近年中考数学压轴题大集合(一)

[解]
B A E F O1
Q
(1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，
O O2 y x
2 1 3 4 N M
P C ∴△AOC≌△COB. ∴OC2＝OA·OB. ∵OA∶OB＝3∶1,C(0,), ∴ ∴OB＝1.∴OA＝3. ∴A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 则解之，得 ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为 (2)EF与⊙O1、⊙O2都相切. 证明：连结O1E、OE、OF. ∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°, ∴四边形EOFC为矩形. ∴QE＝QO. ∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF与⊙O1相切. 同理：EF理⊙O2相切. (3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.
y x
[解]（1）设，(其中)，
由，得
∴··(····)，， 又，∴，即， 由可得，代入可得 ①
y x
∴，， ∴，即． 又方程①的判别式， ∴所求的函数关系式为． （2）假设存在,，使得以为直径的圆经过点． 则，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． ∵与都与互余，∴ ． ∴Rt∽Rt，∴． ∴，∴， ∴， 即② 由（1）知，，代入②得， ∴或，又，∴或， ∴存在,，使得以为直径的圆经过点，且或． .已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，且AB=6. （1）求抛物线和直线BC的解析式. （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若过A、B、C三点，求的半径. （4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积 比为的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理 由. [解]（1）由题意得： x y O
A A
B (－2,0)C C(2,0) l O P E P′
x y （2,0） P C l O y x C F F F P P
7.如图，直线与函数的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D 两点． （1）若的面积是的面积的倍，求与之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在和，使得以为直径的圆经过点．若 存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．
近年中考数学压轴题大集合（一）
一、函数与几何综合的压轴题
1.如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别 为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E点在y轴上； (2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD 与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式. 图② C（1+k，-3） A （2，-6） B D O x E′ y C（1，-3） A （2，-6） B D O x E y
图①
[解]
（1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC ∴ 又∵DO′+BO′=DB ∴ ∵AB=6，DC=3，∴EO′=2 又∵，∴ ∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上 方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2① 再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ② 联立①②得 ∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上 （2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3） E（0，-2）三点，得方程组 解得a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程y=-x2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足 为F。 同（1）可得： 得：E′F=2 方法一：又∵E′F∥AB，∴ S△AE′C= S△ADC- S△E′DC= ==DB=3+k S=3+k为所求函数解析式 方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA ∴S△AE′C= S△BDE′ ∴S=3+k为所求函数解析式. 证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2 同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4 ∴ ∴S=3+k为所求函数解析式.
X O P D C A B Y
(本题图形仅供分析参考用) [解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=x+1. 将点E的坐标E(，)代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=， ∵左边=右边，∴点E在直线y=x+1上，即点A、C、E在一条直线上. （2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的 来自百度文库坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高 点，抛物线的开口向下 解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内
∴x=0或x==6+. 当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个 不同的交点，则有：0＜6+≤，解得：—≤a＜— 综合得：—＜a＜— ∵b= —6a，∴＜b＜ 6.已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C， ⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛 物线的顶点在直线l上运动.
3.如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧的长； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出 点D的坐标；若不存在，请说明理由. A B C O x y · P（1，－1） [解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M. 在Rt△PMB中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120° 的长＝ （2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝. A B C
（1）求⊙A的半径； （2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式； （3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐 标； （4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求 △PEC的面积关于m的函数解析式. 0 x y [解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90º 再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝ (2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx 任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45º可得： b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1， ∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x 又由r＝，易得C(2，0)或C(－2，0) 由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1 ∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分 (3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0) 过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2， 又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7 分 ∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2) (4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且 m≠2， 当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m， ∴S＝ 同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m； ∴S＝ 又若C(－2，0)， 此时l为y＝x，同理可得；S＝
部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下. （3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴GO·AO—FO·AO=3 ∵OA=1，∴GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方 程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，∴x1＜0 ＜x2，
X G F O P D E C A B Y
∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6， 即x2+x1=6，∵x2+x1= — ∴—=6， ∴b= —6a,
∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9a）, ∵ 顶点P在矩形ABCD内部， ∴1＜1—9a＜3, ∴—＜a＜0. 由方程组 y=ax2—6ax+1 y=x+1 得：ax2—（6a+）x=0
解法二：（接上） 求得∴h＝5 由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物 线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5） ∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5 又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5 因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 由已知得 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.
O x y P（1，－1） · M 又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上， 则C(1，－3). 点A、B、C在抛物线上，则 解之得 抛物线解析式为 （3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边 形，且PC∥OD. 又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）. 又点D（0，－2）在抛物线上，故存在点D（0，－2）， 使线段OC与PD互相平分. 4.如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，）在轴的正 半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的 圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q. （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； A y x B E F O1 Q O O2 C （2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC 于点N.试问：在轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边 的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
∵MN∥OA, ∴△CMN∽△CAO. ∴ ∴ 解之，得 此时，四边形OPMN是正方形. ∴ ∴ 考虑到四边形PMNO此时为正方形， ∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形. 故轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且 或 5.如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC为对角线的矩形 ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以 P为顶点． (1)说明点A、C、E在一条条直线上； (2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由； (3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与 △FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这 时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的 取值范围．
2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为 的圆与y轴交于A、D两点. （1）求点A的坐标； （2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的 切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若，抛物 线 y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线 的解析式. [解]（1）解：由已知AM＝，OM＝1， 在Rt△AOM中，AO＝， ∴点A的坐标为A（0，1） （2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1 令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0）， AB＝ 在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2 ∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90° ∴直线AB是⊙M的切线 （3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2， ∴BC＝ ∵∠BAC＝90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC， ∴ A B C D x M · y 而 ， 设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为： y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5