第三章空间向量与立体几何单元测试
(时间:９０分钟满分：1２0分)
第Ⅰ卷(选择题，共５0分)
一、选择题：本大题共１０小题,每小题5分，共50分.
1．以下四组向量中,互相平行的组数为()
①a＝（２,2,1）,b＝(３，-2，-2);②a＝(8,4,-6),b=(4,2,-３）；③a＝(０,-1，１），b=(0,３,-3);④a=（-3,２,0),ｂ=（4,-3,３)
A.１组ﻩB．2组
Ｃ．3组ﻩD．4组
解析:∵②中a＝2b，∴a∥b；③中ａ=－错误!ｂ,
∴a∥b；而①④中的向量不平行．
答案：B
2．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－｜b|=|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥ｂ,则存在唯一的实数λ,使ａ=λb;③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若错误!=2错误!－2错误!-错误!，则P,A,Ｂ，C四点共面；④若｛a,b,c｝为空间的一组基底,则{a+b，ｂ＋c，c+ａ｝构成空间的另一组基底;⑤｜(a·ｂ）·ｃ｜=｜a|·|b|·|c|.
Ａ．２个ﻩB.3个
C．4个ﻩD．5个
解析：①|a|-|ｂ｜＝|a＋b｜⇒ａ与b共线,但a与b共线时｜a|－|b|＝|a+b|不一定成立,故不正确;②ｂ需为非零向量,故不正确;③因为2-2-1≠１，由共面向量定理知,不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确.
答案:Ｃ
３.如图，已知四边形ＡBCD为矩形,PＡ⊥平面ABCD,连接ＡC,BD,ＰB，PC，PD,则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（)
A.错误!与错误!B．错误!与错误!
C.错误!与错误!
D.错误!与错误!
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
设矩形ＡBCD的长、宽分别为a,b，P A长为ｃ,则Ａ(0,0,0),Ｂ(b,0，0）,Ｄ(0,ａ,０)，Ｃ（b,ａ，0)，P（0,0，c)．
则错误!＝(b，a,－c),错误!＝（-b，a，0),错误!=(0，-a，0)，错误!＝(b,0,-ｃ),错误!＝（0,a,－c),错误!=(ｂ,0,0)，错误!=(0,0,－c）,错误!＝（-b,0，０).
∴＼ｏ(PC,＼ｓ＼up1５(→）)·错误!=－b２＋a2不一定为0.
错误!·错误!=０，错误!·错误!＝0，错误!·错误!=0.
答案：A
４.已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且ａ＝3e1+2ｅ2-e3,b＝e1＋2ｅ3，则（6a)·错误!等于()
A．15 Ｂ.3
C．-3 ﻩＤ．5
解析:(6a）·错误!＝3a·b=３（3e1＋2ｅ2-ｅ3)·(ｅ1＋2e３)=9|ｅ1｜２-6|ｅ３|2＝3．
答案：Ｂ
５.如图,AＢ＝AC=BD＝1，AＢ⊂面α，AＣ⊥面α,BＤ⊥AＢ，BD与面α成30°角,则Ｃ、D间的距离为()
A．1 B．2
C.2ﻩ
D. 3
解析：|错误!|２＝|错误!＋错误!＋错误!|2＝|错误!|2＋|错误!|2+｜错误!|２+２错误!·错误!+２错误!·错误!＋2错误!·错误!=1＋1＋1＋0+0+2×1×1×cos１20°=2.∴|错误!|=错误!.
答案:Ｃ
6.已知空间三点O(0,0,0),A（－1,1,0）,B(0,1,1）在直线OA上有一点H 满足ＢH⊥OＡ，则点Ｈ的坐标为( )
A.(-2,2，0) Ｂ．(２,－2,０)
Ｃ．错误!ﻩD.错误!
解析：由错误!＝(-１,1，0)，且点H在直线OA上,可设H(-λ，λ,０),则错误!
＝（-λ,λ-1，－1).
又ＢＨ⊥OＡ,∴错误!·错误!=０，
即（-λ,λ－１，－１)·(-1，1,0)＝０,
即λ＋λ－1=0,解得λ=＼f(1,2）,∴H错误!.
答案：Ｃ
７.已知a＝(cosα,1,ｓinα)，b=(ｓinα，１,cosα)，则向量a＋ｂ与a-b的夹角是（)
Ａ.90°Ｂ．60°
C．３0°ﻩＤ．０°
解析：（a+b)·（ａ－b)=a2－b２＝(cｏs２α＋sｉn2α+１)-(sin2α+1＋cｏs２α)=0，∴(a+b）⊥(ａ－b).
答案：A
8.已知E、Ｆ分别是棱长为１的正方体ＡＢCD-Ａ1B1Ｃ1D1的棱BC、ＣC1的中点,则截面AＥＦD１与底面ＡＢCＤ所成二面角的正弦值是( )
A.错误!ﻩ
B.错误!
C.错误!ﻩＤ.错误!
解析：以Ｄ为坐标原点，以ＤA、ＤC、DD１分别为x轴、ｙ轴、z轴建立空间直角坐标系,如图．则A(1,0,0),E错误!，F错误!，D1(0，0,1)，ｌ所以错误! =(－1,0，1)，错误!＝错误!．
设平面AEF Ｄ1的法向量为n ＝(ｘ，y ,z ），
则错误!⇒错误!
∴x ＝2y =z ．取ｙ＝1,则n ＝(2，1,2)，而平面A ＢC Ｄ的一个法向量为ｕ
=(0，0，1）,∵ｃos 〈n ，ｕ〉=＼f （2,3),∴ｓi ｎ〈n ，u 〉＝53.
答案:C
9．在三棱锥P -A ＢC 中,△ABC 为等边三角形,P A ⊥平面ＡBC ,且P A ＝AB ,则二面角Ａ-ＰB -Ｃ的平面角的正切值为（ )
A ．错误!
B ．错误!
C ．＼r(6)６ D.错误!
解析:设P Ａ=AB =２，建立如图所示的空间直角坐标系.
则B (0,2，0）,C (3，１,0),P (0，0,2),
∴错误!=(0,－2,2)，
ＢＣ＼s ＼u ｐ15(→)＝(错误!,-1,0)．
设n ＝（x ,y ,z )是平面PBC 的一个法向量．
则错误!即错误!
令ｙ＝1，则x =错误! ,ｚ＝1.
即n ＝错误!.
