广西南宁市2020年中考数学一模试卷(含解析)

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2020年广西南宁市中考数学一模试卷（04月）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用2B铅笔填涂
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．2019的相反数是（）
A．B．﹣C．|2019| D．﹣2019
2．如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（）
A．B．
C．D．
3.举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，
全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（）
A．5.5×103B．55×103C．0.55×105D．5.5×104
4．如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（）
A．张大爷去时所用的时间少于回家的时间
B．张大爷在公园锻炼了40分钟
C．张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路
D．张大爷去时速度比回家时的速度慢
5．下列事件为必然事件的是（）
A．五边形的外角和是360°
B．打开电视机，它正在播广告
C．明天太阳从西方升起
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
6．下列运算中，正确的是（）
A．3a+2b=5ab B．2a3+3a2=5a5C．3a2b﹣3ba2=0 D．5a2﹣4a2=1
7．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
8．若抛物线y=﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x+3）2+2 B．y=﹣（x﹣3）2+2
C．y=﹣（x﹣3）2﹣2 D．y=﹣（x+3）2﹣2
9．若一个圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°
10．如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD 的长是（）
A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm
11．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）
A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）
12．如图，Rt△ABC的边BC在x轴正半轴上，点D为AC的中点，DB的延长线交y轴负半轴于点E，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，若S△BEC=6，则k的值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．在2，1，﹣4，﹣1，0这五个数中，最小的数是．
14．要使分式有意义，则字母x的取值范围是．
15．分解因式：x2﹣9=．
16．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=20°，则∠2=．
17．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号）
18．如图，按此规律，第行最后一个数是2017．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．计算：（﹣2020）0+|﹣2|﹣4ocs30°+（﹣）﹣2．
20．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣2．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上．建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，试在图中画出图形△A2B2C2，并计算点C 旋转到点C2所经过的路径长．（结果保留π）
22．2019年南宁市教育局组织全市中小学时候参加安全知识网络竞赛，在安全知识竞赛结束后，赛后发现所有参赛学生会的成绩都高于50分．为了了解本次大赛的成绩分布情况，某校随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分为100分）作为样本进行统计分析，得到如下不完整的统计图表，请根据图标中的信息解答下列各题：
成绩（分）频数频数
50＜x≤6010 b
60＜x≤7020 0.10
70＜x≤8030 0.15
80＜x≤90 a 0.30
90＜x≤10080 0.40
（1）频数分布表中a=，b=；本次比赛成绩的中位数会落在分数段；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校安全知识竞赛成绩满分共有4人，其中男生2名，女生2名，为了激励学生增强安全意识，现需要从这4人中随机抽取2人介绍学习经验，请用“列表法”或“画树状图”，求恰好选到一男一女的概率．
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，E是AC上一点，
且DE=CE，连接OE．
（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：E为AC的中点．
24．南宁盛产各种特色食品，其中芒果干与桂圆干是大家非常喜爱的两种特产，某旅行经销店欲购进一批芒果干与桂圆干，已知购买1袋芒果干和1袋桂圆干共需75元，3袋芒果干和2袋桂圆干共需205元．
（1）求芒果干与桂圆干的进货单价；
（2）若芒果干与桂圆干的售价如表：该旅游经销店打算用不超过2700元的货款购进芒果干与桂圆干共100袋，如何进货能够使两种特产全部售完后获得最大利润，最大利润是多少？（不考虑其他因素）
商品售价（元/袋）
芒果干65
桂圆干28
25．已知正方形ABCD，P为直线CD上的一点，以PC为边作正方形PCNM，使点N在直线BC上，连接MB、MD．
（1）如图1，若点P在线段DC的延长线上，求证：MB=MD；
（2）如图2，若点P在线段DC上，当P为DC的中点时，判断△PMD的形状，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段DC上，连接BD，当MP平分∠DMB时，求∠DMB的度数．
26．抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴；
（2）如图a，点P是抛物线上第二象限内的一动点，若以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；
（3）如图b，点D是抛物线上第二象限内的一动点，过点O，D的直线y=kx交AC于点E，若S△CDE：S△CEO=2：3，求k的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．2019的相反数是（）
A．B．﹣C．|2019| D．﹣2019
【解答】解：2019的相反数是﹣2019，
故选：D．
2．如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（）
A．B．
C．D．
【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，2．
【解答】解：如图所示：它的主视图是：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
3．举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（）
A．5.5×103B．55×103C．0.55×105D．5.5×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：55000这个数用科学记数法可表示为5.5×104，
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（）
A．张大爷去时所用的时间少于回家的时间
B．张大爷在公园锻炼了40分钟
C．张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路
D．张大爷去时速度比回家时的速度慢
【考点】E6：函数的图象．
【分析】根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据可以图象判断去时是否走上坡路，回家时是否走下坡路．【解答】解：如图，
A、张大爷去时所用的时间为15分钟，回家所用的时间为5分钟，故选项错误；
B、张大爷在公园锻炼了40﹣15=25分钟，故选项错误；
C、据A张大爷去时走下坡路，回家时走上坡路，故选项错误．
D、张大爷去时用了15分钟，回家时候用了5分钟，因此去时的速度比回家时的速度慢，故选项正确．
故选D．
5．下列事件为必然事件的是（）
A．五边形的外角和是360°
B．打开电视机，它正在播广告
C．明天太阳从西方升起
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
【考点】X1：随机事件．
【分析】分别利用必然事件以及不可能事件、随机事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、五边形的外角和是360°，是必然事件，符合题意；
B、打开电视机，它正在播广告，是随机事件，不合题意；
C、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不合题意；
D、抛掷一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，不合题意；
故选：A．
6．下列运算中，正确的是（）
A．3a+2b=5ab B．2a3+3a2=5a5C．3a2b﹣3ba2=0 D．5a2﹣4a2=1
【考点】35：合并同类项．
【分析】先根据同类项的概念进行判断是否是同类项，然后根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变计算进行判断．
【解答】解：A、3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；
B、2a3和3a2不是同类项，不能合并，B错误；
C、3a2b﹣3ba2=0，C正确；
D、5a2﹣4a2=a2，D错误，
故选：C．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
【解答】解：原不等式组的解集为1＜x≤2，1处是空心圆点且折线向右；2处是实心圆点且折线向
左，
故选：B．
8．若抛物线y=﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x+3）2+2 B．y=﹣（x﹣3）2+2 C．y=﹣（x﹣3）2﹣2 D．y=﹣（x+3）2﹣2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：由题意，得
y=﹣（x﹣3）2﹣2，
故选：C．
9．若一个圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π（cm），
设圆心角的度数是n度．则=2π，
解得：n=120．
故选B．
10．如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD 的长是（）
A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm
【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．
【分析】根据垂径定理与勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接OC，
设OE=3x，EB=2x，
∴OB=OC=5x，
∵AB=20
∴10x=20
∴x=2，
∴由勾股定理可知：CE=4x=8，
∴CD=2CE=16
故选（D）
11．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）
A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）
【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．
【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．
【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO=1，则AO=AB=，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故选：B．
12．如图，Rt△ABC的边BC在x轴正半轴上，点D为AC的中点，DB的延长线交y轴负半轴于点E，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，若S△BEC=6，则k的值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．
【解答】解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，
又∵∠DBC=∠EBO，
∴∠EBO=∠ACB，
又∵∠BOE=∠CBA=90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴=，即BC×OE=BO×AB．
又∵S△BEC=6，
∴BC•EO=6，
即BC×OE=12=BO×AB=|k|．
又∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．
∴k等于12．
故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．在2，1，﹣4，﹣1，0这五个数中，最小的数是﹣4．
【考点】18：有理数大小比较．
【分析】先根据各数的符号找出其中的负数，再根据其绝对值的大小，找出其中最小的数．
【解答】解：∵正数大于负数和0，
∴可排除2、1和0，
又∵|﹣4|＞|﹣1|，
∴﹣4＜﹣1
∴最小的数是﹣4．
故答案为：﹣4．
14．要使分式有意义，则字母x的取值范围是x≠﹣3．
【考点】62：分式有意义的条件．
【分析】根据分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x+3≠0，
解得x≠=﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
15．分解因式：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
16．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=20°，则∠2=
110°．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】将矩形各顶点标上字母，根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG，从而可得出答案．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=110°．
故答案为：110°．
17．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是3+9m（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据在Rt△ACD中，tan∠ACD=，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ACD=，
∴tan30°=，
∴=，
∴AD=3m，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45°，
∴BD=CD=9m，
∴AB=AD+BD=3+9（m）．
故答案为：3+9．
18．如图，按此规律，第673行最后一个数是2017．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】每一行的最后一个数字分别是1，4，7，10…，易得第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此建立方程求得最后一个数是2017在哪一行．
【解答】解：∵每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，
∴第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，
∴3n﹣2=2017
解得n=673．
因此第673行最后一个数是2017．
故答案为：673．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．计算：（﹣2020）0+|﹣2|﹣4ocs30°+（﹣）﹣2．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（﹣2017）0+|﹣2|﹣4ocs30°+（﹣）﹣2
=1+2﹣4×+9
=12﹣2．
20．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣2．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x代入求值即可得．÷（1+）【解答】解：原式=÷（+）
=÷
=•
=，
当x=﹣2时，原式==．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上．建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，试在图中画出图形△A2B2C2，并计算点C 旋转到点C2所经过的路径长．（结果保留π）
【考点】R8：作图﹣旋转变换；MN：弧长的计算；P7：作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）根据轴对称的性质，找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，根据点C所经过的路线是半径为，圆心角是90°的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
∵OC==，
∴点C旋转到点C2所经过的路径长为：l==．
22．2019年南宁市教育局组织全市中小学时候参加安全知识网络竞赛，在安全知识竞赛结束后，赛后发现所有参赛学生会的成绩都高于50分．为了了解本次大赛的成绩分布情况，某校随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分为100分）作为样本进行统计分析，得到如下不完整的统计图表，请根据图标中的信息解答下列各题：
成绩（分）频数频数
50＜x≤6010 b
60＜x≤7020 0.10
70＜x≤80 30 0.15
80＜x≤90 a 0.30
90＜x≤10080 0.40
（1）频数分布表中a=60，b=0.05；本次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）该校安全知识竞赛成绩满分共有4人，其中男生2名，女生2名，为了激励学生增强安全意识，现需要从这4人中随机抽取2人介绍学习经验，请用“列表法”或“画树状图”，求恰好选到一男一女的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；W4：中位数．
【分析】（1）根据第二组的频数是20，频率是0.10，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；
（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；
（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）样本容量是：20÷0.10=200，
a=200×0.30=60，b=10÷200=0.05；
因为一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，
所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；
（2）补全频数分布直方图，如下：
（3）画树状图如下：
所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，
∴恰好选到一男一女的概率==．
故答案为60，0.05；80≤x＜90．
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，E是AC上一点，且DE=CE，连接OE．
（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：E为AC的中点．
【考点】MB：直线与圆的位置关系；KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）连接OD，根据全等三角形的性质得到∠ODE=∠ACB=90°，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DOE=∠COE=COD，根据圆周角定理得到∠B=COD，等量代换得到∠COE=∠B，推出OE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到结论．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接OD，
在△ODE与△OCE中，，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ODE=∠ACB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）证明：由（1）证得△ODE≌△OCE，
∴∠DOE=∠COE=COD，
∴∠B=COD，
∴∠COE=∠B，
∴OE∥AB，
∴，
∵OC=OB，
∴==1，
∴CE=AE，
∴E为AC的中点．
24．南宁盛产各种特色食品，其中芒果干与桂圆干是大家非常喜爱的两种特产，某旅行经销店欲购进一批芒果干与桂圆干，已知购买1袋芒果干和1袋桂圆干共需75元，3袋芒果干和2袋桂圆干共需205元．
（1）求芒果干与桂圆干的进货单价；
（2）若芒果干与桂圆干的售价如表：该旅游经销店打算用不超过2700元的货款购进芒果干与桂圆干共100袋，如何进货能够使两种特产全部售完后获得最大利润，最大利润是多少？（不考虑其他因素）
商品售价（元/袋）
芒果干65
桂圆干28
【考点】FH：一次函数的应用．
【分析】（1）设芒果干的进货单价为x元，桂圆干的进货单价为y元，根据购买1袋芒果干和1袋桂圆干共需75元，3袋芒果干和2袋桂圆干共需205元，建立方程组求出其解即可；
（2）设该旅游经销店购进芒果干m袋，获得的利润为W元，根据进价不超过2700元建立不等式组求出m的取值范围；再根据利润=m袋芒果干的利润+袋桂圆干的利润建立W与m之间的关系式，由一次函数的性质求出其解即可．
【解答】解：（1）设芒果干的进货单价为x元，桂圆干的进货单价为y元，
由题意，得，
解得：．
答：芒果干的进货单价为55元，桂圆干的进货单价为20元；
（2）设该旅游经销店购进芒果干m袋，获得的利润为W元，
由题意，得55m+20≤2700，
解得：m≤20．
W=（65﹣55）m+（28﹣20）=2m+800．
∴k=2＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m=20时，W
最大=2×20+800=840，此时100﹣m=80．
答：购进芒果干20袋，桂圆干80袋，全部售完后获得最大利润，最大利润是840元．
25．已知正方形ABCD，P为直线CD上的一点，以PC为边作正方形PCNM，使点N在直线BC上，连接MB、MD．
（1）如图1，若点P在线段DC的延长线上，求证：MB=MD；
（2）如图2，若点P在线段DC上，当P为DC的中点时，判断△PMD的形状，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段DC上，连接BD，当MP平分∠DMB时，求∠DMB的度数．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△BNM≌△DPM，可得MB=MD；
（2）根据小正方形的性质得：∠DPM=∠CPM=90°，由中点结合得：PD=PM，所以△PMD是等腰直角三角形；
（3）如图3，作辅助线，构建等腰直角三角形EFD，设CD=a，PC=b，则PD=a﹣b，由PM∥BC，得△PME∽△CBE，所以，代入可计算得：a=b，根据正方形对角线平分直角得：∠CDB=45°，得△DEF是等腰直角三角形，求EF和CE的长，得EF=EC，根据角平分线的逆定理得：BE平分∠DBC，最后由平行线和已知的角平分线可得结论．
【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD和四边形CPMN是正方形，
∴BC=DC，CN=CP，∠P=∠N=90°，
∴BC+CN=DC+PC，即BN=DP，
∴△BNM≌△DPM，
∴MB=MD；
（2）△PMD是等腰直角三角形；
理由如下：如图2，
∵P是CD的中点，
∴PD=PC，
∵四边形CPMN是正方形，
∴PM=PC，∠DPM=∠CPM=90°，
∴PD=PM，
∴△PMD是等腰直角三角形；
（3）如图3，设PC与BM相交于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，
设CD=a，PC=b，则PD=a﹣b，
∵MP平分∠DME，MP⊥DE，
∴PE=PD=a﹣b，CE=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a，
∵PM∥BC，
∴△PME∽△CBE，
∴，即，
∴a=b，
∵∠CDB=45°，
∴EF=DE•sin45°=•2（a﹣b）=（b﹣b）=2b﹣b，
∵CE=2b﹣a=2b﹣b，
∴EF=EC，EF⊥BD，EC⊥BC，
∴BE平分∠DBC，
∴∠EBF=∠EBC=∠DBC=22.5°，
∵PM∥BC，
∴∠PME=∠EBC=22.5°，
∴∠DMB=45°．
26．抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴；
（2）如图a，点P是抛物线上第二象限内的一动点，若以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；
（3）如图b，点D是抛物线上第二象限内的一动点，过点O，D的直线y=kx交AC于点E，若S△CDE：S△CEO=2：3，求k的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；利用抛物线对称轴方程解答求得抛物线的对称轴方程；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等的性质得到：PQ∥AO，PQ=AO=3，由抛物线的对称性质推知点P的横坐标，然后根据二次函数图象上点的坐标特征求得点P的纵坐标即可；
（3）欲求k的值，只需推知点D的坐标即可；利用抛物线的解析式y=x2﹣2x+3中求得C（0，3）．由待定系数法解得直线AC的解析式为：y=x+3，如图b，过点D作DQ⊥AB于点Q，交AC于点F，则DF∥OC，构建相似三角形：△DEF∽△OEC，结合该相似三角形的对应边成比例推知DF=2．设点F（x，3x），点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），利用两点间的距离公式不难求得x的值，则易得点D的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）和B（1，0）代入y=ax2+bx+3，得
，
解得，
故抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣2x+3，
对称轴x=﹣=﹣=﹣1；
（2）如图a，
∵以AP、AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好在抛物线上，
∴PQ∥AO，PQ=AO=3．
∵点P、Q都在抛物线上，
∴P、Q关于直线x=﹣1对称，
∴P点的横坐标是﹣．
∴当x=﹣时，y=﹣（）2﹣2×（﹣）+3=，
∴点P的坐标是（﹣，）；
（3）在抛物线y=x2﹣2x+3中，当x=0时，y=3，则C（0，3）．设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（﹣3，0）、C（0，3）代入，得
，’
解得，
故直线AC的解析式为：y=x+3，
如图b，过点D作DQ⊥AB于点Q，交AC于点F，则DF∥OC．∵S△CDE：S△CEO=2：3，
∴DE：OE=2：3．
∵DF∥OC，
∴△DEF∽△OEC，
∴=．
又DE：OE=2：3，OC=3，
∴DF=2．
设点F（x，3x），点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），
DF=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x．
∴﹣x2﹣3x=2，
解得x1=﹣1，x2=﹣2，
当x=﹣1时，y=4．
当x=﹣2时，y=3．
即点D的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）．
又点D在直线y=kx上，
∴k=﹣4或k=﹣．。