二次型,正定二次型

x
T
A A x xA Ax x
T
T
T
AT Ax

T
2
0
故 AT A是正定二次型矩阵。
例5 设A是正定矩阵, B 反对称矩阵, 证明
A B 是正定矩阵,
证明： 对任意的 x 0 , 由 A 是正定矩阵, B 反对称矩阵,得
xT Ax 0 , xT Bx 0
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2 c11 y1 c12 y2 c1n yn 关系式 x c y c y c y nn n n n1 1 n 2 2
③
称为由 x1 , x2 ,, xn到y1 , y2 ,, yn 的一个线性替换; 若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换 (non-degenerate linear transformation).
为t满足什么条件时，二次型是正定的； t满足什么条件时，
二次型是负定的；
t 1 1 则 A 1 t 1 解：二次型矩阵为 1 1 t t 1 1 2 t 1 2 A3 1 t 1 t 1 (t 2) A2 t 1 A1 t 1 t 1 1 t
称为二次型.
当aij 是复数时, f称为 复二次型
当aij 是实数时, f称为 实二次型
（我们仅讨论实二次型）
二、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵 A叫做二次型 f 的矩阵;
( A P nn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵
（matrix）.
§5.1 二次型及其矩阵表示
（2）
a11 a X AX ( x1 , x2 ,..., xn ) 21 a n1
a12 a22 an 2
... ... ...
证明：必要性： 对任意的 y 0 记 Cy 为 x , 即 x Cy
由C 可逆矩阵可知道 x 0 ; 又
T T T
g y By y C ACy Cy A Cy xT Ax T g y By 是正定的。 故
T
0.
1 y C x y , 充分性：对任意的x 0记 C x 为 即
f 叫做对称矩阵 A的二次型;
对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩.
注意 1. 二次型的矩阵总是对称矩阵，即A A. 2. 二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B ，则 A B. （这表明在选定文字 x1 , x2 ,..., xn 下，二次型
正定二次型
一 正定二次型的定义
1 定义 都有 f 0 设 f xT Ax 为实二次型，若对任何
x0
f
0 , 则称二次型是正定的（负定的），
并称其对应的矩阵 A 为正定矩阵 （负定矩阵） 。
2 2 2 2 f ( x , x , x , x ) x x 5 x 3 x 例 1 2 3 4 1 2 3 4 是正定的 2 2 不是正定的 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x12 3x2 2x3
§5.1 二次型及其矩阵表示
positive definite quadratic form
正定二次型
判定方法
1. 特征值法:对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值全大于0。
2. 化标准形法:将二次型矩阵化为标准型看系数是否都为正。 3. 定义法: 用正定矩阵的定义进项判定。 4. 顺序主子式法:对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式 全大于0。 5. 惯性指数判别法:一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数其 中1的个数p称为正惯性指数 6. 合同法：实对称矩A正定的充要条件是A与单位矩阵E合同。
（m为正整数）也正定矩阵
注 n 元实二次型 f xT Ax 为负定的当且仅当
的负惯性指数为 n
主子式判别法
（1）定义 设n 阶方阵
a11 a21 A an1 a11 Ak a21 ak 1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann a12 a1n
k
T T 为负定的当且仅当二次型 x Ax f x Ax 证明： T T x A x 即二次型 x A x 为正定的。 显然二次型
的k阶主子式为 (1) Ak
k
故由定理可得。
2 2 2 例1 二次型 f tx1 tx2 tx3 2x1x2 2x1x3 2x2 x3
f ( x1 , x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
§5.1 二次型及其矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
（1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
2 f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 x n
1
由 C 1可逆矩阵可知道 y 0 ;又
T 1 T 1 x C C A CC x f x Ax T 1 C x C T AC C 1 x yT By 0 .
T
T
故
f xT Ax 是正定的。
T
f ( x1, x2 ,, xn ) x Ax
a1n x1 a2 n x2 x ann n
n a1 j x j 1 jn a x 2j j ( x1 , x2 ,..., xn ) j 1 n anj x j j 1
对任意的 x 0 有
xT A B x xT Ax xT Bx 0
故 A B 是正定矩阵,
合同法
1、定义
nn A , B P 设 ，若存在可逆矩阵
C P nn , 使 B C AC，则称A与B合同(congruent).
注意 1. 合同具有 反身性（reflexivity）：A E AE
an1 xn x1 an 2 xn x2 ann x
aij xi x j .
i 1 j 1 n n
2 n
②
§5.1 二次型及其矩阵表示
a11 a21 令 A a n1
a12 a22 an 2
... ... ...
a1n a2 n ann
A 0 T T y y A A 0 0 B
T
T A 例4 设 Amn 满足R Amn n 证明 A是正定二次型矩阵。
证明： A A A
T T
T
A
T T
AT A , 故A是对称矩阵。
对任意的 x 0 , 由 R Amn n 可得 Amn x 0 记 Amn x 则 0
§5.1 二次型及其矩阵表示
x1 x2 令X x n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j xn anj x j
j 1 j 1 j 1
n
n
n
( xi aij x j ) aij xi x j
2 当 t 0 , t 2 1 0, t 1 (t 2) 0 即 t 2 时二次型是正定的
t 1 时二次型是负定的 即 t 0 , t 1 0, t 1 ( t 2) 0 当
2 2
A 0 例3 设矩阵A,B矩阵正定矩阵，证明 A B , 0 B
x Cy
g ( Biblioteka Baidu1, y2 ,, yn ) yT By 其中 B CT AC
二 正定的判断方法
惯性指数判别法
定理 n 元实二次型 f xT Ax 为正定的当且仅当f 的正惯性指数 p n 推论 矩阵A是正定的当且仅当A的全部特征值均为正 例 设n 阶矩阵A是正定矩阵， 证明 A1 , A , Am
quadratic form
二次型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量 x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1,n xn 1 xn
k 1, 2,, n
方阵A的前k行和前k列所成的子式
a22 a2 n ak 2 akn
称为矩阵A的k阶主子式
（2）
定理 n 元实二次型 f xT Ax 为正定的当且仅当
对称矩阵A的各阶主子式都大于零。 注 n 元实二次型 f xT Ax 为负定的当且仅当 对称矩阵A的各阶满足 (1) Ak 0 ，其中 k 1, 2,, n
定义法
均是正定矩阵。 证明： 对任意的 x 0 ,
T T x Ax x Bx 0 x A B x
T
, 为n维向量 y , 其中 对任意的2n维 y 0 , 记 由 y 0 可得 0 或 0 故
故A B是正定矩阵。
i 1 j 1 i 1 j 1
n
n
n
n
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义
x1 , x2 ,, xn ; y1 , y2 ,, yn 是两组文字,
cij P , i , j 1,2,...n
对称性（symmetry）：
B C AC ,| C | 0 A (C 1 ) B(C 1 )
§5.1 二次型及其矩阵表示