西南交大结构力学A讲解

第1节 静定平面桁架一、桁架的内力计算方法1、结点法取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。

该法最适用于计算简单桁架。

根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化：（1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。

（2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。

（3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。

推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。

F N3F N3=0F N1=F N2=0F N3=F N4(a)(b)(c)F N4(d)F N3=F PF PN1F F N2F N1F N2F N1F N2F N1F N2F N3F N3F N1=F N2，F N1=F N2，F N1=F N2，图2-2-1（4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。

例如图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。

1A2F PF PAF PF PBF PF PBA(b)(a)X =0图2-2-2 图2-2-3（5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。

如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。

（6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。

如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。

其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。

西南交大结构力学A期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 结构力学中，节点位移法主要解决的是以下哪个问题？A. 静定结构的内力B. 超静定结构的内力C. 静定结构的位移D. 超静定结构的位移答案：B2. 在结构力学中，弯矩图的正负号是如何规定的？A. 顺时针为正，逆时针为负B. 逆时针为正，顺时针为负C. 向上为正，向下为负D. 向下为正，向上为负答案：C3. 梁的剪力图在支座处的特点是？A. 剪力为零B. 剪力最大C. 剪力为负D. 剪力为正答案：A4. 考虑轴向力作用下，梁的弯曲变形主要取决于哪个因素？A. 材料的弹性模量B. 梁的截面形状C. 梁的长度D. 梁的截面惯性矩答案：D5. 以下哪种方法不能用于求解超静定结构的内力？A. 弯矩分配法B. 力法C. 位移法D. 能量法答案：B6. 在结构力学中，静定结构的定义是什么？A. 无多余约束的结构B. 有多余约束的结构C. 无多余约束且无多余内力的结构D. 有多余约束且无多余内力的结构答案：C7. 梁的弯矩图在集中荷载作用点的特点是？A. 弯矩为零B. 弯矩最大C. 弯矩为负D. 弯矩为正答案：B8. 简支梁在均布荷载作用下的弯矩图形状是？A. 抛物线B. 直线C. 折线D. 曲线答案：A9. 影响梁的剪力和弯矩分布的主要因素是？A. 荷载类型B. 支撑条件C. 材料特性D. 截面形状答案：A10. 在结构力学中，力法的基本原理是什么？A. 利用静力平衡条件B. 利用几何不变条件C. 利用材料力学性质D. 利用能量守恒原理答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 梁的挠度公式为：\[ \delta = \frac{5wL^4}{384EI} \]，其中\( w \)代表______，\( L \)代表______，\( E \)代表______，\( I \)代表______。

答案：均布荷载；梁的长度；弹性模量；截面惯性矩。

6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。

解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。

(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。

1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。

113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ+-=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

只计弯曲变形。

EI 为常数。

方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。

以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。

西南交大结构力学a考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 结构力学中，下列哪一项不是结构的几何特性？A. 几何不变性B. 几何可变性C. 几何稳定性D. 几何对称性答案：D2. 在结构力学中，三铰拱的合理拱轴线应该是：A. 抛物线B. 圆弧线C. 悬链线D. 直线答案：C3. 确定结构的内力时，通常采用的方法是：A. 静力平衡方程B. 几何组成分析C. 材料力学方法D. 能量方法答案：A4. 对于超静定结构，下列哪一项不是其特性？A. 有多余约束B. 有多余未知力C. 可以通过静力平衡方程求解D. 内部存在应力集中答案：D5. 在结构力学中，下列哪一项不是影响结构稳定性的因素？A. 材料性质B. 几何尺寸C. 荷载大小D. 施工质量答案：D二、填空题（每空1分，共10分）1. 结构力学中，______是指结构在外力作用下不发生变形和运动的能力。

答案：稳定性2. 在结构力学分析中，______是指结构在荷载作用下不发生破坏的能力。

答案：强度3. 结构力学中，______是指结构在荷载作用下不发生过度变形的能力。

答案：刚度4. 结构力学中，______是指结构在外力作用下能够恢复到原状的能力。

答案：弹性5. 在结构力学中，______是指结构在荷载作用下不发生塑性变形的能力。

答案：塑性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述结构力学中静定结构和超静定结构的区别。

答案：静定结构是指在静力荷载作用下，结构的内力和位移可以通过静力平衡方程和几何关系完全确定的结构。

超静定结构则是指在静力荷载作用下，结构的内力和位移不能仅通过静力平衡方程和几何关系完全确定，需要额外的条件或者方法来求解。

2. 描述结构力学中弯矩图的绘制步骤。

答案：绘制弯矩图的步骤通常包括：1) 确定结构的支座反力；2) 根据支座反力和外荷载，分段写出各部分的弯矩方程；3) 根据弯矩方程，确定各段的弯矩值；4) 连接各段的弯矩值，绘制弯矩图。

《结构力学A》教学大纲二、课程目的和任务结构力学课程是土木工程专业的专业基础课，在该专业中占有重要地位。

设置本课程的目的是使学生系统的掌握杆件结构体系强度、刚度、稳定性及结构动力计算的基本理论和基本方法，为土木工程的结构设计及建筑施工提供必要的理论知识和分析方法，为后继专业课程的学习奠定必要的力学基础。

三、本课程与其它课程的关系本课程的先修课程是高等数学、线性代数、理论力学、材料力学。

高等数学、线性代数课为结构力学提供计算工具，如积分、求导运算、代数方程组的解算等。

理论力学课为结构力学提供计算原理，如平衡方程、虚功原理等；材料力学研究单个杆件的内力、应力和变形，为结构力学研究杆件体系的内力和位移计算提供必要的基础。

结构力学将在混凝土及砌体结构、钢结构、高层建筑设计理论、抗震理论、土木工程施工等后继专业课中得到应用。

这些课程中的计算方法和其他实用算法，将对结构计算加以补充。

四、教学内容、重点、教学进度、学时分配（一）绪论(2学时)1、主要内容（1）结构和结构的分类（2）结构力学的任务与方法（3）结构的计算简图（4）杆件结构的分类（5）荷载的分类2、重点结构的计算简图3、教学要求了解结构力学的任务与方法，理解并掌握结构的计算简图、结构和杆件结构的分类、荷载的分类。

（二）结构的几何组成分析(4学时)1、主要内容（1）几何组成分析的目的、几何不变体系和几何可变体系（2）自由度和约束的概念（3）几何不变无多余约束的平面杆件体系的几何组成规律（4）瞬变体系（5）几何组成分析举例（6）结构的几何组成与静定性的关系2、重点几何不变体系无多余约束的平面杆件体系的组成规则。

3、教学要求理解几何不变体系、几何可变体系和刚片、自由度、约束等概念，熟练掌握几何不变体系无多余约束的平面杆件体系的组成规则，理解结构的几何特性与静力特性的关系。

（三）静定梁(6学时)1、主要内容（1）静定单跨梁的计算（2）简支斜梁的计算（3）多跨静定梁2、重点静定单跨梁、静定多跨梁受力特点；分段叠加法绘制直杆弯矩图。

7-7 对称性的利用1位移法中对称性的利用关键是半结构的选取（1）对称荷载1Z 2Z 12Z Z =?12Z Z =−1Z 位移法中对称性的利用关键是半结构的选取Z 14在对称轴上的结点B 和A 均无转角及水平线位移，但可发生竖向线位移且两点相等，中央竖杆AB 不发生挠曲。

截取半结构时，可将杆AB 看作刚性杆而保留，并在结点B 、A 分别加上水平链杆支承。

EI =∞偶数跨对称结构1Z 2Z 3Z 结点转角为零（2）反对称荷载在对称轴上的截面C 没有竖向位移，但可有转角和水平位移。

2Z 1Z在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移,但有弯矩和弯曲变形。

可将中间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半。

因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消。

对称轴上的结点A 和B 均有转角和侧移，但无竖向线位移，中央竖杆AB 发生挠曲变形。

在截取半结构计算时，除了取竖杆AB 刚度之半(EI /2)外，还应在A 处加一竖向链杆支承。

1Z 2Z 3Z 4Z 5Z 6Z81Z 2Z 3Z 最少未知量1Z 2Z M1Z 讨论：M1Z 01111=+P R Z r M M/2M PM1Z 2Z 3Z 2Z 1Z 3Z PM111Z 2Z 2Z 1Z 3Z 2Z 1Z 3Z12列出用位移法并利用对称性计算图示刚架的基本结构及典型方程。

（各杆的EI =常数）a a a a aq qm2a 例取半结构13mq qZ 1q典型方程：01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r Z 1q2Z 2Z典型方程：3434333=++P R Z r Z r r Z r Z R P 43344440++=2Z 1Z取半结构示例16mq qZ1Z117例1利用对称性简化图a 所示的对称结构，取出最简的计算简图、基本体系，并作出M 图。

1111=+P R Z r183511EI r =mkN R P ⋅−=301EIZ 5901=最简的基本体系及M 图PM Z M M +=11例219图示结构，设E I=常数，P=10kN，试画出刚架的M图。

第1次作业四、主观题(共8道小题)18.用力法作图示结构的M图，EI＝常数。

参考答案：建立力法方程：绘单位弯矩图和荷载弯矩图，求系数和自由项，求解出，即由叠加原理作出最后弯矩图。

19.用力法计算，并绘图示结构的M图。

EI = 常数。

参考答案：建立力法方程：绘单位弯矩图和荷载弯矩图，求系数和自由项，求解出，即20.用位移法作图示结构M图，各杆线刚度均为i，各杆长为l 。

参考答案：21.已知图示结构在荷载作用下结点A产生之角位移（逆时针方向），试作M图。

参考答案：22.图（a）所示结构，选取图（b ）所示的力法基本结构计算时，其。

参考答案：23.图示结构用位移法求解时典型方程的系数r22为。

参考答案：24.图示排架结构，横梁刚度为无穷大，各柱EI相同，则F N2＝。

参考答案：F P／225.图示刚架，已求得B点转角＝0.717/ i ( 顺时针）, C 点水平位移＝ 7.579/ i （），则＝，＝。

参考答案：－13.9；－5.68第二次作业四、主观题(共8道小题)15.用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵K，E =常数。

不计轴向变形影响。

参考答案：16.试求图示结构原始刚度矩阵中的子块K22的4个元素。

已知各杆件在整体坐标系中的单元刚度矩阵为：参考答案：17.求图示结构的自由结点荷载列阵F18.已用矩阵位移法求得图a所示结构单元③的杆端力(整体坐标)为参考答案：19.在矩阵位移法中，处理位移边界条件时有以下两种方法，即和，前一种方法的未知量数目比后一种方法的。

参考答案：先处理法；后处理法；少 ( 或：后处理法，先处理法，多 )20.矩阵位移法中，单元的刚度方程是表示与的转换关系。

参考答案：杆端力；杆端位移21.局部坐标系中自由单元刚度矩阵的特性有、。

参考答案：奇异性；对称性22.结构原始刚度矩阵中，元素K45的物理意义就是＝1时，所应有的数值。

参考答案：；在方向产生的力第三次作业四、主观题(共11道小题)14.图示体系各杆EI、l 相同，不计各杆自重。

8-6 非结点荷载的处理1在矩阵位移法中，荷载是通过结点传递到结构上的，因此，荷载必须作用于结点上，作用于结点上的荷载称为结点荷载。

KΔ=F结点荷载列阵2位移法216m6mi i(0,0,0)①② ⎪⎭⎪⎬⎫=+++=+++=+++000333323213123232221211313212111P P P R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r 位移法在非结点荷载作用下可直接求解。

Z 1Z 2Z 3不计轴向变形影响情况下：(非结点荷载作用于杆件上)结点作用非荷载3矩阵位移法216m6mi i(0,0,0)①② ⎪⎭⎪⎬⎫=Δ+Δ+Δ=Δ+Δ+Δ=Δ+Δ+Δ333323213123232221211313212111P K K K P K K K P K K K 在矩阵位移法中，荷载是通过结点传递到结构上，因而荷载必须作用在结点上。

M P FK Δ=受结点荷载作用不计轴向变形影响情况下：1Δ2Δ1Δ3ΔP －M 0当结构上的荷载为非结点荷载时，必须用等效结点荷载来代替非结点荷载。

“等效”是指经变换得到的等效结点荷载与变换前的非结点荷载产生的结点位移是相等的。

采用位移法中在原结构的独立结点位移上设置附加约束，形成基本结构，再解除附加约束的办法处理。

①②③18kN/m30kN30kN.m 3m5m4m(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)(10,11,12)结点荷载非结点荷载EP F F F +=①②③18kN/m30kN30kN.m3m5m 4m（1）假想将单元②的两端结点位移完全约束住，设置两个附加刚臂和两根链杆，这样，单元②成为两端固定的杆件。

②7单元的固端力列阵在两端结点上产生在局部坐标系中的固端力，即(e)F F ()04537.504537.5TF=−(2)F单元的固端力列阵②2x8单元的等效结点荷载列阵（2）解除约束即将上述固端力变号并进行坐标转换，得到结构坐标系中的单元等效结点荷载列阵，即)(FT)()(Ee e e FTF−=Dθ)2(=IT=)2(()T23E 22E 2F2E 537450537450..)()()()(−−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−=F F F F 对于单元②，9综合结点荷载列阵（3）再将各单元等效结点荷载按“对号入座”法则集成、累加得到结构等效结点荷载列阵F E 。

二、考虑阻尼作用的单自由度自由 振动无外部激励的振动其振动幅度会逐渐减小，直至 停止，这种现象称衰减 （decay）。

振幅随时间减小 停止，这种现象称 说明在振动中有能量损耗，能量耗完，振动停止。

引起耗能的原因主要有： 1.材料内摩擦阻力 2.环境介质阻力 3.连接处摩擦力 4.地基土内摩擦力1这些耗能因素称为阻尼 , 这些耗能因素称为 它是动力分析的一个重 要特性。

单自由度体系有阻尼的自由振动方程2 + cy  + ky = 0 m y令c 2ξ ω = mk c  + y + y=0 y m mω2 (t ) + 2ξωy  (t ) + ω y (t ) = 0 y2ξ---阻尼比c ξ= 2 mωc = 2mωξ ---阻尼系数2    y ( t ) + 2 ξω y ( t ) + ω y ( t ) = 03特征方程其解为λ + 2ξωλ + ω = 02 2λ1, 2 = ω (−ξ ± ξ − 1)2阻尼比的取值不同特征方程的根是不同的， 微分方程的解也不同。

(1) 小阻尼；0 < ξ <1ξ >1(2) 临界阻尼； ξ = 1 (3) 大阻尼1. 小阻尼情况 0 < ξ < 1令 有阻尼的频率为24ωd = ω 1 − ξ22λ1, 2 = ω (−ξ ± ξ − 1)−ξ ⋅ω ⋅tλ1, 2 = −ωξ ± iωd   y t )e+ 2ξω y (t ) + ω y (t ) = 0 y (t )(= (C 1 cos ω d t + C 2 sin ω d t )C1 = b sin ϕ d y(t) = e−ξ ⋅ω⋅t−ξ ⋅ω⋅tC2 = b cos ϕ d常值(b sinϕd cosωd t + b cosϕd sinωd t)= be f(t) sin(ωd t +ϕd )比较无阻尼情况y(t ) = a sin(ωd t + ϕd )= be sin(ωd t + ϕd ) 5 小阻尼情况下体系运动的时间——位移曲线ξω = k ——衰减系数周期Td = 2π ωd−ξ ⋅ω⋅t体系运动的时间——位移曲线 为衰减的正弦曲线ωd = ω 1 − ξ2频率随着阻尼的增大而减小；周期随着 阻尼的增大而增大。