对数函数及其性质（1）（教学设计）
对数函数及其性质（1）的含量
①②③④⑤⑥
，则
，则.若
若，则
函数的图象关于
好玩的计算尺与背后的对数故事(1)
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2009-08-18 20:44
此书第一卷第三部分“分析”中首先就给出了对数的历史和演化过程。其中提到了对数表。由此我忽然想起一个对数表衍生出的工具：计算尺。2006年第6期的《环球科学》中曾有一篇文章《300年辉煌：计算尺传奇》，正是通过这篇文章，我第一次知道了还有这么神奇的工具。在计算器发明前，能作为计算的辅助工具的，并不只有算盘。而且计算尺使得工程人员和科学家能以非常快的速度计算乘、除、开方、正余弦、双曲三角函数等，其很多功能是算盘所不具备的。计算尺的原理决定了它强大的功能，以及与算盘有着本质上的不同。
计算尺的诞生可以追溯到对数的第一次应用。
1614年，苏格兰数学、物理学家约翰·纳皮尔在他的《对数原理》一书中收录了其制作的世界第一份对数表。但直到他逝世后的1619年，计算此对数表的方法才被公开。与此同时，瑞士人约布斯特·比尔吉独立的发明了与纳皮尔类似的方法，也计算出对数表，并于1620年出版。
1620年，为了方便的使用对数表，英国数学家埃德蒙·甘特把对数以一种特别的位置关系刻在了尺子上；大约1622年的时候，英国圣公会牧师威廉·奥特雷德把两根木制对数标尺并排放在一起，创造出了世界上第一把计算尺。有了奥特雷德的发明，人们就可以告别对数表，只须拉拉计算尺，对一下两个因数的位置，便可得到乘法的结果。这一发明使得计算“抛开了数字”。此后300年间，针对不同的专业需求，人们给计算尺添加了不同的功能，极大提高了计算效率。
《环球科学》中提到的可在网站上下载的“自制计算尺”的图样已失效，不过好在杂志上也印刷了一份，复印后按照说明剪裁一下，一个小巧的计算尺就到手了。试验过它的各种用法后，我不禁惊叹于计算尺精巧的设计和对原理巧妙的利用。可以想见这种工具在计算器前时代起着如何重要的作用。
如果有人对计算尺感兴趣，可以在baidu或google上搜一下上面的那篇文章，还可找到部分内容。其中有计算尺的使用示例和详细介绍，我就不再多说了。下面记录一些更有意义的历史过程：对数相关内容的推导。
首先是对数表的计算：
<1>设底b为接近1的一个小数，比如1.0001，即，这样底b的逐次整数幂相互很靠近。
<2>基于上述的考虑（“b的逐次整数幂”），设y的值每次增加1，即数y以1等差递增，；
而对应的x增加。再由，可得，于是
。
<3>只要能确定一组初始的x和y值，此后通过不停地对上一个x加，对上一个y加1，计算下去即可得到一张大致的对数表（注意此处得到的x值序列并非等差数列）。
比如：基于指数函数的知识，可设x = 1时，y = 0。然后
，，由此也可看到，随着x和y的增大，也即是逐渐变小
的，而不变，所以逐渐变大。
<4>为进一步提高计算出的对数表的精度，可回溯至第2步，取，则
，于是
。此
后通过不停地对上一个x加，对上一个y加0.1，计算下去即可得到一张精度
更高的对数表。如需要，可取更小的小数。
在计算对数表时，底的选取并不是一个重要的因素。所以可以换一种方法来思考对数的求值问题。
<1>由上面时的情况，。然后重新定义
y，此后的y变为之前的y乘以，x改写为。同时新的
，并有，。
<2>由之前内容可知，欲求对应的对数的值，可将x由1开始每次增加直至最终的值，
同时y由0开始并每次增加一个相应的，当x的值到达时，y的值即为所要求的值，
。
<3>引入另一平面直角坐标系，横轴为轴，纵轴为轴。在平面上画一条双曲线，
然后求由、、（此处代表一个定值）、围成的曲边梯形的面积。此处使用积分的思路，不过，这里以等面积来划分小矩形，每个小矩形的面积都为
。因为每个小矩形的、值不同，所以的值也不固定，即，划分的
小矩形不等宽。最终求出的曲边梯形的面积为。
<4>可以看到，<2>和<3>得出的式子实际是相同的。所以求的对数的问题就转化为求由
、、、围成的曲边梯形的面积上来了。设，当
时，由1加到的相加次数趋于无穷大。此时曲边梯形面积可表示为
。所以时此对数函数也可表示成积分的形式。确定的底
<1>由上面，所以。将其改写为，并让，
此时。这与上面设，并将改写为实际是一回事，此时对数函数可用另一坐标系下的双曲线下的面积来表示。
<2>
也改写为，同时令。即，
。设，就有。结合上一步，当以e为底时，
可写为，即。e就是自然常数。
∙标签：计算尺、对数
∙分类：数学与自然科学
2009-08-18 20:44 来自我的搜狐在博客中查看
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对数是由英国人纳皮尔（Napier，1550～1617）创立的，而对数（Logarithm）一词也是他所创造的。这个词是由一个希腊语（打不出，转成拉丁文logos，意思是表示思想的文字或符号，也可说成“计算”或“比率”）及另一个希腊语（数，抱歉，我不知道拉丁文怎么写）结合而成的。纳皮尔在表示对数时套用logarithm 整个词，并未作简化。
至1624年，开普勒才把词简化为“Log”，奥特雷得在1647年也用简化过了的“Log”。1632年，卡瓦列里成了首个采用符号log的人。1821年，柯分用“l”及“L”分别表示自然对数和任意大于1的底的对数。1893年，皮亚诺用“logx”及“Logx”分别表示以e为底的对数和以10为底的对数。同年，斯特林厄姆用“blog”、“ln”及“logk．”分别表示以b为底的对数、自然对数和以复数模k为底的对数。1902年，施托尔茨等人以“alog.b”表示以a为底的b的对数，此后经过逐渐改进演变，就成了现代数学上的表示形式。
对数于十七世纪中叶由穆尼格引入中国。十七世纪初，薛凤祚的《历学会通》有“比例数表”（1653年，也称“比例对数表”），称真数为“原数”，称对数为“比例数”。《数理精蕴》中则称作对数比例：“对数比例乃西士若往·纳白尔所作，以借数与真数对列成表，故名对数表”。此后在我国便都约定俗成，称作对数了。
对数的故事
你在对数新课里讲过对数发明的故事吗？
1614年，英国数学家纳皮尔（J. Napier, 1550～1617）出版《奇妙的对数表》一书。在前言里，纳皮尔告诉我们他发明对数的动机：
“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了。这不仅浪费时间，而且容易出错。因此，我开始考虑怎样消除这些障碍。经过长期的思索，我终于找到了一些漂亮的简短法则……”
对数发明后，人们（特别是天文学家）的计算量大大减少。200年后，法国著名数学家拉普拉斯（P. -S. Laplace, 1749～1827）评价说，由于对数的发现，“天文学家的寿命增加了一倍。”
