If...?，则点?Skip Record If...?的极坐标为（） A．?Skip Record If...? B．?Skip Record If...? C．?Skip Record If...?D．?Skip Record If...? 6．极坐标方程?Skip Record If...?表示的曲线为（） A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆7．参数方程为?Skip Record If...?表示的曲线是（）
参数方程单元测试题 一、选择题 1．将参数方程? ? ?αα cos ＝－1 － cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋2y ＋1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1) D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1) 2．双曲线xy ＝1的参数方程是( )． A ．?? ?????21－21＝＝t y t x B ．?? ???t y t x sin 1＝ sin ＝ C ．?? ???t y t x tan 1＝ tan ＝ D ．??? ????t t t t y x －－e ＋e 2＝ 2＋e ＝e 3．对于参数方程和???οο 30 sin ＋2 ＝ 30 cos －1 ＝ t y t x ????? ο ο 30sin 2＝ 30 cos ＋ 1 ＝ t －y t x 的曲线，正确的结论是( )． A ．是倾斜角为30o的平行线 B ．是倾斜角为30o的同一直线 C ．是倾斜角为150o的同一直线 D ．是过点(1，2)的相交直线 4．参数方程??? ??? ?)(θθθ sin ＋121＝2 sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)的曲线( )． A ．抛物线的一部分，且过点(－1，21) B ．抛物线的一部分，且过点(1，21 ) C ．双曲线的一支，且过点(－1，21) D ．双曲线的一支，且过点(1，2 1 ) 5．直线? ??t y t x ＋ 3＝－－ 2＝(t 为参数)上与点A (2，－3)的距离等于1的点的坐标是( )． A ．(1，－2)或(3，－4) B ．(2－2，－3＋2)或(2＋2，－3－2) C ．(2－ 22，－3＋22)或(2＋22，－3－2 2) D ．(0，－1)或(4，－5) 6．直线x cos α＋y sin α＝2与圆? ??θθ ＝ ＝2sin 2cos y x (θ 为参数)的位置关系是( )． A ．相交不过圆心 B ．相交且过圆心 C ．相切 D ．相离 7．若点P (4，a )在曲线???? ?t y t x 2＝2＝(t 为参数)上，点F (2，0)，则|PF |等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8． 已知点(m ，n )在曲线???? ?α αsin 6＝ cos 6 ＝ y x (α为参数)上，点(x ，y )在曲线???ββsin 24＝ cos 24＝y x (β为参数)上，则mx ＋ny 的最大值为( )． Ａ．12 B ．15 C ．24 D ．30 9．直线y ＝kx ＋2与曲线?? ? ??αα sin 3＝ 2cos y x ＝至多一个交点的充要条件是( )． A ．k ∈[－21，21] B ．k ∈(－∞，－21]∪［2 1 ，＋∞)
三直线的参数方程 （课前部分） 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？ 2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？ 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？ 【自主学习】 大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？ 已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？ 设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0（x0,y0）、M （x,y） 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？ 通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？ 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？ 通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点，做好标注！ 有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手 画出图形，写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力，时间自会主持公道1
极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参 数方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立? ??? ?3x －y ＝0，y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.
2017届数学高考第一轮复习单元素质测试题——坐标系与参数方程（理科） （考试时间120分钟，满分150分）姓名_______评价_______ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1．（10湖南理3）极坐标方程cos ρθ=和参数方程1, 23x t y t =--??=+?（t 为参数）所表示的图形分别是（ ） A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．直线、直线 2．（11北京理3）在极坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标系是（ ） A ．(1, )2 π B ．(1,)2 π - C ． (1，0) D ．(1，π) 3．（14北京理3）曲线1cos 2sin x y θ θ =-+?? =+?（θ为参数）的对称中心（ ） A ．在直线2y x =上 B ．在直线2y x =-上 C ．在直线1y x =-上 D ．在直线1y x =+上 4．（14安徽理4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是???-=+=3 , 1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=, 则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A ．14 B ．214 C ．2 D ．22 5．（08重庆理4）已知函数13x x -+M ，最小值为m ，则 m M 的值为（ ） A ． 1 4 B ． 12 C 2 D 3 6．（11安徽理5）在极坐标系中，点)3 , 2(π 到圆θρcos 2=的圆心的距离为（ ） A ．2 B ．942 π + C ．9 12 π + D ．3 7．（10上海16）直线l 的参数方程是)(221R t t y t x ∈?????-=+=，则l 的方向向量可以是（ ） A ．(1，2) B ．(2，1) C ．(2-，1) D ．(1，2-) 8．（10安徽理7）设曲线C 的参数方程为?? ?+-=+=θ θ sin 31cos 32y x （θ为参数），直线l 的方程为023=+-y x ， 则曲线C 到直线l 的距离为 10 10 7的点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．（13安徽理7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．)(0R ∈=ρθ和2cos =θρ B ．)(2 R ∈=ρπ θ和2cos =θρ C ．)(2 R ∈= ρπ θ和1cos =θρ D ．)(0R ∈=ρθ和1cos =θρ 10．（10重庆文8）若直线y x b =-与曲线2cos , sin x y θθ =+??=?（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则实 数b 的取值范围为（ ） A ．(22,1)- B ．[22,22]+ C ．(,22)(22,)-∞++∞ D ．(22,22)+ 11．（10重庆理8）直线233+= x y 与圆心为D 的圆))2,0[(, sin 31, cos 33πθθθ∈?????+=+=y x 交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ） A ．π6 7 B ． π4 5 C ．π3 4 D ．π3 5 12．（14江西理11）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 ()101y x x =-≤≤的极坐标方程为（ ） A ．1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B ．1,0cos sin 4 π ρθθθ=≤≤+ C ．cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D ．cos sin ,04 π ρθθθ=+≤≤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上） 13．（14广东理14）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2 sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直 角坐标为 ． 14．（12天津理12）己知抛物线的参数方程为2=2, =2,x pt y pt ??? （t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，
1（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+??=+? （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=??=?（θ为参数）。 （1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π =，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线 332,:2x t C y t =+??=-+? （t 为参数）距离的最小值。 2（2009宁夏海南卷文）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+??=+? （t 为参数）， C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=??=?（θ为参数）。 （1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2t π =，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线 332,:2x t C y t =+??=-+? （t 为参数）距离的最小值。 3．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为3,2x y ?=-????=??（t 为参数）。在极坐标系（与 直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=。 （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，
求|PA|+|PB|。 4．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分） 在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。 5. (2010年全国高考宁夏卷23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+??=?（t 为参数），C 2x cos sin y θθ=??=? （θ为参数）， （Ⅰ）当α=3 π时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 6．（2010年高考辽宁卷理科23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 （θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 已知P 为半圆C ： O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3 π。 （I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。 7．（2011·福建高考理科·Ｔ21）（2）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲 线C 的参数方程为x 3cos y sin ?=??=??ααα ，（为参数）. （I ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴
坐标系与参数方程知识点 1、平面直角坐标系中的伸缩变换：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>?? 2、 ρ、θ为点M 的极径、极角，有序数对(,)ρθ就叫做M 的极坐标。 [注] ：①一般地0ρ≥，当极角θ的取值范围是[0,2)π时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(,) ρθ建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应。极点的极坐标是(0,)θ，其中极角θ是任意角，②负极径的规定：在极坐标系中，（ρ-， θ）与（ρ，θ）关于原点对称。 4、极坐标与直角坐标互化公式：（看课本） 5、球坐标系：空间点P 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 的变换关系：2222 sin cos sin sin cos x y z r x r y r z r θ? θ?θ ?++=? =??=??=?； 6、柱坐标系：空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ的变换关系为：cos sin x y z z ρθ ρθ=?? =??=? ； 7、参数方程化为普通方程，常见方法有三种：（1）代入法（2）三角消元（注：范围易错） 8、常见曲线的参数方程： （1）圆2 2 2 00()()x x y y r -+-=的参数方程为? ??+=+=θθ sin cos 00r y y r x x （θ为参数）； （2）椭圆122 22=+b y a x 的参数方程为???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）； （3）双曲线122 22=-b y a x 的参数方程 ? ? ?==θθ tan sec b y a x （θ为参数）； （4）抛物线2 2y px =参数方程2 22x pt y pt ?=?=? (t 为参数）； （6）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数）；
高中数学选修 4-4 单元测试题 -- 极坐标与参数方程 班级 : 姓名 : 座号 : 评分 : 一 . 选择题 :( 每小题 5 分，共 40 分 ) 1. 已知点 M 的极坐标为 (5, ) ，下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标是 ( ) 3 4 2 5 A. (5, 3 ) B. (5, ) C. (5, ) D. (5, ) 3 3 3 2. 直线： 3x-4y-9=0 与圆： x 2 cos ，( θ 为参数 ) 的位置关系是 ( ) y 2 sin A. 相切 B. 相离 C. 直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心 3. 在极坐标系中，点 P( , ) 关于极轴对称的点的一个坐标是 ( ) A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , ) 4. 极坐标方程 4 sin 2 5 表示的曲线是 ( ) 2 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支圆 D. 抛物线 5. 实数 x 、y 满足 3x 2＋2y 2=6x ，则 x 2＋ y 2 的最大值为 ( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 6. 直线 x 3 t sin 200 (t 为参数 ) 的倾斜角是 ( ) y 1 t cos200 A.20 0 B.70 C.110 D.160 7. 曲线 x 5 cos ( 为参数 ) 的焦距是 ( ) y 4 sin A.3 B.6 C.10 D.8 x 8t 8. 当 t R 时，参数方程 t 2 （ t 为参数），表示的图形是 ( ) 4 4 t 2 y t 2 4
极坐标与参数方程测试 一、选择题（每小题4分） 1．点M 的极坐标)3 2,5(π化为直角坐标为（ C ） A ．)235,25(-- B ．)235,25(- C ．)235,25(- D ．)2 35,25( 2．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ B ） A ．)65,2(π B ．)67,2(π C ．)611,2(π D ．)6 ,2(π 3．已知曲线C 的参数方程为)(1232为参数t t y t x ?? ?+==则点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置关系是（ A ） A ．1M 在曲线C 上，但2M 不在。 B ．1M 不在曲线C 上，但2M 在。 C ．1M ，2M 都在曲线C 上。 D ．1M ，2M 都不在曲线C 上。 4．曲线5=ρ表示什么曲线（B ） A ．直线 B ．圆 C ．射线 D ．线段 5．参数方程)(211为参数t t y t x ???-=+=表示什么曲线（ C ） A ．一条直线 B ．一个半圆 C ．一条射线 D ．一个圆 6．椭圆 )(sin 51cos 3为参数θθθ ???+-=+=y x 的两个焦点坐标是(B ) A ．(-3，5)，(-3，-3) B ．(3，3)，(3，-5) C ．(1，1)，(-7，1) D ．(7，-1)，(-1，-1) 7．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( A) A ．x 2+(y+2)2=4 B ．x 2+(y-2)2=4 C ．(x-2)2+y 2=4 D ．(x+2)2+y 2=4 8．极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是 ( D) A ．两条射线 B ．抛物线 C ．圆 D ．两条相交直线 9．直线：3x-4y-9=0与圆：???==θ θsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( D ) A ．相切 B ．相离
第2讲 参数方程 【考情分析】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数??? x ＝f (t )，y ＝f (t )， 并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为??? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参 数)． 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程??? x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． 双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)． 抛物线y 2＝2px 的参数方程为??? x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 双基自测 1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程??? x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别 是( )．
A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线 解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆． 又∵??? x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线． 答案 D 2．若直线??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析 参数方程??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线 4x ＋ky ＝1垂直可得－32×? ???? －4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案 －6 3．二次曲线??? x ＝5cos θ， y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________． 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2 9＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极 坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________． 解析 将直线l 的参数方程：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22 sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为 2－1 1＋4 ，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交
贵州师范大学2014级应用心理学专业本科生（第一、二章）单元测试 （总分100分，占一学期总成绩的20%） 学号： 姓名： 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 1. 函数() 1 ln 2y x =-的定义域为 【 】 （A ）[3,2)- （B ） [)()3,11,2- （C ）()()3,11,2- （D ） ()(]3,11,2- 2.函数 ()cos 21y x =-是 【 】 （A ）单调函数 （B ）奇函数 （C ）有界函数 （D ）周期为2π的函数 3.下列 )(x f 和)(x ?表示同一个函数的是 【 】 (A) 2 22)1()(,1)(x x x x f -=-=? (B) 2 (),()x f x x x x ?-== (C) )sin(arcsin )(,)(x x x x f ==? (D) 22()1,()sin cos f x x x x ?==+ 4.函数()2tan 31y x =+的复合过程是 【 】 （A ） 2tan y u = 13+=x u (B)2u y = ()tan 31u x =+ （C ）tan y u = 2v u = 13+=x v (D)2u y = tan u v = 13+=x v ５.434231 lim 5n n n n n n →∞-+=++ 【 】 （A ）0 （B ）3 5 (C) 1 (D) ∞ 6.当0→x 时，x 2sin 与ax 是等价无穷小，则=a 【 】 （A ）2 （B ）1 (C) 12 (D)12 - 7. 设函数 ()1,0()13,0 x a x x f x x x +则()f x 在),(b a 【】 （A ）单调递增，曲线是凹的； （B ）单调递增，曲线是凸的； （C ）单调递减，曲线是凹的； （D ）单调递减，曲线是凸的. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2 分，共16 分） 9.设 2(1)1f x x +=-，则()f x = . 10.2123 lim 1 x x x x →+-=- . 11.0 1 lim sin _____________x x x →=.
第二讲 参数方程 一、选择题 1．将参数方程? ??αα cos ＝－1 － cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )． A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋2y ＋1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1) D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1) 2．双曲线xy ＝1的参数方程是( )． A ．?? ? ???? 21－21＝＝t y t x B ．?????t y t x sin 1＝ sin ＝ C ．?? ???t y t x tan 1＝ tan ＝ D ．??? ????t t t t y x －－e ＋e 2＝ 2＋e ＝e 3．对于参数方程和??? 30 sin ＋2 ＝ 30 cos －1 ＝ t y t x ????? 30sin 2＝ 30 cos ＋ 1 ＝ t －y t x 的曲线，正确的结论是( )． A ．是倾斜角为30o的平行线 B ．是倾斜角为30o的同一直线 C ．是倾斜角为150o的同一直线 D ．是过点(1，2)的相交直线 4．参数方程??? ????)(θθ θ sin ＋121＝2 sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)的曲线( )． A ．抛物线的一部分，且过点(－1，21) B ．抛物线的一部分，且过点(1，2 1 ) C ．双曲线的一支，且过点(－1， 21) D ．双曲线的一支，且过点(1，2 1) 5．直线? ??t y t x ＋ 3＝－－ 2＝(t 为参数)上与点A (2，－3)的距离等于1的点的坐标是( )． A ．(1，－2)或(3，－4) B ．(2－2，－3＋2)或(2＋2，－3－2) C ．(2－ 22，－3＋22)或(2＋22，－3－2 2) D ．(0，－1)或(4，－5)
极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、极坐标：直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? 极坐标?直角坐标 222 tan(0) x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ? ? 二、直线的参数方程：过定点（x0，y0）倾角为α的直线： α α sin cos t y y t x x + = + = （t为参 数）直线上 12 ,P P对应的参数是 12 ,t t。|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2. 直线的一般参数方程：0 x x at y y bt =+ =+ （t为参数）若221 a b +=，则上面几何意义成立，否则，不成立。此时，需要换参，令) ( 2 2 2 2 2 2 为参数 t b a t b y y b a t a x x b a t t' ? ? ? ? ? ? ? + ' + = + ' + = ? + ' = 三、圆、椭圆的参数方程 圆心在（x0，y0），半径等于r的圆： α α sin cos r y y r x x + = + = （α为参数） 椭圆 22 22 1 x y a b +=（或 22 22 1 y x a b +=）： α α sin cos b y a x = = （α为参数）（或 α α sin cos a y b x = = ） 补充知识：伸缩变换：点) ,(y x P是平面直角坐标系中的任意一点，在变换? ? ? > ? =' > ? =' ). (,y y 0), ( x, x : μ μ λ λ ?的作用下，点) , (y x P对应到点) , (y x P' ' '，称伸缩变换抛物线22 y px =： pt y pt x 2 22 = = （t为参数，p＞0） 题型归类：方程的互化：1、代公式；2、消参
高二圆锥曲线单元测试 姓名： 得分： 一、选择题： 1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 2．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 3、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形， 则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1- 4．过点(2,-1)引直线与抛物线2 x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2 C. 3 D.4 5．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =?满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 6．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 7、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对 8．方程02 =+ny mx 与)02+mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ） C
二、填空题： 9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19 72 2=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 ； 10．若直线01)1(=+++y x a 与圆022 2 =-+x y x 相切，则a 的值为 ； 11、抛物线2 x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 ； 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 ； 13、椭圆13 122 2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上， 那么|PF 1|是|PF 2|的 ； 14．若曲线 15 42 2=++-a y a x 的焦点为定点，则焦点坐标是 。 三、解答题： 15．已知双曲线与椭圆 125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为5 14，求双曲线方程.（12分） 16．P 为椭圆 19 252 2=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若?=∠6021PF F （1）求△21PF F 的面积； （2）求P 点的坐标．（14分） 17、求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为 3 3 8的双曲线方程.（14分） 18、知抛物线x y 42 =，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分） 19、某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？ 20、点A 、B 分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值。