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2. 左极限与右极限
左极限 : f
( x0 ) lim x x0
f ( x) A
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) A
x x0
定理 .
x x0
lim f ( x) A
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
2
a
3
.
第四节 目录
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作业:
P19 2
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第三节 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
第一章
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1. 时函数极限的定义
引例. 鼻子测风速的故事
风扇
鼻子的位置
2.9 6
2.99 6.7
2.999 6.92
2.9999 6.991
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3. 性质
定理1 .（极限唯一性） 若 存在，则唯一。
定理2 .（局部保号性） 若 且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x) 0. ( f ( x) 0)
A A A
yபைடு நூலகம்
y f ( x)
x0 x0 x
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二、自变量趋于无穷大时函数的极限
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
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练习： 求下列函数极限，若极限不存 在，说明理由。 函数 如图示：
x
lim f ( x) A -----当自变量
无限趋于 。
时，对应的函数值
无限接近常数值 无限趋于
-----当自变量 时，对应的函数值
lim f( x) A
x
x
无限接近常数值
lim f( x) lim f( x) A
x
。
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例7. 思考
2.99999 6.999993
风速
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定义（通俗版） 函数 当自变量 在 无限接近 的某个去心邻域有定义 时，对应的函数值
无限接近常数 值
则称常数 A 为函数 极限,
0
。
当 时的
记作:
lim f ( x) A 或 x x
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例1.
例2. 例3. 求
lim arctan x ?
x
lim e x ?
x
2 x lim 2 x 3x
2
?
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练习：
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有 lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0 x x0
a x , x 1 且 lim f ( x) 存在, 则 2. 设函数 f ( x) 2 x 1, x 1 x 1
x x0
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例4. 给定函数
y
x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 O 1 x y x 1 x 1 , x 0 讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 . 因为
x 0 x 0
y x 1
定义（通俗版） 函数 当自变量 无限趋于 时，对应的函数值
无限接近常数值 则称常数 A 为函数 当 时的极限,
记作 lim f( x) A 或
x
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1 ?. 例6. 思考 lim x x 1 lim 0. x x
y
O
1 y x
x
注:
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两种特殊情况 :
