高等数学函数的极限与连续习题及答案

《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

专升本高等数学二（函数、极限与连续）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．下列四组函数中f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A．f(x)=tanx，g(x)=B．f(x)=lnx3，g(x)=3lnxC．f(x)=，g(x)=D．f(x)=ln(x2一1)，g(x)=ln(x一1)+ln(x+1)正确答案：B解析：A、D选项中，两函数的定义域不同，C选项中，当x＜0时，f(x)≠g(x)，B选项中，f(x)=lnx3=3lnx=g(x)，定义域均为x＞0，故选B．知识模块：函数、极限与连续2．函数f(x)=是( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．不能确定奇偶性正确答案：B解析：由于一1＜x＜1，从而定义域关于原点对称，又f(一x)==f(x)，所以函数f(x)为偶函数．知识模块：函数、极限与连续3．= ( )A．B．1C．D．3正确答案：C解析：．知识模块：函数、极限与连续4．极限等于( )A．0B．1C．2D．+∞正确答案：D解析：因该极限属“”型不定式，用洛必达法则求极限．原式=(ex＋e－x)=+∞．知识模块：函数、极限与连续5．当x→0时，无穷小x+sinx是比x ( )A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：=2，故选C．知识模块：函数、极限与连续6．=6，则a的值为( )A．一1B．1C．D．2正确答案：A解析：因为x→0时分母极限为0，只有分子极限也为0，才有可能使分式极限为6，故[(1＋x)(1＋2x)(1+3x)+a]=1＋a=0，解得a=一1，所以=6．知识模块：函数、极限与连续7．下列四种趋向中，函数y=不是无穷小的为( ) A．x→0B．x→1C．x→一1D．x→+∞正确答案：B解析：知识模块：函数、极限与连续8．设f(x)== ( )A．4B．7C．5D．不存在正确答案：A解析：知识模块：函数、极限与连续填空题9．函数y=ln(lnx)的定义域是_________．正确答案：(1，+∞)解析：y=ln(lnx)，所以解得x＞1，故函数的定义域为(1，+∞)．知识模块：函数、极限与连续10．已知f(x)=2x2+1，则f(2x+1)= _________．正确答案：8x2+8x+3解析：用代入法得f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3．知识模块：函数、极限与连续11．=________．正确答案：解析：令．也可直接利用无穷小量代换．知识模块：函数、极限与连续12．=________．正确答案：e2解析：=e2．知识模块：函数、极限与连续13．设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：3解析：因为函数f(x)在x=0处连续，则=a=f(0)=3．知识模块：函数、极限与连续14．设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b满足的关系是________．正确答案：a=b解析：函数f(x)在x=0处连续，则有=b，即a=b．知识模块：函数、极限与连续解答题15．已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x+4)的定义域．正确答案：因为f(x)的定义域是[0，1]，所以在函数f(x+4)中，0≤x+4≤1，即一4≤x≤一3，所以f(x+4)的定义域为[一4，一3]．涉及知识点：函数、极限与连续16．计算．正确答案：函数－x复合而成，利用有理化求得．故．涉及知识点：函数、极限与连续17．求．正确答案：0．∞型，先变形为，再求极限．=1．涉及知识点：函数、极限与连续18．求极限．正确答案：=1．涉及知识点：函数、极限与连续19．求极限．正确答案：原式==一15π2．涉及知识点：函数、极限与连续20．求极限．正确答案：所求极限为∞一∞型，不能直接用洛必达法则，通分变成型．涉及知识点：函数、极限与连续21．求．正确答案：涉及知识点：函数、极限与连续22．求极限．正确答案：1一，则有原式=．涉及知识点：函数、极限与连续23．若函数f(x)=在x=0处连续，求a．正确答案：由=一1．又因f(0)=a，所以当a=一1时，f(x)在x=0连续．涉及知识点：函数、极限与连续24．设f(x)=问a为何值时，f(x)在x=0连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点．正确答案：f(0)=6，(1)若f(x)在x=0处连续，应有2a2+4=一6a=6，故a=一1；(2)若x=0是f(x)的可去间断点，则应有≠f(0)，即2a2+4=一6a≠6，故a≠一1，所以a=一2时，x=0是可去间断点．涉及知识点：函数、极限与连续25．证明方程x3+x2+3x=一1至少有一个大于一1的负根．正确答案：令f(x)=x3+x2+3x+1，f(一1)=一2＜0，f(0)一1＞0，f(x)在(一1，0)上连续，由零点定理知，在(一1，0)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0，所以方程在(一1，0)内至少有一根，即方程至少有一个大于一1的负根．涉及知识点：函数、极限与连续。

习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1) 1n nx n =+ ;(2) 2(1)n n x =--；(3) 13(1)n n x n =+-；(4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞=。

(4) 12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n=-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ;(2)有界数列一定收敛；(3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3) 323125lim-=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=.(2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3) 对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n .习题2-2 1. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1) 21limx x →∞;(2) -lim xx e →∞；(3) +lim xx e-→∞；(4) +lim cot x arc x →∞;(5) lim 2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+；(7) 1lim(ln 1)x x →+；(8) lim(cos 1)x x π→-解：(1) 21lim0x x →∞= ;(2) -lim 0xx e →∞=；(3) +lim 0xx e -→∞=；(4) +lim cot 0x arc x →∞=;(5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=；(7) 1lim(ln 1)1x x →+=；(8) lim(cos 1)2x x π→-=-2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件(C ) 充要条件(D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

（一）函数、极限、连续一、选择题：1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。

(A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y(D)25-=x y2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数3、 当x →1时，31)(,11)(x x xxx f -=+-=ϕ都是无穷小，则f (x )是)(x ϕ的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小4、 x =0是函数1()arctan f x x=的( )（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点5、 下列的正确结论是（ ）（A ）)(lim x f xx →若存在，则f (x )有界；（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0x g xx →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0x f x x →也 存在；（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;（D ） 当∞→x 时，xxx x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.二、填空题：1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1则f (x )的表达式为 ;2、 已知数列n x n 1014-=的极限是4, 对于,1011=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ;3、 3214lim 1xx ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设,)(a x ax x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0,;0,)(,sin )(⎩⎨⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ；三、 计算题:1、计算下列各式极限：（1）xx x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x x x x -+→11ln 1lim 0； （3）)11(lim 22--+→x x x （4）xx x x cos 11sinlim30-→ （5）x x x 2cos 3sin lim 0→ （6）xx xx sin cos ln lim0→2、确定常数a , b ，使函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,11,11,arccos )(2x x x b x x a x f 在x =-1处连续.四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a <f (x )<b , 证明在(a , b )内至少有一点ξ，使()f ξξ=.（二）导数与微分一、填空题:1、 设0()f x '存在，则tt x f t x f t )()(lim 000+--+→= ;2、 ,1,321,)(32⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设xey 2sin =, 则dy = ;4、 设),0(sin >=x x x y x则=dxdy ; 5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x 确定的隐函数, 则(0)f '= .二、选择题:1、 )0(),1ln()(2>+=-a a x f x则(0)f '的值为( )(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 21 2、 设曲线21x e y -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )(A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=03、 设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0),1(0)(2x x b x ex f ax 处处可导，则( ) (A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =14、 若f (x )在点x 可微,则xdyy x ∆-∆→∆0lim 的值为( )(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( ) (A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx ' (C)(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '三、计算题：1、 设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '2、 若g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2x x x x 又f (x )在x =0处可导，求))((=x x g f dx d3、 求曲线⎩⎨⎧=++=-+010)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ5、 设3222()x y y u x x =+⋅=+, 求.dudy 6、 设()ln f x x x =, 求()()n f x .7、计算.（三）中值定理与导数的应用一、填空题：1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;2、 若01lim sin 22ax x e b x →-=则a = , b = ; 3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)(ln )0()(sin limx f f x f x -→= ;4、 x e y xsin =的极大值为 ，极小值为 ;5、)10(11≤≤+-=x xxarctg y 的最大值为 ，最小值为 . 二、选择题：1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（ ）（A ）仅有一个根； （B ）至少有一个根； （C ）没有根； （D ）以上结论都不对。

《高等数学辅导讲义》练习题解答第一章 函数、极限、连续 1. 【解】应选（D）.由于+∞=−→xx xe x tan lim 2π，则)(x f 无界.2. 【解】应选（B）. 由于x x x x sin ,1sin都在),0(+∞上连续.且01sin lim 0=→x x x ，;11sin lim =+∞→xx x 1sin lim 0=→x x x ，0sin lim =+∞→x x x .故xxx x sin ,1sin 都在),0(+∞上有界. 3. 【解】应选（D）.由于)]()([t f t f t −+是奇函数，则∫−+xt t f t f t 0d )]()([是偶函数.4. 【解】应选（D）.反证：否则，若n x 和n y 都有界，则n n y x 有界，与题设矛盾。

（A）的反例：L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y （B）的反例：L ,1,3,1,1:n x ；.,4,1,2,1:L n y （C）的反例: L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y 5. 【解】应选（A）.反例见上题.6. 【解】应选（C）.若}{n a 收敛，由 1+≤≤n n n a b a 及夹逼原理知}{n b ；反之若}{n b 收敛，则}{n b 上有界，由 1+≤≤n n n a b a 知}{n a 单调增且上有界，故}{n a 收敛.7.【解】选（A）.若附加条件,0)(≠x ϕ则应选（D）. 8.【解】选（B）.)1(1)1(1lim 1)11(1sinlim )11()11(1lim11sin≠−=−+=+−+−∞→−∞→∞→ααααxxx x x x e x x xx9.【解1】选（C）.20)()21ln(lim xx xf x x ++→2220)()](2)2(2[lim x x xf x x x x ++−=→ο,12)(2lim0=−+=→x x f x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x【解2】20)()21ln(lim x x xf x x ++→20)](2[2)21ln(lim xx xf x x x x ++−+=→ ,1)(2lim 2)21ln(lim 020=++−+=→→xx f x x x x x 又.2)2(21lim 2)21ln(lim 22020−=−=−+→→xx x x x x x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x 10.【解1】应选（D）.直接法: 由2cos 1)(lim 0=−→x x f x 知 221)(lim20=→x x f x .即2~)(x x f n x n xx n x x x x x dt t x t t f 60sin 020sin 00sin 31lim lim d )(lim 22→→→==∫∫.0≠=a 则6=n . 【解2】 排除法：由2cos 1)(lim 0=−→xx f x 知，取2)(x x f =显然符合题设条件，此时∫∫==x x x x t t t t f 22sin 0sin 0662.31~sin 31d d )( 则（A）（B）（C）均不正确，故应选（D） 11. 【解】应选（D）.若,2=a 则bx xx x g x f x x 22ln 2sin arctan lim )()(lim−=→→2ln 222ln 2limb bx x x x −=−=→，显然（B）不正确，则,1=a 且 3002sin arctan lim )()(lim x b x x x g x f x x −=→→302][sin ][arctan lim x b x x x x x −−−=→ 33302]61[]31[lim x b x x x −−−=→,131261lim 330=−=−=→b xb x x 故应选（D）. 12. 【解】应选（C）. k x x cx x x x g x f 3sin sin 3lim )()(lim00−=→→k x cxx x x x ]33[sin ]3sin 3[lim 0−−−=→ k x kx cx x cx x x 303304lim 6)3([)]61(3[lim →→=−−−=13. 【解】应选（D）（A）)(21)](21[)](211[1222244242x x x x x x ex x οοο+−=++−++=−+ （2阶）或]1[]11[1242422−−−+=−+x x ex ex 22~24x x −2~2x −（B）221~)cos 1(tan sin tan x x x x x x −=− （3阶） （C）3sin 02sin 02)(sin 31~sin x dt t dt t xx =∫∫ （3阶）（D）25cos 1023cos 1023)cos 1(52~sin x dt t tdt xx −=∫∫−−252)21(52~x （5阶）14.【解】应选（A）. 验证知2,1π±==x x 为)(x f 的无穷间断点，而1)(lim ,1)(lim 00−==−+→→x f x f x x .15.【解】应选（D）.)(x f 在1,0±=x 处可能间断，验证可知1−=x 为无穷间断点.16.【解】应选（C）. xx x x x f xln )1(1)(+−=在1,0,1−=x 处没定义，x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=−→−→−→=∞=+=+−→−→11lim ln )1(ln lim 11x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 000+−=+−=→→→111lim ln )1(ln lim 00=+=+=→→x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=→→→=2111lim ln )1(ln lim 11=+=+→→x x x x x x x x 故0=x 和1=x 为可去间断点. 17.【解】 应选（C）. 由函数be x a x xf x+−+=122)1)(()(在),(+∞−∞上有一个可去间断点和一个跳跃间断点可知，0<b ，否则)(x f 只有一个间断点.0=x显然0=x 是)(x f 的一个间断点，而另一个间断点只能是.1=x 而.e b −=,)(lim 20ea x f x =−→ .0)(lim 0=+→x f x ee x a x xf xx x −−+=→→12211)1)((lim)(lim e e x a x x −−+=→112)1(lim )1(e a e xa xx 21212111lim )1(+−=−+=→则1=x 为可去间断点，而0≠a 时，0=x 为跳跃间断点。

高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。

二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。

【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。

(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

第一章 函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)321x y x=+-(2) 1arctany x=+(3) 1arccosx y -=；(4) 313 , 1x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 解：(1)解不等式组23010x x +≥⎧⎨-≠⎩得函数定义域为[3,1)(1,1)(1,)---+∞U U ; (2)解不等式组230x x ⎧-≥⎨≠⎩得函数定义域为[U ;(3)解不等式组2111560x x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪-->⎩得函数定义域为[4,2)(3,6]--U ; (4)函数定义域为(,1]-∞.2．已知函数()f x 定义域为[0,1]，求(cos ),()() (0)f f x f x c f x c c ++->的定义域．解：函数f要有意义，必须01≤≤，因此f 的定义域为[0,1]；同理得函数(cos )f x 定义域为[2π-,2π]22k k ππ+；函数()()f x c f x c ++-要有意义，必须0101x c x c ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，因此，（1）若12c <，定义域为：[],1c c -；（2）若12c =，定义域为：1{}2；（3）若12c >，定义域为：∅． 3．设21()1,||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以 21(2)104a f a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22 ,>1,11(1)10 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4. 证明下列不等式:(1) 对任何x R ∈有 |1||2|1x x -+-≥; (2) 对任何n Z +∈有 111(1)(1)1n n n n++>++;(3) 对任何n Z +∈及实数1a >有 111na a n--≤.证明：（1）由三角不等式得|1||2||1(2)|1x x x x -+-≥---= （2）要证111(1)(1)1n n n n++>++，即要证111n +>+= 111(1)(1)(1)11111n n n n n +++++++<=+++L 得证。

1第一章函数、极限与连续一、选择题1．函数)(x f 的定义域为[]10，，则函数51()51(-++x f x f 的定义域是（）.A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,51B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,51C．⎦⎤⎢⎣⎡54,51D．[]1,02．已知函数()62+x f 的定义域为[)4,3-，则函数)(x f 的定义域是（）.A．[)4,3-B．[)14,0C．[]14,0D．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,293．函数211ln ++-=x xy 的定义域是（）.A．1≠x B．2-≥x C．2-≥x 且1≠x D．[)1,2-4．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．11)(+⋅-=x x x f ，1)(2-=x x g B．2)(π=x f ，x x x g arccos arcsin )(+=C．x x x f 22tan sec )(-=，1)(=x g D．1)(=x f ，x x x g 22cos sin )(+=5．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B．2)(,)(x x g x x f ==C．33341)(,)(-=-=x x x g x x x f D．xx x g x f 22tan sec )(,1)(-==6．若1)1(2-=-x x f ，则)(x f =（）.A．2)1(+x x B．2)1(-x x C．)2(+x x D．)1(2-x x 7．设xx f cos 2)(=，xx g sin 21)(⎪⎭⎫⎝⎛=，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，内成立（）.A．)(x f 是增函数，)(x g 是减函数B．)(x f 是减函数，)(x g 是增函数C．)(x f 和)(x g 都是减函数D．)(x f 和)(x g 都是增函数28．函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=（）.A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是偶函数，也是奇函数9．下列函数中（）是奇函数.A．1cos sin +-=x x y B．2xx a a y -+=C．2211x x y +-=D．)1)(1(+-=x x x y 10．函数x x x f sin )(2=的图形（）.A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称D．关于直线x y =对称11．下列函数中，（）是奇函数.A．2ln(1)x +B．)x C．sin x x D．x xe e-+12．若()f x 是奇函数，且对任意实数x ，有(2)()f x f x +=，则必有(1)f =（）.A．1-B．0C．1D．213．偶函数的定义域一定是（）.A．包含原点的区间B．关于原点对称 C.),(+∞-∞D．以上三种说法都不对14．若)(x f 是奇函数，)(x ϕ是偶函数，且)]([x f ϕ有意义，则)]([x f ϕ是（）.A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．奇函数或偶函数15．函数xx f 1sin )(=是其定义域内的什么函数（）.A．周期函数B．单调函数C．有界函数D．无界函数16．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，()x ϕ是单调减少，则[()]f x ϕ在(,)-∞+∞内（）.A．单调增加B．单调减少C．不是单调函数D．无法判定单调性17．函数xxe e y -+=的图形对称于直线（）.A．y x=B．y x=-C．0x =D．0y =318．下列函数中周期为π的是（）.A．xy 2sin =B．xy 4cos = C.xy πsin 1+= D.()2cos -=x y 19．下列函数是周期函数的是（）.A．)sin()(2x x f =B．xx f 1cos)(=C．xx f πcos )(=D．xx f 1sin)(=20．设1cos )(-=x x f 的定义域和周期分别为（）.A．πππ2,,22=∈+=T Z k k x B．ππ2,,2=∈=T Z k k x C．ππ=∈=T Z k k x ,,D．πππ=∈+=T Z k k x ,,221．下列结论不正确的是（）.A．基本初等函数在其定义域内是连续的B．基本初等函数在其定义区间内是连续的C．初等函数在其定义域内是连续的D．初等函数在其定义区间内是连续的22．下列说法正确的是（）.A．无穷小的和仍为无穷小B．无穷大的和仍为无穷大C．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D．收敛数列必有界23．下列说法不正确的是（）.A．两个无穷小的积仍为无穷小B．两个无穷小的商仍为无穷小C．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小D．在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小24．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（）无穷小.A．与β同阶不等价的B．与β等价的C．比β低阶的D．比β高阶的25．当0→x 时，4x x +是32x x +的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小26．当0→x 时，x x sin 2-是x 的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小但不等价D．等价无穷小27．设232)(-+=xxx f ，则当0=x 时，有（）.4A．)(x f 与x 是等价无穷小B．)(x f 是x 同阶但非等价无穷小C．)(x f 是比x 高阶的无穷小D．)(x f 是比x 低阶的无穷小28．设x x f -=1)(，31)(x x g -=，则当1→x 时（）.A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 是同阶但不等价的无穷小D．)(x f 与)(x g 是等价无穷小29．当0→x 时，与x 不是等价无穷小量的是（）.A．2sin xx -B．xx 2sin -C．3tan x x -D．xx -sin 30．当0→x 时，下列函数为无穷小量的是（）.A．x x sin B．xx sin 2+C．)1ln(1x x+D．12-x 31．当0→x 时，是无穷大量的有（）.A．xx 1sin 1B．xx sin C．2xD．xx 21-32．当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）.A．x x x x tan cos 2-B．21sin xx C．x x x sin 3+D．xx )1ln(2+33．下列等式正确的是（）.A．1sin lim=∞→x xx B．11sinlim =∞→xx C．11sinlim =∞→xx x D．11sin lim=∞→xx x 34．设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（）.A．1lim ()x f x →+必存在B．1lim ()x f x →必存在C．1lim ()x f x →-必存在D．1lim ()x f x →-必存在35．=→xx 102lim （）.A.0B．∞+C．∞D．不存在36．下列各式中正确的是（）.A.0cos lim0=→xxx B．1cos lim0=→xxx C．0cos lim=∞→xxx D．1cos lim=∞→xxx537．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（）.A．3sin 2x+B．32sin 2x-C．3cos 2x+D．3cos 2x -38．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（）.A．2B．21C．2-D．21-39．设x xx f )31()2(-=-，则=∞→)(lim x f x （）.A．1e-B．2e-C．3e-D．3e40．极限lim sinx x xπ→∞=（）.A．1B．πC．2eD．不存在41．当0x →时，1xe 的极限是（）.A．0B．+∞C．-∞D．不存在42．当5x →时，5()5x f x x -=-的极限是（）.A．0B．∞C．1D．不存在43．设x x x f 21)(-=，则=→)(lim 0x f x （）.A．1B．不存在C．2eD．2e-44．若0→x 时，kx x x ~2sin sin 2-，则=k （）.A．1B．2C．3D．445．若52lim22=-++→x bax x x ，则（）.A．1=a ，6=b B．1-=a ，6-=b C．1=a ，6-=b D．1-=a ，6=b 46．=+-∞→x x xx arctan 1lim （）.A．2πB．2π-C．1D．不存在647．=+→xx x )1ln(lim0（）.A．1-B．1C．∞D．不存在但非∞48．已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则b a ,的值是（）.A．8,2-==b a B．b a ,2=为任意值C．2,8=-=b a D．b a ,均为任意值49．=-+-+++∞→11)2(3)2(3lim n n nn n （）.A．31B．31-C．∞D．050．xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→的值等于（）.A．2eB．2e-C．1D．∞51．设xx g x3e 1)(2-=，当0≠x 时，)()(x g x f =，若)(x f 在0=x 处连续，则)0(f 的值是（）.A．0B．32-C．1D．3152．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,1sin 0,10,1e )(2x a x x x x x x f x 在点0=x 处连续，则常数=a （）.A．1-B．1C．2-D．253．若)(x f 在点0x 点连续，则=+→)2(sin lim 00h x f h （）.A．)2(sin 0h x f +B．)(sin 0x f C．)(sin 0x f D．不存在54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点有（）.7A．3个B．1个C．0个D．2个55．设0=x 是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1sin 0,00,11)(1x x x x x ex f x 的（）.A．跳跃间断点B．可去间断点C．第二类间断点D．连续点56．11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（）.A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点二、填空题57．函数xxx f -+=11ln21)(的定义域是_________．58．函数2ln arcsin +=x xy 的定义域为_________．59．函数xx y 1arctan3+-=的定义域是_________．60．设)(x f 的定义域[]1,0=D ，则)(sin x f 的定义域_________．61．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为_________．62．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为_________．63．设2(1)32f x x x +=-+，则f =_________．64．函数nn x a y 12)(-=的反函数是_________．65．函数)0(≠-++=bc ad dcx bax y 的反函数是_________．66．函数x y 3sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66ππx 的反函数是_________．867．函数3arccos2xy =的反函数是_________．68．______28153lim 233=+-++∞→n n n n n n ．69．_______43867lim 22=+-+∞→n n n n ．70．⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n 21...41211lim =_________．71．2)1(...321limnn n -++++∞→=_________．72．35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→=_________．73．_______lim 2210=+→x x x e．74．_______1lim432=-+++∞→nn n n n n ．75．_______43...21lim 2=++++∞→nn nn ．76．_______1!!sin lim=+∞→n n n ．77．=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 222...221lim _________．78.设012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x x ，则=a _________，=b _________．79．_______4421lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．80．_______2)2sin(lim22=---→x x x x ．81．_______63sin lim=∞→xxx ．982．m n x x x )(sin )sin(lim 0→（m n ,为正整数，且m n >）=．83．_______1cos 1lim 20=--→x e x x ．84．_______4tan 8arcsin lim0=→xxx ．85．_______81221lim 32=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．86．xxx x 30sin sin tan lim-→=．87．)1(lim 2x x x x -++∞→=．88．)1sin 1)(11(tan sin lim32-+-+-→x x xx x =．89．若2)1sin(1lim 21=--+→x ax x x ，则_________=a ．90．若0x →时函数tan sin x x -与nmx 是等价无穷小，则=m ，n =．91．当∞→x 时，函数)(x f 与21x是等价无穷小，则_______)(3lim 2=∞→x f x x ．92．当0→x 时，函数112-+ax 与x 2sin 是等价无穷小，则_______=a ．93．当∞→x 时，函数)(x f 与x4是等价无穷小，则_______)(2lim =∞→x xf x ．94．若1x →时，2(1)1mx x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是．95．11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x =_________．96．40)21(lim -→=-e x x kx ，则_________=k ．1097．nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→sin 1lim )(，则=')(x f ．98．4lim e a x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→，则_______=a ．99．_______1lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x ．100．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．101．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,10,0,2)(2x bx x a x x x x f 在),(+∞-∞内连续，则___________,==b a ．102．)(lim 2)sin 21()(031x f x x f x x→++=，求()=x f ．103．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．104．设2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则=)(x f ．105．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=010,1sin 1)(x x xx x f 的连续区间是．106．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,21ln 0,)(12x x x x a x f x 在0=x 处连续，则=a ．107.极限02sin 3lim[sin]x x x x x→+=．108.极限3sin 2lim[sin ]x xx x x→∞+=．109．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=-0,0,316sin )(3x a x x e x x f ax 在0=x 连续，则_______=a ．110．函数⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2,420,42,0,2)(2x x x x x x f 的间断点有_________个．111．函数653)(2+--=x x x x f 的第二类间断点是_________．112．函数)5)(32(86)(22-----=x x x x x x f 的间断点是．113．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x x x x f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则=a ．114．设⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0,20,0,)(2x b x x a x e x x f 在点0=x 处连续，则=a ，=b ．115．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,3sin )(x x x x x x f ，则点0=x 是)(x f 的第类间断点．116．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 则点0=x 是)(x f 的第类间断点；点1=x 是)(x f 的第类间断点．117．若函数=)(x ϕ，则函数)(x f 为奇函数这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>++=0, )( 0, 0 0 ),1ln()(2x x x x x x x f ϕ118．⎩⎨⎧<-≥=00 )(22x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.119．⎩⎨⎧>+≤-=0 10 1)(x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.三、计算题120．设函数1)1(2++=x x x f 0>x ，求)(x f ．121．设函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求)(x f ．122．设xx f -=11)(，求))((x f f ．123．设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ．124．已知x x g xx f -==1)(,1)(，求))((x g f ．125．设x x x f 2)1(2-=-，求)1(+x f ．126．求函数321)(2-+=x x x f 的连续区间．127．设函数)(x f 的定义域为)0,1(-，求函数)1(2-x f 的定义域．128．设x xx f +=12arccos )(，求其定义域．129．设)(x f 的定义域为[]1,0，求)(cos x f 的定义域．130．已知⎩⎨⎧≤<≤≤=+21,210,)1(2x x x x x ϕ，求)(x ϕ．131．设⎩⎨⎧<+≥+=0,40,12)(2x x x x x f ，求)1(-x f ．132．判断函数x x x f 32(32()(-++=的奇偶性．133．判断11-+=x x a a x y 的奇偶性．134．设)21121)(()(-+=x x f x F ，已知)(x f 为奇函数，判断)(x F 的奇偶性．135．求函数x x y 44sin cos -=的周期．136．求函数2cos sin x x y +=的周期．137．求函数x y 3sin 2=)66(ππ<<-x 的反函数．138．求函数)1ln(2-+=x x y 的反函数．139．xx x 3113sin lim +-∞→．140．633lim 6--+→x x x ．141．2203)1ln(lim x x x +→．142．x xx 4cos 12sin 1lim 4-+→π．143．2321lim 4--+→x x x ．144．123lim 221-+-→x x x x ．145．25273lim 33+-++∞→x x x x x ．146．)cos 3(11lim 32x x x x +++∞→．147．2021cos lim x x x -→．148．2021lim x ex x -→．149．3222......21lim nn n +++∞→．150．)3(lim 2x x x x -++∞→．151．xx x ln 1lim 21-→．152．20cos 1lim x x x -→．153．38231lim x x x +---→．154．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1...531311lim n n n ．155．n n 11lim +∞→．156．114sin lim 0-+→x xx ．157．)(lim 22x x x x x --++∞→．158．156223lim 22+-++∞→n n n n n ．159．nx mxx sin sin lim 0→．160．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x ln ln 1lim 1．161．145lim 1---→x xx x ．162．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11lim 31x x x ．163．xx x --→πππ1cos )(lim ．164．20cos 1lim x mx x -→．165．11sinlim -+∞→x x x x x ．166．)15(lim 323x x x x -+-∞→．167．)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→．168．28lim 38--→x x x ．169．n n n 31...9131121...41211lim ++++++++∞→．170．xx x x x 6sin 4cos lim ++∞→．171．)1(lim 2x x x x -+∞→．172．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→114sin lim 0x x x ．173．174lim 22++→x x x ．174．2220)1()41ln(lim x x e x -+→．175．115)2(5)2(lim ++∞→+-+-n n nn n ．176．xx e 1011lim +→．177．若123lim 22=-+-→x ax x x ，求a ．178．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，求a ，b ．179．已知),0()1(lim 2017∞≠≠=--∞→A n n n k k n ，求k 的值．180．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim .181．已知5312)(22+++-=bx x ax x f ，当∞→x 时，求a 和b 的值使)(x f 为无穷小量．182．当0→x ，比较函数22)(-+=x x e x f 与x 是否为同阶无穷小．183．已知82lim 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ，求a ．184．()xx x sec 32cos 1lim +→π．185．11212lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ．186．26311lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 187．xx x x 311lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→．188．21232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x ．189．xx x tan 2)(sin lim π→．190．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>+=0,sin 10,0,1sin )(x x x x p x q x x x f 在点0=x 处极限存在，求p 和q 的值．191．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点的个数．192．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点及其类型．193．判断函数xx x f 1cos)(=的间断点及其类型．194．设)(x f 在点0=x 处连续，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos 1)(2x a x x x x f ，求a ．195．求函数xxy sin =的间断点及类型．196．求函数)1()(22--=x x xx x f 的间断点．197．证明方程019323=+--x x x 至少有一个小于1的正根．198．判断函数122+=x y 的单调性．199．已知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>+--=0,110,0,1)1(2sin )(2x x x b x a e e x f x x x 在点0=x 处连续，求a 和b 的值．200．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在),(+∞-∞内连续，求a ．201．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x xx x x x x x f ，判断其间断点及类型．202．设xe xf x 1)(-=，判断其间断点及类型．203．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0)(,11x x x e x f x ，判断)(x f 的间断点及其类型．204．求曲线65222+-=x x x y 的渐近线．205．求xex f -+=1111)(的间断点并判断其类型．206．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++=<=0,)21ln(0,0,sin 1sin )(2x a xx x b x x x x x f ，求b a ,的值使其在),(+∞-∞内连续．207．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<-=-21,1,210,1ln )(1x e x x x xx f x ，（1）求)(x f 的定义域（2）判断间断点1=x 的类型，如何改变定义使)(x f 在这点连续？208．判断函数x x y ln +=在区间),0(+∞内的单调性．第一章函数、极限与连续1..54,51:15101510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤D x x 选C2.43<≤-x ，826<≤-x ，14620<+≤x 。

1、函数与函数相同．()12++=x x x f ()113--=x x x g 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴与函数关系相同，但定义域不同，所以与()12++=x x x f ()113--=x x x g ()x f 是不同的函数。

()x g 2、如果（为一个常数），则为无穷大．()M x f >M ()x f 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．　错误 如：数列是有界数列，但极限不存在()nn x 1-=4、，．a a n n =∞→lim a a n n =∞→lim 错误 如：数列，，但不存在。

()nn a 1-=1)1(lim =-∞→nn n n )1(lim -∞→5、如果，则（当时，为无穷小）．()A x f x =∞→lim ()α+=A x f ∞→x α正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果～，则．αβ()α=β-αo 正确 ∵，是1lim=αβ∴，即是的高阶无穷小量。

01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβαβα-α7、当时，与是同阶无穷小．0→x x cos 1-2x 正确 ∵ 2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 ．01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x 错误 ∵不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

xx 1sin lim 0→9、 ．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0错误 ∵ex xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 10、点是函数的无穷间断点．0=x xxy =错误 ，=-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x =+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点是函数的第一类间断点．0=x xxy =11、函数必在闭区间内取得最大值、最小值．()x f x1=[]b a ,错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，在处不连续()x f x1=0=x ∴函数在闭区间内不一定取得最大值、最小值()x f x1=[]b a ,二、填空题：1、设的定义域是，则()x f y =()1,0（１）的定义域是（ ）；()xef (,0)-∞　（２）的定义域是（ ）；()x f 2sin 1-,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭（３）的定义域是（ ）．()x f lg (1,10)答案：（1）∵ 10<<xe（2）∵ 1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x 2、函数的定义域是（ ）．()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f (]4,2-3、设，，则（ ）．()2sin x x f =()12+=ϕx x ()[]=ϕx f ()221sin +x 4、＝（ ）．nxn n sinlim ∞→x ∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设，则（　2 ），（　0　）．()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩()10lim x f x →--=()=+→x f x 01lim ∵，()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x 6、设，如果在处连续，则（ ）．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ()x f 0=x =a 21∵，如果在处连续，则21cos 1lim 20=-→x x x ()x f 0=x ()a f x x x ===-→021cos 1lim 207、设是初等函数定义区间内的点，则（ ）．0x ()x f ()=→x f x x 0lim ()0x f ∵初等函数在定义区间内连续，∴()x f ()=→x f x x 0lim ()0x f 8、函数当（　1 ）时为无穷大，当（ ）时为无穷小．()211-=x y x →x →∞ ∵，()∞=-→2111limx x ()11lim2=-∞→x x 9、若，则（　1 ），（ ）．()01lim2=--+-+∞→b ax x xx =a =b 21-∵()bax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令，∴，012=-a 1a =±上式化简为∴()22112lim lim lim1x x x bab x a →+∞→+∞→+∞--+==+，，1a =021=+ab 12b =-10、函数的间断点是（ ）．()x x f 111+=1,0-==x x 11、的连续区间是（ ）．()34222+--+=x x x x x f ()()()+∞∞-,3,3,1,1,12、若，则（ 2 ）．2sin 2lim =+∞→x xax x =a ∴()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x 2=a13、（ 0 ），（ 1 ），=∞→x x x sin lim=∞→xx x 1sin lim （ ），（ ）．()=-→xx x 11lim 1-e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim ke ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x x x x x 111sinlim 1sinlim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(101)(1lim 1lim ---→→=-+=-e x x xx xx k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim 14、（不存在 ），（ 0）lim sin(arctan )x x →∞=lim sin(arc cot )x x →+∞=三、选择填空：1、如果，则数列是（　b ）a x n n =∞→lim n x a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数是（　a ）()()1log 2++=x x x f a a ．奇函数 b ．偶函数 c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当时，是的（ c ）0→x 1-xe x a ．高阶无穷小 b ．低阶无穷小 c ．等价无穷小4、如果函数在点的某个邻域内恒有（是正数），则函数在该邻域内（　c ()x f 0x ()M x f ≤M ()x f ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数在（　c ）条件下趋于.()x f x-=11∞+a ． b ． c ．1→x 01+→x 01-→x 6、设函数，则（　c ）()x f xxsin =()=→x f x 0lim a ．１ b ．－１ c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x 1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：不存在。

高等数学练习册及答案### 高等数学练习册及答案#### 第一章：极限与连续练习题1：计算下列极限：1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)2. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)3. \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\)答案：1. 根据洛必达法则，我们首先对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。

2. 由于 \(\sin x\) 的周期为 \(2\pi\)，当 \(x\) 趋向无穷大时，\(\frac{\sin x}{x}\) 趋向于0。

3. 直接代入 \(x = 1\)，得到 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0\)。

练习题2：判断函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x =1\) 处是否连续。

答案：函数 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处的极限为2，但 \(f(1)\) 未定义，因此 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处不连续。

#### 第二章：导数与微分练习题1：求下列函数的导数：1. \(f(x) = x^3 - 2x\)2. \(g(x) = \sin x + e^x\)答案：1. \(f'(x) = 3x^2 - 2\)2. \(g'(x) = \cos x + e^x\)练习题2：利用导数求函数 \(h(x) = x^2\) 在 \(x = 2\) 处的切线方程。

答案：首先求 \(h'(x) = 2x\)，然后计算 \(h'(2) = 4\)，切点坐标为\((2, 4)\)。

切线方程为 \(y - 4 = 4(x - 2)\)，简化得 \(y = 4x - 4\)。

#### 第三章：积分学练习题1：计算下列不定积分：1. \(\int x^2 dx\)2. \(\int \frac{1}{x} dx\)答案：1. \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C\)2. \(\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C\)练习题2：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

高等数学教材习题答案第一章：函数与极限1. 习题一答案：1）a) f(-3) = -2b) f(2) = 4c) f(0) = 12）a) g(-1) = -1b) g(0) = 0c) g(2) = 93) f(g(1)) = f(1) = 32. 习题二答案：a) 导数不存在的点：x = -1, 1, 2b) 间断点：x = 0, 1c) f(x)在(-∞, -1) ∪ (-1, 0) ∪ (0,1) ∪ (1, 2) ∪ (2, +∞)上连续3. 习题三答案：a) 极限存在，为1b) 极限存在，为2c) 极限不存在第二章：导数与微分1. 习题一答案：a) f'(x) = 3x^2 + 4x + 5b) f'(x) = 4x^3 + 2x^2 - 8xc) f'(x) = -cos(x)2. 习题二答案：a) f'(x) = -2sin(2x)b) f'(x) = -4x^-5 + 3x^-4c) f'(x) = -5e^(-5x)3. 习题三答案：a) f'(x) = 2x + 1b) f'(x) = 4x^3 + 3x^2 - 2xc) f'(x) = 2cos(x)第三章：微分中值定理与导数应用1. 习题一答案：a) -∞ < x < -1 或者 -1 < x < 1 或者 x > 1b) -∞ < x < 0 或者 x > 0c) -∞ < x < 1 或者 x > 12. 习题二答案：a) 在c = 2的时候，函数在区间[-1, 1]上满足罗尔定理的条件b) 在c = -1的时候，函数在区间[-2, 2]上满足罗尔定理的条件c) 在c = 1的时候，函数在区间[-5, 5]上满足罗尔定理的条件3. 习题三答案：a) 在x = 2附近存在驻点b) 在x = -1附近存在极小值点c) 在x = 0附近存在极大值点第四章：不定积分1. 习题一答案：a) F(x) = x^3 + 4x^2 + 3x + 1 + Cb) F(x) = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 + Cc) F(x) = -3x + cos(x) + C2. 习题二答案：a) F(x) = -cos(2x) + Cb) F(x) = -6x^-4 + x^-3 + 2x + Cc) F(x) = e^(-5x) + C3. 习题三答案：a) F(x) = x^2 + x + 1 + Cb) F(x) = x^4 + x^3 - x^2 + Cc) F(x) = 2sin(x) + C注意：以上只是题目习题的答案示例，实际上数学题目答案有多种可能性，需要根据具体问题进行求解验证。

成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析- 1 -2021 年专升本数学一习题第一章极限、连续1.已知f(x) = � 3x + 2，x ≥0x 2 −1,x < 0。

求f（0）=2. limx→∞sinxx=3. limx→2 （x −2）sin1x−2=4. limx→0xln(3x+1)=5. limx→0sin4xx=6. limx→∞�1 +5x �x =7. limx→0tan2x2x=8. limx→0 (1 −x)1x =9. limx→0 (1 + x)−1x =10. limx→∞�1 +1x �x+2 =11. limx→0x ⋅tanx= 12. limx→0sinxsin2x =13. limx→0ln (2x+1)sin3x14. limx→1x−1x 2 −1=15. limx→4x−4√x+5−3=- 2 -- 2 -16. limx→∞2x 3 +3x 2 +5 7x 3 +4x 2 −1 = 17.设f(x) = �x −1,x < 0 0,x = 0x + 1,x > 0，求limx→0f(x)18. limx→2x 2 +x−6x 2 −4=19. limx→0x−sinxx 2 +x=20.设函数f(x) = �√x3,x < 0,x 2 + 1,x ≥0, 则在点x=0 处是否连续。

21.函数f(x) =x 2 +1x−3的间断点是（）。

22.设函数f(x) = �e x，x < 0x + a，x ≥0 在x=0 处连续，则a=（）第二章一元函数微分学1.已知f ′(2) = 2，求limΔx→0f(2−3Δx)−f(2)Δx=2.已知f ′(4) = 1，求limΔx→0f(4+2Δx)−f(4)Δx=3x + lnx在点（1，0）处切线斜率K。

4lnx在点（1,0）处的切线方程和法线方程。

5x 2 上的一点，使该点处的切线与直线y = 2x + 2平行。

高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 （一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x 即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域. 解：令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z ,∴ )(tan x f 的定义域为 x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z .3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .解：)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解：原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134limxx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.（抓大头）= 1-.（恒等变换之后“能代就代”）（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →,解：原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解：0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. （恒等变换之后“能代就代”） ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.（等价）（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，解：原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解： 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 （无穷小的性质） 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(7)215lim+-+∞→x x x ．解 : 原式=52115lim=+-+∞→xx x ．（抓大头） （8）11lim 21-+→x x x .解：因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim21x x x ． （9）limx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ，因此当+∞→x 时，31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得l i 0x =. （10）203cos cos limxxx x -→ ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x x x x x x ．（也可用洛必达法则） （11）xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=． （12）30tan sin limx x xx→-． 解 ：x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ =2202sin 2limx x x → =21 （ 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ） ．（等价替换） 5.求下列极限（1）201cot limxx x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim++∞→解 ：（1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）01sin lim 3x x x→-=31-=.（2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x x x e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nxn xnx x nx （5）此极限为 ∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1limcos lim xx x x x x -=++∞→+∞→不存在，因此洛必达法则失效！ 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x . 6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ， （2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解： (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→000lim )1sin (lim )1sin(lim )(lim ，1)1(lim )(lim 2=+=++→→x x f x x ，为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→，因此 ，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x ， 在点0=x 处的连续性．解：由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限． 因而有01sinlim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x ， 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ，由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim )(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点.综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导. 答：命题错误. 如：x y 22=处处有切线，但在0=x 处不可导. （2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答：命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答：命题不成立.如：)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ，)(x g 在x = 0 处均不可导，但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答：命题成立.原因：若)(x f +)(x g 在0x 处可导，由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导，矛盾.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答：命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解：xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.解： 当0>x 时，xx f +='11)( ， 当0<x 时，1)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→，所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ，因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f.0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy 解：)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解：两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='， 上式两端再对x 求导，得=2)(22x y yy x +-'， 将 xy xy y +-='代入上式，得 2)(22x y yxy xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解：两边取对数：y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导：]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=，求)('x f .解：令xx y e =, 两边取对数得：x y xln e ln =, 两边关于x 求导数得：即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解：xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy =)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.x x y e 4+=, 求y)4(.解：xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y . 解：d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ， 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,∴33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy ,∴曲线在点（1，1）处切线的斜率为312. 求函数xx y tan ln e=的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时，x xe e >.证明：令x x f xe e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即 当1>x 时，e e )(-='x x f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数， 即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x xx xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解：函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值，,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''， 令 ,0=''y 得1±=y ， 列表知，上凹区间(1,1)-,下凹区由此可(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的间拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线（1）xxy ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .解 （1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ，可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim 0，可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim2， []b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2， 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.（3）()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f xcos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe xd 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x xx d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x, （12）⎰-24d x x . 解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. （5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7（8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12. （10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112x x⎰=C x+2arcsin . 4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.解：（1） 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. （2）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22x x x x t t t -=-⋅⋅==,故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故C xx x x ++=+⎰223242)4(d .（4） 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x x x +--212arcsin 21．5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e 4,(4)⎰x x xd 4sine 5, (5) ⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰- =⎰+-2241)(d 2arctan x x x x=)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. （4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x x xd 4cose 544sin e5155⎰-1=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x x x xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin=C xx x +-100100cos 10000100sin .（6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 （1）x xxd e )1(2⎰+ ， （2） 3s e c d x x ⎰．解：（1） 选 12+=x u ，=v d x e x d ， =v xe ， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2xe x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=x e =+--)e e (21C x x x )12(2++x x C x+e （12C C =）, 为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xedx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e .（2）3sec d x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec=sec tan x x -⎰x x d sec 3+x x tan sec ln +, 式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x .8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？解：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t xxx F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．解：)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1. （2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰13d x x=10402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .解：(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 （1）⎰+-4d 11x xx， （2）⎰4π4d tan sec x x x ．解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-4d 11x xx=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t t t（2）⎰4π04d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．15. 计算下列定积分：（1）x x x d e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x x d πcos e 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x xx =5155e 5e51e 6=--x .(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=. (3) x x x d πcos e 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰ =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 1πxx --⎰ =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=.（4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ =4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算（1）⎰1d arctan x x ， （2）x x x d ln 2e e1⎰．解:（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2） 由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ．17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2)⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d x x ． 解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21，故所给广义积分收敛，且其值为21． (2)⎰∞+02d 1xx =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00, ∴⎰∞+02d 1x x发散. (3)x xd e 1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x=20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x xx x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0，1]，32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线22xy =与直线42=-y x . 解:先画图，如图所示，并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ，求出交点为（2，1-），（8，2）. 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-，2]， 在区间[1-，2]上任取一子区间[y ，y +y d ]， 则面积微元 A d =y y y d )242(2-+, 则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = （32324y y y -+）21-=9.解二 取x 为积分变量，x 的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2，8]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得A =A 1+A 2A =⎰2d 22x x+A x xx d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积y=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证xx C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： xx C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x y x y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yy d d 22=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 , 求积分得 3313Cx y +=-, 从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解）（2）分离变量得21d d xx y y -=,（0≠y ）两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=, 即 )e (e ee 11arcsin arcsin C x xCC C y ±==±=,从而通解为 xC y arcsin e =，验证0=y 也是方程的解.（3）分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=，验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ，得e =C ， 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d y x x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q s i n )(=， 故通解为)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量，得xy xy2d d =，x x y y d 2d =， 两边积分，得x x y y ⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ， )e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）. 解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e)(2=代入通解的公式得=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解：方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x ， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx xx +⎰⎰⎰-） =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x xx +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x 121+-， 由此x y d d =x Cx 121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++， 因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.解：方程不显含x ，令 P y ='，y P Py d d =''，则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP ， 当 0≠P 时y y P P d 12d -=，于是 21)1(-=y C P . 根据 21==x y，11-='=x y ，知12-='=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到x y yd )1(d 2-=-，积分得211C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11， 当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y . 解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为xx C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y . 解：（1）先解06'2''=-+y y y ,其特征方程为0622=-+r r , 特征根为711+-=r , 712--=r ,故通解 xxC C y )71(2)71(1e e --+-+=.因x3e-中3-=λ不是特征方程的根，且1)(=x P m , 故设原方程特解xp A y 3e-=，代入原方程化简，得31-=A ，从而原方程通解为x x C C y )71(2)71(1e e --+-+=x 3e 31--.由0)0(=y ，得03121=-+C C , 由0)0('=y ，得11)71()71(21=++-+-C C ,解得42771+=C , 42772-=C , 故所求特解x xxp y 3)71()71(e 31e 4277e 4277---+---++=. （2）先解02=+''y y ，其特征方程为022=+r ，特征根为i 2,i 221-==r r ，故通解x C x C y C 2sin 2cos 21+=.设原方程特解x b x a y s i n c o s *+=，代入原方程，化简得1,0==b a ，故原方程通解x x C x C y sin 2sin 2cos 21++=,由00)0(1==C y 得，由1)0(='y ，得02=C ，故所求特解为x y sin =.11. 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解：对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.12.求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解：对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。

第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]6、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）.A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]10、函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由于, 所以的间断点是x=0，x=6，x=-1.[单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.A、B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个. [单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=.[单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]24、极限=()A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是()A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】 x=1时，分母为0，无意义。

高等数学第一章函数与极限试题一.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( )A ） lim 0+→x )x1 +1(x=1B ） lim 0+→x )x1 +1(x=eC ） lim ∞→x )x1 1－(x=-e D ） lim ∞→x )x1 +1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。

A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。

6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e7．极限：∞→x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：xx x 11lim 0-+→=（ ）A.0； B.∞； C 21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ）A.0； B.∞； C.2； D. 21． 10．极限: xx x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ）A.0； B.∞； C. 161； D.16．()()x x x x f 25lg 12-+-+=二. 填空题 11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = . 12. lim 0→x xarctanx=_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim0___________； 15. =-∞→n n n)21(lim _________________；16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x 其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合19. 无穷小量是20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数y f (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0xe x x x --+-→ 22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2　x →(3－x)25--x x ; 24.求lim ∞→　x (11-+x x )x ; 25.求lim 0　x →)3(2tan sin 22x x x x + 26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限n n n n 1)321(lim ++∞→28.求它的定义域。