第二章平面向量
向量的概念及表示
【学习目标】
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；
2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】
重点：平行向量的概念和向量的几何表示；
难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；
基础梳理
1.向量的定义：__________________________________________________________;
2.向量的表示：
（1）图形表示：
（2）字母表示：
3.向量的相关概念：
（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________
（2）零向量：___________________，记作：_____________________
（3）单位向量：________________________________
（4）平行向量：________________________________
（5）共线向量：________________________________
（6）相等向量与相反向量：_________________________
思考：
（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】
例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个；
（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；
（4）向量a r 和b r 是共线向量，//b c r r ，则a r 和c r
是方向相同的向量；
（5）相等向量一定是共线向量；
例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中：
（1）试找出与EF u u u r
共线的向量；
（2）确定与EF u u u r
相等的向量；
（3）OA u u u r 与BC uuu
r 相等吗
例3.如图所示的为34 的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终
点都在小方格的顶点处且与向量AB uuu r 相等的向量共有几个与向量AB uuu r
量共有几个与向量AB uuu r
的方向相同且模为的向量共有多少个
课后巩固训练
1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：
（1）向量AB uuu r 和CD uuu
r 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上；
（2）单位向量都相等；
（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；
（4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB CD =u u u r u u u r ；
（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；
2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =u u u r
，则A 点构成的图形是__________
3.四边形ABCD 中，1,||||2
AB DC AD BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r
，则四边形ABCD 的形状是_________
4.设0a ≠r r ，则与a r
方向相同的单位向量是______________
5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。
求证：//EF NM u u u r u u u u r
6.已知飞机从甲地北偏东30o
的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30o
的方
向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行到达丁地，问：丁地在
甲地的什么方向丁地距甲地多远
向量的加法
【学习目标】
1.掌握向量加法的定义；
2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；
3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算 【学习重难点】
重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律； 难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律； 基础梳理
1.向量的和、向量的加法：
已知向量a r 和b r
，______________________________________________________
则向量OB u u u r 叫做a r 与b r
的和，记作：____________________________________
_________________________________叫做向量的加法
注意：两个向量的和向量还是一个向量； 2.向量加法的几何作法： （1）三角形法则的步骤： ① ② ③
就是所做的a b +r r
（2）平行四边形法则的步骤： ① ② ③
OC ∴u u u r 就是所做的a b +r r
注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三角形法则对于任何两个向量都适用。
3.向量加法的运算律： （1）向量加法的交换律：
a r
b r
A
B
O
b r
a r
_________________________________________ （2）向量加法的结合律：
_________________________________________
思考：如果平面内有n 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这n 条向量的和是什么________________
【典型例题】
例1.如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：
（1）OA OC +u u u r u u u r （2）
u u u r u u u r u u u r u u u r
例2.化简下列各式
（1）AB BC CD DA EA ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （2）AB MB BO OM +++u u u r u u u r u u u r u u u u r
（3）AB DF CD BC FA ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （4）()AB CD BC DB BC ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
例3.在长江南岸某处，江水以12.5/km h 的速度向东流，渡船的速度为25/km h ，渡船
要垂直地渡过长江，其航向应如何确定
课后巩固训练
1.已知,a b r r
，求作：a b r r
（1） （2）
2.已知O 是平行四边形ABCD 的交点，下列结论正确的有_________
b
r a
r b r
a r
（1）AB CB AC +=u u u r u u u r u u u r （2）AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r
（3）AD CD BD +≠u u u r u u u r u u u r （4）0AO CO OB OD +++≠u u u r u u u r u u u r u u u r r
3.设点O 是ABC ∆内一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，则点O 为ABC ∆的______心；
4.对于任意的,a b r r ，不等式||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r r r r r
成立吗请说明理由。
向量的减法
【学习目标】
1.理解向量减法的概念；
2.会做两个向量的差；
3.会进行向量加、减得混合运算
4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力 【学习重难点】 重点：三角形法则
难点：三角形法则，向量加、减混合运算 基础梳理 1.向量的减法：
①a r 与b r 的差：若__________________，则向量x r 叫做a r 与b r
的差，记为__________
②向量a r 与b r
的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；
注意：向量的减法是向量加法的逆运算。
2.向量a b -r r
的减法的作图方法：
作法：①_______________________________ ②________________________________ ③________________________________
则BA a b =-u u u r r r
3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
()a b a b -=+-r r r r
4.关于向量减法需要注意一下几点：
①在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可.
②以向量,AB a AD b ==u u u r r u u u r r
为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为
,AC a b =+u u u r r r BD b a =-u u u
r r r ，DB a b =-u u u r r r 这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强理
解；
③对于任意一点O ，AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r
，简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记住.
【典型例题】
例1.已知向量,,,a b c d r r r u r ，求作向量：,a b c d --r r r u r ；
思考：如果//a b r r ，怎么做出a b -r r
例2.已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若,,,AB a DA b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r
试证
明：b c a OA +-=r r r u u u r
c
r d
u r b
r a
r
思考
1.（1）OA OC CA OC CB CD =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
（2）c a OC AB OC DC OD OA AD -=-=-==+r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和
例3.化简下列各式
（1）()AB BC BD AD -+-u u u r u u u r u u u r u u u r
（2）AB DA BD BC CA ++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
（3）()()AB DC AC BD ---u u u r u u u r u u u r u u u r
课后巩固训练 1.在ABC ∆中，90C
∠=o ，AC BC =，下列等式成立的有_____________
（1）||||CA CB CA CB -=+u u u r u u u r u u u r u u u r
（2）||||AB AC BA BC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r
（3）||||CA BA CB AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r
（4）222
||||||CA CB AB AC BA CA +=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交与O 点，且,AO OC BO OD ==u u u r u u u r u u u r u u u r
，
求证：四边形ABCD 是平行四边形。
3.如图，ABCD 是一个梯形，//,2AB CD AB CD =，,M N 分别是,DC AB 的中
点，已知,,AB a AD b ==u u u r r u u u r r 试用,a b r r
表示BC uuu r 和MN u u u u r
向量的数乘（1）
【学习目标】
1.掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模；
2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；
3.通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想 【学习重难点】
重点：向量的数乘及运算律； 难点：向量的数乘及运算律； 基础梳理
1.向量的数乘的定义：
一般地，实数λ与向量a r
的积是一个向量，记作：_______；它的长度和方向规定如下：
（1）||||||a a λλ=r r
（2）当0λ
>时，_______________________；
当0λ<时，_______________________； 当0λ
=时，_______________________；
______________________________叫做向量的数乘 2.向量的线性运算定义：
___________________________________________统称为向量的线性运算； 3.向量的数乘的作图：
已知,a r 作b a λ=r
r
当0λ>时，把a r
按原来的方向变为原来的λ倍；
当0λ<时，把a r
按原来的相反方向变为原来的λ倍；
4.向量的数乘满足的运算律：
设,λμ为任意实数，,a b r r
为任意向量，则
（1）结合律
______________________________________ （2）分配律
_______________________________________
注意：（1）向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算过程中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合的具体应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；
（2）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。
【典型例题】
例1.已知向量,a b r r
，求作：
b r
a r
（1）向量 2.5a -r
（2）23a b -r r
例2.计算
（1）(5)4a -r
g
（2）5()4()3a b a b a +---r r r r r
（3）2(263)3(342)a b c a b c +---+-r r r r r r
注意：（1）向量的数乘与实数的数乘的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和分配律。
不同点：实数的数乘的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量。
（2）向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似。
例3.已知,OA OB u u u r u u u r 是不共线的向量，,()AP t AB t R =∈u u u r u u u r ，试用,OA OB u u u r u u u r 表示OP u u u r
例4.已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，,E F 为,AC BA 的中点，,,AD BE CF 相交于O 点，求证：
（1）1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
（2）0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r
（3）0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
课后巩固训练 1.计算：
（1）3(53)2(6)a b a b --+r r r r
（2）4(35)2(368)a b c a b c -+---+r r r r r r
2.已知向量,a b r r
且3()2(2)4()0,x a x a x a b ++---+=r r r r r r r r 求x r
3.在平行四边形ABCD 中，,,3,AB a AD b AN NC M ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r
为BC 的中点，用,a b
r r 来表示MN u u u u r
4.如图，在ABC ∆中，,,AB a BC b AD ==u u u r r u u u r r
为边BC 的中线，G 为ABC ∆的重心，
求向量AG uuu r
b r
a r
G •
D
C
B
A
向量的数乘（2）
【学习目标】
1.理解并掌握向量的共线定理；
2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题；
3.培养学生的逻辑思维能力 【学习重难点】 重点：向量的共线定理； 难点：向量的共线定理； 基础梳理
1.向量的线性表示：
若果,(0)b a a λ=≠r r r r ，则称向量b r 可以用非零向量a r
线性表示；
2.向量共线定理：
思考：向量共线定理中有0a ≠r r
这个限制条件，若无此条件，会有什么结果
【典型例题】
例1.如图，,D E 分别是ABC ∆的边,AB
（1）将DE u u u r 用BC uuu
r 线性表示；
（2）求证：BC uuu r 与DE u u u r
共线；
例 2.设12,e e u r u u r
是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r ，若,,A B D 三点共线，求k 的值。
变式：设12,e e u r u u r
是两个不共线的向量,已知
12121228,3,2AB e e CB e e CD e e =-=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r ,求证：,,A B D 三点共线。
例3.如图，OAB ∆中，C 为直线AB 上一点，()1,-≠=λλ,
求证：1OA OB OC λλ
+=+u u u r u u u r u u u r
思考：
（1）当1λ
=时，你能得到什么结论
（2）上面所证的结论：1OA OB OC λλ
+=+u u u r u u u r u u u r 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的
向量OC uuu r 可以用,OA OB u u u r u u u r 表示，那么两个不共线的向量,OA OB u u u r u u u r
可以表示平面上任意一个向量吗
课后巩固训练
1.已知向量122122,3(),a e e b e e =-=--r u r u u r r u u r u r 求证：,a b r r
为共线向量；
2.设12,e e u r u u r 是两个不共线的向量，12122,,a e e b ke e =-=+r u r u u r r u r u u r 若,a b r r
是共线向量，求k 的值。
3.已知向量121223,23,a e e b e e =-=+r u r u u r r u r u u r 其中12,e e u r u u r 不共线，向量1229c e e =-r u r u u r
，是
否存在实数,λμ，使得d a b λμ=+u r r r 与c r
共线
4.平面直角坐标系中，已知(3,1),(1,3),A B -若点C 满足,OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r
其中,,R αβ∈,,A B C 三点共线，求αβ+的值；
2．3．1 平面向量基本原理
【学习目标】
1． 了解平面向量的基本定理及其意义；
2． 掌握三点（或三点以上）的共线的证明方法：
3． 提高学生分析问题、解决问题的能力。
基础梳理
1、平面向量的基本定理 如果1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ，2λ使=1λ1e +2λ2e
2.、基底： 平面向量的基本定理中的不共线的向量1e , 2e ，称为这一平面内所有向量的一组基底。
思考：
（1） 向量作为基底必须具备什么条件
（2） 一个平面的基底唯一吗
答：（1）______________________________________________________
（2）______________________________________________________
3、向量的分解、向量的正交分解： 一个平面向量用一组基底1e , 2e 表示成a =1λ1e +2λ2e 的形式，我们称它为向量的分解，当1e , 2e 互相垂直时，就称为向量的正交分解。
4、 点共线的证明方法：___________________________________________
【典型例题】
例1：如图：平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于一点M ， = , =试用 ,，表示 , , 和 。
D C
b A B
例2： 设1e ，2e 是平面的一组基底，如果 AB =31e —22e ，BC =41e + 2e ，=81e —92e ，求证：A 、B 、D 三点共线。
例3： 如图，在平行四边形ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上，且 BM=
21AB ，点N 在 BC 上，且BN=3
1BC ，用向量法证明： M 、N 、D 三点共线。
D C
N
A B M
课后巩固训练
1、若1e ，2e 是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（ ）
A 、1e —22e 和1e +22e
B 、1e 与32e
C 、21e +32e 和 - 41e —62e
D 、1e +2e 与1e
2、若1e ，2e 是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是（ ）
A 、若实数1λ，2λ使1λ1e +2λ2e =0，则1λ=2λ=0
B 、空间任意向量都可以表示为=1λ1e +2λ2e ，1λ，2λ∈R
C 、1λ1e +2λ2e ，1λ，2λ∈R 不一定表示平面内一个向量
D 、对于这一平面内的任一向量 ，使=1λ1e +2λ2e 的实数对1λ，2λ有无数对
3、三角形ABC 中，若 D ，E ，F 依次是 AB 四等分点，则以 CB =1e ，CA =2e 为基底时，用1e ，2e 表示CF
D ·
A C
4、若= -1e +3 2e , = 4 1e +2 2e , = - 31e +122e , 写出用1λ+ 2λ 的形式表示
2．3．2向量的坐标表示(1)
【学习目标】
1、 能正确的用坐标来表示向量；
2、 能区分向量的坐标与点的坐标的不同；
3、 掌握平面向量的直角坐标运算；
4、 提高分析问题的能力。
基础梳理
1、一般地，对于向量 ，当它的起点移至_______时，其终点的坐标),(y x 称为向量 的（直角）坐标，记作________________________。
2、有向线段AB 的端点坐标为),(,),(2211y x B y x A ，则向量 AB 的坐标为__________________________________________________。
3、若=),(11y x ，)22,(y x =
a +
b =_________________________。
=-________________________。
【典型例题】
例1：如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，060,34=∠=xOA ，求向量 的坐标。
例2：已知A （-1，3），B （1，-3），C (4 ,1) , D (3 ,4), 求向量 CD AO OB OA ,,, 的坐标。
例3：平面上三点A （-2,1），B （-1,3），C （3，4）,求D 点坐标，使A,B,C,D 这四个点构成平行四边形的四个顶点。
例4：已知P 1（ 11,y x ），P 2（ 22,y x ），P 是直线P 1P 2上一点，且)1(21-≠=λλPP P P ，求P 的坐标。
课后巩固训练
1、与向量 )5,12(=平行的单位向量为__________________________________
2、若O （0,0）,B(-1,3) 且/OB =3OB ，则 /B 坐标是：___________________
3、已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，,0
150=∠xOA 求向量 OA 的坐标。
4、已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上，点C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求 BD BC AC AB ,,, 的坐标。
2．3．2 向量的坐标表示（2）
【学习目标】
1、 进一步掌握向量的坐标表示；
2、 理解向量平行坐标表示的推导过程；
3、 提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。
基础梳理
1、 向量平行的线性表示是_____________________________
2、向量平行的坐标表示是：设),(11y x a = ，)0)(,(22≠=a y x b ，如果a ∥b ，那么_________________，反之也成立。
3、已知A ，B ，C ，O 四点满足条件：OC OB OA =+βα ，当1=+βα ，则能得到 ________________________________________
【典型例题】
例1：已知A （)0,1- ，)1,3(-B ,)2,1(C ,并且BC BF AC AE 31
,31== ,求证：∥。
例2：已知)1,2(,)0,1(==b a ，当实数k 为何值时，向量k -与3+平行并确定此时它们是同向还是反向。
例3：已知点O , A , B , C , 的坐标分别为（0，0），（3，4），（－1，2），（1，1），是否存在常数t ，t =+成立解释你所得结论的几何意义。
课后巩固训练
1. 已知),,6(),3,2(y ==且a ∥b ，求实数y 的值。
2. 已知，平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (2, 1)， B (－1,3) ， C (3,4)，
求第四个顶点的D 坐标。
3. 已知A (0, －2)，B (2, 2)，C (3, 4)，求证：A ，B ，C 三点共线。
4. 已知向量)4,3(--=，求与向量同方向的单位向量。
5. 若两个向量)4,(,),1(x x -=-=方向相同，求2-。
2．4．1向量的数量积（1）
【学习目标】
1. 理解平面向量数量积的概念及其几何意义
2. 掌握数量积的运算法则
3. 了解平面向量数量积与投影的关系
基础梳理
1. 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则把数量_________________叫做向量与的数量积（或内积）。
规定：零向量与任何一向量的数量积为_____________
2. 已知两个非零向量a 与b ，作a OA =，b OB =，则______________________叫做向量a 与b 的夹角。
当00=θ时，与___________，当0180=θ时，与_________；当090=θ时，则称与__________。
3. 对于θ=•，其中_____________叫做b 在a 方向上的投影。
4. 平面向量数量积的性质
若a 与b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b 的夹角，则：
①θcos •=•=•a e e a ；
②⊥⇔=•0；
③≤•；
④若a 与b
同向，则•=•；若a 与b
反向，则=•；
=•
=
⑤设θ是与
的夹角，则=θcos 。
5. 数量积的运算律
①交换律：________________________________
②数乘结合律：_________________________
③分配律：_____________________________
注：①、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异。
②、数量积得运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律。
即••)( 不一定等于)(•• ，也不适合消去律 。
【典型例题】
例1： 已知向量a 与向量b 的夹角为θ
2
， 3 ，分别在下列条件下求a b •：
（1）θ = 1350 ； （2） ∥ ； （3） ⊥
例2 = 8 ，且与的夹角为1200 。
计算：（1） )2()2(b a b a -•+ ；
（2）+ 。
例3 = 6 ，与的夹角为600 ，
求：（1）、 • （2）、 • )(+ （3）、)3()2(+•-
例4：已知向量a ≠ e
，对任意t ∈ R ,
- ≥
- ，则（ ）
A 、a ⊥ e
B 、a ⊥ （a )e -
C 、 ⊥ （)e -
D 、（)()e a e a -⊥+
课后巩固训练
1、
= 12 ，且36)5
1()3(-=• ，则a 与b 的夹角为__________ 2、 已知 、 、 是三个非零向量，试判断下列结论是否正确：
（1）
、若b a =•，则 ∥ （ ）
（2）、若•=•，则= （ ）
（3）
-=+，则⊥ （ ）
3
、已知0)()23(,3,2,0=-•+===•b a b a b
a λ，则=λ__________
4、四边形ABCD 满足A = D ,则四边形ABCD 是（ ）
A 、平行四边形
B 、矩形
C 、菱形
D 、正方形
5、正ABC ∆ 边长为a ，则=•+•+•__________
2．4．1向量的数量积（2）
【学习目标】
1、 能够理解和熟练运用模长公式，两点距离公式及夹角公式；
2、 理解并掌握两个向量垂直的条件。
基础梳理
1、若),(),,(2211y x y x == 则=•______________________________
2、向量的模长公式：
设),(y x =θ = 22y x +=• ∴=__________
3、 两点间距离公式
设A （),11y x B ),(22y x
则=--=y y x x B A ,),(1212__________
4、 向量的夹角公式：
设a = （),11y x ，),(22y x = ，a 与b 的夹角为θ ，
则有==
θcos __________
5、 两个向量垂直：
设= （),11y x ，),(22y x =，,≠≠
⇔⊥ ____________________
注意：对零向量只定义了平行，而不定义垂直。
【典型例题】
例1：已知 = （2 ，)1- ，)2,3(-=b ，求)2()3(b a b a -•- 。
例2：在ABC ∆中，设),1(),3,2(k A A == 且ABC ∆为直角三角形，求k 的值 。
例3：设向量212134,e e e e +=-=，其中1e = （1，0），2e =（0，1）
（1）、试计算•及
+的值。
（2）、求向量与的夹角大小。
课后巩固训练
1、已知)2,1(),2,2(-=-= ，求：).23()(-•-
2、已知向量)3,2(),1,1(-==，若k 2-与a 垂直，则实数k =__________
3、已知)1,(),2,1(x b a ==若b a 2+与b a -2平行，则=x __________
4、已知A 、B 、C 是平面上的三个点，其坐标分别为)1,0(),1,4(),2,1(-C B A .那么
•=__________ ，=∠ACB __________ ， ABC ∆的形状为__________
5、已知)2,12(),3,2(-+=+-=m m m m ，且a 与b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围。
必修4第二章平面向量教学质量检测
一.选择题（5分×12=60分）: 1．以下说法错误的是（ ）
A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）
A ．；）＋＋（BC CD A
B B ．）；＋）＋（＋（CM B
C M B AD
C ．；－＋BM A
D M B D ．；＋－CD OA OC
3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ）
A ．
65
63
B ．
65 C ．513
D ．13
4． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =（ ）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
5．已知ABCDEF 是正六边形，且−→
−AB ＝→
a ，−→−AE ＝→
b ，则−→
−BC ＝（ ）
（A ） )(2
1
→
→
-b a （B ） )(2
1→
→
-a b （C ） →a ＋→b 2
1 （D ） )(2
1→
→+b a
6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→
b ,则下列关系式中正确的是 （ ）
（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→
−BC 7．设→
1e 与→
2e 是不共线的非零向量，且k →
1e ＋→
2e 与→
1e ＋k →
2e 共线，则k 的值是（ ）
（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→
−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）
（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形
9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→
−PN ＝－2−→
−PM ，则P 点的坐标为（ ）
（A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 10．已知→
a ＝（1，2），→
b ＝（－2，3），且k →
a +→
b 与→
a －k →
b 垂直，则k ＝（ ）
（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±
11、若平面向量(1,)a x =r
和(23,)b x x =+-r 互相平行，其中x R ∈.则a b -=
r r （ ）
A. 2-或0；
B.
C. 2或
D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
① 00ρρρ=⋅a ②a b b a ρρρρ⋅=⋅③22a a ρρ=④)()(c b a c b a ρρρρρρ⋅=⋅⑤b a b a ρρρρ⋅≤⋅
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 二. 填空题(5分×5=25分):
13．若),4,3(=Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ． 14．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．
15、已知向量)2,1(,3==b a ρρ
，且b a ρρ⊥，则a ρ的坐标是_________________。
16、ΔABC 中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C 点坐标为________________。
17．如果向量 与b 的夹角为θ，那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”， ×b 是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sin θ，如果| |=4, |b|=3, ·b=-2，则| ×b|=____________。
三. 解答题（65分):
17．（10分）已知向量 = ()
3,3, 求向量b ，使|b |=2| |，并且 与b 的夹角为
3
π。
18、（14分)设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．
（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角； （3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．
19．（12分）已知向量 = , 求向量b ，使|b|=2| |，并且 与b 的夹角为 。
20. （13分)已知平面向量).2
3
,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k
和t,使
.,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且 （1）试求函数关系式k =f （t ） （2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.
21．（13分)如图， =(6,1), ，且 。
(1)求x 与y 间的关系； (2)若 ，求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积。
22．（13分)已知向量a、b是两个非零向量，当a+t b(t∈R)的模取最小值时，（1）求t的值
（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+t b垂直
参考答案
一、
选择题：1C 、2C 、3A 、4C 、5D 、6B 、7C 、8B 、9D 、10A 、11C 、12C 、
二. 填空题(5分×5=25分):
13 28 14 （ ， ）或（ ， ）
15 （5，3） 16 2三. 解答题（65分):
17．由题设 , 设 b = , 则由 ,得 . ∴ , 解得 sin α=1或 。
当sin α=1时，cos α=0；当 时， 。
故所求的向量 或 。
18、 （1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）．
∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2＋|＝227)1(+-＝50．
（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，
·＝（－1）×1＋1×5＝4．
∴ cos θ ＝
|
|||AC AB ⋅＝
26
24⋅＝
13
13
2． （3）设所求向量为＝（x ，y ），则x2＋y2＝1． ①
又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ②
5
56-5
535
565
53-
由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．
－555
52y x ∴ （552，－55）或（－552，
5
5
）即为所求．
19．由题设 , 设 b= , 则由 ,得 . ∴ , 解得 sin α=1或 。
当sin α=1时，cos α=0；当 时， 。
故所求的向量 或 。
20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即Θ ).
3(41
,0)3(4,1,4,0222
2
-==-+-∴===⋅t t k t t k 即Θ
（2）由f(t)>0,得.303,0)3()3(,0)3(412
><<-->+>-t t t t t t t 或则即 21．解：(1)∵ ，
∴ 由 ，得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0. (2) 由 =(6+x, 1+y), 。
∵ , ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又x+2y=0, ∴ 或 ∴当 时， ， 当 时， 。
故 同向，
22．解：（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+
当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos |||
||
|222
-=⋅-
=时a+tb(t ∈R)的模取最小值 （2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时|
||
|b a t -
=。
