线性代数 正定二次型

（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
P205 ex3 设A、B为正定矩阵，证明B A也是正定矩阵。 证明：因为A、B为正定矩阵，由定义它们都为对称矩阵, 对任意向量X 0，X T AX 0, X T BX 0,则 由定义B A也是正定矩阵。
f 则称 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定矩阵；
例如
f x 2 4 y 2 16z 2 为正定二次型
f x12 3 x22
为负定二次型
二、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型f xT Ax为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正.
推论1 二次型正定的充要条件是它的标准型为
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 充分性
设可逆变换x Cy使 n
f x f Cy ki yi2.
i 1
设 k i 0 i 1, ,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
f
x
n
ki
yi2
0.
必要性
P 205 ex4 设A为正定矩阵，证明A1与An也是正定矩阵。 证明 : 因为A是正定矩阵，则A是对称矩阵, 且A的特征值 都是正数.则A1与An也是对称矩阵, 且它们的特征值都 是正数.由定理它们为正定矩阵。
P205 ex2设A为对称矩阵，证明当t充分大时， tI A是正定矩阵。
证明：因为A为对称矩阵，A可对角化，存在可逆
a11 5 0,
a11 a12 5
2 26 0,
a21 a22 2 6
A 80 0, 根据定理3知f为负定.
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵,则AT , A1, A均为 正 定 矩 阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是 正定矩阵.
性质： （１） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
解
f x1, x2 , x3 的矩阵为
2
1 2,
4 2 5
它的顺序主子式
52
5 0,
1 0,
21
故上述二次型是正定的.
5 2 4 2 1 2 1 0, 4 2 5
例2 判别二次型
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3
是否正定.
解 用特征值判别法.
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1, , n.
f
X
=
y12
+
y
2 2
+L
y
2 n
A A 推论2 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的
特征值全为正．
推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.
A A 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的
各阶顺序主子式全为正，即
a11 0,
a11 a21
a11
a12 0, ,
a22
an1
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶
顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即
a1n 0; ann
a11 a1r
1r
0,
ar1 arr
这个定理称为霍尔维茨定理．
r 1,2, , n.
例1 判别二次型
f x1, x2 , x3 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定.
5 2 4
二次型的矩阵为
令 I A 0
2 0 2 A 0 4 0 ,
2 0 5
1 1, 2 4, 3 6.
即知 是A正定矩阵，
故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
的正定性.
5 2 2
解
f的矩阵为
A
2
6
0 ,
2 0 4
矩阵P，使得，
1
A
P
1
1
P，tI
A
P
1
n
P
tI
n
1

P
1
1 t
P
P 1tIP
P
1
n
P
n t
所以A的特征值为1 t，2 t， n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
第二节 正定二次型
一、正定二次型的概念 二、正(负)定二次型的判定
一、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型
f ( x) xT Ax, 如果对任何
x 0( x ( x1, x2 , , xn )T ), 都有f ( x) 0, f 则称 为正定二次型,并称对称矩阵A是正定矩阵；
如果对任何x 0,都有f ( x) 0,