第3次 函数的极限

三次方函数极限推到求导
三次方函数是一种非常重要的函数形式，在数学中有着广泛的应用。

在求解三次方函数的极限和导数时，我们可以采用一些特定的方法和技巧，可以让我们更加便捷地求解这些问题。

首先，我们需要了解三次方函数的定义和特性。

三次方函数可以用公式y=x^3来表示，其中x是自变量，y是因变量。

三次方函数在x轴的左侧呈现下凸曲线，在x轴的右侧呈现上凸曲线，同时具有一点对称性，即关于原点对称。

在求解三次方函数的极限时，我们可以使用夹逼定理、变量替换和泰勒公式等方法。

夹逼定理是一种基于数列极限的方法，可以通过构造夹逼数列来求解三次方函数的极限。

变量替换则是一种将函数变量转换为其他变量的方法，可以将三次方函数转换为其他更容易求解的函数形式。

泰勒公式则是一种将函数近似为多项式的方法，可以通过泰勒展开式来求解三次方函数的导数。

在求解三次方函数的导数时，我们可以使用求导法则、链式法则和复合函数法则等方法。

求导法则是一种基于函数导数性质的方法，可以通过对函数进行求导来得到三次方函数的导数。

链式法则则是一种将复合函数的导数分解的方法，可以将三次方函数拆分为多个函数的组合形式，然后分别求导。

复合函数法则则是一种将函数的导数转化为其他函数的导数的方法，可以通过将三次方函数转化为其他函数的组合形式来求解其导数。

通过以上方法，我们可以更加深入地理解和掌握三次方函数的
极限和导数性质，为我们在实际问题中的应用提供了有力的支持。

课程教案课程教案附页定理1：函数∕α∙)当Λ-→X0时极限存在的充要条件是左极限与右极限同时存在且相等，即Iim f(x) = Iiin f(x).-V→Λo-V→⅞例 8∙P12 例 4、5.2、自变量•、趋于无穷大时函数的极限(1)A→+∞定义11：设函数/(_¥)在区间(α+oo)(d>0)内有立义.如果当x→+∞时，对应的函数值/(X)能够无限趋近于某个常数A ,则称A是函数/(x)当x→+oo时的极限，记作Iinl f(x) = A,或者/(x) → A (X → +∞)..V→+M例 9.P12 例 6.(2) A → -∞定义12：设函数/(X)在区间(-oc,α)(α<O)内有定义.如果当A→-∞时，对应的函数值/Ct)能够无限趋近于某个常数A ,则称A是函数∕ω当x→-∞时的极限，记作 Iimf(x) = A,或者f(x) → A (A →-∞).Λ->-X例 9.P12 例 6.(3)A-→ X定义13：设函数/co当忖>"(α>o)时有上义.如果当A-→∞时，对应的函数值 /(X)能够无限趋近于某个常数A,则称A是函数/(X)当x→∞时的极限，记作 Iim f (x) = A t或者f(x)→ A (x→∞).X >00例 10.P13 例&定理2：函数f(x)当XToC时极限存在的充要条件是Iim f(x)与Iim f(x)同时存Λ→-X Λ→+X在且相等，即Iinl f(x) = Iim f(x)..v→-αo.v→÷αc∙*例 11.P13 例 9、10.第三节无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是极限过程中常见的两种变疑.一、无穷小量1、定义定义14：如果函数/(x)在X的某一变化过程中极限为0,则称/(x)为该过程中的无穷小量,简称无穷小.例 12.P14 例 1、2. 讲授法练习讲授法听讲思考、练习听讲IOminIOminIOmin3）函数/（x）是否是无穷小量与自变量兀的变化过程有关，例如因为Iim- = O,所以丄为当Λ →∞时的无穷小星而Iim丄=IH0,所以当xτl时，丄不再是无穷小X XTl X XM.因此在说函数∕α∙）是无穷小量时必须指明自变量X的变化过程.2、性质（1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量.（2）有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量.（3）常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.（4）有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.例 13.P14 例 3.3、无穷小量的比较定义15：设α, 0是同一变化过程中的两个无穷小量，且α≠0.（1）如果IimE = O,则称0是α的高阶无穷小，记作β = o（a）.a（2）如果IimE=C（C H O）,则称0与α是同阶无穷小•特别地，当C = I时，则称a0与α是等价无穷小，记作a〜P・例如P15熟记：当XTO时常见的等价无穷小P15.定理3： P15定理1.3例 14.P15 例 4.二、无穷大量定义 16： P16 定X 1.12IinV（X） = OC （无穷大量）例如，丄是当XTO时的无穷大，记作Iiml = ∞:X E X1是当XTI时的无穷大，记作Iim 1-∞:/是当Λ∙→+OC时的无穷大，记作Iim e x=+∞↑x→÷βInX是当x→0+时的无穷大，记作IimInX = -OO。

一、 极限定义、运算法则和一些结果1. 定义: （各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述）。

说明: （1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明, 例如: ； ； ；等等（2）在后面求极限时, （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。

2. 极限运算法则定理1 已知 , 都存在, 极限值分别为A, B, 则下面极限都存在, 且有 （1）（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B BA x g x f 说明: 极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。

3. 两个重要极限（1） 1sin lim 0=→xx x （2） e x x x =+→1)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明: ( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。

一定注意两个重要极限 成立的条件。

例如: , , ；等等。

4. 洛比达法则定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当 时, 下列函数都是无穷小（即极限是0）, 且相互等价, 即有:x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。

说明: 当上面每个函数中的自变量x 换成 时（ ）, 仍有上面的等价关系成立, 例如: 当 时, ～ ； ～ 。

定理4 如果函数 都是 时的无穷小, 且 ～ , ～ , 则当 存在时, 也存在且等于 , 即 = 。

5. 洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时, 函数 和 满足: （1） 和 的极限都是0或都是无穷大；（2） 和 都可导, 且 的导数不为0；（3）)()(lim x g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限 也一定存在, 且等于 , 即 = 。

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

求函数极限的方法与技巧6篇第1篇示例：求函数极限的方法与技巧在学习数学的过程中，函数极限是一个非常重要的概念。

通过求函数的极限，我们可以了解函数在某一点的变化趋势，从而掌握函数的性质和特征。

在实际应用中，求函数极限也是解决数学问题和物理问题的基础。

那么，如何求函数的极限呢？下面我们就来讨论一下求函数极限的方法与技巧。

我们来说一说函数极限的定义。

对于函数f(x)，当自变量x趋于某一值a时，如果函数值f(x)无限接近于某一确定的常数L，那么常数L 就是函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。

换句话说，就是当x无限接近a时，f(x)的取值无限接近L。

要求函数的极限，就是要找到这个L。

1. 代入法：对于一些简单的函数，我们可以直接代入a的数值，求出f(a)的值。

如果f(a)存在且有限，那么这个值就是函数在点a处的极限。

2. 因子分解法：对于一些复杂的函数，我们可以通过因子分解来求得函数的极限。

根据函数的性质，我们可以将函数分解为一些简单的分式或者根式，从而求得极限的值。

3. 夹逼定理：对于一些特殊的函数，我们可以利用夹逼定理来求得函数的极限。

夹逼定理是一种通过两个较为简单的函数来夹逼待求函数的极限的方法，通过和两个函数比较来逼近待求函数的极限值。

4. 利用导数：对于一些连续的函数，我们可以利用导数来求得函数的极限。

通过求导数，我们可以得到函数的切线斜率，从而得到函数在某一点的变化趋势。

除了以上的方法与技巧，还有一些注意事项需要我们在求函数极限时要注意：1. 涉及无穷大的极限时，要格外注意函数的性质，以及无穷大的表示方式。

2. 找出函数的不确定形式，通过化简或者变形来求得函数的极限。

3. 对于有理函数的极限，要特别注意分母为0的情况，以及分子、分母次数的关系。

4. 要熟练掌握常用函数的极限形式，比如指数函数、对数函数、三角函数等。

5. 在求导数时，要注意一阶导数、高阶导数等，以及导数的性质和规律。

泰勒公式求极限S1：函数极限存在情况讨论根据S2的分析，我们知道函数极限在排除有界变量等特殊情况之下，可通过使用泰勒公式分别将分子分母等价位一个x的幂次项（最低幂次），从而化为式limx→0axkbxl1.极限为0的情况当（，a=0，b≠0）或(a≠0,b≠0,k>l)时，limx→0axkbxl=02.极限为∞的情况当（，a≠0，b=0）或(a≠0,b≠0,k<l)时，limx→0axkbxl=∞3.“上下同阶”的情况此时有k=l且（，a≠0，b≠0）时，limx→0axkbxl=ab毋庸置疑，考研的考点就是第三种情况！在我做题的逻辑上，是先进行S2的“等价无穷小”（泰勒公式），才进行后面的情况探讨，实际上，大家也可以看出来，化成最低幂次的形式，结果显然易得，或许根本不需要分类讨论，这就是我为什么刚开始没写这部分的原因，没有探讨的深度！实际上，你只要用泰勒公式做个30道题左右，自然会体悟出泰勒公式使用的注意点，希望大家身体力行，否则，即便看了我的分享，可能在考场上也无法用到！S2：更为广泛的等价无穷小！那么，就让我们来阐述以下泰勒公式的使用注意点！首先给出常用的8个泰勒展开公式！当x→0时，一些常用函数可用一组多项式来表示，即sinx=x−x36+o(x3)arcsinx=x+x36+o(x3)tanx=x+x33+o(x3)arctanx=x−x33+o(x3)cosx=1−x22+x424+o(x4)ln(1+x)=x−x22+x33+o(x3)ex=1+x+x22+x36+o(x3)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+α(α−1)(α−2)6x3+o(x3)(或α=±1或12最常用)tips：在考研数学范围内，以上常用函数和展开项数均达到考研考察的上限！一.x→0一定要注意此处给的泰勒公式仅适用于x→0时的情况，所以，当（）x→a（a≠0）或x→∞时的情况，需要先进行代换，即令t=x−a或t=1x,此时，有t→0，即可放心使用泰勒公式。