应用弹塑性力学习题
解答
Revised on November 25, 2020
应用弹塑性力学习题解答
目录
第二章习题答案
设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为
而应力矢量的三个分量满足关系
而法向分量满足关系最后结果为
利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。
最终的结果为
已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。
解求主方向的应力特征方程为
式中：是三个应力不变量，并有公式
代入已知量得
为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系
代入数据得，，
已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，
，特征方程变为
求出三个根，如记，则三个主应力为
记
已知应力分量
，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，
，，，。
由此求得
然后求得，，解出
然后按大小次序排列得到
，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系
（a）
（b）
（c）
由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得
，由此求得
对，，代入得
对，，代入得
对，，代入得
当时，证明成立。
解
由，移项之得
证得
第三章习题答案
取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，
由，得
物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，
，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量
将它分解成对称张量和反对称张量之和
转动矢量的分量为
，，
该点处微单元体的转动角度为
电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，
，，求该点的主应变和主方向。
解：根据式先求出剪应变。
考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得
则主应变有
解得主应变，，。
由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为
于是有，同理，可解得与轴的夹角为。
物体内部一点的应变张量为
试求：在方向上的正应变。
根据式，则方向的正应变为
已知某轴对称问题的应变分量具有的形式，又设材料是不可压缩的，求应具有什么形式
解：对轴对称情况应有，这时应变和位移之间的关系为，，。
应变协调方程简化为，由不可压缩条件，可得
可积分求得，是任意函数，再代回
，可得。
已知应变分量有如下形式，，，
，，，由应变协调方程，试导出应满足什么方程。
解：由方程，得出必须满足双调和方程。
由，得出
由，得出
由此得，其它三个协调方程自动满足，故对没有限制。
第四章习题答案
有一块宽为，高为的矩形薄板，其左边及下边受链杆支承，在右边及上边分别受均布压力和作用，见题图，如不计体力，试求薄板的位移。
题图4-1
解：1.设置位移函数为
（1）
因为边界上没有不等于零的已知位移，所以式
中的、都取为零，显然，不论式（1）中各系数取何值，它都满足左边及下边的位移边界条件，但不一定能满足应力边界条件，故只能采用瑞兹法求解。
2.计算形变势能。
为简便起见，只取、两个系数。
（2）
（3）
3.确定系数和，求出位移解答。
因为不计体力，且注意到
，式4-14简化为
（4）
（5）
对式（4）右端积分时，在薄板的上下边和左边，不是，就是，故积分值为零。
在右边界上有
（6）
同理，式（5）右端的积分只需在薄板的上边界进行，
（7）
将式（3）、式（6）、式（7）分别代入式（4）、式（5）可解出和：
，（8）
（9）
4．分析：把式(8)代入几何和物理方程可求出应力分量，不难验证这些应力分量可以满足平衡微分方程和应力边界条件，即式(8)所示位移为精确解答。
在一般情况下(这是一个特殊情况)，在位移表达式中只取少数几个待定系数，是不可能得到精确解答的。
设四边固定的矩形薄板，受有平行于板面的体力作用()，坐标轴如题图所示。
求其应力分量。
题图4-2
解： 1．本题为平面应力问题，可用瑞兹法求解。
由题意知位移分量在边
界上等于零，所以，所以式中的、都取为零，且将位移函数设置为如下形式：
（1）
把或代入上式，因为，或，所以，位移边界条件是满足的。
2．把式（1）代入式（9-16），得薄板的变形势能为
（2）
3. 确定系数和。
由于位移分量在边界上为零，所以，方程式4-14简化为
（3）
式（2）代入式（3），得
（4）
由于，从式（4）的第一式得，由第二式得
当和取偶数时，和都为零，当和取奇数时，和都为2。
因此，当取偶数时，。
当取奇数时，
将和代入式（1）得位移分量为
4．利用几何方程和物理方程，可求出应力分量（和取奇数）；
有一矩形薄板，三边固定，一边上的位移给定为，见题图，设位移分量为，
式中，为正整数，可以满足位移边界条件。
使用瑞兹法求维持上述边界位移而要在处所施加的面力。
题图4-3
解：1.平面应力问题时的变形势能为式
其中
2．确定待定系数。
按题意三边固定（），一边只存在
而面力待求。
所以，
（2）
将式（1）代入式（2），得
当体力分量为零时，，得
当时，，，所以，此时有，而
3.位移和应力解答为
4.求上边界施加的面力（设），在处
用伽辽金法求解上例。
解：应用瑞兹法求解上例时，形变势能的计算工作量较大。
由于此问题并没有应力边界条件，故可认为上例题意所给的位移函数不但满足位移边界条件，而且也满足应力边界条件，因此，可以用伽辽金法计算。
对于本题，方程可以写成
将上题所给的表达式代入，积分后得
当体力不计时，，此时，而由下式确定：
当时，即，当时，上式成为
由此解出及位移分量如下：
求出的位移和应力分量，以及上边界的面力，都有上例用瑞兹法求得结果相同。
铅直平面内的正方形薄板边上为，四边固定，见题图，只受重力作用。
设，试取位移表达式为
用瑞兹法求解（在的表达式中，布置了因子和，因为按照问题的对称条件，应该是和的奇函数）。
题图4-4
解：1位移表达式中仅取和项：
（1）
2由得变形势能为
（2）
其中
代入式（2），得
（3）3.确定系数和。
因板四周边界上位移为零（，面力未知），板的体力分量为，所以得
将式（3）代入式（4），得
（5）
注意，有以下对称性：
式（5）积分后成为式（6），由此可求得、和位移、应力分量：
（6）
（7）
（8）
（9）
用伽辽金法求解上题。
解：1位移表达式仍取上题式（1），其两阶偏导数为
（1）
2.确定和。
因为，所以伽辽金方程简化为
（2）
将以及式（1）代入（2），得
由此解出和：
（3）
与瑞兹法求出结果一样，由此可见，用伽辽金法计算较为简单。
悬臂梁自由端作用一集中力，梁的跨度为，见题图，试用端兹法求梁的挠度。
题图4-5
解：1.设梁的挠度曲线为
（1）
此函数满足固定端的位移边界条件：，梁的总势能为
由得
，
代入式（1）得挠度为式（2），最大挠度为式（3）
（2）
（3）
有一长度为的简支梁，在处受集中力作用，见题图，试用瑞兹法和伽辽金法求梁中点的挠度。
题图4-6
解一：用瑞兹法求解
设满足梁端部位移边界条件的挠度函数为（1）梁的变形能及总势能为
由得
（2）
以上级数的收敛性很好，取很少几项就能得到满意的近似解，如作用于中点（）时，跨中挠度为（只取一项）
这个解与材料力学的解（）相比，仅相差%。
解二：用伽辽金法求解
1.当对式（1）求二阶导数后知，它满足，亦即满足支承处弯矩为零的静力边界条件，因此，可采用伽辽金求解。
将式（1）代入伽辽金方程，注意到，且作用在处，可得
求出的挠度表达式与（2）一致。
图所示的简支梁，梁上总荷重为，试用瑞兹法求最大挠度。
题图4-7
解：设满足此梁两端位移边界条件的挠度为
（1）
则总势能为
，
代入式（1）得
梁上总荷重为，因此有
一端固定、另一端支承的梁，其跨度为，抗弯刚度为常数，弹簧系数为
，承受分布荷载作用，见题图。
试用位移变分方程（或最小势能原理），导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。
题图4-8
解：用位移变分方程推导
1.梁内总应变能的改变为
2.外力总虚功为
3.由位移变分方程式得
（1）对上式左端运用分部积分得
代入式（1），经整理后得
（2）
由于变分的任意性，上述式子成立的条件为
（3）
（4）
（5）
4式（3）就是以挠度表示的平衡微分方程。
下面讨论边界条件，由于梁的左端为固定端，因此有
（6）
梁的右端为弹性支承，则有
（7）
注意到式（4）能满足，而欲使式（5）成立，必须满足
（8）
式（6）和式（8）即为题意所求的边界条件。
5.由于最小势能原理与位移变分方程式等价的，所以，从最小势能原理出发，也能得到所求的表达式（略）。
第五章习题答案
矩形薄板具有固定边，简支边及自由边和，角点处有链杆支撑，板边所受荷载如题图5-1所示。
试将各板边的边界条件用挠度表示。
题图5-1
解：1。
各边界条件如下：
（1）
（2）或
（3）
或用挠度表示为，
（4）
或用挠度表示为，
（5）
矩形薄板的和边为简支边，和边是自由边，在点有一个向上位移，且由链杆拉住，如题图5-2所示。
试证能满足一切条件（其中，为待定常数），并求出挠度表达式、弯矩和反力。
题图5-2
解：1.挠曲面方程为：。
边界条件为
边
边
边
边
2.将挠度表达式代入后，可知满足以上各式。
由角的位移条件确定，从而求出挠度，内力和反力：
3.分析：给定的角点的位移沿轴反向，故为负值。
四个角点反力的数值虽然相同，但、的方向向上，，则向下，这些反力由外界支承施加于板。
题图5-3所示矩形板在点受集中力作用，和两边简支，和
两边自由，试求挠度、内力和反力。
提示：，为任意常数。
题图5-3
解：1.本题的挠曲面方程及边界条件为
2.不难验证能满足以上方程和条件。
有角点的补充条件可确定
，进而可求出挠度、内力和反力：
，
，
，的方向向上，、则向下（沿轴正方向）
有一块边长分别为和的四边简支矩形薄板，坐标系如题图5-4所示，受板面
荷载作用，试证能满足一切条件，并求出挠度、弯矩和反力。
题图5-4
解：不难验证能满足所有简支边的边界条件，由挠曲面方程式可确定，从而求出挠度、弯矩和反力。
，
有一矩形薄板的与边是简支边，其上作用有均布弯矩，和边为自由边，其上作用有均布弯矩，若设能满足一切条件，试求出挠度、弯矩和反力。
板面无横向荷载作用，坐标取题图5-5。
题图5-5
解：将代入挠曲面方程，得
，
弯矩、反力的表达式为
，
由边界条件确定常数，从而求得挠度和内力：
能满足。
所以，能满足一切条件，，其余内力和反力为零。
有一四边简支矩形板，板面荷载如题图5-6所示，求该薄板的挠度。
题图5-6
解：采用纳维解法，挠度表达式为
荷载表达式为
由式求出：
式中，
题图5-7所示的矩形薄板，周边简支，板面无垂直均布荷载作用，只在
的板边受均布弯矩作用，求板的挠度。
题图5-7
解：1。
采用李维解法。
因为板面荷载为零，故式
右端积分为零，即特解为零，再考虑变形的对称性，板内挠度应是的偶函数，所以，，则挠度表达式为
2.利用的边界条件确定系数，：
等式两端同乘以，对积分，且注意到三角函数的正交性，得
半径为的固定边圆形薄板，板面荷载为，如题图5-8.求其挠度和内力。
题图5-8
解：1.板中无孔，满足挠曲面微分方程的挠度可取为
（1）
式中，特解设为，代入挠曲面方程后，得
（2）
2.由边界条件求得常数，进而求出挠度和内力：
（3）
（4）
（5）
3.分析
（1）取半径为的板中部分圆板的平衡（）也可求得：
（2）若固定边圆板受荷载作用（题图5-9a），该荷载可分解成题图5-9b和题图5-9c所示两种荷载。
题图5-9b的解答很容易得到，题图5-9c状态下的解答则可将代换本题的式（4）、式（5）中的而求得。
题图5-9b 和题图5-9c状态下的解答叠加起来便可求得题图5-9a状态下的解答，不难证明，题图5-9a情况下的挠度为
题图5-9
有一半径为的固支圆板，板中心受集中力作用，见题图5-10a，求其挠度和内力。
题图5-10
解：1.这是轴对称弯曲问题，板面无均布载荷，故特解为零，则其挠度表达式为
（1）
板中心无孔，挠度应是有限值，应为零。
该板的边界条件为
（2）
（3）
取半径为的部分圆板的静力平衡条件，得
（4）
2．由式（2）、式（3）、式(4)求得常数，进而求出挠度和内力：
（5）
（6）
3.分析：题图5-10b所示固支圆板，当版中心链杆支座发生沉陷时，可以用本题的式（5）求解（其中第三项在板中心为零）
（7）
将代入式（5）、式（6），求得题图5-10b情况时的挠度和内力为
（8）
（9）
有一半径为的简支圆板，板面无荷载，但在周边受均布弯矩作用，见题图5-11所示。
求圆板的挠度和内力。
题图5-11
解：1.因板面无荷载，板中心无孔，故特解和常数，取为零。
挠度、转角、内力表达式如下：
（1）
（2）
（3）
边界条件为：（4）
（5）2.求出，后代回式（1）、式（2）、式（3），得
第六章习题答案
在拉伸试验中，伸长率为，截面收缩率为，其中和为试件的初始横截面面积和初始长度，试证当材料体积不变时有如下关系：
证明：将和的表达式代入上式，则有
为了使幂强化应力-应变曲线在时能满足虎克定律，建议采用以下应力-应变关系：
(1)为保证及在处连续，试确定、值。
(2)如将该曲线表示成形式，试给出的表达式。
解：（1）由在处连续，有
（a）
由在处连续，有
（b）
（a）、（b）两式相除，有
（c）
由（a）式，有
（d）（2）取形式时，
当：即
当：应力相等，有
解出得，
（代入值）
（代入值）
已知简单拉伸时的应力-应变曲线如图6-1所示，并表示如下：问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表示
图6-1
解：刚塑性模型不考虑弹性阶段应变，因此刚塑性应力应变曲线即为曲线，这不难由原式推得
而在强化阶段，，因为这时
将都移到等式左边，整理之即得答案。
其中
已知简单拉伸时的曲线由（）式给出，考虑横向应变与轴向应变的比值
在弹性阶段，为材料弹性时的泊松比，但进入塑性阶段后值
开始增大最后趋向于。
试给出的变化规律。
解：按题设在简单拉伸时总有
（a）左边为体积变形，不论材料屈服与否，它要按弹性规律变化，即有
（b）比较（a），（b）两式，得
将表达式代入，即可得。
如图所示等截面直杆，截面积为，且。
在处作用一个逐渐增加的力。
该杆材料为线性强化弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。
求左端反力和力的关系。
解：（1）弹性阶段
基本方程：平衡方程
（a）
几何方程
（b）
本构方程
（c）
联立求出
显然，，段先屈服，取，得
，当时，值如上述表达式。
（2）弹塑性阶段（a段塑性，b段弹性）平衡方程和几何方程仍为（a）、（b）式。
本构方程：
且设
将本构方程代入几何方程：
即
两侧同乘面积，并利用平衡方程（a），得
解出
令，则得
（e）
本阶段结束时，
由几何方程
且
利用平衡方程
（f）当时，为（e）式。
（3）塑性阶段
平衡方程和几何方程同上。
本构方程
（g）
与（2）弹塑性阶段同样步骤：可得
如图所示等截面直杆，截面积为，且。
在处作用一个逐渐增加的力。
该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。
按加载过程分析结构所处不同状态，并求力作用截面的位移与的关系。
解：基本方程为
平衡方程（a）几何方程
（b）
本构方程
（1）弹性阶段
由前题知，
因，故。
截面位移
本阶段终止时，
（2）弹塑性阶段（）
此时，
截面位移由段变形控制：
且本阶段终止时，
（3）塑性阶段（）
无限位移（为不定值）。
（4）图线斜率比较：
段：
段：
如图所示三杆桁架，若，杆件截面积均为，理想弹塑性材料。
加载时保持并从零开始增加，求三杆内力随的变化规律．
解：基本方程为
（a)
几何方程：
（b）
协调关系：
本构方程：
（c）
（1）弹性阶段（）
利用（a）、（b）及（c）第一式，联立求解得
即
可看出
结构弹性极限：令
有
（2）弹塑性阶段（）
取，结构成为静定，由平衡方程
解得
若取，即
此时
即当时，内力为上列值，当时，杆1和杆2 已进入塑性阶段，当时，两杆为无线变形，结构已成为机构。
故，此结构。
如图所示三杆桁架，理想弹塑性材料，杆件截面面积均为，求下述两种加载路径的节点位移和杆件应变：
(1)先加竖向力，使结构刚到达塑性极限状态，保持不变，开
始加力，使桁架再次达到塑性极限状态。
(2)先加水平力，使结构刚到达塑性极限状态，保持久不变，开
始加力，使桁架再次达到塑性极限状态。
解：此结构的基本方程为
（a）几何方程：（b）
且有：
本构方程：（c）将基本方程用其相应的增量表示为
几何方程：
且有：
本构方程：
（1）加载路径见（1）教材
（2）加载路径见（2）
第一阶段：先加，由基本方程可得
显然，1杆、3杆同时屈服，此时
（d）第二阶段：在保持不变的情况下施加力，这是由相应改变，此时，节点位移增量为
由增量形式几何方程
这说明杆1、2、3均伸长，即杆3卸载。
由增量形式平衡方程
说明保持不变，增加时，必须减小，当取，，即杆2进入拉伸屈服，此时，将各项增量与（d）式相应初始值叠加，
有：
（e）第三阶段：保持不变，继续增加力，此时，即
与第二阶段相似，必须减少。
当，即时，结构达到极限状态。
这时：
将各增量与（e）式相应初始值叠加，有
（f）
第七章习题答案
设为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises屈服条件时，其形式为：
证明：Mises屈服条件为
故有
试用应力张量不变量和表示Mises屈服条件。
解：
Mises屈服条件：
故有
试用Lode应力参数表达Mises屈服条件。
解：由定义：
即
Mises屈服条件为
将上式代入，得：
即：
物体中某点的应力状态为，该物体在单向拉伸时，试用Mises和Tresca屈服条件分别判断该点是处于弹性状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号），则对被研究点所处状态的判断有无变化
解：（1）Mises屈服条件判断
故该点处于弹性状态
（2）Tresca屈服条件判断
故该点处于塑性状态
如果各应力均作为变号，则以上各式不变，所作判断没有变化。
已知薄壁圆球，其半径为，厚度为，受内压的作用，如采用Tresca 屈服条件，试求内壁开始屈服时的内压值。
解：研究半球的静力平衡
内球面：，外球面：
由Tresca条件，内壁先开始屈服，此时
薄壁管受拉扭联合作用，只有正应力和切应力，试用表示Mises和Tresca和双剪应力三种屈服条件。
解：(1）Mises：由，得
（2）Tresca：
由，得
（3）双剪应力：
，由此得出
可以写成
当时，三种屈服准则得出的值有所不同。
在平面应力问题中，取，试将Mises和Tresca和双剪应力屈服条件用三个应力分量表示。
引进。
解：(1) Mises屈服准则
引进下列量纲为一的量
则上式成为
(2) Tresca屈服准则
记，
根据的大小，将由下列值
（a）屈服准则对应的为
量纲化为一后得答案结果
（3）双剪应力屈服准则
将（a）式代入上式中得到6个式子，可合并成4个关系。
进一步化简为
量纲化为一后即得答案结果。
第八章习题答案
分析：本题中是由塑性体积变形为零：
且单向拉伸时，推出。
单向拉伸时，有
体积应变服从弹性定律，即
将以上两式联等，得
依次将代入。
则得，弹性阶段；屈服阶段；强化阶段。
分析：在方向的主应力分别为：，则
，从而求得应力偏量，再根据增量理论，得最终结果为（-1）：1：0
分析：设扭转剪应力，主应力为：，，代入Mises屈服条件，得。
证明：
将对求偏导，可得，同理可得，，，所以；用同样的方法求得。
分析：1）开始屈服时，代入Mises屈服准则
得；
2）屈服后对应的塑性应变增量为
由
及屈服条件的微分形式，联列可得
，，代入式子得到答案结果。
解：（1）单向拉伸应力状态
有
则
（2）纯剪切应力状态，
有
故
证明：有Coulomb剪破条件
所在平面为滑移面，如图。
从图中可以看出，滑移面与所在主平面所成角为
12 (1)开始屈服时，代入Mises屈服条件准则
得
（2）屈服后对应的塑性应变增量为
由
(a)
及屈服条讲的微分形式
(b)
可得 (c) 由(a)(c)两式，得
代入式子得答案结果。
第九章习题答案
分析：设剪切屈服极限为，则可以依次求得弹性极限扭矩为：
；塑性极限扭矩为：
；设弹塑性区分界线半径为，则。
计算结果为。
分析：在本题中，根据公式
；卸载后残余应变曲率为，，结合
，。
分析：根据公式，分别将代入便可求的
；当=时，。
分析：二端封闭在处，代入Mises 屈服条件，化简可得；用同样的方法可求得二端自由时，
；二端约束时，。
分析：由弹性力学，筒内各应力值为
将这些值代入Mises屈服条件得：
化简后的，在和处同时屈服，即
，化简得计算结果为：。
第十章习题答案
分析：设为缺口处因摩擦作用而产生的剪应力。
是均布压力区，在
边上；是均布压力区，在边上。
因为是同一条线，有，化简得
，则单位长度上的极限载荷为。
分析：由于形状对称、滑移线场对称，故只取右半部进行分析。
分别写出边上应力分量值，列平衡方程
（*）求得
因为沿同一条线，由可得；在边上的点，所以，得。
代入*式可得弯矩。
分析：是均布压力区，在边上点：由
得：；是均布压力区，在边上点：，可计算出。
由于沿同一条线，故，化简后，则单位长度的极限荷载为。
当时，在弹性阶段有
得
平均应力
因此在弹性阶段有，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时。
由上式导出。
因此进入塑性后还满足。
由于，得出，故实际独立变量只是与。
在塑性应变增量方面，由于，而。
则有，并可得出
最后得到答案结果。
（1）Mises屈服条件。
由流动法则，现在，将得出。
（2）Tresca屈服条件，在平面内求得主应力如下：
(a)
由于，而，即即
(b)
由流动法则，这要求应力点处在屈服面上，即
(c）
并要求，或
(d)
由
代入(d)式，得
由代入，得
第十一章习题答案
使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。
解1：（1）静力法
首先该超静定梁（）化为静定结构（）、（）。
分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（）
在极限情况下
设点支反力为，则：
由上二式得
当值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故为该梁的完全解。
（2）机动法
设破坏机构如图（），并设点挠度为，则：
外力功
内力功
由，可得极限载荷上限为
由于在作用下，，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。
解2：（1）静力法
先将该超静定梁化为静定梁（）、（），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（）
设点为坐标原点，此时弯矩方程为：
在极限状态时，有
令得（1）
而（2）
（3）
联立解（1）、（2）、（3）得
解得
取较大的值，可得
在以上值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解。
（2）机动法如图（g）
设在、两点形成塑性铰
内力功为
外力功为
由虚功原理
得：
该解与完全解的误差为
解3：（1）静力法
设坐标原点在点，此时弯矩方程为：
段（）
段（）
在处，为极大值，设在段，由
得（1）在极限情况下
，
即：（2）
（3）联立解（1）、（2）、（3）得
取正号
由于此时形成破坏机构，故值完全解。
（2）机动法,如图（g）
设此梁在和处形成塑性铰，则
，
内力功为
外力功为
由虚功原理得
由极值条件得
代入的表达式，则得的极小值
由于此结果满足，故所得的值为完全解的极限载荷。
试用机动法求下列图示板的极限载荷。
(1)四边简支，边长为的正方形板，载荷作用在板的中点；
(2)三边简支一边自由的矩形板，在自由边中点承受集中力的作用；
(3)四边简支矩形板，在板上任意点()承受集中力的作用．
解（a）外力功
如破坏时四角可以翘起。
内力功
其中
代入上式后，得。
