专题:空间角
一、基础梳理
1.两条异面直线所成的角
（1）异面直线所成的角的范围：(0,
]2
π
。
（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。
（3）求异面直线所成的角的方法：
（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 1：三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ，
90,601=∠=∠AOB OB O ，且12,OB OO == 3OA =，求异面直线B A 1与1AO 所成角的余弦。
2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。 直线和平面所成角范围：[0，
2
π]。 （2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
（3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角， 且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角， 则有θϕϕcos cos cos 21= 。
由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。
A
B O 1A
1B
1O ϕ2
ϕ1c
b
a
θP
α
O A
B
考点二：直线和平面所成的角
例2. 如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，四 边形A ABB ''是菱形，四边形BCC B ''是矩形，
C B AB ''⊥,02,4,60C B AB ABB '''==∠=， 求AC '与平面BCC B ''所成角的正切。
3：（1）在0
120的二面角P a Q --的两个面P 与Q 内分别有两点A B 、，已知点A 和点B 到棱的距离分别为2,4cm cm ，且线段10AB cm =。求：
①直线AB 和棱a 所成角的正弦值；②直线AB 和平面Q 所成角的正弦值。 （2）（08全国Ⅰ11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13
B
．
3
C
．
3
D ．
23
（3）如图，在矩形ABCD
中，3AB BC ==，沿对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到
C '点，且C '点在平面AB
D 上的射影O 恰在AB 上。求直线AB 与平面BC D '所成角的大小。
A B
C
A '
B '
C '
⇒
A B
()C C '
D
O
（4）①AB 为平面β的斜线，则平面β内过A 点的直线l 与AB 所成的最小角为_____________， 最大角为__________________。平面内过A 点的 直线l 与AB 所成角θ的范围为_______________。
②AB 与平面β内不过A 点的直线所成的角的范围 为_______________________。
③直线1l 与平面α所成的角为0
30，直线2l 与1l 所成角为0
60，则2l 与平面α所成角的取值范围是______________________。
④设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有 ( )
（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条
⑤过正方体的顶点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足条件的一个截面________________________（注：只须任意写出一个），并证明。
3．二面角
（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。 （2）二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内．．．．．． 作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角
l αβ--的平面角。
说明：①二面角的平面角范围是[]0,π，因此二面
角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，
组成直二面角的两个平面互相垂直。
（3）二面角的求法：
（4）（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法）
l B'
O'
A'
B O A βα
（二）间接法：面积射影定理的方法。 （4）面积射影定理：
面积射影定理：已知ABC ∆的边BC 在平面α内，顶点A α∉。设ABC ∆的面积为S ，它在平面α内的射影面积为1S ，且平面α与ABC ∆所在平面所成的二面角为0
(090)θθ<<，则
1cos S
S
θ=。
注：①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积 和这两个平面所成二面角的平面角间的关系； ABC ∆可以推广到任意的多边形。
②在二面角的平面角不易作时，经常采用 “面积射影定理法”。
例3．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为
正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点。 （1）证明EF ∥平面SAD ；
（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小。
如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，0
90,1,ACB CB ∠==
1CA AA ==M 为侧棱1CC 上一点， 1AM BA ⊥。
（1）求证：1AM A BC ⊥平面； （2）求二面角B AM C --的大小； （3）求点C 到平面ABM 的距离。
C
A B
M
C
1A
1B
1C
A B C
D
1A θ
S
1
S α
