超晶格材料superlattices_(graduate)

GaAs
U
AlGaAs
GaAs AlGaAs GaAs
d 70A0 发现大于2V后 出现负微分电阻。
I (m A)
100
I
50
0,0
1
2
3
4
U (V )
下面解释一下为什么这样？ 按照电流密度的表达式： j vz vz 为电子在 为电荷密度，
I (mA)
100
50
在z轴方向的 运动速度。
（4）.于是得到
i ( x, t ) ( 2 2 2 )( x, t ) U ( x, t ) ( x, t ) t 2m x y z
2 2 2
2
此为薛定谔方程。
i ( x, t ) ( 2 2 2 )( x, t ) U ( x, t ) ( x, t ) t 2m x y z
( x, y, z) ( x, y Lz , z)
可得到：
y
Lz Lz
x
Ly
Lx Ly
Lx
Ae
i ( p x x p y y pz z )
Ae
i p x ( x Lx ) p y y pz z )

1 e
i p x Lx
p x Lx 得到： 2n x
dpx dkx , dpy dky , dpz dkz
所以 dN dnx dny dnz
Lx Ly Lz
2
3
dkx dky dkz
dN
Lx Ly Lz
2
3
dkx dky dkz Lx Ly Lz
波矢空间单位体积内拥有的微观态数为 若电子在二维平面上作准自由运动，
2
t
nx ,ny ,nz
n ,
x
ny , nz nx ,ny ,nz
量子数每取定一组值，就对应一种形式的波函数 也就对应粒子的一个微观态。
n ,
x
ny , nz nx ,ny ,nz
量子数的取值花样个数等于粒子所具有的总的微观态数。 2 2 2 p n pz nz px nx y y Ly L L
建立薛定谔方程的步骤： (1).写出能量表达式 1 E Px2 Py2 Pz2 U 2m （2).两边乘以波函数Ψ


1 2 2 2 E Px Py Pz U 2m


（3）.将能量和动量算符化 Px i E i Py i Pz i x t y z
于是电流密度为
电流强度为 S J d etdU 这里S是界面面积， I Svz sin D etdU t 应理解成电子的迟豫时间。当 D 2 时， 电流开始变小。这就解释了为什么当电压超过某一值后 出现负阻的原因。用这种方法，我们还能确定电子迟豫
2 2 2
2
2 或写成 i ( r , t ) [ U ( r , t )] (r , t ) t 2m 2 2 2 2 2 2 2 这里 x y z 2 2 ˆ 令 H U (r , t ) 称为粒子的哈密顿量 2m
四. 主要应用 （1）场效应管, (2) 激光器工作物质，（3）传感器 （4）光波导, （5）自旋电子器件. 由于这种材料作成的器件主要靠电子工作，量子效应 起主要作用。所以下面的内容，先简单介绍一下量子 力学知识，然后介绍超晶格的伏安特性和量子Hall 效应
第一节 量子力学简介
量子力学用来描述微观粒子在小尺度(〈0.1m)内运动， 已经成为材料科学和高技术的基础理论。半导体器件、 激光器的工作原理都源于量子力学。超晶格材料的物性 也需要用量子力学知识来解释。 一. 量子力学方程-薛定谔方程
2 px nx Lx
2 ny 同理： p y Ly
2 pz nz Lz
动量取离散值
nx n y 0, 1, 2, 3... nz
含时间的波函数为
Ae Ae
i i ( p x x p y y pz z ) Et
超晶格材料
参考文献：
冯澎
夏建白：超晶格物理，（科学出版社，1995）。 李铭复：半导体物理学， （科学出版社，1991）。
引言
超晶格材料
冯澎Biblioteka Baidu
一.超晶格概念 超晶格（superlattices) 概念是1969年由Esaki和Tsu 提出的 L.Esaki and R. Tsu, IBM J. Res. Develop., 14, 61(1970) 两种或两种以上的物质交替周期性地生长而成的层状材料 称为超晶格材料。 如GaAs/AlGaAs 不仅半导体能 超晶格材料。 形成超晶格材料，金属也能 形成超晶格材料，如 Mn/Zn超晶格材料。 GaAs
（1）在垂直于界面方向电子运动受限。
GaAs
AlGaAs
GaAs AlGaAs GaAs
（2）GaAs层中电子浓度较高，电子
在平行界面方向迁移率较大
v电子速度, E电场强度， 电子迁移率。 （3）界面效应比较明显。 （4）低温时出现量子Hall效应，电子气体出现复杂的相， 如条纹相等。
v E
b
GaAs
I
a
AlGaAs
IB UH b
GaAs层中的电子所受的洛伦兹力为：
电子在前侧面聚集，在前侧面积累负电荷，于是在后 侧面出现正电荷，在前后两侧面间建立起电场，此时
GaAs层中的电子所受力除洛伦兹力，还有电场力。电场 力的方向和磁场力的方向相反。 B 当两力达到平衡时 evB c e
2 2 2 dpz dnz dpx dnx dpy dny Lz Lx Ly 对动量的三个分量表达式两边微分，然后乘到一起 2 2 2 dpx dpy dpz dnx dny dnz Lx Ly Lz
x
z
dnx dny dnz
这是动量区间
Lx Ly Lz
GaAs
AlGaAs GaAs AlGaAs GaAs
这里 k x , k y , k z 是三个坐标轴方向
的波矢量分量。它们同动量的关系为
J 0 , J 是两个常数，与原子间电子
云的交叠程度有关。 d 为超晶格的
P k
z
y
周期。
x
二. 超晶格材料的伏安特性 GaAs/AlGaAs超晶格材料 测量电压和电流间的关系。
h
单位时间内发射的光子数 与单位时间内注入的电子空穴对数 n 成正比,与电子空穴复合所需要的 时间 成反比,即
Vn
P
n

I
这里 V 是结的体积.

与材料性质有关.
四. 半导体超晶格激光器
1.半导体激光的工作原理
空带 空带
h
h
2h
满带
满带
受激吸收过程
受激辐射过程
2. 超晶格激光器
于是
ˆ i ( r , t ) H (r , t ) t
2
(r , t ) 表示粒子所处的状态，属微观量
2 * ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) 表示
t
时刻
在空间 r 处单位体积内发现电子的概率.
在体元
时间值。 负阻的出现是电子在垂直于界面的方向电子 运动受到超晶格周期场的调制所致。
j vz
Jd
etdU sin D
三.发光二极管 LED (Light-emitting diode) h
空带
n
P
n
h
满带
p
半导体中电子和空穴的复合从而释放出光子来. 电源可以将电子从p型半导体经电源拉到n 型半导体, 增大了电子空穴复合的机会,也就增大了发射出的光子数.
二. 粒子微观态的三种等价描述
力学量 粒子的状态可以用三种描述：波函数 量子数 以粒子作自由运动为例
2
z
y
电子运动的定态薛定锷方程为：
2 2 2 2 2 2 E 2 2m x y z
Lz
x
Lx
Ly
Ae 利用周期性边界条件： z
2
2 n i 2 n 2 n i 2n x y x z x y z L Lx Ly Lz 2 m x
2n y Ly
2nz Lz
2

AlGaAs GaAs AlGaAs GaAsAlGaAs AlGaAs GaAs
GaAs
层又起到 光子沿平行界面层的方向发射出来。 GaAs
光波导的作用。
第三节 量子霍耳（Hall）效应
B
一. 经典霍耳效应 用一个周期来分析
1879年霍耳（A.H.Hall） 发现：在匀强磁场中通电 的金属导体板或半导体板 的两个侧面出现横向电势 差，这一现象称为霍耳效应 实验发现：
电子沿 z 轴方向的运动方程为
dPz Fz dt (1) .
0,0
1
2
3
4
电子运动速度与导带的结构有关。 GaAs
U
AlGaAs GaAs AlGaAs GaAs
I
z
y
U (V )
这里 Pz k z 为电子的动量， U , D 是总的厚度。 电场强度
D
x
e 得到 k z t （3）
2
3
dpx dpy dpz
px px dpx py py dpy pz pz dpz
内粒子具有的微观态数 Lx Ly Lz dN dnx dny dnz dpx dpy dpz 3 2 由于 px kx , py k y , pz kz
2 3
波矢空间单位面积内拥有的微观态 Lx Ly 数为 2 2
Ly
Lx
第二节 超晶格材料的伏安特性
一.超晶格材料的能带结构特点
描述电子微观运动的方程-薛定谔方程
GaAs
AlGaAs
GaAs AlGaAs GaAs
2 [ U ( x, y, z)]( x, y, z) E( x, y, z) 2m
此方程的解可设为：
2 2 2 2 E 2 2 2 2m x y z i
( p x x p y y pz z )
( x, y, z) ( x Lx , y, z)
( x, y, z) ( x, y Ly , z)
dk z e dt
(2).
注意到 dk z dk z dE dkz Fz vz 1 Fz vz
dt dE dt
dE
与（1）式比较，得到：
1 dE vz dkz (4)
dE dkz
2 2 2 对电子能量表达式 E J 0 (k x k y ) J cos(k z d ) 2m 求导，得到： Jd J d eUtd vz sin(k z d ) sin (5) . D
单独GaAs或AlGaAs的能级结构
呈带状。
2
AlGaAs
GaAs
AlGaAs
GaAs
AlGaAs
AlGaAs 层中导带中的电子流入 GaAs 层，该层中的
电子浓度加大，导电性增强。
通过求解薛定谔方程，可解得超晶格材料的电子能带。 其中导带能级表达式为
2 2 2 E J0 (k x k y ) J cos(k z d ) 2m
2 dV (r , t ) dV
Vd 内发现电子的概率为:
若粒子在运动过程中能量守恒，波函数可以写成
( x, y, z, t ) ( x , y, z ) T (t )
于是含时间薛定谔方程可以写成
2 [ U ( x, y, z )]( x, y, z ) E( x, y, z ) 2m 称为定态薛定谔方程
AlGaAs
GaAs AlGaAs
GaAs
二.制备方法
1. 分子束外延技术MBE
Molecular beam epitaxy
2. 金属有机化合物汽相沉积技术（MOCVD)
Matal organic compound chemical vapor deposition
三. 超晶格材料性质
以GaAs/AlGaAs超晶格为例