求函数值域的
7类题型和16种方法
一、函数值域基本知识
1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则
①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；
②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；
③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地，常见函数的值域：
1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.
2.二次函数()2
0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫
-+∞⎪⎢
⎣⎭
，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤
--∞ ⎥⎝⎦.，
3.反比例函数()0k
y k x
=
≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型
题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）
1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ；
2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）
1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为
()()22
4 044 04ac b y a a
ac b y a a ⎧-≥>⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩
2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2b
x a
=-
与区间[],m n 的位置关系 （1）若[],2b m n a -∈,则当0a >时，()2b
f a
-是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中
较大者；当0a <时，()2b
f a
-是函数的最大值，最大值为
(),()f m f n 中较小者。
（2）若[],2b
m n a
-
∉,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域；
③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=k x
k
y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d
y ax b
+=
+的值域： （1）若定义域为b x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭时，其值域为c y R y a ⎧
⎫
∈≠
⎨⎬⎩⎭
（2）若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d by
x ay c
-=-，然后利用[],x m n ∈（即x 的有界性），便可求出函数的值域。
例3：函数23321x x y -=-g 的值域为[)1,3,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ；若[]1,2x ∈时，其值域为11,511⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
。 例4：当(]3,1x ∈--时，函数1321x y x -=
+的值域34,2⎡
⎫--⎪⎢⎣⎭
。（2）已知()312x f x x -+=-，
且[)3,2x ∈-，则()f x 的值域为6,5⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦。
例5：函数2sin 13sin 2x y x -=
+的值域为[)1,3,5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦；若3,
22x ππ
⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其值域为12,23⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
。 题型四：二次分式函数22dx ex c
y ax bx c
++=++的值域
一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题：①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在；③分子、分母必须是既约分式。
例6：2216x x y x x +-=+-；()21,,7⎛
⎤+∞⋃-∞ ⎥⎝
⎦
例7：222
1x x y x +-=-；{}1y R y ∈≠
例8：432+=x x y ；33,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
例9：求函数()21
1,21
x y x x x -=∈-+∞++的值域
解：由原函数变形、整理可得：()22110yx y x y +-++=
求原函数在区间()1,-+∞上的值域，即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围
当0y =时，解得：()11,x =∈-+∞也就是说，0y =是原函数值域中的一个值…①
当0y ≠时，上述方程要在区间()1,-+∞上有解，
即要满足()10f -<或0211
2y y ≥⎧⎪
-⎨->-⎪⎩
V 解得：108y <≤……②
综合①②得：原函数的值域为：10,8⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
题型五：
形如y ax b =+±这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。
例10：求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域[]4,4- 题型六：分段函数的值域：
一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11：21++-=x x y [)3,+∞ 例12：241y x x =-++(],5-∞
