专题:空间角
一、基础梳理
1.两条异面直线所成的角
（1）异面直线所成的角的范围：(0,
]2
π。
（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。
两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。
（3）求异面直线所成的角的方法：
（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。
平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。
1：三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ，
90,601=∠=∠AOB OB O ，且12,OB OO == 3OA =，求异面直线B A 1与1AO 所成角的余弦。
2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。
一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。
直线和平面所成角范围：[0，
2
π]。
（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
（3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角， 且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角， 则有θϕϕcos cos cos 21= 。
由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。
A
B O 1A
1B
1O ϕ2
ϕ1c
b
a
θP
α
O A
B
考点二：直线和平面所成的角
例2. 如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，四 边形A ABB ''是菱形，四边形BCC B ''是矩形，
C B AB ''⊥,02,4,60C B AB ABB '''==∠=， 求AC '与平面BCC B ''所成角的正切。
3：（1）在0
120的二面角P a Q --的两个面P 与Q 内分别有两点A B 、，已知点A 和点B 到棱的距离分别为2,4cm cm ，且线段10AB cm =。
求：
①直线AB 和棱a 所成角的正弦值；②直线AB 和平面Q 所成角的正弦值。
（2）（08全国Ⅰ11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13
B
．
3
C
．
3
D ．
23
（3）如图，在矩形ABCD
中，3AB BC ==，沿对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到
C '点，且C '点在平面AB
D 上的射影O 恰在AB 上。
求直线AB 与平面BC D '所成角的大小。
A B
C
A '
B '
C '
⇒
A B
()C C '
D
O
（4）①AB 为平面β的斜线，则平面β内过A 点的直线l 与AB 所成的最小角为_____________， 最大角为__________________。
平面内过A 点的 直线l 与AB 所成角θ的范围为_______________。
②AB 与平面β内不过A 点的直线所成的角的范围 为_______________________。
③直线1l 与平面α所成的角为0
30，直线2l 与1l 所成角为0
60，则2l 与平面α所成角的取值范围是______________________。
④设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有 ( )
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条
⑤过正方体的顶点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等。
试写出满足条件的一个截面________________________（注：只须任意写出一个），并证明。
3．二面角
（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。
（2）二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内．．．．．． 作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角
l αβ--的平面角。
说明：①二面角的平面角范围是[]0,π，因此二面
角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，
组成直二面角的两个平面互相垂直。
（3）二面角的求法：
（4）（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法）
l B'
O'
A'
B O A βα
（二）间接法：面积射影定理的方法。
（4）面积射影定理：
面积射影定理：已知ABC ∆的边BC 在平面α内，顶点A α∉。
设ABC ∆的面积为S ，它在平面α内的射影面积为1S ，且平面α与ABC ∆所在平面所成的二面角为0
(090)θθ<<，则
1cos S
S
θ=。
注：①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积 和这两个平面所成二面角的平面角间的关系； ABC ∆可以推广到任意的多边形。
②在二面角的平面角不易作时，经常采用 “面积射影定理法”。
例3．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为
正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点。
（1）证明EF ∥平面SAD ；
（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小。
如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，0
90,1,ACB CB ∠==
1CA AA ==M 为侧棱1CC 上一点， 1AM BA ⊥。
（1）求证：1AM A BC ⊥平面； （2）求二面角B AM C --的大小； （3）求点C 到平面ABM 的距离。
C
A B
M
C
1A
1B
1C
A B C
D
1A θ
S
1
S α
四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，
2BC =
，CD =AB AC =。
①证明：AD CE ⊥；
②设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小。
S 为直角梯形ABCD 所在平面外一点0,90,ABC SA ∠=⊥
面,ABCD SA AB BC ===1，1
2
AD =，求平面SCD 与平面
SAB 所成二面角的大小。
等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --
的余弦值为
，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 。
C
D
E
A
B
S
A
B
C
D
例4．如图所示，已知平行六面体 1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是矩形，且侧面11ABB A ⊥底面
ABCD ，11,3,AB BB AN NB == M 、E 分别是1B C 、AB 的中点，
F 是EC
的中点，4,AB MN ==
侧棱与底面ABCD 成0
45的角。
（1）求证：MF ⊥底面ABCD ； （2）求二面角M AB C --的大小；
（3）求MN 与平面1B CE 所成角的大小。
1．（1）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则 A 1B 与AC 1所成的角为（ ） （A ）450 （B ）600 （C ）900 （D ）1200
（2）（08全国Ⅱ10）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）
A ．
13 B
．3 C
D ．2
3
（3）Rt ABC ∆的斜边在平面α内，顶点A 在α外，BAC ∠在平面α内的射影是BA C '∠，则BA C '∠的范围是________________。
（4）从平面α外一点P 向平面α引垂线和斜线，A 为垂足，B 为斜足，射线BC α⊂，这时
PBC ∠为钝角，设,PBC x ABC y ∠=∠=，则（ ）
A.x y >
B.x y =
C.x y <
D.,x y 的大小关系不确定
（5）相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的
射影所成的角是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
（6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条线
段与平面α所成的角是 ；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离
B
C
1A
1B
1C E
D
1D
M
F
N
A
B
A 11
分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 。
（7）PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）
A ．
2
1
B ．
22 C ．36 D ．33
（8）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，
,M N 分别是1,A A AB 上的点，若0190NMC ∠=， 那么1NMB ∠的大小是（ ）
A.大于0
90 B.小于0
90 C. 0
90 D.不能确定
（9）已知SO ABC ⊥∆所在平面于O 点，且S 到,,A B C 三点等距离，若ABC ∆中，有
cos cos sin sin A B A B >，则O 点（ ）
A.必在ABC ∆的某一边上
B.必在ABC ∆外部（不含边界）
C.必在ABC ∆内部（不含边界）
D.以上都不对
（10）如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为 21θθ和，则（ ）
A ．1sin sin 2212≥+θθ
B ．1sin sin 2212≤+θθ
C ．1sin sin 2212>+θθ
D ．1sin sin 2212<+θθ （11）如图，l A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，
A B ，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别 是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，
则（ ）
A ．m n θϕ>>，
B ．m n θϕ><，
C ．m n θϕ<<，
D ．m n θϕ<>，
（12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________。
2.已知直三棱柱111,,ABC A B C AB AC F -=为1BB 上一点，12,BF BC a FB a ===。
（1）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A D 、的任意一点，证明：1EF FC ⊥； （2）若113A B a =，求1FC 与平面11AA B B 所成角的正弦值。
A
B
F
C
E 1A
1B
1C
D A B C
D
1A 1
B 1
C 1
D M
N
A B a b
l
α
β
3.已知直角三角形ABC 的两直角边2,3AC BC ==，P 为斜边AB 上的一点，现沿CP 将
ACP ∆折起，使A 点到A '点，且A '在面BCP 内的射影在CP 上。
当7A B '=时，求二面角 P A C B '--的大小。
4．如图正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为a ，侧棱
长为
2
2
a ，若经过对角线1AB 且与对角线1BC 平行的平 \面交上底面于1DB 。
（1）试确定D 点的位置，并证明你
的结论；（2）求平面1AB D 与侧面1AB 所成的角及平面
1AB D 与底面所成的角；（3）求1A 到平面1AB D 的距离。
5．如图, 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，DC ＝23，AA 1＝3，AD ⊥DC ，AC ⊥BD, 垂足为E 。
（I ）求证：BD ⊥A 1C ；
（II ）求二面角A 1－BD －C 1的大小；
（III ）求异面直线 AD 与 BC 1所成角的大小。
⇒
A
B C P 2 3
()A A '
B
C P
G
F E D C 1
B 1
A 1
C
B
A
6.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
90BAD FAB ∠=∠=，12BC AD
∥，12
BE AF ∥。
（Ⅰ）证明：C D F E ，，，四点共面；
（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小。
7．（08江西20）如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且长度均为 2。
E F ，分别是AB AC ，的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA OB OC ，，或其延长线分别相交于111A B C ，，，已知13
2
OA =。
（1）证明：11B C ⊥平面OAH ； （2）求二面角111O A B C --的大小。
F
A
B
C
D
E
A
B
C
H
F O
C 1
A 1 E
B 1
8．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面为正方形，1O 、O 分别为上、下底面的中心，且1A 在底面ABCD 上的射影是O 。
（1）求证：平面1O DC ⊥平面ABCD ；
（2）若点,E F 分别在棱1,AA BC 上，且12AE EA =，问点F 在何处时，EF AD ⊥？
（3）若0
160A AB ∠=，求二面角1C AA B --的大小（用反三角函数表示）。
9．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -，侧棱长为3，底面边长为2，是棱的中点。
（1）求证：1//BD 平面1C DE ； （2）求二面角1C DE C --的大小；
（3）在侧棱1BB 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1C DE ？证明你的结论。
10.如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC, PC 的中点。
（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ；
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6
2
，求二面角E —AF —C 的余弦值。
D 1 O A 1 B D A B 1 C 1 1O E
F D 1
A 1
B
D A
B 1
C
C 1
E。
