用空间向量求空间角和距离
四川省通江中学 徐荣德
空间中角和距离的计算问题是立体几何的重要内容，也是近几年高考的热点之一。
空间向量为求空间角和距离提供了新的方法，可以使几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算，使问题的解决更简洁、清晰，有较强的规律性，易于掌握。
一、求空间中的角
1、两异面直线所成的角
设异面直线AB 、CD 所成的角为])2
,0((π
αα∈ （如图1），则||
|||||,cos |cos CD AB ⋅=><=α。
2、直线与平面所成的角
设直线PA 与平面α（),αα∉∈P A 所成的角 为])2
,
0[(π
θθ∈，平面α的法向量为（如图2），
则||
||||
|,cos |sin n AP ⋅=><=θ。
3、二面角
设二面角βα--l 的大小为θ（),0(πθ∈）， 平面βα,的法向量分别为n m ,（如图3）， 则><-=>=<,,πθθ或。
例1、四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方
形，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且侧面PAD 与底面ABCD 垂直，E 为DP 的中点。
（1） 求异面直线AE 与PB （2） 求直线BE 与平面PCD 所成的角； （3） 求二面角E —AC —D 的大小。
解：建立如图4所示的空间直角坐标系，则
(1) A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,1,3),E(0,23∴23
,23,0(),3,1,2(=-=AE BP
4
6|
|||,cos =⋅>=
<∴AE BP ∴异面直线AE 与PB 所成的角4
6arccos
.
(2) C(2,2,0),D(0,2,0),)2
3
,
23,2(),3,1,2(),0,0,2(-=--=-=∴BE CP CD , 设平面PCD 的一个法向量),,,(z y x =
则⎩
⎨⎧⎩⎨
⎧==∴=+--=-z y x z y x x 30,03202，取1=z ，得)1,3,0(= 设直线BE 与平面PCD 所成的角为θ，则
=θsin 7
21
||
|,cos |=
=>< ∴直线BE 与平面PCD 所成的角为7
21arcsin。
（3）)0,2,2(),2
3
,
23,0(==AC AE ,设平面ACE 的一个法向量),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧-=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y z y
x y x z y 3,0
2202323
，取1-=y ，得)3,1,1(-=n ， 显然)1,0,0(=m 是平面ACD 的一个法向量，
5
15
,cos =
>=
<∴n m ∴ 二面角E —AC —D 的大小为5
15arccos。
二、求空间中的距离 1、两异面直线的距离
设异面直线b a ,间的距离为d ，AB 是b a ,的公垂线 段，D 、C 分别是b a ,上的一点，n 是AB 的方向向量（如图5）。
|
|||n d CD
n AB n DB CD AC AB =
=∴⋅=⋅∴++=
2、点到平面的距离
设平面α外一点P 到平面α的距离为d ，点A 是平面α
任一点，是平面α的法向量（如图6）。
则
|
||
||||||,cos |||cos ||sin ||n n AP AP APO PAO d =⋅=><⋅=∠⋅=∠⋅=
例2、如图7，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，
E 是AA 1的中点。
（1）求异面直线BD 与B 1C 间的距离；
（2）求点C 1到平面BDE 的距离。
解：建立如图7所示空间直角坐标。
（1） D （0,0，0），B(a,a,0),C(0,a,0),B 1(a,a,a),
∴ ),,0,(),0,,(1a a B a a --== 设DB 、B 1C 的公垂向量),,(z y x =，
则⎩⎨
⎧-=-=∴⎩⎨
⎧=--=+x
z x
y az ax ay ax 00，令,1-=x 则)1,1,1(-=n ，又)0,0,(a CB = ∴异面直线BD 与B 1C 间的距离a a d 3
3
3
=
=
=。
（2）)0,,(),2
,0,(a a DB a a DE == ，设平面BDE 的一个法向量),,(z y x =，
则,2,002
⎩
⎨⎧-=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧
=+=+x z x y ay ax z a ax 取,1-=x 得)2,1,1(-=，又),,0(1a a DC = ∴点C 1到平面BDE 的距离a n d 2
6
|
|1=
=。
练习: 1、（2004福建）在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分
别为AB 、SB 的中点.
（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；
（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离. 2、（2004江苏）在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；
(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.
3、（2004四川）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， ∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面
· B P C
D
A C D O H
·
AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M.
（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；
（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小. 4、（2005四川）在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）证明AB ⊥平面VAD ．
（Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．
5、(2005湖南)如图，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2.
（Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；
（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小.
6、(2005福建)如图，直二面角D —AB —E 中， 四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ， F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.
图1 图2。
