正确对待学生的认知错误
陕西省西安市西安中学 薛党鹏
错误是学生在学习过程中自然存在的一种现象.在教学中企图让学生完全避免错
误是不可能的，也是没有必要的. 事实上，错误一方面可以充分暴露学生思维的薄弱环
节，有利于对症下药；另一方面，错误也是正确的先导，错误在许多时候比正确更有教
育价值. 这正如当代科学家、哲学家波谱尔所说，“错误中往往孕育着比正确更为丰富的
发现和创造因素，发现的方法就是试错的方法”. 如何正确地认识和对待学生的错误？
本文结合一个具体的案例，给出若干对待学生认知错误的基本态度.
案例 在学习圆锥曲线时，遇到了这样一道题目：方程
1= ①
所表示的曲线是什么？
对于这道题目的解答，学生中出现了下述两种错误的解答.
解法1：在几何上，此方程表示了点（x ，y ）到两个定点(1,0)-、(1,0)的距离之
和为定长1，所以，此方程所表示的曲线应该为椭圆.
解法2：
1=- ②
两边平方得14x -=再平方得 221243x y -=. ③
即2
222112x y -=⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭. ④
这是双曲线的方程.所以，原方程表示的曲线应该为双曲线.
毫无疑问，上述两种解法都是错误的.但是,面对错误,作为执教者应该如何处理
呢？
首先，教师应该充分认识到学生错误产生的内在合理性，并且尽最大可能的对于
错误中的合理成分予以肯定. 建构主义指出，任何真正的认识都是以主体已有的知识和经验作为基础的主动建构. 因此，错误的认识尽管思想可能是错误的或幼稚的，但却一定仍有其合理性. 所以, 我们不应对学生的错误采取简单否定的态度，而应作出认真的努力去理解它们的性质、产生等等. 显然，也只有这样，我们才可能最终实现帮助学生作出必要改进的目的.
例如，在上述案例中，持有解法1的学生看到了方程所对应的几何结构，并且由此联想到了椭圆的定义.这种数形结合的思想以及应用定义的意识都应该予以充分的肯定；持有解法2的学生尽管没有看到原方程所对应的几何结构，但是其方程化简的意识，以及化简过程中所体现的毅力、恒心和运算的熟练性、准确性都应予以充分的表扬.只有这种对待学生错误的态度才超越了简单的知识教学，其意义将使学生终身受益.
其次，学生的认知错误应该借助于学生的“自我否定”来得以纠正. 建构主义指出，任何已经得到建立的认识都不可能简单地“抹去”，而往往长期地存在于人们的头脑之中. 错误作为整体性认知结构的一个有机组成部分，是不可能单纯依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，而必须是一个“自我否定”的过程; 而“自我否定”必须以自我反省, 特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提. 因此，为了有效的帮助学生纠正错误，教师就应该注意提供适当的外部环境来促进学生引起必要的“观念冲突”和“自我反省”. 实践表明，适当的提问和举出反例就是实现上述目标的两个十分有效的手段.
例如，在上述案例中，针对解法1，教师如果直接指出其病根（椭圆的定义要求到二定点的距离之和大于二定点的距离），那么就是以教代学，剥夺了一次学生自我思考、训练思维的极好机会，而且如此简单的处理，也势必会增加同样错误的出现频率.相反地,如果执教者启发学生求出此椭圆的标准方程,那么学生在由21,22
a c
==去求b时，会自
觉地发现22213
1
44
b a c
=-=-=-，实数b不存在，怎么回事？这必然会诱发学生的进一步思考和对于解法1的质疑.当然，针对解法1，执教者也可以启发学生试求出此椭圆和x轴的交点.于是学生自然会在方程1中令x=0，结果会发现y无实数解.于是学生也会对于解法1开始质疑. 毫无疑问，这种启发式的错误揭露不仅会使学生意识到自己认识的
错误性，同时也会激发学生对于错误解法的自我反省和自我更正.
同样地，针对解法2，执教者可以启发学生寻找双曲线与x 轴的交点.当学生由方程④求得交点1(,0)2
±以后，教师可以让学生将其代入方程①进行检验.结果学生会发现1(,0)2
±并不适合方程①.于是学生自然会“自我反省”，重新认识解法2中的方程化简过程.
再之，教师应该借助于错误来促进学生认识的升华. 在许多时候，当教师让学生理解了错误的性质，认识到错误产生的本质之后，就可以启发学生在纠错的基础上，使得认识更深一层，以便得到全新的认识.
例如，针对上述案例的解法1，当学生明确地认识到错误的根源之后，教师就可以让学生对于“平面内到两定点的距离之和等于正常数的动点轨迹”这一问题进行全面的认识和理解；同时，也可以对于双曲线、抛物线的定义来进行重新的整理化认识.
对于解法2，当学生检查其解题过程的每一步骤，即会发现演算是完全准确的, 而问题出在对于方程变形过程之中的平方运算.事实上，对于①式两边平方相当于对于
[10
-= 的两边同时乘以一个代数式
221)]y +.因而产生了增根方程
[10=.
⇔1=. ⑤
这正是双曲线⑥的一支.
当第二次平方时，相当于对于140x --=的两边同时乘以一个代数
式(14)x -+因而又产生了增根方程
140x -+=.
⇔1= ⑥
而这正是双曲线⑥的另外一支.
认识至此，学生即会对于方程变形的等价性予以足够的重视，同时，这也必将诱发他们对于椭双曲线、抛物线方程的推导过程进行重新的审视.
错误是一种很有开发价值的教学资源. 在实际教学中，如果我们都能从有利于学生发展的角度考虑，善待错误，那么就一定会使得学生的错误转化为学习的催化剂，让学生在出现错误、发现错误、纠正错误的过程之中既感受到数学的魅力，又享受到数学的快乐.。
