广义洛必达法则及应用

，因此 ｆ（ｘ ）
ｌ ｆ（ｘ）－ｆ（Ｘｏ）一 ｌ＋Ｉ ｆ 一 二 ＋ 一 ｆ ｇ（ ）Ｊ ｇ（ ）一ｇ（Ｘｏ） ｇ（ ） ｌ ｌ ｇ（ ）Ｉ
ｆ．因为 ｌ ｉｍ ｇｃ ＝ｏ。，
所以，存 在 ５ ＞ ０，使得 当 ∈ Ｕ。（ｆＸｏ， ５）时，有０＜１ｌ － 一 ＜１，
＜三．因此，对任意的ｓ＞０，
ｌｉｍ型 ：ｌｉｒａ—ｆ（ｘ）—－ｂｘ：ｌｉｍ ：ｌｉｍ（ｆ，（ 一６）：０，从而ｌｉｍ塑 ：ｌｉｒｎ—ｆ（ｘ）—－ｂｘ＿ｌｉｍ ｆ 一６
－ － ￣＋ｅｔ３ Ｘ
＿ｏ。 Ｘ
斗
ｌ
一～
—Ｈ源自文库 Ｘ —Ｈ∞ Ｘ
—Ｈ∞
／
０，即ｂ：ｌｉｍ 丛型 ．
因为 ｌｉｍ ＿厂（ ）存在 ，所以ｂ：ｌｉｍ 丛型 ：０ ，
Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｌ Ｈｏｓｐｉｔａｌ ｒｕｌｅ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
Ｗ ＡＮＧ Ｙｕ－ｘｉａ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉａｙｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｍｅｉｚｈｏｕ ５１４０１５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｌ Ｈｏｓｐｉｔａｌ ｒｕｌｅ ｉｓ ｅｘｔｅｎｔｅｄ，ａｎｄ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｓｏｌｖｉｎｇ ｏｒ ｐｒｏｖｉｎｇ ｌｉｍｉｔ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｔｏ ｂｅ ｍｏｒｅ ｅａｓｙ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｌ Ｈｏｓｐｉｔａｌ ｒｕｌｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： Ｌ Ｈｏｓｐｉｔａｌ ｒ ｕｌｅ； ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ ｒ ｕ ｌｅ； ｌｉｍｉｔ
故
ｌｉｍ ／，（ ）：０．
如果 去掉 ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞这 个假设 条 件 ，即有 广 义洛 必达法 则 ．
定理 （广义洛必达法则） 设／（ ）和ｇ（ ）在 （ ）上可导，若满足
（１）ｇ ）≠０； （２） ｌｉｍ ｇ（ｘ）＝０（３；
（３）ｌｉｍ ：Ａ （Ａ为有限数或 ±∞ ）；
－÷ ｇ （ Ｊ
洛必达法则是求未定式极限的一个有力工具 ，很多未定式 的极 限都可 以利用洛必达法则进行求
解．但 因为有些题 目不是 或 型的未定式 ，不能用传统 的洛必达法则 ，只能用其它方法求解或证明 ，而
０ ∞
这些方法又相对较麻烦 ．本文从华东师大数学系编的 《数学分析》第六章总习题 １８ 求解出发 ，对洛 必达法则进行了推广 ，得到广义洛必达法则 ，并利用广义洛必达法则解决一些极 限求解或证 明问题．
则有 ｌｉｍ丛 ： ． ｇ【 Ｊ
证明 仅考虑 为有限数的情形．因为ｌｉｍ≤ ：Ａ，所以，对任意的ｓ＞０，存在 ＞０，使得当
＿＋ ｇ Ｉ Ｊ
艇 时，有ｌ Ｉ＜三．
因为ｇ （ ）≠０，由 Ｃａｕｃｈｙ中值定理可知，对任意的 ∈Ｕ（ｘｏ， ），存在 ∈（ ，ｘｏ）或（ ， ），使得
存在 ，当 （ 时，有Ｉ ＋≯，从而一ｌｉｍ ｆ （ｘ）
注 与传统洛必达法则相 比，广义洛必达法则对分子上的函数 （ ）的假设条件减弱 了： （ ）可 以无
因此
ｌｉｍ ｆ （ ）：ｂ：０．
收稿 日期 ：２０１７—０３—２０ 基 金项 目 ：广东 省高 等教 育教 学 改革项 目 （本科 类 ２０１５５７０） 作 者简 介 ：王 玉霞 （１９７７一），女 ，甘 肃武 威人 ，讲 师 ，硕士 ，从 事非 线性 科 学研 究． Ｅ－ｍａｉｌ：ｗａｎｇｙｘｇｄ＠１６３．ｃｏｒｎ
ｆｇ（ （ｘｘ） ）一一ｇｆ（（ｘＸｏｏ） ） 一 ｆｇ’’（（ ）） ，毗．ｆ （ｘ） －ｆ（Ｘｏ ）斗ｌ 一 强 有 ＝ ｇ（ｊｆ）
ｇ（ ） ｆｇ（ ） Ａｆｌ ＝ ｆ（ｘ。） ｇ（ ）一ｇ（ｘ。） 二 ＋ ：ｆ １一 １ （ ）一ｆ（ｘ。） ＋
ｇ（ ） ｇ（ ） ｇ（ｘ）一ｇ（ ） ｇ（ｘ） Ｉ ｇ（ｘ）Ｊ ｇ（ ）一ｇ（ 。）
广 义 洛 必 达 法 则 及 应 用
王 玉 霞
（嘉应学院 数学学院，广东 梅州 ５１４０１５）
摘 要 ：对 传统 的洛 必达 法则进 行 了推 广 ，使 得 一些极 限的 求解或 证 明利 用广 义洛 必达 法则得 到 轻 松 解 决． 关键词 ：洛 必达法 则 ；广 义洛 必迭法 则 ；极 限 中图分类 号 ：０１７２．１ 文献标 识码 ：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１７．１０．００６
第 ３７卷 第 ｌ０期 ２０１７年 １０月
高 师 理 科 学 刊
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
文 章编 号 ：１００７—９８３１（２０１７）１０—００１８—０３
Ｖｏ１．３７ Ｎｏ．１０ ０ｃｔ． ２０１７
例 证 明 ：设 ｌ厂（ ）在 （ａ， ＋。。）上可 导 ，若 ｌｉｍ ／（ ）， ｌｉｒａ ｆ （ ）都 存 在 ，则 ｌｉｍ ｆ （ ）＝０．
方法 １ 因为 ｌｉｍ ｆ（ｘ）存在 ，由函数极 限的柯西准则可知 ，对于任意 ＞Ｏ（ｃ ０），存在 ，当
ｘ ， ＞ 时，１ｌ厂（ｘ ）－ｓ（ｘ ）Ｉ＜ ．
取正整数 ＞ （ ＋ ＞ ＋１），有Ｉ／（ ＋１）一厂（ ）ｌ＜ ．由拉格朗日中值定理可知，存在 ， ＦＩｋ＜ ＜＃／ｋ＋１，使得ｌ＿厂 （ ）１＜ ，于是｛ｉｍ ｆ（ ）Ｉ ０．因为 ｌ 厂 （ ）存在，由归结原则可知，
ｌｉｍ ｆ （＿）ｃ）＝０． 方 法 ２（洛 必达 法则 ） 因为 ｌｉｍ ｆ （ ）存 在 ，不妨设 ｌｉｍ ｆ （ ）＝ｂ，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）一ｂｘ，由洛必 达法 则 ，
第 １０期
王玉霞 ：广义洛必达法则及应用
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由第 ２种方法的证明，受到启发：如果不构造函数Ｆ（ ），放宽洛必达法则的条件，即 ｌｉｍ丛 中若
没有ｌｉｍ厂（ ）：ｏ。，ｌｉｍ丛 ｆ二１是否也可以通过对分子和分母分别求导数得到相应的极限．
如果可以，则 ｌｉｍ ：ｌｉｍ
，而
ｌｉｍ厂（ ）存在，所以 ｌｉｍ丛 ：０ ，