二次函数图像平移与求解析式

题型解读4 二次函数图像平移题型【解题方法】1.平移口决：“左右平移在括号，上下平移在末梢；左加右减须牢记，上加下减错不了”2.注意：①平移时，要抛物线的解析式转化为顶点式y=a（x﹣h）2+k②点的平移与线的平移，在左右平移时，正好相反---左减右加；上下平移完全相同。

【典型例题】1．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ B ）2.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）AA．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位3.把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）y=﹣2（x﹣1）2+24.将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）y=（x﹣4）2﹣25.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2,1),一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的解析式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的解析式为（）A. y=x2+8x+14B. y=x2−8x+14C. y=x2+4x+3D. y=x2−4x+3解析：考查二次函数图像的平移。

∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2,1),∴点C与A关于原点对称，∴C(-2,-1),纸上的点与二次函数同时移，即相当于二次函数平移，该点由点A移到点C，即向左移4个单位长度，再向下移2个单位长度，则二次函数也随之向左移4个单位长度，再向下移2个单位长度，∴二次函数的解析式为：y=(x+4)2−2，选A6.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027 ，4027 ）．解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，得x2=（x﹣a1）2+a1，即2a1x=a12+a1，x=（a1+1）．∵x为整数点∴a1=1，M1（1，1）；M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，抛物线y=x2与y2相交于A2，x2=x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x=a22+a2，x=（a2+1）．∵x为整数点，∴a2=3，M2（3，3），M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y=x2与y3相交于A3，x2=x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x=a32+a3，x=（a3+1）．∵x为整数点∴a3=5，M3（5，5），所以M2014，2014×2﹣1=4027 （4027，4027），7.如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（（10.5，﹣0.25））．解：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1），OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2，P2（2.5，﹣0.25）P10的横坐标是2.5+2×[（10﹣2）÷2]=10.5，p10的纵坐标是﹣0.25，故答案为（10.5，﹣0.25）．题型解读5 二次函数与一元二次方程关系题型【知识梳理】一.二次函数与一元二次方程的关系二.二次函数最值问题(一).对二次函数2(0)y axbx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2ba x a>=-时，244ac b y a-=最小值（2）当0,2ba x a<=-时，244ac b y a -=最大值（3）可直接根据图象或采用配方法和公式法求二次函数的最值.三.二次函数表达式（一）二次函数的三种表示方法1、解析法（用函数表达式表示）；2、表格法；3、图像法 （二）用待定系数法求二次函数的解析式(简称”一般两根三顶点”) （1）一般式：c bx ax y++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y+-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=(即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

函数图像平移求解析式的统一方法：顺减逆加函数图像平移是函数图像在平面上沿着横轴或者纵轴的移动，平移后的函数图像的方程式叫做平移后的函数式。

一般情况下，函数图像的平移可以通过图像平移的向量的思想来求解，也可以通过函数式的分析和推导来求解。

不同的函数类型之间的函数图像平移求解式子的方法也有所不同。

在这里，我们将讨论一种统一的求解函数图像平移的方法：顺减逆加。

这种方法可以用来快速求解不同类型函数图像的平移式子，为我们进行数学问题计算提供了很大的便利。

顺减逆加方法是一种十分简单易行的方法，它基本按照平移图像的方向进行式子的变换，只要记住了这个基本原则，对于各种类型的函数图像的平移问题都可以迎刃而解。

我们来看一下顺减逆加方法的具体步骤：1.顺减：对于横向平移，在函数图像的自变量x上减去平移量，对于纵向平移，在函数图像的因变量y上减去平移量。

这就是顺减逆加方法的基本步骤。

下面我们通过具体的例子来讲解一下这种方法的应用。

我们来看一下一次函数的平移问题。

一次函数的一般式子为y=kx+b。

对于横向平移，我们只需在函数式子中的自变量x上进行加减法操作，对于纵向平移，我们只需在函数式子中的因变量y上进行加减法操作。

例如：已知一次函数的方程式为y=2x+3，现在要求这个函数进行横向平移3个单位。

根据顺减逆加方法，我们只需在函数式子中的自变量x上减去3，得到y=2(x-3)+3。

我们可以看到，只要在原来的函数式子中的自变量x上进行减法操作即可完成横向平移的问题。

二次函数的一般式子为y=ax^2+bx+c。

可以看到，通过顺减逆加方法，我们可以很方便地求解不同类型函数图像的平移式子。

只要按照平移图像的方向进行式子的变换，就可以很轻松地解决各种类型的函数图像平移问题。

顺减逆加方法的优点在于简单易行，不需要过多的复杂计算，只要掌握了这种方法，就可以快速地解决函数图像平移问题。

这种方法的普适性很强，适用于各种类型的函数图像。

在学习和解决数学问题时，我们可以根据实际情况选择适合的方法，但是通过掌握顺减逆加方法，我们可以更加方便地解决函数图像平移问题，为我们的数学学习和应用提供了很大的便利。

✧ 二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.✧ 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

三点式。

1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。

顶点式。

1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。

交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。

例、用待定系数法求下列二次函数解析式⑴图象经过点A(—1,10)、B （1,4）和C （2,7）. ⑵顶点为（—1，—3），与y 轴交点为（0，—5）. ⑶与x 轴交于A （—1,0）、B （1,0），并经过点M(0,1). ⑷顶点坐标为（1,3）且在x 轴上截得的线段长为4.✧ 二次函数图象的平移平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．1、抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移的方法是A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位2.将抛物线2y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是A ．2(2)y x =-+ B ．22y x =-+ C ．2(2)y x =-- D ．22y x =-- 3.将抛物线y =2x 2向上平移2个单位, 再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式为 .4.右图为抛物线c bx x y ++-=2的一部分，它经过A (1,0)-，B (0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位， 求平移后的抛物线的解析式．5.已知二次函数y = ax 2 ＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x … －1 0 1 2 3 4 … y…101－211025…（1）求这个二次函数的解析式； （2）写出这个二次函数的顶点坐标．6.对于抛物线 243y x x =-+.（1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=（t 为实数）在1-＜x ＜72的范围内有 解，则t 的取值范围是 ．x … … y……7.已知二次函数y = x 2 －4x ＋3．（1）用配方法将y = x 2 －4x ＋3化成y = a(x －h) 2 ＋ k 的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）根据图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，y ＜0？8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，AO ＝31OC 求这个二次函数的表达式．答案：（1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y 方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0） 设该表达式为：)3)(1(-+=x x a y将C 点的坐标代入得：1=a 所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)（练习4）。

运用平移、对称、旋转求二次函数解析式一、运用平移求解析式1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式．【答案】因为()222314y x x x =-++=--+，所以平移后的解析式为22y x =-+2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值． 【答案】因为()22211y x x x =-+=-，所以平移前的解析式为：()233y x =-- 所以可得6b =-，6c =3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式．【答案】可得()()13y a x x =--，代入()03C -，，可得1a =-， 所以()()()22134321y x x x x x =---=-+-=--+，所以顶点为()21，， 向左平移3个单位得到()211y x =-++二、运用对称求解析式4．将抛物线()214y x =--沿直线32x =翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式．【答案】可得顶点()14-，，顶点翻折后得到()24-，，所以新抛物线解析式为()224y x =-- 5．如图，已知抛物线1C ：2216833y x x =++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式．【答案】因为()2221628843333y x x x =++=+-，顶点为843⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，关于y 轴对称后顶点为 843⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以对称后的解析式为：()2228216483333y x x x =--=-+ 三、运用旋转求解析式6．将抛物线221y x x =-+的图象绕它的顶点A 旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．【答案】因为()22211y x x x =-+=-，顶点()10A ，，旋转180°即为沿x 轴翻折后对称 所以()21y x =--。

二次函数沿斜线平移问题的解法
1、抛物线关于x轴、y轴、原点、顶点对称的抛物线的解析式。

二
次函数图像的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达。

2、关于y轴对称，y=ax+bX+c 关于y轴对称后，得到的解析式是
y=ax-bx+c; y=a(x-h)+k关于y轴对称后，得到的解析
式;y=a(x+h)+k.3、关于原点对称，y=ax+bX+c关于原点对称后，得
到的解析式是y=-aX+bx-c;y=a(x-h)+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k.4、需要注意的是，对于以上四种对称要在结合开个方向、对称轴的位置以及与y轴的交点三个方面结合图像理解记忆。

而对于抛物线关于定点对称问题我们一般都是化成顶点式再变换。

掌握抛物线的四种对称方式，理解公式的推导过程，结合下面例题掌握该考点。

5、求抛物钱上、下、左、右平移的抛物钱的解析式:二次函数图像平移①二次函数图像平移的本质是点的平移，关键在坐标。

②图像平移口诀:左加右减、上加下减。

平移口诀主要针对二次函数顶点式。

希
望同学们掌握二次函数图象平移口诀和方法，通过下面练习做到理解领会。

6、与抛物线平移有关的压轴题:抛物线常出现在中考中的压轴题中，如果考察对称轴公式，那么一般代入直接求解;如果是假设出
平移之后的解析式即可得出图像与X轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可。

二次函数图像的变换与解析式二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用领域，如物理学、经济学等。

在学习二次函数时，我们不仅需要掌握其图像的变换规律，还需要了解其解析式的推导方法。

首先，我们来讨论二次函数图像的变换。

对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过改变a、b、c的值来实现图像的平移、翻转和缩放等变换。

首先，当a的值发生变化时，二次函数的图像会发生缩放。

当a>1时，图像会变得更加瘦长；当0<a<1时，图像会变得更加扁平；当a<0时，图像会上下翻转。

这是因为a决定了二次函数的开口方向和大小。

其次，当b的值发生变化时，二次函数的图像会发生平移。

当b>0时，图像会向左平移；当b<0时，图像会向右平移。

这是因为b决定了二次函数图像的对称轴位置。

最后，当c的值发生变化时，二次函数的图像会发生上下平移。

当c>0时，图像会向上平移；当c<0时，图像会向下平移。

这是因为c决定了二次函数图像与y 轴的交点位置。

除了上述变换规律外，我们还可以通过组合这些变换来实现更加复杂的图像变换。

例如，如果我们希望将二次函数图像向左平移2个单位，并且同时使图像更加瘦长，我们可以将b的值设为-2，a的值设为2。

接下来，我们来讨论二次函数的解析式。

对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过配方法来推导其解析式。

首先，我们将二次函数写成完全平方的形式，即y = a(x + p)^2 + q。

其中p和q 为常数，需要根据实际情况进行确定。

然后，我们展开完全平方的式子，得到y = a(x^2 + 2px + p^2) + q。

接下来，我们将展开后的式子进行化简，得到y = ax^2 + 2apx + ap^2 + q。

最后，我们将化简后的式子与原始的二次函数进行比较，得到a、b、c与p、q 之间的关系。

通过解方程组，我们可以求解出p和q的值，进而得到二次函数的解析式。

二次函数的平移张尚军在考试中，有些题目是求二次函数平移后的解析式，学生做起来很不方便，普遍感到求平移后的解析式比较困难.就此，我从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.一.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k （a ≠0）时1.向右或向左平移时，解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)²+k 变为y=a[x-(h+m)]2+k=a （x-m-h)2+k两解析式比较可得出图像向右平移m 个单位，括号内减去m ，同理可推出向左平移m 个单位括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k.2.向上或向下平移时，解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h ，k ）变为（h ，k+n ）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2²+k 变为y=a(x-h)2+k+n. 比较两个解析式可得出向上平移n 个单位，括号外加n ，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k-n.二.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)时1.向右或向左平移时,解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位.因为y=ax 2+bx+c=a （x+a 2b ）2+ab 4-ac 42 有前面的规律可知。

y=a(x+a 2b -m)2+ab 4-ac 42 =ax 2+a 4b 2+am ²+bx-2amx-bm+c-a 4b 2=ax 2-2amx+am ²+bx-bx+c=a(x-m)2+b(x-m)+c两式比较,可得出抛物线向右平移m 个单位,自变量上减去m;同理可推出抛物线向左平移m 个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c2.向上或向下平移时,解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位,因为y=ax 2+bx+c=a(x+ a 2b )2+ab 4-ac 42 由前面的规律可知 y=a(x+a 2b )2+ab 4-ac 42+n =ax 2+bx+c+n两式比较:可得抛物线向上平移n 个单位,常数项上加n;同理可推出抛物线向下平移n 个单位,自变量上减去n ，即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c -n. 综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项.当解析式为交点式y=a(x-1x )(x-2x )时，解析式的变化规律，请读者自己完成.应用这一规律，不但便于教师授课，而且更有利于学生掌握应用，解起题来更加方便快捷.发表于2012.08下旬总第132期《新课程学习》。

用平移法求二次函数的解析式如何确定二次函数解析式，是初中数学的一个重要内容。

其基本方法是待定系数法。

即首先设出二次函数的解析式（用字母系数表示），再根据已知条件确定字母系数。

一般情况下，若已知三个点的坐标，常设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)若已知顶点坐标或对称轴，常设顶点式：y=a(x+h)2+k(a≠0)若已知其图象与x轴的两个交点，常设双根式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)这时介绍一种可以减少运算量，十分简捷的确定二次函数解析式的方法――平移法，供大家参考。

例1：已知抛物线经过A（－2，4），B（1，4），C（－4，－6）三点，求抛物线的解析式。

解：把A（－2，4），B（1，4），C（－4，－6）三点都向下平移4个单位，分别得到A/(－2，0)，B/(1，0)，C/(－4，－10)，经过A/，B/，C/三点的抛物线的解析式可设为y=a(x+2)(x-1)，且有：－10＝a（－4+2）(－4－1)，解得：a=－1。

所以过A/，B/，C/三点的抛物线的解析式为y=－（x+2）(x－1)，把这条抛物线向上平移（回移）4个单位，即得到过A，B，C三点的抛物线，其解析式为y=－（x+2）(x－1)，即y=－x2－x+6。

例2：已知二次函数的图象以直线x=2为对称轴，且经过A（6，－4），B（3，11）两点，求此二次函数的解析式。

解：把点A（6，－4）和B（3，11）向上平移4个单位，得A/（6，0）和B/（3，15）。

点A/（6，0）关于直线x=2的对称点为E（－2，0），则图象过A/（6，0），E（－2，0），B/（3，15）三点的二次函数的解析式，可设为y=a（x－6）(x+2)，且有15＝a（3－6）（3+2），所以a=－1，y=－（x－6）（x+2）所求二次函数的解析式为：y=－(x－6)（x+2）－4，即y=－x2+4x+8。

例3：已知抛物线y=x2－2ax+b截直线x=5所得的线段长为3，并且此抛物线顶点在抛物线y=－x2+5上，求抛物线y=x2－2ax+b的解析式。

运用平移、对称、旋转求二次函数解析式
一、运用平移求解析式
1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式．
2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值．
3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，
，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式．
二、运用对称求解析式
4．将抛物线()214y x =--沿直线32x =
翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式．
5．如图，已知抛物线1C ：2216833
y x x =
++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式．
三、运用旋转求解析式
6．将抛物线221
=-+的图象绕它的顶点A旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
y x x。

二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。

一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。

例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。

二次函数专题（3）——函数图像的平移我们知道图像的平移，图像本身不会发生改变，只是图像的位置发生改变。

函数图像的平移也是遵循这样原理，只是我们在平移过程中函数的解析式也发生改变，这节专题主要就是探讨函数平移与解析式的计算。

1. 基础情境：点坐标平移①水平平移：纵坐标不变横坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往右平移2个单位到A’，很明显A’的纵坐标不变，但是横坐标变为了1+2=3，即A’（3,2）；同理把A往左平移2个单位到A’’（-1，2）②竖直平移：横坐标不变，纵坐标加减我们以A（1,2）为例，把A往上平移三个单位到A’，很明显A’的横坐标不变，但是纵坐标变为了2+3=5，即A’（1,5）；同理把A往下平移三个单位到A’’（1，-1）,如下图：2. 函数平移：一次函数图像平移①水平平移问题：我们以y=2x+2为例，把它向右平移2个单位，那么新的图像函数解析式为何？分析：由于平移过后仍然是条直线，两点决定一条直线，所以我们选取两个特殊点就可以算出新的函数表达式。

解答：选取原一次函数上两点（0,2）、（-1,0），经过平移后这两点坐标变为（2,2）和（1,0），计算得y=2x-2.观察：平移后，一次函数的系数k（2）不变，b减小了两倍（由2变为-2）推广：对于所有一次函数y=kx+b，向右平移2个单位的函数解析式怎么求？分析：可以按照上面的思路，取特殊点求取新的一次函数解析式解答：方法一：坐标法取两个特殊点（0，b）、（1，k+b），经过平移后这两点坐标变为（2,b）和（3,k+b），计算函数表达式得y=kx+b-2k。

这个式子我们还可以改写成这样y=（k-2）x+b。

反思：解析法特殊点法虽然可以帮助我们解决问题，但是需要计算，有没有更加快速的计算一次函数解析式方法？有！我们回到最初函数的定义，比如坐标系中有一个点A（x,y）,其中y=kx+b 代表是x与y之间的等量关系。

如果把A（x,y）向右平移2单位变成A’（m,y），此时m=x+2。

二次函数平移平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。

1、 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴ 2y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2y ax bx c =++ 变成2y ax bx c m =+++（或2y ax bx c m =++- ）⑵2y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2()()y a x m b x m c =++++（或2()()y a x m b x m c =-+-+）3、二次函数2()y a x h k =-+与2y ax bx c =++ 的比较从解析式上看，2()y a x h k =-+与2y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。

注：我们把2()y a x h k =-+直接就可以看出顶点是：（h ，k ），所以也称为顶点式。

这个函【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位数的关系式还能直接看出此二次函数的对称轴是2bh a=-： 例1：将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．y=-x 2-x+2B ．y=-x 2+x-2 C. y=-x 2+x+2 D ．y=x 2+x+2例4. 如图所示，已知抛物线C 0的解析式为x x y22-=，则抛物线C 0的顶点坐标 ；将抛物线C 0每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线C 1、C 2、C 3、…、C n （n 为正整数），则抛物线C n 的解析式为 ．例5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C 的顶点为⎪⎭⎫ ⎝⎛--29 3，P ，且过点()0 0，O ．⑴ 写出抛物线1C 与x 轴的另一个交点A 的坐标；⑵ 将抛物线1C 向右平移3个单位、再向上平移54.个单位得抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；⑶ 直接写出阴影部分的面积S ．练习一、选择题1.把抛物线y=-x 2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）A. y=-（x-1）2+3B. y=-（x+1）2+3C. y=-（x-1）2-3D. y=-（x+1）2-32.抛物线y=x 2+bx+c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ）A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=23.将函数y=x 2+x 的图像向右平移a （a ＞0）个单位，得到函数y=x 2-3x+2的图像，则a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知二次函数y=x 2-bx+1（-1≤b ≤1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动5.已知抛物线C ：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移得到抛物线C ′.若两条抛物线C 、C ′关于直线x=1对称，则下列平移方法正确的是（ ）A. 将抛物线C 向右平移 2.5个单位B.将抛物线C 向右平移3个单位C.将抛物线C 向右平移5个单位D.将抛物线C 向右平移6个单位 6.把二次函数y=-41x 2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k 的形式A. y=-41(x-2)2+2B. y=41(x-2)2+4C. y=-41(x+2)2+4 D. y= (21x-21)2+37.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．y=2x 2-2B ．y=2x 2+2C ．y=2(x-2)2D ．y=2(x+2)28.将抛物线y=2x 2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y=2(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=2x 2-19.将函数y=x 2+x 的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数y=x 2-x+2的图象，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410.把抛物线y=-2x 2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A. y=-2（x-2）2+5B. y=-2（x+2）2+5C. y=-2（x-2）2-5D. y=-2（x+2）2-511.要得到二次函数y=-x 2+2x-2的图象，需将y=-x 2的图象（ ）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位12.若二次函数y=(x-m)2-1，当≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＝1 B ．m ＞1 C ．m ≥1 D ．m ≤1 二、填空题1.抛物线y=ax 2向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线2.二次函数y=-2（x+3）2-1由y=-2（x-1）2+1向_____平移______个单位，再向_____平移______个单位得到3.抛物线y=3（x+2）2-3可由抛物线y=3（x+2）2+2向 平移 个单位得到 4.将抛物线y=53（x-3）2+5向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 5.把抛物线y=-（x-1）2-2是由抛物线y=-（x+2）2-3向 平移 个单位，再向_____平移_____个单位得到6.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2-3x+5，则a+b+c=__________7.抛物线y ＝x 2-5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 8.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 三、解答题1.已知a+b+c=0，a ≠0，把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式2.已知二次函数y ＝-x 2-4x-5.①指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；②把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式；③把这个二次函数的图象左、右平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式。

二次函数2 二次函数的解析式的求法和平移一、大纲要求：（１） 通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

（２） 能够根据题目要求求出二次函数的解析式． （３） 能够根据题目要求确定平移后的解析式．二、中考考点：求二次函数的解析式常常在解答题中出现，而平移常常在选择填空中出现．三、知识点分析：１、二次函数三种表达方式；（１） 一般式:y=ax 2+bx+c （a ≠0） （２） 顶点式:y=a(x-h)2+k （a ≠0） （３） 交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0）２、二次函数的解析式求法：用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选用不同的设法：（１） 设一般式:y=ax 2+bx+c （a ≠0）若已知条件是图象上一般的三个点，则设所求的二次函数为y=ax 2+bx+c （a ≠0），将已知条件代入组成三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值．（２） 设顶点式:y=a(x-h)2+k （a ≠0）若已知二次函数的顶点坐标(h,k)，设所求二次函数为y=a(x+h)2+k （a ≠0），将第二个点的坐标代入，求出待定系数a ，最后化为一般式．（３） 设交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0）已知二次函数的图象与Ｘ轴的两个交点的坐标为(x 1,0),( x 2,0)，设所求的二次函数为y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0），将第三点坐标代入，求出待定系数a ，最后化为一般式．３、二次函数的平移规律y=2ax ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22)(h x a y k ax y ⎭⎬⎫⇔ y=()2h x a -+k 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）可由抛物线y=2ax 平移得到，由于平移时，抛物线上所有点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点的移动情况，因此有关抛物线的平移问题需要利用二次函数的顶点式:y=a(x-h)2+k （a ≠0）来讨论，所以应先把二次函数化为顶点式然后再来平移；加减常数k(k ＞0)，上下移动，即加上k 则向上移动,减去k 则向下移动；加减常数h(h ＞0)，左右移动，即加上h 则向左移动,减去h 则向右移动；四．典型例题： 1.二次函数在23=x 时，有最小值41-，且函数的图象经过点（0,2），则此函数的解析式为________________________.2．已知抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为2=x ，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为 ；3．已知抛物线经过(2，0)、(3， 0)两，且经过（５，２），求抛物线的解析式．4．已知正方形的面积为)(2cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式；(2)判断y 是否为x 的二次函数．5．把函数22x y =的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 ；6．若二次函数()32122--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为 （ ）A 1-或3B 1-C 、 3D 、 无法确定7．将二次函数32+=x y 的图象向左平移2个单位后，再向下平移2个单位，得到（ ）A y = x 2+ 5 B 1)2(2++=x y C 1)2(2+-=x y D 12+=x y8．已知（2，5）（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上的两点，则这个抛物线的对称轴为（ ）A bax -= B 2=x C 4=x D 3=x 9.已知二次函数y=-x 2+bx+c,当x=1时,y=0； 当x=4时,y=-21；求抛物线的解析式.10.二次函数y=x 2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是( )A 、22y x =-; B 、2(2)y x =- C 、22y x =+; D 、2(2)y x =+11．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于正半轴C 点，且AC = 20，BC = 15，∠ACB = 90°，则此抛物线的解析式为 ；12．若二次函数y=2x 2+ax+b 的图象经过(2，３)点，并且起顶点在直线y=3x －2上，求a 、b ．13．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴分别交于A （-3，0），B 两点，与y 轴交于（0，3）点，对称轴是1-=x ，顶点是P ．求：（1）函数的解析式；（2）△APB 的面积．五、练习1．抛物线过(1-,10)、(1，4)、(2，7)三点，求抛物线的解析式；2．平移抛物线228y x x =+-，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式____________________3把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有( )A b=3，c=7B b=-9，c=-15C b=3，c=3D b=-9，c=214．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图，该抛物线的解析式是____________． 5.已知抛物线y=x 2－6x ＋5的,则抛物线的对称轴为__________,将抛物线y=x 2－6x ＋5向____________平移_________个单位则得到抛物线y=x 2－6x ＋9. 6.已知二次函数y=2x 2－8x －3,求它关于X 轴对称的抛物线的关系式.7.二次函数c bx ax y ++=2有最小值为8-，且a ：b ：c =1：2：(3-)，求此函数的解析式8.抛物线的对称轴是2=x ，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式；9.二次函数c bx ax y ++=2，2-=x 时6-=y ；2=x 时10=y ；3=x 时，24=y ；求此函数的解析式；11．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如 图（4），求抛物线的解析式13.在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的负半轴相交于点C （如图5），点C 的坐标为（0，－3），且BO ＝CO(1)求这个二次函数的解析式；(2)设这个二次函数的图象的顶点为M ，求AM 的长.x。

二次函数向左平移的时候解析式的变化二次函数是数学中一个重要的函数类型，它的形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

在二次函数中，a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴位置，而c则决定了函数的纵向平移。

本文将重点探讨二次函数向左平移时解析式的变化，以帮助读者更深入地理解这一概念。

1. 二次函数向左平移的概念解释在二次函数y=ax^2+bx+c中，向左平移意味着对于函数图像上的每一个点(x, y)，x的值都减少了某个固定的量。

这个平移量可以通过对x进行加减运算来实现，将x替换为x-h，其中h为平移量。

这样一来，所有点的x坐标都减小了h，使得整个函数图像向左移动。

2. 二次函数向左平移时解析式的变化当二次函数向左平移时，解析式中的x值将被替换为x-h，其中h为平移量。

二次函数的解析式变为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。

a. 影响二次函数开口方向的系数a不会受到平移的影响，因此它的值保持不变。

b. 对称轴位置的系数b被替换为b-2ah，其中-2ah为平移量对对称轴位置产生的影响。

这意味着当二次函数向左平移时，对称轴的位置会向左移动2ah的距离。

c. 常数项c不会受到平移的影响，因此它的值保持不变。

二次函数向左平移时，解析式中的b项将变为b-2ah，即x项的系数会减少2ah，从而使对称轴位置向左平移。

其他项的值保持不变。

3. 个人观点和理解二次函数的平移是数学中一个常见且重要的概念，它在实际问题的建模中具有广泛的应用。

通过研究二次函数向左平移的解析式变化，我们可以更好地理解函数图像的平移过程以及平移对函数图像的影响。

平移是函数图像的关键变化之一，它使得函数在坐标平面中的位置发生了变化，从而对函数的性质和特征产生了影响。

二次函数向左平移的解析式变化可以通过代入和简化的方式得出，这有助于我们更清晰地理解平移的具体效果和数学表达。

二次函数向左平移的解析式变化也反映了平移对函数的各个部分的影响程度不同。

二次函数的图像与平移规律三河市第六中学周文彬教学目标：1、会用描点法画二次函数y=ax2y=ax2+c y=a（x-h）2y=a（x-h）2+k的图像2、能根据图像找出顶点坐标、对称轴3、根据平移规律确定解析式教学重点：根据解析式会求顶点坐标及对称轴，并根据平移规律求解析式教学过程：一、复习二次函数的定义y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax2y=ax2+c y=ax2+bxy = a（x-h）2y= a（x-h）2+k二、画图y=x2 y=-x2 与y=1/2 x2见课件归纳:1、图像y=ax2 ，a＞0,开口向上,有最低点,顶点在原点坐标为(0,0)对称轴为x=0a＜0,开口向下,有最高点,顶点在原点坐标为(0,0)对称轴为x=02、a的绝对值相同，图像的开口程度一样大，a的绝对值越大，，图像的开口程度越小，a的绝对值越小，，图像的开口程度越大。

练习、函数y=3x2y= -5x2的顶点坐标（），对称轴为（）开口（），有（）值。

（）图像开口程度大三、画图y=x2+1 y=（x+1）2y=（x+1）2+1的图像见课件归纳总结：这些图象都是由y=x2 的图象平移得到的y=x2 的图象－－→向上平移1个单位得到y=x2+1的图像∣∣向左平移1个单位得到y=（x+1）2 的图像↓向左平移1个单位在向上平移1个单位得到y=（x+1）2+1的图像类比应用：y=-2x2 的图像－－→向（）平移（）个单位得到y=-2x2-3的图像∣∣向（）平移（）个单位得到y=-2（x-2）2 的图像↓向（）平移（）个单位在向( )平移( )个单位得到y=-2（x-2）2 - 3的图像平移规律:在x轴方向上平移是二次项的变化,加往左移,减往右移在y轴方向上平移是常数项的变化,加往上移,减往下移(这个规律运用于顶点式解析式)练习:1、说出下列抛物线的开口方向,对称轴,及顶点坐标y=-2（x-6）2 y=3x2 +2 y=3（x-2）2 +2 y= -5（x+3）2 -62、由y=3x2 ＿＿＿＿＿＿＿得到y= 3（x+2）2 的图象,此时图象的顶点坐标为,＿＿＿＿＿＿＿对称轴为＿＿＿＿＿＿3、由y=-2 x2 +2＿＿＿＿＿＿＿得到y=-2 x2-2的图像，再＿＿＿＿＿＿＿得到y=-2（x-2）2-2的图像，,此时图象的顶点坐标为,＿＿＿＿＿＿＿对称轴为＿＿＿＿＿＿有最＿＿＿值为＿＿＿。

二次函数平移后解析式二次函数是高中数学中的一个重要内容，除了基本的二次函数解析式，我们还需要了解如何将二次函数进行平移。

二次函数平移后的解析式，是指将原本的二次函数在坐标系中向上、向下、向左或向右移动一定单位后得到的新的二次函数表达式。

在二次函数的平移中，我们需要理解几个基本概念：平移量、平移方向和平移的规律。

一、平移量平移量指的是将二次函数图像在坐标系上进行平移的长度或距离，可以是纵向或横向。

一般来说，平移量的大小由具体情况而定，它是一个具体的数字，可以是正数也可以是负数。

当平移量为正数时，二次函数向右（或向上）平移；当平移量为负数时，二次函数向左（或向下）平移。

例如，如果将二次函数y = x^2向右平移3个单位，则平移量为3，其新的解析式为y = (x - 3)^2。

二、平移方向平移方向指的是将二次函数图像在坐标系上平移的方向，可以是纵向或横向。

平移时必须保持二次函数的形态不变，因此平移方向只有向上、向下、向左、向右四个方向。

如果图像向上平移，那么解析式中的常数项也会相应地向上移动；如果图像向下平移，那么解析式中的常数项也会相应地向下移动；如果图像向左平移，那么解析式中的x项系数也会相应地向左移动；如果图像向右平移，那么解析式中的x项系数也会相应地向右移动。

因此，我们可以根据二次函数图像在坐标系中的运动方向来确定平移的方向，再根据具体情况选择正确的方法进行计算得出平移后的新解析式。

三、平移规律基本的二次函数解析式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，表示二次函数的三个系数。

在进行平移时，我们只需将x和y 分别加上平移量即可。

如果平移后的新坐标记为(x1,y1)，则原坐标(x,y)和平移量为(d,e)时，新坐标可以表示为： x1=x+d,y1=y+e。

因此，平移后的二次函数解析式可以表示为：y=a(x+d)^2+b(x+d)+c+e或y=a(x-d)^2+b(x-d)+c-e其中，d和e分别表示横向和纵向的平移量。