初三数学中考复习圆的基本性质专题训练题含答案

第29讲 圆的基本性质1. (2012，河北)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)第1题图A. AE >BEB. 弧AD ＝弧BCC. ∠D ＝12∠AEC D. △ADE ∽△CBE 【解析】 ∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，∴AE ＝BE ，弧AC ＝弧BC .∴A ，B 两选项错误．∵∠AEC 不是圆心角，∴∠D ≠12∠AE C. ∴C 选项错误．∵∠AED ＝∠CEB ＝90°，∠DAE ＝∠BCE ，∴△ADE ∽△CBE .∴D 选项正确．2. (2015，河北)如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 相交于点F .下列三角形中，外心不是点O 的是(B)第2题图A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE【解析】只有△ACF的三个顶点不都在⊙O上，故外心不是点O的是△ACF.3. (2016，河北)如图所示的为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)第3题图A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的内心D. △ABC的内心【解析】由网格图，知点O是边AC，BC的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O是△ABC的外心．圆的有关概念例1 下列语句正确的是(D)A. 长度相等的两条弧是等弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【解析】能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确.针对训练1 如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C.若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为(A)训练1题图A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】如答图，连接OD，则∠DOC＝70°－45°＝25°，∠AOD＝160°－70°＝90°.∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠A＝45°.∵∠ADO＝∠B＋∠DOB，∴∠B＝45°－25°＝20°.训练1答图针对训练2 如图，点P在线段AB上，PA＝PB＝PC＝PD.当∠BPC＝60°时，∠BDC的度数为(B)训练2题图A. 15°B. 30°C. 25°D. 60°【解析】 ∵PA ＝PB ＝PC ＝PD ，∴点A ，B ，C ，D 在以点P 为圆心，PB 的长为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BPC ＝12×60°＝30°.确定圆的条件例2 (2010，河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)例2题图A. 点PB. 点QC. 点RD. 点M【解析】 如答图，连接BC ，作AB 和BC 的垂直平分线，它们相交于点Q ，则点Q 即为圆心．例2答图针对训练3 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(－1，0)，点B 的坐标是(3，0)，在y 轴的正半轴上取一点C ，使A ，B ，C 三点确定一个圆，且使AB 为圆的直径，则点C 的坐标是(A)A. (0，3)B. (3，0)C. (0，2)D. (2，0)【解析】 如答图，连接AC ，CB .根据题意可证得△AOC ∽△COB ，∴OC OA ＝OB OC ，即OC 2＝OA ·OB .∴OC 2＝1×3＝3.解得OC ＝ 3.故点C 的坐标为(0，3).训练3答图针对训练4 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C，D，E三点，且此圆分别与AD，BC相交于P，Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：甲：连接DE，EC，作∠DEC的平分线EM，作DE的垂直平分线，交EM于点O，则点O即为所求．乙：连接PC，QD，两线段交于一点O，则点O即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(A)训练4题图A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【解析】对于甲，易知ED＝EC，∴△DEC为等腰三角形．进而易知EM为CD的垂直平分线．∴点O为两垂直平分线的交点，即点O为△CDE的外心．∴点O为此圆的圆心．对于乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，∴PC，QD为此圆的直径．∴PC与QD的交点O为此圆的圆心．因此甲、乙两人皆正确.圆的基本性质例3 (2018，石家庄裕华区模拟)如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，C 是优弧AB 上一点(不与点A ，B 重合)，则cos C 的值为(D)例3题图A. 43B. 34C. 35D. 45【解析】 如答图，作直径AD ，连接BD .∵AD 为直径，∴∠ABD ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝10，AB ＝6，∴BD ＝102－62＝8.∴cos D ＝BD AD ＝810＝45.∵∠C ＝∠D ，∴cos C ＝45.例3答图针对训练5 (2018，石家庄模拟)如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长是(A)训练5题图A. 8B. 10C. 11D. 12【解析】如答图，作直径CF，连接BF，则∠FBC＝90°.∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAC ＋∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF.∴弧DE＝弧BF.∴BF＝DE＝6.∴BC＝CF2－BF2＝8.训练5答图针对训练6 (2018，通辽)已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数为(D)A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°【解析】 如答图．在Rt △OAD 中，∵OA ＝10，OD ＝5，∴cos ∠AOD ＝OD AO ＝12.∴∠AOD ＝60°.同理可得∠BOD ＝60°.∴∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝60°＋60°＝120°.∴弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°.训练6答图垂径定理例4 (2018，安顺，导学号5892921)已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为(C) A. 2 5 cm B. 4 5 cm C. 2 5 cm 或4 5 cm D. 2 3 cm 或4 3 cm【解析】 如答图，连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如答图①所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝ 4 cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3(cm)．∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)．∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝45(cm)．当点C 的位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm.∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．∴在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝25(cm)．综上所述，AC 的长为2 5 cm 或4 5 cm.例4答图针对训练7 (2018，张家界)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 的长为(A)训练7题图A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【解析】 ∵CD ⊥AB ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝12CD ＝4 cm.在Rt △OCE 中，OC ＝5 cm ，CE ＝4 cm ，∴OE ＝OC 2－CE 2＝3 cm.∴AE ＝AO ＋OE ＝5＋3＝8(cm)．一、选择题1. (2018，聊城)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC. 若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(D)第1题图A. 25°B. 27.5°C. 30°D. 35°【解析】∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°.∴∠AOC＝2∠B＝50°.∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.2. (2018，威海)如图，⊙O的半径为5，AB为弦，C为弧AB的中点．若∠ABC＝30°，则弦AB的长为(D)第2题图A. 12B. 5C. 532D. 53 【解析】 如答图，连接OA ，OC ，OC 与AB 相交于点E .∵∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝ 60°.由AB 为弦，C 为弧AB 的中点，易知OC ⊥AB ，AE ＝BE .在Rt △OAE 中，AE ＝OA · sin ∠AOC ＝5×32＝532，∴AB ＝2AE ＝5 3.第2题答图3. (2018，白银)如图，⊙A 过点O (0，0)，C (3，0)，D (0，1)，B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是(B)第3题图A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】如答图，连接DC.∵C(3，0)，D(0，1)，∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝ 3.∴∠DCO＝30°.∴∠OBD＝∠DCO＝30°.第3题答图4. (2018，南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)第4题图A. 58°B. 60°C. 64°D. 68°【解析】 ∵OA ＝OC ，∴∠C ＝∠OAC ＝32°.∵BC 是直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠B ＝ 90°－32°＝58°.5. (2018，贵港)如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上．若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是(A)第5题图A. 24°B. 28°C. 33°D. 48°【解析】 ∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°.∵CO ＝BO ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝12×(180°－132°)＝24°.6. (2018，盐城)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为(C)第6题图A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【解析】由圆周角定理，得∠ABC＝∠ADC＝35°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠CAB＝90°－∠ABC＝55°.7. (2018，苏州)如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是弧AC上的点．若∠BOC＝40°，则∠D的度数为(B)第7题图A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°【解析】∵∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°－40°＝140°.∴∠D＝12×(360°－140°)＝110°.8. (2018，青岛)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中点，则∠D的度数是(D)第8题图A. 70°B. 55°C. 35.5°D. 35°【解析】 如答图，连接OB .∵B 是弧AC 的中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝70°.由圆周角定理，得∠D ＝12∠AOB ＝35°.第8题答图9. (2018，滨州)已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆．若∠ABC ＝25°，则劣弧AC 的长为(C)A. 25π36B. 125π36C. 25π18D. 5π36【解析】 如答图，连接AO ，CO .∵∠ABC ＝25°，∴∠AOC ＝50°.∴劣弧AC 的长为50π·5180＝25π18.第9题答图10. (2018，衢州)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F .若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长是(D)第10题图 A. 3 cm B. 6 cm C. 2.5 cm D. 5 cm【解析】 如答图，连接OB .∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO ，BD ＝8，∴BE ＝DE ＝4.∵AE＝2，∴在Rt △OEB 中，OE 2＋BE 2＝OB 2，即OE 2＋42＝(OE ＋2)2.解得OE ＝3.∴OB ＝3＋2＝5.∴EC ＝5＋3＝8.在Rt △EBC 中，BC ＝BE 2＋EC 2＝42＋82＝4 5.∵OF ⊥BC ，∴∠OFC ＝∠CEB ＝90°.∵∠C ＝∠C ，∴△OFC ∽△BEC .∴OF BE ＝OC BC ，即OF 4＝545.解得OF ＝ 5.所以OF 的长是 5 cm.第10题答图二、 填空题11. (2018，广东)在同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.【解析】 由圆周角定理，得弧AB 所对的圆周角为50°.12. (2018，大连模拟)如图，截面为圆形的油槽内放入一些油．若圆的直径为150 cm ，油的深度DC 为30 cm ，则油面宽度AB 是120 cm.第12题图【解析】 ∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB .∵OC ＝OB ＝12×150＝75(cm)，∴OD ＝OC －CD ＝75－30＝45(cm)．在Rt △OBD 中，BD ＝OB 2－OD 2＝752－452＝60(cm)，∴AB ＝2BD ＝120 cm.13. (2018，烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为 (－1，－2) ．第13题图【解析】如答图，连接AB，CB，作AB，CB的垂直平分线，相交于点D.所以点D是过A，B，C三点的圆的圆心．所以点D的坐标为(－1，－2)．第13题答图14. (2018，嘉兴)如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10 cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为（533）cm.第14题图【解析】 如答图，连接OC ，OD ，OC 与AD 相交于点E .∵直尺一边与量角器相切于点C ，∴OC ⊥AD .∵AD ＝10，∠DOB ＝60°，∴∠DAO ＝30°.∴OE ＝533，OA ＝1033.∴CE ＝OC －OE ＝OA －OE ＝533.即该直尺的宽度是533cm.第14题答图三、 解答题15. (2018，枣庄)如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .(1)求线段AD 的长；(2)E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由．第15题图【思路分析】 (1)由勾股定理易求得AB 的长．可连接CD ，知CD ⊥AB ，易知Rt △ADC ∽Rt △ACB ，可得关于AC ，AD ，AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．(2)当ED 与⊙O 相切时，由切线长定理知EC ＝ED ，则∠ECD ＝∠EDC .连接OD ，证OD ⊥DE 即可．解：(1)如答图，连接CD . 在Rt △ACB 中，∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝5 cm. ∵BC 为直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴Rt △ADC ∽Rt △ACB .∴AC AB ＝AD AC. ∴AD ＝AC 2AB ＝325＝95(cm)．(2)当E 是AC 的中点时，直线ED 与⊙O 相切． 理由：如答图，连接OD . ∵DE 是Rt △ADC 的中线， ∴ED ＝EC .∴∠EDC ＝∠ECD . ∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD .∴∠EDO ＝∠EDC ＋∠ODC ＝∠ECD ＋∠OCD ＝∠ACB ＝90°. ∴ED ⊥OD .∴直线ED 与⊙O 相切．第15题答图16. (2018，宜昌，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．第16题图【思路分析】 (1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形ABFC是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．(2)连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题．(1)证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形．∵AC＝AB，∴四边形ABFC 是菱形． (2)解：如答图，连接BD . ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2.∴(7＋CD )2－72＝(2＋2)2－CD 2. 解得CD ＝1.∴AB ＝AC ＝AD ＋CD ＝7＋1＝8. ∴BD ＝82－72＝15.∴S 半圆形＝12π·42＝8π，S 菱形ABFC ＝AC ·BD ＝815.第16题答图1. (2018，襄阳)如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA ⊥BC ，∠CDA ＝ 30°，则弦BC 的长为(D)第1题图A. 4B. 2 2C. 3D. 23【解析】如答图．∵OA⊥BC，∴CH＝BH，弧AB＝弧AC.∴∠AOB＝2∠CDA＝60°.∴BH＝OB·sin∠AOB＝ 3.∴BC＝2BH＝2 3.第1题答图2. (2018，杭州)如图，AB是⊙O的直径，C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O 于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA＝ 30°.第2题图【解析】 ∵C 是半径OA 的中点，∴OC ＝12OD .∵DE ⊥AB ，∴∠CDO ＝30°.∴∠DOA ＝60°.∴∠DFA ＝30°.3. (2018，温州，导学号5892921)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在弧BD 上．(1)求证：AE ＝AB ；(2)若∠CAB ＝90°，cos ∠ADB ＝13，BE ＝2，求BC 的长．第3题图【思路分析】 (1)由折叠得出∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC ，结合∠ABD ＝∠AED 知∠ABD ＝∠ACD ，从而得出AB ＝AC ，据此得证．(2)过点A 作AH ⊥BE 于点H ，由AB ＝AE 且BE ＝2知BH ＝EH ＝1.根据∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB 知cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝BH AB ＝13，据此得AC ＝AB ＝3，利用勾股定理可得答案．(1)证明：由折叠的性质，知△ADE ≌△ADC . ∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC .∵∠ABD ＝∠AED ， ∴∠ABD ＝∠ACD . ∴AB ＝AC . ∴AE ＝AB .(2)解：如答图，过点A 作AH ⊥BE 于点H . ∵AB ＝AE ，BE ＝2， ∴BH ＝EH ＝1.∵∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB ， ∴cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝13.∴BH AB ＝13. ∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ＝3， ∴BC ＝3 2.第3题答图。

人教版九年级数学上册 圆的基本性质 专题训练一、单选题1．如图，AB 是⊙O 的直径，若⊙BAC=35°，则⊙ADC=（ ）A ．35°B ．55°C ．70°D ．110°2．如图，两弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD ⊥，若30A ∠=︒，则弧BD 的度数为（ ）.A ．30°B ．50︒C ．60︒D ．70︒ 3．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若110ADC ∠=︒，则AOC ∠的度数是（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒ 4．下列说法中，正确的是（ ）A ．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C ．90°的圆周角所对的弦是直径D ．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．5．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3，则⊙O 的面积是（ ） A ．9π B ．16π C ．25π D ．64π 6．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，若056=∠OBC ，则A ∠的度数是（ ）.A ．28︒B ．30︒C ．34︒D ．56︒7．如图，在同圆中，弧AB 等于弧CD 的2倍，试判断AB 与2CD 的大小关系是（ ）A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．不能确定 8．如图所示，⊙O 的半径为13，弦的长度是24，ON AB ⊥,垂足为N ，则ON =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．119．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，若⊙OAB ＝26°，则⊙C 的大小为（ ）A ．26°B ．52°C ．60°D ．64°10．已知⊙ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，若⊙B ＝60°，⊙C ＝50°，则⊙ADB 的度数是（ ）A ．70°B ．80°C ．82°D ．85°11．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是弧BE 的一点，则⊙CPD 的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°12．如图, BC 是O e 的直径，AB 切⊙O 于点B ，8AB BC ==，点D 在⊙O 上，DE AD ⊥交BC 于E ，3BE CE =，则AD 的长是( )A B C ． D ．二、填空题13．如图，⊙O 中，直径20cm CD =，弦AB CD ⊥于点M ，:3:2OM MD =，则AB 的长是________cm .14．如图，⊙O 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知30OBA ∠=︒，点A 的坐标为()2,0，则点D 的坐标为________.15．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，使弧AB 经过圆心O ，则⊙OAB=_______°.16．若⊙O 的半径为4cm ，弦AB ＝4cm ，则点O 到AB 的距离为_____cm ．17．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60o ，则该直尺的宽度为____________cm ．18．如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，AB ＝10，BC ＝6，过O 作OE ⊙AB 交AC 于点E ，则OE 的长为_____．19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长CO 交圆于点E ，连接BE .若110A ∠=︒，70E ∠=︒ ，则OCD ∠=__________度.20．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，⊙ABD ＝58°，则⊙BCD ＝_____．三、解答题21．如图，已知⊙O 的直径6AB =，E 、F 为AB 的三等分点，M 、N 为»AB 上两点，且MEB NFB ∠=∠60︒=，求EM FN +的值.22．如图，已知AB 、MD 是⊙O 的直径，弦CD⊙AB 于E ．（1）若CD=16cm ，OD=10cm ，求BE 的长；（2）若⊙M=⊙D ，求⊙D 的度数．23．如图，BC 为⊙O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，点A 是弧BF 的中点，BF 和AD 相交于E ，求证：AE BE =．24．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切O e 于点A ，连结BC 交O 于点D ，E 是⊙O 上一点，且与点D 在AB 异侧，连结DE（1）求证：C BED ∠=∠；（2）若50C ∠=︒，2AB =，则»BD的长为（结果保留π）25．如图，AD 是⊙O 直径，B ，C 是圆上点且在AD 同侧．（1）如果30COD ︒∠=，则ACO ∠=________°．（2）如果2BOC COD ∠=∠，45BAD ∠=︒，求BAC ∠度数．26．如图，AB 是⊙O 的一条弦，C 、D 是⊙O 上的两个动点，且在AB 弦的异侧，连接CD ．（1）若AC=BC，AB平分⊙CBD，求证：AB=CD；（2）若⊙ADB=60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．参考答案1．B2．C3．D4．C5．C6．C7．B8．A9．D10．B11．B12．A13．1614．（0， 15．3016．1718．154 19．50° 20．32°．21 22．（1）4cm ；（2）30° 23．略 24．（1）略；（2）59π 25．（1）15（2）30BAC ∠=︒26．（1）略；（2．。

第六单元 圆第二十四课时 圆的基本性质基础达标训练1. (2017兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°，则∠AOB ＝( )A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°第1题图 第2题图2. (2017长郡教育集团二模)如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D ＝32°，则∠OAC ＝( )A. 64°B. 55°C. 72°D. 58°3. (2017泸州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( ) A. 7 B. 27 C. 6 D. 8第3题图 第4题图4. (2017周南中学一模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为( ) A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 45. (2017宜昌)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是( )A. AB ＝ADB. BC ＝CDC. AB ︵＝AD ︵D. ∠BCA ＝∠DCA第5题图 第6题图6. (2017广州)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥C D ，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( )A. AD ＝2OBB. CE ＝EOC. ∠OCE ＝40°D. ∠BOC ＝2∠BAD7. (2017广安)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB＝45，BD ＝5，则OH 的长度为( )A. 23B. 56C. 1D. 76第7题图 第8题图8. (2017金华)如图，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( )A. 10 cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26 cm9. (2017重庆B 卷)如图，OA ，OC 是⊙O 的半径，点B 在⊙O 上，连接AB ，BC .若∠ABC ＝40°，则∠AOC ＝________度．第9题图第10题图10. (2017青竹湖湘一二模)如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠AOC＝140°，则∠CBD＝________度．11. (2017大连)如图，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3 cm，则⊙O的半径为________cm.第11题图第12题图12. (2017长沙中考模拟卷三)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC. 若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为________．13. (8分)(2017麓山国际实验学校一模)如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD.(1)求证：AD＝AN；(2)若AB＝42，ON＝1，求⊙O的半径．第13题图能力提升训练1. (2017麓山国际实验学校三模)在半径等于5 cm的圆内有长为5 3 cm的弦，则此弦所对的圆周角为()A. 120°B. 30°或120°C. 60°D. 60°或120°2. (2017长沙中考模拟卷四)如图，点D(0，3)、O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值为()A. 12 B.34 C.45 D.35第2题图第3题图3. (2017云南)如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F 两点，与线段AC交于D点，若∠BFC＝20°，则∠DBC＝()A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°4. (人教九上P122第(3)题改编)如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P＝80°，则∠C＝()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°第4题图第5题图5. (2017荆州)如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是________．6. (9分)已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．(1)求证：△DFB 是等腰三角形；(2)若DA ＝7AF ，求证：CF ⊥AB.第6题图拓展培优训练1. (10分)如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段OB 内一点(不是端点)，满足CD ⊥AB ，DE ⊥CO ，垂足为E ，若CE ＝10，且AD 与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．第1题图答案1. B 【解析】如解图，连接OC .∵∠BOC 和∠CDB 分别为BC ︵所对的圆心角和圆周角，∴∠BOC ＝2∠CDB ＝50°，∵AB ︵＝BC ︵，∴∠AOB ＝∠BOC ＝50°.第1题解图2. D 【解析】∵BC 是直径，∠D ＝32°，∴∠B ＝∠D ＝32°，∠BAC ＝90°.∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝∠B ＝32°，∴∠OAC ＝∠BAC －∠BAO ＝90°－32°＝58°.3.B 【解析】连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3，在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2＝42－32＝7.∵AB ⊥CD ，∴CD ＝2CE ＝27.第3题解图4. C 【解析】根据圆周角定理可知：∠C ＝12∠AOB ＝30°，∴在等腰三角形ABC 中，12BC ＝AC ×cos30°＝2×32＝3，∴BC ＝2 3.5. B 【解析】∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵∠BAC 与∠CAD 分别为BC ︵与CD ︵所对的圆周角，∴BC ︵＝CD ︵，∴BC ＝CD ；∵∠B 与∠D 不一定相等，∠B ＋∠BCA ＋∠BAC ＝180°，∠D ＋∠DCA ＋∠DAC ＝180°，∴∠BCA 与∠DCA 不一定相等，∴AB ︵与AD ︵不一定相等，∴AB 与AD 不一定相等．6. D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的非直径的弦，∴AD ＜AB ＝2OB ，故A 错误；如解图，连接OD ，∵AB ⊥CD ，∴∠CEO ＝90°，∠COE ＝∠BOD ＝2∠BAD＝ 40°，∴∠OCE ＝50°，∴∠COE ≠∠OCE ，∴CE ≠EO ，故B 错误；由选项B 知，∠OCE＝50°≠40°，故C 错误；由选项B 知，∠BOC ＝2∠BAD ，故D 正确．7. D 【解析】如解图，连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，点H 是CD 的中点，∴由垂径定理可知：AB ⊥CD ，∵在Rt △BDH 中，cos ∠CDB ＝45，BD ＝5，∴DH ＝4，∴BH ＝BD 2－DH 2＝52－42＝3，设OH ＝x ，则OD ＝OB ＝x ＋3，在Rt △ODH 中，OD 2＝OH 2＋DH 2，∴(x ＋3)2＝x 2＋42，解得x ＝76，即OH ＝76.8. C 【解析】设弓形高为CD ，则DC 的延长线过点O ，且OC ⊥AB ，∵半径为13，∴OB ＝OD ＝13，∵弓形高为8，∴CD ＝8，在Rt △OBC 中，根据勾股定理得OC 2＋BC 2＝OB 2，∴BC ＝OB 2－OC 2＝132－（13－8）2＝12，由垂径定理得AB ＝2BC ＝24 cm .9. 8010. 70 【解析】设点E 是优弧AC ︵(不与A ，C 重合)上的一点，连接AE 、CE ，∵∠AOC ＝140°，∴∠AEC ＝70°，∴∠ABC ＝180°－∠AEC ＝110°，∴∠CBD ＝70°.11. 5 【解析】如解图，连接OA ，由垂径定理可知AC ＝BC ＝12AB ＝4，在Rt △AOC 中，AC ＝4，OC ＝3，则由勾股定理可得OA ＝5，即⊙O 的半径为5 cm.12. 43 【解析】如解图，作OD ⊥BC 于点D.由题意可得，根据“同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍”可得∠BOC ＝2∠BAC ，又∵∠BAC 与∠BOC 互补，∴∠BAC ＋∠BOC ＝3∠BAC＝180°，∴∠BAC ＝60°，∠BOC ＝120°，又∵OB ＝OC ＝4，∴∠OBC＝∠OCB ＝180°－120°＝30°，∴BD ＝BO·cos30°＝4×3＝2 3.由垂径定理可得，BC ＝2BD ＝4 3.13. (1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角，∴∠BAD ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，∴∠AMC ＝∠AED ＝∠AEN ＝90°，∵∠ANE ＝∠CNM ，∴∠BCD ＝∠BAM ，∴∠BAM ＝∠BAD ，在△ANE 与△ADE 中，⎩⎨⎧∠BAM ＝∠BAD AE ＝AE∠AEN ＝∠AED， ∴△ANE ≌△ADE(ASA )，∴AD ＝AN ；(2)解：∵AB ＝42，AE ⊥CD ，∴AE ＝22，又∵ON ＝1，∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，r ＝OD ＝OE ＋ED ＝2x －1， 连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，∵在Rt △AOE 中，AE 2＋OE 2＝AO 2，AE ＝22，OE ＝x －1，AO ＝2x －1， ∴(22)2＋(x －1)2＝(2x －1)2，解得x ＝2，∴r ＝2x －1＝3，即⊙O 的半径为3.能力提升训练1. D 【解析】如解图，连接OA ，OB ，在优弧AB ︵上任取一点E ，连接AE ，BE ，在劣弧AB ︵上任取一点F ，连接AF ，BF ，过O 作OD ⊥AB ，则D 为AB 的中点，∵AB ＝53，∴AD ＝BD ＝53，又∵OA ＝OB ＝5，OD ⊥AB ，∴OD 平分∠AOB ，即∠AOD ＝∠BOD ＝12∠AOB ，∵在Rt △AOD 中，sin ∠AOD ＝AD OA ＝5325＝32，∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝120°，又圆心角∠AOB 与圆周角∠AEB 所对的弧都为AB ︵，∴∠AEB ＝12∠AOB ＝60°，∵四边形AEBF 为⊙O 的内接四边形，∴∠AFB ＋∠AEB ＝180°，∴∠AFB ＝180°－∠AEB ＝120°，则此弦所对的圆周角为60°或120°.2. D 【解析】如解图，连接CD ，在Rt △OCD 中，OD ＝3，OC ＝4，根据勾股定理可得CD ＝OD 2＋OC 2＝32＋42＝5，∴在Rt △OCD中，sin ∠OCD ＝OD DC ＝35.根据“同弧所对的圆周角相等”可得出∠OBD ＝∠OCD ，∴sin ∠OBD ＝s in ∠OCD ＝35.3. A 【解析】∵BC ︵所对的圆周角是∠BFC ，所对圆心角是∠A ，∠BFC ＝20°，∴∠A ＝2∠BFC ＝40°，∵EF 是AB 的垂直平分线，且点D 在EF 上，∴DB ＝DA ，∴∠ABD＝∠A ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝180°－∠A 2＝70°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.4. A 【解析】如解图，连接AO 、BO ，∵PA 、PB分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，又∵∠P ＝80°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－80°＝100°，由圆周角定理得∠C ＝12∠AOB ＝50°.5. 60°或120° 【解析】当D 为优弧AC ︵上一点时，∵∠ADC ＝12∠AOC ＝12∠ABC ，∠ABC＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝120°，∠ADC ＝60°；当D 为劣弧AC ︵上一点时，∠ADC ＝∠ABC ＝120°.综上，∠ADC ＝60°或120°.6. 证明：(1)∵AB 为圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝∠EFA ＝60°，∴在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，∴∠FDB ＝∠EFA －∠ABC ＝30°，∴∠FBD ＝∠FDB ，∴FB ＝FD ，∴△DFB 是等腰三角形；(2)设AF ＝a ，则AD ＝7a ，AE ＝EF ＝a ，如解图，连接OC ，则△AOC 是等边三角形，由题意得，DF ＝BF ＝2－a ，∴DE ＝DF －EF ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝1－a ，∵在Rt △ADC 中，DC ＝AD 2－AC 2＝7a 2－1，∴在Rt △DCE 中，tan ∠CDE ＝tan30°＝CE ＝1－a 7a 2－1＝3， 解得：a 1＝－2(舍去)，a 2＝12，在等边△AOC 中，OA ＝1，∴AF ＝12＝12OA ，则根据等边三角形的性质可得CF ⊥OA ，即CF ⊥AB . 拓展培优训练1. 解：如解图，连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°， 又∵CD ⊥AB ，DE ⊥CO ，∴Rt △CDE ∽Rt △COD ，Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴CE ·CO ＝CD 2，CD 2＝AD ·BD ，∴CE ·CO ＝AD·BD ，设AD ＝a ，DB ＝b ，a ，b 为正整数，则CO ＝a ＋b2，又∵CE ＝10，∴10·a ＋b2＝ab ，整理得：(a －5)(b －5)＝25，∵a ＞b ，∴a －5＞b －5＞0，得a －5＝25，b －5＝1；∴a ＝30，∴AD＝30.。

中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案一、单选题1．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（）A．22°B．32°C．136°D．68°2．已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3 ，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切3．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB 点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是A．90°B．60°C．45°D．30°4．如图，半径为5的⊙A中，DE＝2 √5，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．√21B．√41C．4 √5D．3 √55．如图，点D E F分别在△ABC的三边上，AB=AC∠A=∠EDF=90°与∠EFD=30°AB=1下列结论正确的是（）A．BD可求BE不可求B．BD不可求BE可求C．BD BE均可求D．BD BE均不可求6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° AC=3，以点C为圆心， CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（）B．3 C．9 D．6A．327．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE， BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO 交BE于点G ，若DE=6，EG=4，则AB的长为（）A．4√5B．8√3C．13 D．148．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形…，重复上述过程，经过2018次后所得到的正六边形边长是原正六边形边长的（）A．（√2）2016倍B．（√3）2017倍C．（√3）2018倍D．（√2）2019倍二、填空题9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B ，已知⊙O半径为2 且∠APB=60°，则AB= ．10．如图，矩形ABCD中，BC＝4 CD＝2 以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为.（结果保留π）11．如图，两边平行的刻度尺在圆上移动当刻度尺的一边与直径为6.5cm的圆相切时另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）则刻度尺的宽为 cm．12．如图，两圆相交于A、B两点小圆经过大圆的圆心O 点C D分别在两圆上若∠ADB＝100°则∠ACB的度数为。

圆的有关性质1．如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( )A ．5B ．6C ．4D ．32. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°3. 如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰在半圆上，过C 作CD⊥AB 交AB 于D ，已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A ．1 B.203 C ．3 D.1634. 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为( ) A ．2 5 cm B ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD ．2 3 cm 或4 3 cm5. 如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB ＝70°，则∠ADC 的度数为( )A ．30°B ．35°C ．45°D ．70°6．如图，⊙O 的直径AB 垂直于CD ，∠CAB＝36°，则∠BCD 的大小是( )A ．18°B ．36°C ．54°D ．72°7. 如图，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，O 为圆心，若∠BCD＝120°，AB ＝AD ＝2，则⊙O 的半径长为( )A.322 B.62 C.32 D.2338. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB ＝CD ＝0.25米，BD ＝1.5米，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( )A ．2米B ．2.5米C ．2.4米D ．2.1米9. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，⊙O 的半径为5 cm ，则圆心O 到弦CD 的距离为( )A.52cm B ．3 cm C ．3 3 cm D ．6 cm 10. 如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A ＝15°，半径为2，则弦CD 的长为( )A ．2B ．－1 C. 2 D ．411. 如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长度为( )A.23B.56 C ．1 D.7612. 如图，⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，CE.若AB ＝8，CD ＝2，则△BCE 的面积为( )A ．12B ．15C ．16D ．1813. 如图，△ABC 的顶点均在⊙O 上，若∠A ＝36°，则∠BOC 的度数为( )A ．18°B ．36°C ．60°D ．72°14. 如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，点B 为劣弧AN 的中点．点P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( )A. 2 B ．1 C ．2 D ．2 215. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠OBC＝18°，则∠A ＝______．16. 如图，已知⊙O 的半径为6 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，则tan ∠OPA 的值是______．17. 赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝____米．18. 如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第27秒，点E 在量角器上对应的读数是____度．19. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD＝2，则BE的长为____.20．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A，B，C的另一点，则∠ADC的度数是．21. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点，若∠CMA＝45°，则弦CD的长为____．22. 已知⊙O的直径为10，点A，B，C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D.(1)如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；(2)如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．23. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足CFFD＝13，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE，若CF＝2，AF＝3.(1)求证：△ADF∽△AED；(2)求FG的长；(3)求证：tan E＝54.参考答案：1---14 AADCB BDBAA DADA 15. 72° 16.5317. 25 18. 108 19. 820. 60°或120° 21. 1422. 解：(1)∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC＝90°.∵在Rt △CAB 中，BC ＝10，AB ＝6， ∴由勾股定理得AC ＝BC 2－AB 2＝8. ∵AD 平分∠CAB，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD. 在Rt △BDC 中，BC ＝10，CD 2＋BD 2＝BC 2， 易求BD ＝CD ＝5 2 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴∠DAB＝∠CAD ＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°. 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形， ∴BD＝OB ＝OD.∵⊙O 的直径为10，则OB ＝5，∴BD＝5 23. 解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∴AD ︵＝AC ︵，DG ＝CG ， ∴∠ADF ＝∠AED，∵∠FAD ＝∠D AE(公共角)，∴△ADF ∽△AED (2)∵CF DF ＝13，CF ＝2，∴FD ＝6，∴CD ＝DF ＋CF ＝8，∴CG ＝DG ＝4，∴FG ＝CG －CF ＝2(3)∵AF＝3，FG ＝2，∴AG ＝AF 2－FG 2＝5，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG ＝AG DG ＝54.∵∠ADF ＝∠AED，∴tan E ＝54。

2020中考数学专题复习圆的性质与计算（含答案）一、选择题（本大题共7道小题）1. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为()A.32°B.31°C.29°D.61°2. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，若AB=10，AC=8，则BD的长为 ()A.2B.4C.2D.4.83. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π) ()A.8-πB.16-2πC.8-2πD.8-π4. 如图，已知AB是☉O的直径，点P在BA的延长线上，PD与☉O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4，BC=6，则PA的长为()A.4B.2C.3D.2.55. 如图，将☉O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若☉O的半径为3，则的长为()A.πB.πC.2πD.3π6. 如图，在半径为的☉O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是()A.2B.2C.2D.47. 如图，AB为☉O的直径，BC为☉O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD.下列结论:①CD是☉O的切线;②CO⊥DB;③△EDA∽△EBD;④ED·BC=BO·BE.其中正确结论的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（本大题共5道小题）8. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则☉O的半径是.9. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为.10. 如图，☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧上.若∠BAC=66°，则∠EPF等于度.11. 如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6 cm，则该莱洛三角形的周长为cm.12. 如图，以AB为直径的☉O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB=18，∠A=30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)①=;②扇形OBC的面积为π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点，则AP·OP有最大值20.25.三、解答题（本大题共5道小题）13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.以AC为直径作☉O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.(1)求证:DE是☉O的切线.(2)若DE=，∠C=30°，求的长.14. 如图所示，☉O的半径为4，点A是☉O上一点，直线l经过点A.P是☉O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l于点B，交☉O于点E，直径PD 的延长线交直线l于点F，点A是的中点.(1)求证:直线l是☉O的切线;(2)若PA=6，求PB的长.15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作☉O，点D为☉O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由;(2)若BE=2，DE=4，求☉O的半径及AC的长.16. 如图，过☉O外一点P作☉O的切线PA，切☉O于点A，连接PO并延长，与☉O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC，CM.(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°，PC=2，求CM的长.17. 如图，AB是☉O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12，BD=5，求☉O的半径.2020中考数学专题复习圆的性质与计算-答案一、选择题（本大题共7道小题）1. 【答案】A[解析]记线段OP交☉O于点F.连接CO，CF，∵∠A=119°，∴∠BFC=61°，∴∠BOC=122°，∴∠COP=58°.∵CP与圆相切于点C，∴OC⊥CP，∴在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COP=32°，故选A.2. 【答案】C[解析]∵AB是直径，∴∠C=90°，∴BC==6.∵OD⊥AC，∴CD=AD=AC=4，∴BD==2，故选C.3. 【答案】C[解析]在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD=AB=4，∠BAD=90°，∠ABE=45°，∴S△ABD=·AD·AB=8，S扇形ABE==2π，∴S阴影=S△ABD-S扇形ABE=8-2π.故选C.4. 【答案】A[解析]如图，连接OD.∵PC切☉O于点D，∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4，∴PO=PA+4，PB=PA+8.∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC，∴△POD∽△PBC，∴=，即=，解得PA=4.故选A.5. 【答案】C[解析]连接OA，OB，过点O作OD⊥AB交于点E，由题可知OD=DE=OE=OA，在Rt△AOD中，sin A==，∴∠A=30°，∴∠AOD=60°，∠AOB=120°，∴的长==2π，故选C.6. 【答案】C[解析]过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB，OD，OE，如图所示，则DF=CF，AG=BG=AB=3，∴EG=AG-AE=2.在Rt△BOG中，OG===2，∴EG=OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG=45°，OE=OG=2.∵∠DEB=75°，∴∠OEF=30°，∴OF=OE=.在Rt△ODF中，DF===，∴CD=2DF=2.故选C.7. 【答案】A[解析]连接DO，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠COB=∠COD，∴△COD≌△COB，∴∠ODC=∠OBC，∵BC为☉O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴CD是☉O的切线，故①正确;∵OB=OD，∠COB=∠COD，∴CO⊥DB，故②正确;∵∠EDA+∠ADO=90°，∠DBA+∠DAO=90°，∴∠EDA=∠DBA，∴△EDA∽△EBD，故③正确;∵△EDA∽△EBD，∴=，易证△COB∽△BAD，∴=，∴=，∴=，即ED·BC=BO·BE，故④正确.因此本题选A.二、填空题（本大题共5道小题）8. 【答案】2[解析]连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.9. 【答案】4π[解析]设此圆锥的底面半径为r，由题意可得2πr=，解得r=2，故这个圆锥的底面圆的面积为4π.10. 【答案】57[解析]连接OE，OF.∵☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，∴OF⊥AC，OE⊥AB，∴∠BAC+∠EOF=180°，∵∠BAC=66°，∴∠EOF=114°.∵点P在优弧上，∴∠EPF=∠EOF=57°.故填:57.11. 【答案】6π[解析]以正三角形的顶点为圆心，边长为半径画弧，这三段弧的半径为6 cm，圆心角为60°，每段弧长为=2π(cm)，所以周长为2π×3=6π(cm).12. 【答案】①③④[解析]∵AB是☉O的直径，CD⊥AB，∴=，故①正确.∵∠A=30°，∴∠COB=60°，∴扇形OBC的面积=·π·2=π，故②错误.∵CE是☉O的切线，∴∠OCE=90°，∴∠OCE=∠OFC，又∵∠EOC=∠COF，∴△OCF∽△OEC，故③正确.设AP=x，则OP=9-x，∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-2+，∴当x=时，AP·OP取最大值，=20.25，故④正确.故答案为①③④.三、解答题（本大题共5道小题）13. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OD，∵OC=OD，AB=AC，∴∠1=∠C，∠C=∠B.∴∠1=∠B.∵DE⊥AB，∴∠2+∠B=90°.∴∠2+∠1=90°，∴∠ODE=90°，∴DE为☉O的切线. (2)连接AD，∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，BD=CD.∴∠AOD=60°.∵DE=，∴BD=CD=2，∴OC=2，∴的长=π×2=π.14. 【答案】解:(1)证明:连接OA.∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA.∵点A是的中点，∴=，∴∠DPA=∠APB，∴∠OAP=∠APB.∴OA∥PB.∵PB⊥l，∴OA⊥l，∴直线l是☉O的切线.(2)连接AD，∵PD是直径，∴∠PAD=90°，∴∠PAD=∠PBA.又∵∠DPA=∠APB，∴△PAD∽△PBA，∴=，即=，∴PB=.15. 【答案】解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:连接CO.∵点D在圆上，∴OD=OB，又∵CD=CB，CO=CO，∴△COD≌△COB(SSS).∵∠ABC=90°，∴∠ODC=∠ABC=90°，∴OD⊥DC，∴直线CD与☉O相切.(2)设☉O的半径为x，∵DE=4，∴OE=4-x.在Rt△OBE中，BE2+BO2=OE2，即22+x2=(4-x)2，解得x=1.5，∴OD=OB=1.5.AB=2OB=3.∵CB，CD是圆的切线，∴CB=CD.则设CB=CD=y，在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即y2+42=(y+2)2，解得y=3，∴BC=3.在Rt△ABC中，AC==3.16. 【答案】解:(1)证明:∵在☉O中，点M是半圆CD的中点，∴∠CAM=∠DCM，又∵∠CMA是△CMN和△AMC的公共角，∴△CMN∽△AMC，∴=，∴CM2=MN·M A.(2)连接OA，DM，∵PA是☉O的切线，∴∠PAO=90°，又∵∠P=30°，∴OA=PO=(PC+CO).设☉O的半径为r，∵PC=2，∴r=(2+r)，解得r=2.又∵CD是直径，∴∠CMD=90°，∵点M是半圆CD的中点，∴CM=DM，∴△CMD是等腰直角三角形，∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，∴2CM2=(2r)2=16，∴CM2=8，∴CM=2.17. 【答案】解:(1)证明:如图①，∵DC⊥OA，∴∠1+∠3=90°.∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠2+∠5=90°.∵OA=OB，∴∠1=∠2.∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，∴DE=DB.(2)如图②，作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE，∴EF=BE=3.在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，∴DF==4，∴sin∠DEF==.∵∠AOE=∠DEF，∴在Rt△AOE中，sin∠AOE==，∵AE=6，∴AO=.即☉O的半径为.。

一、选择题9．（2020·杭州）如图，已知BC是O的直径，半径OA BC⊥，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设AEDα∠=，AODβ∠=，则（）A．3α＋β＝180°B．2α＋β＝180°C．3α－β＝90°D．2α－β＝90°{答案}D{解析}本题考查了同圆的半径相等，三角形的内角和定理以及三角形的外角．因为OA⊥BC，所以∠AOB＝90°．因为OB＝OD，所以∠B＝∠D．在△OBD中，∠B＋∠D＋∠BOD＝180°，即2∠D＋90°＋β＝180°，所以2∠D＋β＝90°．因为∠AED是△ODE的外角，所以∠D＝∠AED－∠AOD＝α－β，所以2(α－β)＋β＝90°，整理，得2α－β＝90°，因此本题选D．4．（2020·绍兴）如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°{答案}D{解析}本题考查了圆周角、圆心角以及它们所对的弧的度数之间的关系．在同圆中，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，因为∠BAC=15°，∠CED=30°，所以弧BC是30°，弧CD是60°，则弧BD是90°，故它所对的圆心角∠BOD的度数是90°．因此本题选D．4．（2020湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．110°C．130°D．140°【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，故选：B．7．（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．2√91{答案}C {解析}如图，连接OA，∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，∴OD＝10，OM＝6.∵AB⊥CD，∴AM=√OA2−OM2=√102−62=8，∴AB＝2AM＝16．9．（2020·安徽）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（）A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OBD．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC{答案}B{解析}逐项分析如下：选项逐项分析图示真假命题AEDOC连接BD，则△D的大小（）A．55°B．65°C．60°D．75°第9题图{答案}B{解析} E是弦BC的中点，由垂径定理的逆定理可知OE△BC，连接OB、OC，由△A＝50°可知△BOC＝2△A＝100°，由等腰三角形的“三线合一”可知△BOD＝50°，在等腰△BOD中，△D＝(180°－50°)÷2＝65°．第9题答图6．（2020·青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，弧AB=弧AD，AC交BD于点G.若∠COD=126°，则∠AGB的度数为（）A.99°B.108°C.110°D.117°{答案}B{解析}本题考查了圆周角定理及其推论的应用，解答过程如下：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°.∵弧AB=弧AD ，∴∠ADB=∠ABD=45°. ∵∠COD=126°，∴∠CAD=21∠COD=21×126°=63°. ∴∠AGB=∠ADB+∠CAD=45°+63°=108°.因此本题选B ．8．（2020·泰安）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ﹦BC ，∠BAC ﹦30°，AD 是直径，AD ﹦8，则AC 的长为（ ） A ．4B ．4 3C ．833 D ．2 3{答案} B{解析}本题考查了等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角以及锐角三角函数，因为△ABC 中，AB ﹦BC ，∠BAC ﹦30°，所以∠B=120°，因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠D=60°.因为AD 是⊙O 的直径，所以∠ACD=90°.因为sin ∠D=ACAD，所以AC=AD ·sin ∠D=8=4 3 ，因此本题选B ．7. （2020·淮安）如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,∠ACB=54°,则∠ABO 的度数是（ ）A.54°B.27°C.36°D.108°{答案} C{解析}本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系，由已知得△AOB=2∠ACB=108°，再在等腰三角形AOB 中由三角形的内角和定理求出△ABO 的度数． ∵∠ACB=54°，∴∠AOB=2∠ACB=108°， ∵OA=OB ，∴∠ABO=∠OAB=（180°-108°）÷2=36°． 故选C ．9．（2020·福建）如图，四边形ABCD 内接于O ，=AB CD ，A 为BD 中点，60∠=︒BDC ，则∠ADB等于（ ）AD（第8题）A.40︒B.50︒C.60︒D.70︒{答案}A{解析}本题考查了弧，弦，圆周角等的关系，∵=AB CD ，A 为BD 中点，∴AB AD CD ==，∵60∠=︒BDC ，∴优弧BAC 是240°，∴弧AB 是80°，∴∠ADB =40°，因此本题选A ．7．(2020·荆门)如图4，⊙O 中，OC ⊥AB ，∠APC ＝28°，则∠BOC 的度数为( ) A ．14° B ．28° C ．42° D ．56°{答案}D{解析}连结OA ．由垂径定理可知AC ＝BC ，∴∠BOC ＝∠AOC ．由圆周角定理可知∠AOC ＝2∠P ＝56°．∴∠BOC ＝56°．故选D ．16．（2020·镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，∠ADC =106∘ ，则 ∠CAB 等于( )A ．10∘B ．14∘C ．16∘D ．26∘{答案}C{解析}本题考查了圆周角相关知识，连接BC ，则∠B ＋∠D ＝180°，∵∠ADC ＝106°，∴∠B ＝74°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝16°．7．（2020·常州）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点(C 不与A 、B 重合)，CH ⊥AB ，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若⊙O 的半径是3，则MH 长的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6ABCDPC ABO图4(第7题){答案}A{解析}{解析}本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因为∠BHC ＝90°，M 为BC 的中点，所以MH ＝12BC ，而BC 的最大值是直径，所以MH 的最大值等于3． 5．（2020·天水）如图所示，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝70°，则∠ACB 的度数为（ ） A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°{答案}B{解析}根据切线的性质和圆周角定理可求，连接OA 、OB ，则∠ACB ＝12∠AOB ，又由P A 、PB 分别与⊙O相切于A 、B 两点，得到∠P AO ＝∠PBO ＝90°，所以∠AOB ＝180°－∠P ＝180°－70°＝110°，从而得到∠ACB ＝12×110°＝55°，因此本题选B ．5. （2020·张家界）如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，已知BCD ∠为120︒，则BOD ∠的度数为（ ）A. 100︒B. 110︒C. 120︒D. 130︒{答案}C{解析}本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算，得到答案． 解：∵四边形ABCD 是⊙O 内接四边形， ∴∠A ＝180°−∠BCD ＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C ．14．（2020·河北）有一题目:“已知:点O为△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A.”嘉嘉的解答为:画以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图8.由∠BOC=2∠A=130°，得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是A.淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B.淇淇说的不对，∠A就得65°C.嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D.两人都不对，应有3个不同值{答案}A{解析}如图1，当∠A是锐角时，△ABC的外心O在其内部，∠A=65°；如图2，当∠A是钝角时，△ABC 的外心O在其外部，∵∠1=2∠A，∴∠A=12∠1=12×230°=115°.故∠A=65°或115°，答案为A.7.（2020·牡丹江）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则△ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°{答案}C{解析}设圆心为O，连接OA，OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的2倍，即AB＝2OA＝2OB，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，根据圆周角定理可得∠ASB＝21∠AOB＝45°，故选C．10．（2020·宜昌）如图，E,F,G为圆上的三点，△FEG=50°，P点可能是圆心的是（）.图8OBACA BS（第7题图）OA BSA ．B ．C ．D ．{答案}C{解析}由圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．当点P 为圆心时，根据圆周角定理，可得△FPG=2△FEG ．故选：C ． 9．（2020·凉山州）下列命题是真命题的是（ ）A ．顶点在圆上的角叫圆周角B ．三点确定一个圆C ．圆的切线垂直于半径D ．三角形的内心到三角形三边的距离相等 {答案}D{解析}因为顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，圆的切线垂直于过切点的半径，所以A 、B 、C 选项皆为假命题，故选D ． 11．（2020·凉山州）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于△O ，则AD ﹕AB ＝（ ） A ．22﹕3 B ．2﹕3 C ．3﹕2 D ．3﹕22{答案}B{解析}如答图，连接OA 、OB 、OD ，则△AOD ＝90°，△AOB ＝120°．令OA ＝OB ＝OD ＝r ，则AD ＝2r ，AB ＝3r ，从而AD ﹕AB ＝2﹕3，故选B ．10.(2020·潍坊)如图，在Rt AOB 中，90,3,4AOB OA OB ∠=︒==，以点O 为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C ，过点C 作CD OB ⊥交AB 于点D ，点P 是边OA 上的动点．当PC PD +最小时，OP 的长为（ ）A12B.34C. 1D.32DP OCBA第11题图O F ED CBA第11题答图r rr OD CB{答案}B{解析}由题意可知，点C 、D 是定点，点P 是边OA 上的动点，PC+PD 最小值时，即为将军饮马问题.点点P 为点C 关于点O 的对称点时，PC+PD 的值最小，求出OP 的长即可.延长CO 交O 于点E ，连接ED ，交AO 于点P ，如图，△CD△OB ，△△DCB=90°,又90AOB ∠=︒，△△DCB=△AOB ，△CD//AO ，△BC CDBO AO =△OC=2，OB=4，△BC=2,△243CD =，解得，CD=32；△CD//AO ，△EO PO EC DC =，即2=43PO，解得，PO=34 . 7．（2020·营口）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，点D 是⊙O 上的两点，连接CA ，CD ，AD ，若∠CAB =40°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．110°B ．130°C ．140°D ．160° {答案}B{解析}如图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA =90°，∵∠CAB=40°，∴∠CBA =50°，∵∠ADC +∠CBA =180°，∴∠ADC=130°．9．（2020·滨州）在O 中，直径AB ＝15，弦DE △AB 于点C ．若OC ：OB ＝3：5，则DE 的长为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15{答案}C{解析}本题考查了垂径定理和勾股定理，直径AB=15，∴BO=7.5，∵OC ：OB=3：5，∴CO=4.5，∴DC=，∴DE=2DC=12，因此本题选C ．8．（2020·内江）如图，点A 、B 、C 、D 在△O 上，120AOC ∠=︒，点B 是AC 的中点，则D ∠的度数是（ ）EDPOCBABABAA. 30B. 40︒C. 50︒D. 60︒{答案} A{解析}本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到△AOB ＝12△AOC ，再根据圆周角定理解答．连接OB ，△点B 是AC 的中点，△△AOB ＝12△AOC ＝60°， 由圆周角定理得，△D ＝12△AOB ＝30°，因此本题选A ． 14．（2020·临沂）如图，在O 中，AB 为直径，80AOC ∠=︒，点D 为弦AC 的中点，点E 为BC上任意一点.则CED ∠的大小可能是（ ）A.10°B.20°C.30°D.40°{答案}C{解析}梳理题目中的已知条件，有直径，可以相应的有90°的圆周角；80AOC ∠=︒，则50OAC OCA ∠=∠=︒；同时点D 为弦AC 的中点，则可以考虑利用垂径定理；另外，题目中具体数值较少，CED ∠的具体值不容易求，那么我们可以根据已有条件探求它的取值范围，从而确定那个值在范围内.解：连接AE ，作过OD 的直线分别交圆周于点M 、N ，连接CM ，如下图：∵80AOC ∠=︒∴40AEC ∠=︒∴40CED AEC AED ∠=∠-∠<︒； 又∵点D 为弦AC 的中点∴1402COD AOC ∠=∠=︒∴1202CMN COD ∠=∠=︒ ∵CED ∠所对的弧大于CN ∴CED CMN ∠>∠，即：20CED ∠>︒综上：2040CED ︒<∠<︒ ，选C.9．（2020·宜宾）如图，AB 是△O 的直径，点C 是圆上一点，连结AC 和BC ，过点C 作CD △AB 于点D ，且CD ＝4，BD ＝3，则△O 的周长是（ ）MNA ．253π B ．503π C ．6259π D ．62536π{答案}A{解析}根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠ACB ＝90°，由CD ⊥AB ，根据勾股定理得BC＝5，根据相似三角形的判定（两角对应相等的两个三角形相似）得Rt △ABC ∽Rt △CBD ，再根据相似三角形的三边对应成比例，得AB CB ＝BC BD ，即AB ＝253，∴⊙O 的周长是253π． 8．（2020·广州）往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图4所示，若水面宽AB=48cm ，则水的最大深度为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．16cmD ．20cm{答案}C{解析}本题考查了垂径定理，解答过程如下：过点O 作OC ⊥AB 于D ，交⊙O 于点C ，连接OA ．由题意，OA=OC ＝26cm ，AD=12AB=24cm ，再由勾股定理可得：OC=10cm ，所以水深CD=OC-OD=26-10=16cm.因此本题选C ．9．（2020·武汉）如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是弧AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是 ················································ （ ）A B ．C ．D ．图4图4{答案}D{解析}本题考查了圆的垂径定理，弧线圆心角关系，全等判定，中位线等定理，连接OD ，交AC 于点F ，由D 是弧AC 的中点，易证出OD ⊥AC ，AF ＝CF ，又∵O 是AB 的中点，∴2OF ＝BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，又∵E 是BD 的中点，∴易证出△EFD ≌△ECB （AAS ）∴DF ＝BC ，又∵半径为3，∴2OF ＝DF ＝BC ＝2，在Rt △ABC 中，2426BC AB 2222＝－＝－＝AC ，因此本题选D ．10．（2020·海南）如图，已知AB 是△O 是直径，CD 是弦，若△BCD ＝36°，则∠ABD 等于( )A ．54°B ．56°C ．64°D ．66° {答案}A{解析}∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又由圆周角定理可知∠A ＝∠C ，∴∠ABD ＝90°－∠A ＝90°－36°＝54°.6.（2020·吉林）如图，四边形ABCD 内接于O ．若108B ∠=︒，则D ∠的大小为（ ）A. 54︒B. 62︒C. 72︒D. 82︒【答案】C【详解】因为，四边形ABCD 内接于O ，108B ∠=︒，所以，D ∠=180°-18010872B ∠=︒-︒=︒故选：C.9．（2020·黄石）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，若∠DCE ＝40°，则∠ACB 的度数为（ ）FA ．140°B ．70°C ．110°D ．80°{答案} C{解析}先根据四边形的内角和为360°求∠AOB ＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P 的度数，最后由四点共圆的性质得结论．如图，在优弧AB 上取一点P ，连接AP ，BP ，∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝90°，∵∠DCE ＝40°，∴∠AOB ＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠P ＝12∠AOB ＝70°，∵A 、C 、B 、P 四点共圆，∴∠P +∠ACB ＝180°，∴∠ACB ＝180°﹣70°＝110°，故选：C ．9．（2020·武威）如图，A 是⊙O 上一点，BC 是直径，AC ＝2，AB ＝4，点D 在⊙O 上且平分，则DC的长为（ ）A ．2B ．C ．2D ．【解析】∵点D 在⊙O 上且平分，∴，CAA∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D ＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝2，Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC＝，故选：D．二、填空题13．（2020湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB 之间的距离是3．【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=12CD＝4，在Rt△OCH中，OH=√52−42=3，所以CD与AB之间的距离是3．故答案为3．16．（2020·遵义）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是_________．{答案}{解析}本题考查圆的基本性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，利用特殊角作垂线构造全等三角形是解题的关键．如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AE于点F，连接BE，则△AHF≌△BHC．∴AF=BC=5．∵∠HAF＝∠HBC，∠HAF＝∠EBC，∴∠HBC＝∠EBC．∵AD⊥BC于点D，∴DE=DF．∵∠CAE＝∠CBE，∠ACB＝∠AEB，∴△ACD∽△BED．∴CD ADDE BD=,即DEDE+=154．∴DE=-+541(舍去负值)．故答案为-+541.-+5412F HEAD COBDCOBA19．（2020·黔东南州）如图，AB是半圆O 的直径，AC＝AD，OC ＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为．{答案}√2 {解析}∵AC＝AD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°.∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠OCD＝45°，∴△OCE是等腰直角三角形.在等腰Rt△OCE中，OC＝2，∴OE=√2．19．(2020·绥化)如图5，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE上一点(点P与点D，点E不重合)，连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于______度．{答案}54{解析}连结CE．正五边形的内角∠CDE＝15×(5－2)×180°＝108°．∵DC＝DE，∴∠P＝∠DEC ＝12×(180°－108°)＝36°．∵DG⊥PC，∴∠PDG＝90°－∠P＝54°．14．（2020·聊城）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmC︵上，则∠ADC的度数是．{答案}60°{解析}利用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及菱形的对角相等构建方程求解．在菱形OABC 中，∠B＝∠O，又∵∠O＝2∠D，∠D＋∠B＝180°，∴∠D＋2∠D＝180°，∴∠D＝60°．14．（2020·贵阳）（4分）如图，△ABC是△O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则△DOE的度数是度．{答案}120．{解析}解：连接OA，OB，△△ABC是△O的内接正三角形，△△AOB＝120°，△OA＝OB，△△OAB＝△OBA＝30°，△△CAB＝60°，△△OAD＝30°，△△OAD＝△OBE，△AD＝BE，△△OAD△△OBE（SAS），△△DOA＝△BOE，△△DOE＝△DOA+△AOE＝△AOB＝△AOE+△BOD＝120°，故答案为：120．16．（2020·黑龙江龙东）如图，AD是△ABC的外接圆△O的直径，若△BCA＝50°，则△ADB＝°．图5O PGDECABODABCm{答案}50．{解析}本题考查了圆周角的性质，解：△AD是△ABC的外接圆△O的直径，△点A，B，C，D在△O上，△△BCA＝50°，△△ADB＝△BCA＝50°，故答案为：50．15．（2020·襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于__________°．{答案}60或120．{解析}如答图，连接OB，OC，由弦BC垂直平分半径OA，得OD＝12OA＝12OB，∠ODB＝90°，从而cos∠DOB＝12，∠DOB＝60°，于是∠DOC＝120°．∴∠BP1C＝12∠BOC＝60°．∵∠BP1C＋∠BP2C＝180°，∴∠BP2C＝120°．综上，弦BC所对的圆周角等于60°或120°，故答案为60或120．（2020·四川甘孜州）14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为________．{答案}3{解析}本题考查了垂径定理和勾股定理．连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝10，∴OC＝OA＝5．∵弦CD ⊥AB于点H，CD＝8，∴CH＝4．在Rt△OCH中，由勾股定理得OH＝OC CH-22＝-2254＝3．故答案为3．14.（2020·盐城）如图，在O中，点A在BC上，100,BOC∠=︒则BAC∠=P2P1DOCB第15题答图14．130°，解析：本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半和圆内接四边形对角互补等知识，因此在⊙O上取一点D，连接CD，BD，则∴∠BDC＝12∠BOC＝50°∵四边形ABDC为圆内接四边形∴∠BAC+∠BDC＝180°∵∠BDC＝50°∴∠BAC＝130°此本题答案为130° ．（2020·济宁）15.如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D.AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=22.则BO的长是_________.{答案}4{解析}：连结OC，如图，∵CD2＝CE•CA，∴CD CA CE DC，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；设⊙O的半径为r，∵CD ＝CB ，∴CD CB =，∴∠BOC ＝∠BAD ，∴OC ∥AD ， ∴22PC PO rCD OA r===， ∴PC ＝2CD ＝42，∵∠PCB ＝∠P AD ，∠CPB ＝∠APD ， ∴△PCB ∽△P AD ， ∴PC PBPA PD =，即42362r =， ∴r ＝4， ∴OB ＝4．16． （2020·岳阳）如图，AB 为半圆O 的直径，M ，C 是半圆上的三等分点，AB ＝8，BD 与半圆O 相切于点B ，点P 为AM 上一动点（不与点A ，M 重合），直线PC 交BD 于点D ，BE ⊥OC 于点E ，延长BE 交PC 于点F ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①PD PB =；②BC 的长为π34； ③︒=∠45DBE ； ④PFB BCF ∆∆∽； ⑤CP CF ⋅为定值.{答案}②⑤{解析}∵M ，C 是半圆上的三等分点，∴∠BOC ＝︒=︒⨯6018031，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BPC ＝21∠BOC ＝︒=︒⨯306021，∵BD 与半圆O 相切于点B ，∴∠ABD ＝90°∵P 是AM 上一动点，∴∠PBA 角度不确定，∴∠PBD 不确定，∠D 也不确定，所以PB ＝PD 不成立，结论①错误；∵直径AB ＝8，∴半径为4，∴60441803BC ππ⨯==，∴结论②正确；∵BE ⊥OC ，∴∠BEO ＝90°，∴∠OBE ＝180°－90°－60°＝30°，∴∠DBE ＝∠ABD －∠OBE ＝90°－30°＝60°，∴结论③错误；∵∠PFB＝∠FCB ＋∠FBC ，所以∠PFB ＞∠FBC ，∴△BCF 和△PFB 不可能相似，∴结论④错误；∵OB ＝OC ，∠BOC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，∴∠CBO ＝60°，∵BE ⊥OC ，所以∠CB E ＝21∠CBO ＝30°，∴∠CBF =∠CPB ，又∵∠BCF =∠PCB ，∴△BCF ∽△PCB ，∴CPCB CB CF =，∴2CB CP CF =⋅，∵△OBC 是等边三角形，∴CB ＝OB ＝4，∴16=⋅CP CF ，为定值，∴结论⑤正确．综上，结论正确的是②⑤.12．（2020·随州）如图，点A，B，C在⊙O 上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC=120°，则∠CAD的度数为 .{答案}30°{解析}本题考查了圆周角定理、角平分线的定义，解答过程如下：∵∠BOC=120°，∴∠BAC=21∠BOC=21×120°=60°.∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=21∠BAC=21×60°=30°.12．（2020·南通）⊙O的半径为13，弦AB的长度是10，则圆心O到弦AB的距离为▲ ．{答案}12{解析}过圆心作弦AB的垂线，连接OA，由垂径定理和勾股定理可求出距离．作OC9．(2020·青海)已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为______cm．{答案}7或1{解析}过圆心O作OM⊥AB于M，交CD于点N，连结OB，OD．∵AB∥CD，∴MN⊥CD．由垂径定理可知MB＝4，ND＝3．∴OM＝22OB MB-＝3，ON＝22OD ND-＝4．(1)当圆心O在AB，CD之间时，如图#(1)，MN＝OM＋ON＝7；(2)当圆心O在AB，CD同侧时，如图#(2)，MN＝ON－OM＝1．⊥AB于点C，∴AC＝152AB=，∴222213512OC OA AC=-=-=．13．(2020·成都)如图，A，B，C是△O上的三个点，△AOB＝50°，△B＝55°，则△A的度数为．{答案}30°{解析}首先根据△B的度数求得△BOC的度数，然后求得△AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可．解：△OB＝OC，△B＝55°，△△BOC＝180°﹣2△B＝70°，△△AOB＝50°，△△AOC＝△AOB+△BOC＝70°+50°＝120°，O图#(1)DCA BMNO图#(2)DCA BMN△OA＝OC，△△A＝△OCA=180°−120°2=30°，故答案为：30°．14.（2020·安顺）如图，ABC∆是O⊙的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA EB=，则DOE∠的度数是度.{答案}120{解析}连接OA，OB.∵ABC∆是O⊙的内接正三角形，∴30OAD OBE∠=∠=︒，120AOB∠=︒.又∵AD=BE,OA=OB，∴△OAD≌△OBE.∴AOD BOE∠=∠.即DOE∠=120︒. 16．（2020·滨州）如图，O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与O相交于点M，则sin∠MFG的值为________{答案}55{解析}本题考查了圆周角的性质及锐角三角函数的概念，设正方形的边长为a，∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，AE=12AB=12a，AD=EG=BC=a，DE=52a，根据圆周角的性质可得：∠MFG=∠MEG．∵sin∠MFG=sin∠MEG=55DGDE=，∴sin∠MFG=55，因此本题填55．19．（2020·临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线第14题图第14题答段的长度，叫做点到直线的距离.类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，最短线段的长．．．．．．度．，叫做点到曲线的距离．．．．．．．．．.依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点(2,1)A 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_________.{答案1{解析} 连接OA 交圆周于点N ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点M ： ∵点(2,1)A ∴OM=2,AM=1∴OA ==.∴1AN OA ON =-=.14．（2020·宜宾）如图，A 、B 、C 是△O 上的三点，若△OBC 是等边三角形，则cos△A ＝ ．{答案{解析}利用等边三角形的性质、圆周角定理、特殊角的三角函数值求解．∵△OBC 是等边三角形， ∴∠BOC ＝60°，∴∠A ＝30°，∴cos ∠A ＝cos30°＝2． 15. （2020·攀枝花） 如图，已知锐角三角形ABC 内接于半径为2的O ，OD BC ⊥于点D ，60BAC ∠=︒，则OD = .{答案}1{解析}如图，连接OB 、OC ，则易知2120BOC BAC ∠=∠=︒， 由垂径定理可知1602BOD BOD ∠=∠=︒，则30OBD ∠=︒，∴112OD OB ==.NM三、解答题22．（2020·温州）如图,C,D为⊙O上两点,且在直径AB两侧,连结CD交AB于点E,G是AC上一点,∠ADC ＝∠G.(1)求证:∠1＝∠2(2)点C关于DG的对称点为F,连结CF.当点F落在直径AB上时CF＝10,tan∠1＝2,5求⊙O的半径.{解析}本题考查了垂径定理及解直角三角形．（1）由∠ADC＝∠G得到AC＝AD,从而得到CB DB=，从而∠1＝∠2；（2）根据圆是轴对称图形可知CF＝DF，又由点C关于DG的对称点为F得到CD＝DF，从而求得DE＝5，分别解Rt△AED和Rt△BDE，求得AE和EB，从而得到直径AB。

2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题（含答案）　专题1圆的基本性质考点示例1．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)A ．AE>BE B.＝ C ．∠D＝∠AEC D ．△ADE∽△CBEAD ︵ BC ︵ 122．如图，点O 为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，AB ︵ 则∠D＝27°．基础题组1．(2019·柳州)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是(D)A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D2．(2019·吉林)如图，在⊙O 中，所对的圆周角∠ACB＝50°.若P 为上一点，AB ︵ AB ︵ ∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为(B)A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°3．(2019·保定二模)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝40°，则∠ADC 的度数是(B)A ．40°B ．50°C ．60°D ．90°4．(2019·黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ︵ AB ＝40 m ，点C 是的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径AB ︵ 为(A)A ．25 mB ．24 mC ．30 mD ．60 m5．(2019·德州)如图，点O 为线段BC 的中点，点A ，C ，D 到点O 的距离相等．若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是(B)A ．130°B ．140°C ．150°D ．160°6．(2019·廊坊安次区二模)如图，点A 是量角器直径的一个端点，点B 在半圆周上，点P 在上，点Q 在AB 上，且PB ＝PQ.若点P 对应140°(40°)，则∠PQB 的度数为(B)AB ︵ A ．65° B ．70° C ．75° D ．80°7．(2019·陕西)如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F 的度数是(B)A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°8．(2018·衢州)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF⊥BC 于点F.若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长度是(D)A ．3 cm B. cm C ．2.5 cm D. cm659．(2019·宁夏)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，垂足为C ，将劣弧沿弦AB 折叠交于OCAB ︵ 的中点D.若AB ＝2，则⊙O 的半径为3．10210．(2019·盐城)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，且为50°，则∠E＋∠C＝155°．AB ︵能力提升11．(2019·十堰)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB 交CB 的延长线于点E.若BA 平分∠DBE，AD ＝5，CE ＝，则AE ＝(D)13A ．3 B ．3 C ．4 D ．223312．(2019·威海)如图，⊙P 与x 轴交于点A(－5，0)，B(1，0)，与y 轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C 的纵坐标为(B)A.＋ B ．2＋ C ．4133232D ．2＋2213．(2019·嘉兴)如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为．1214．(2019·包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC＝120°，弦AC ＝2，弦3BM 平分∠ABC 交AC 于点D ，连接MA ，MC.(1)求⊙O 半径的长；(2)求证：AB ＋BC ＝BM.解：(1)连接OA ，OC ，过点O 作OH⊥AC 于点H ，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°.∴∠AOC＝2∠AMC＝120°.∴∠AOH＝∠AOC＝60°.12∵AH＝AC ＝，123∴OA＝＝2.AHsin60°∴⊙O 半径的长为2.(2)证明：在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE ，∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC，∴∠MBA＝∠MBC＝60°.∵BE＝BC ，∴△EBC 是等边三角形．∴CE＝CB ＝BE ，∠BCE＝60°.∴∠BCD＋∠DCE＝60°.∵∠ACM＝∠ABM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°.∴∠ECM＝∠BCD.∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°.∴△ACM 是等边三角形．∴AC＝CM.∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME.∵ME＋EB ＝BM ，∴AB＋BC ＝BM.专题2与圆有关的位置关系考点示例1．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧分别MN ︵ 交OA ，OB 于点M ，N.(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP′.求证：AP ＝BP′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与相切，求点T 到OA 的距离；MN ︵ (3)设点Q 在优弧上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．MN ︵解：(1)证明：∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB ，OP ＝OP′，∴△AOP≌△BOP′(SAS)．∴AP＝BP′.(2)连接OT ，过点T 作TH⊥OA 于点H.∵AT 与相切，∴∠ATO＝90°.MN ︵ ∴AT＝＝＝8.OA2－OT2102－62∵OA·TH ＝AT·OT ，1212∴TH＝＝＝.AT·OT OA 8×610245∴点T 到OA 的距离为.245(3)10°或170°.(注：当OQ⊥OA 时，△AOQ 的面积最大，且左右两半弧上各存在一点)基础题组1．(2019·保定一模)已知⊙O 的半径OA 长为，若OB ＝，则可以得到的正确图形可23能是(A)2．(2019·广州)平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线条数为(C)A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条3．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点A 为圆心作圆．如果⊙A 与线段BC 没有公共点，那么⊙A 的半径r 的取值范围是(D)A ．3≤r≤5B ．3＜r ＜5C ．r ＝3或r ＝5D ．0＜r ＜3或r ＞54．(2019·保定莲池区一模)以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 如图所示摆放，直角顶点B 在零刻度线所在直线DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点P.若点P 的读数为35°，则∠CBD 的度数是(C)A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°5．(2019·舟山)如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为(B)A ．2 B. C. D.32126．(2019·唐山路北区三模)如图，⊙O 与正方形ABCD 的两边AB ，AD 相切，且DE 与⊙O 相切于点E.若⊙O 的半径为5，且AB ＝11，则DE 的长度为(B)A ．5B ．6 C. D.301127．(2018·石家庄长安区模拟)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点M ，N ，O 均为格点，点N 在⊙O 上．若过点M 作⊙O 的一条切线MK ，切点为K ，则MK ＝(B)A ．3B ．2C ．5 D.25348．(2018·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－1，－2)．9．(2019·常州)如图，半径为的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB ，BC 都相3切，连接OC ，则tan∠OCB＝．3510．(2019·盐城)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点M ，N ，过点N 作NE⊥AB，垂足为E.(1)若⊙O 的半径为，AC ＝6，求BN 的长；52(2)求证：NE 与⊙O 相切．解：(1)连接DN ，ON ，∵⊙O 的半径为，∴CD＝5.52∵∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴BD＝CD ＝AD ＝5.∴AB＝10.∴BC＝＝8.AB2－AC2∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CND＝90°.又∵BD＝CD ，∴BN＝NC ＝4.(2)证明：由(1)知，BD ＝CD ，∴∠BCD＝∠B.∵OC＝ON ，∴∠BCD＝∠ONC.∴∠ONC＝∠B.∴ON∥AB.∵NE⊥AB，∴ON⊥NE.∵ON 为⊙O 的半径，∴NE 与⊙O 相切．11．(2018·安顺)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 为BC 的中点，AC 与半圆O 相切于点D.(1)求证：AB 是半圆O 所在圆的切线；(2)若cos∠ABC＝，AB ＝12，求半圆O 所在圆的半径．23解：(1)证明：作OE⊥AB 于点E ，连接OD ，OA.∵AB＝AC ，点O 是BC 的中点，∴∠CAO＝∠BAO.∵AC 与半圆O 相切于点D ，∴OD⊥AC.又∵OE⊥AB，∴OD＝OE ，即OE 是半圆O 所在圆的半径．∴AB 是半圆O 所在圆的切线．(2)∵AB＝AC ，点O 为BC 的中点，∴AO⊥BC.在Rt△AOB 中，OB ＝AB·cos∠ABC＝12×＝8.23根据勾股定理，得OA ＝＝4.AB2－OB25∵S △AOB ＝AB·OE ＝OB·OA ，1212∴OE＝＝，即半圆O 所在圆的半径为.OB·OA AB 853853能力提升12．(2019·张家口一模)如图，在△ABC 中，BC ＝4，⊙P 与△ABC 的边或边的延长线相切．若⊙P 的半径为2，△ABC 的面积为5，则△ABC 的周长为(C)A ．8B ．10C ．13D ．1413．(2019·唐山滦南县一模)如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为(C)A ．3B ．4C ．3或4D ．不确定3314．(2019·石家庄新乐市二模)如图，在扇形AOB 中，OA ＝OB ＝4，∠AOB＝120°，点C 是上的一个动点(不与点A ，B 重合)，射线AD 与扇形AOB 所在⊙O 相切，点P 在射线AD 上，AB ︵ 连接AB ，OC ，CP.若AP ＝2，则CP 的取值范围是2－4≤PC＜6．37　15．(2019·河池)如图，五边形ABCDE 内接于⊙O，CF 与⊙O 相切于点C ，交AB 延长线于点F.(1)若AE ＝DC ，∠E＝∠BCD，求证：DE ＝BC ；(2)若OB ＝2，AB ＝BD ＝DA ，∠F＝45°，求CF 的长．解：(1)证明：∵AE＝DC ，∴＝.AE ︵ DC ︵ ∴∠ADE＝∠DBC.在△ADE 和△DBC 中，{∠ADE ＝∠DBC ，∠E ＝∠BCD ，AE ＝DC ，)∴△ADE≌△DBC(AAS)．∴DE＝BC.(2)连接CO 并延长交AB 于点G ，作OH⊥AB 于点H ，则∠OHG＝∠OHB＝90°.∵CF 与⊙O 相切于点C ，∴∠FCG＝90°.∵∠F＝45°，∴△CFG，△OGH 是等腰直角三角形．∴CF＝CG ，OG ＝OH.2∵AB＝BD ＝DA ，∴△ABD 是等边三角形．∴∠ABD＝60°.∴∠OBH＝30°.∴OH＝OB ＝1.∴OG＝.122∴CF＝CG ＝OC ＋OG ＝2＋.216．(2019·绍兴)在屏幕上有如下内容：如图，△ABC 内接于⊙O，直径AB 的长为2，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．(1)在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD 的长．请你解答；(2)以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是BD ＝1，就可以求出AD 的长．小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连接OC ，就可以证明△ACB 与△DCO 全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线添字母)，并解答．解：(1)连接OC ，∵CD 为切线，∴OC⊥CD.∴∠OCD＝90°.∵∠D＝30°，∴OD＝2OC ＝2.∴AD＝AO ＋OD ＝1＋2＝3.(2)答案不唯一，如：添加∠DCB＝30°，求AC 的长．解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠DCB＝90°，∴∠ACO＝∠DCB.∵∠ACO＝∠A，∴∠A＝∠DCB＝30°.在Rt△ACB 中，BC ＝AB ＝1.12∴AC＝BC ＝.33　专题3三角形的内心与外心考点示例1．(2015·河北T6·3分)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE2．(2016·河北T9·3分)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B) A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心3．(2018·河北T15·2分)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB 平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A．4.5 B．4 C．3 D．24．(2018·河北T23·9分)如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α.(1)求证：△APM≌△BPN；(2)当MN＝2BN时，求α的度数；(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．解：(1)(2)解答过程见本书P68T4(3)∵△BPN的外心在该三角形的内部，∴△BPN 是锐角三角形．∵∠B＝50°，∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°.5．(2019·河北T23·9分)如图，△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ＝6，BC ＝DE ，∠B＝∠D＝30°，边AD 与边BC 交于点P(不与点B ，C 重合)，点B ，E 在AD 异侧，I 为△APC 的内心．(1)求证：∠BAD＝∠CAE；(2)设AP ＝x ，请用含x 的式子表示PD ，并求PD 的最大值；(3)当AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m ，n 的值． 解：(1)(2)解答过程见本书P68T2(3)如图，设∠BAP＝α，则∠APC＝α＋30°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°－α.∵I 为△APC 的内心，∴AI，CI 分别平分∠PAC，∠PCA.∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA.1212∴∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－(∠PAC＋∠PCA)12＝180°－(90°－α＋60°)12＝α＋105°.12∵0°＜α＜90°，∴105°＜α＋105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°.12∴m＝105，n ＝150.基础题组1．(2019·保定一模)如图，在4×4的网格图中，A，B，C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是(D)A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点2．(2019·廊坊广阳县一模)在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A，B，C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的(D)A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心3．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D，E在BC上，△ADE是等边三角形．若点O是△ABC的内心，则下列说法正确的是(C)A．点O是△ADE的内心 B．点O是△ADE的外心C．点O不是△ABE的内心 D．点O是△ABC的外心【解析】　易知OA平分∠BAC，则OA不平分∠BAE，所以点O不是△ABE的内心．4．(2018·石家庄二模)如图1，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，直线MN∥AB，如图2，则点O是△ABC的(B)A．外心B．内心C．三条中线的交点 D．三条高的交点 图1 图2 5．(2019·秦皇岛海港区一模)如图是△ABC的外接圆，I是△ABC的内心，AI的延长线与圆相交于点D，连接BI，BD，DC.则下列说法中错误的一项是(D)A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠ABI绕点B顺时针旋转一定能与∠IBC重合D．线段CD绕点C顺时针旋转一定能与线段CA重合6．(2019·石家庄模拟)如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC.若∠ABC＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为(A)A．174° B．176° C．178° D．180°7．(2019·石家庄新华区模拟)如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝44°，点D，点E分别从点B，点C同时出发，在线段BC上做等速运动，到达C点，B点后运动停止．(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝BE，求∠DAE的度数；(3)若△ACE的外心在其内部时，求∠BDA的取值范围．解：(1)证明：∵点D，点E分别从点B，点C同时出发，在线段BC上做等速运动，∴BD＝CE.∴BD＋DE＝DE＋CE，即BE＝CD.∵∠B＝∠C＝44°，∴AB＝AC.∴△ABE≌△ACD(SAS)．(2)∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB.∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE.∴∠ADE＝∠AEB.∴∠BAE＝∠ADE.∴∠BAD＋∠DAE＝∠BAD＋∠B.∴∠DAE＝∠B＝44°.(3)∵△ACE 的外心在其内部，∴△ACE 是锐角三角形．∴∠BDA＝∠AEC＜90°.∵∠B＝44°，∴∠BAD＝180°－44°－∠BDA＜90°.∴∠BDA＞46°.∴46°＜∠BDA＜90°.能力提升8．(2019·河北一模)如图，点O 是△ABC 的内心，M ，N 是AC 上的点，且CM ＝CB ，AN ＝AB.若∠ABC＝100°，则∠MON＝(C)A ．60°B ．70°C ．80°D ．100°9．(2019·唐山路南区三模)如图，O 为锐角三角形ABC 的外心，四边形OCDE 为正方形，其中E 点在△ABC 的外部，判断下列叙述不正确的是(D)A ．O 是△AEB 的外心，O 不是△AED 的外心B ．O 是△BEC 的外心，O 不是△BCD 的外心C ．O 是△AEC 的外心，O 不是△BCD 的外心D ．O 是△ADB 的外心，O 不是△ADC 的外心10．(2019·石家庄新华区校级模拟)如图，将Rt△ABC 平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°.使得点C′与△ABC 的内心重合，已知AC ＝4，BC ＝3，则阴影部分的面积为(D)A. B. C. D.25242552252411．(2019·保定一模)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点M 是△ABC 的中线AD 上一点，以M 为圆心作⊙M.设半径为r.(1)如图1，当点M 与点A 重合时，分别过点B ，C 作⊙M 的切线，切点为E ，F.求证：BE ＝CF ；(2)如图2，若点M 与点D 重合，且半圆M 恰好落在△ABC 的内部，求r 的取值范围；(3)当M 为△ABC 的内心时，求AM 的长．解：(1)证明：连接AE ，AF ，∵BE 和CF 分别是⊙M 的切线，∴∠BEA＝∠CFA＝90°.∵AB＝AC ，AE ＝AF ，∴Rt△ABE≌Rt△ACF(HL)．∴BE＝CF.(2)过点D 作DG⊥AB 于点G ，∵AB＝AC ＝5，AD 是中线，∴AD⊥BC，BD ＝BC ＝4.12∴AD＝＝3.AB2－BD2∴BD·AD ＝AB·DG.∴DG＝.1212125∴当0＜r ＜时，半圆M 恰好落在△ABC 的内部．125(3)当M 为△ABC 的内心时，如图，过点M 作MH⊥AB 于点H ，作MP⊥AC 于点P ，则有MH ＝MP ＝MD.连接BM ，CM ，∴AB·MH ＋BC·MD ＋AC·MP ＝AD·BC.12121212∴r＝＝＝.AD·BC AB ＋AC ＋BC 8×35＋5＋843∴AM＝AD －DM ＝.53专题4　与圆有关的计算考点示例1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD ＝2.则S 阴影＝(D)3A ．π B ．2π C. D.π233232．如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形．则S 扇形＝4cm 2.3．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则＝(C)S 阴影S 空白A ．3 B ．4 C ．5 D ．6基础题组1．(2019·长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(C)A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π2．(2019·成都)如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，P 为上的一点(点P 不与点D 重合)，DE ︵ 则∠CPD 的度数为(B)A ．30°B ．36°C ．60°D ．72°3．(2019·唐山滦南县二模)边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO 的度数为(A)A ．24°B ．48°C ．60°D ．72°4．(2019·通辽)如图，等边三角形ABC 内接于⊙O.若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于(C)A. B. C. D ．2ππ32π34π35．(2019·唐山乐亭县模拟)某同学以正六边形三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径，向外作三段圆弧，设计了如图所示的图案．已知正六边形的边长为1，则该图案外围轮廓的周长为(C)A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π6．(2019·保定竞秀区一模)如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为(D)A ．10B ．9C ．8D ．77．(2019·宁波)如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为(B)A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm8．(2018·盐城)如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分，图2中图形的相关数据：半径OA ＝2 cm ，∠AOB＝120°.则图2的图形周长为cm(结果保留8π3π)．9．(2019·广东)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A 为圆心的与BC 相切于点D ，分别交AB ，ACEF ︵ 于点E ，F.(1)求△ABC 三边的长；(2)求图中由线段EB ，BC ，CF 及所围成的阴影部分的面积．EF ︵解：(1)AB ＝＝2，22＋6210AC ＝＝2，62＋2210BC ＝＝4.42＋825(2)由(1)得AB 2＋AC 2＝BC 2，∴∠BAC＝90°.连接AD ，则AD ＝＝2.22＋425∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形AEF＝AB·AC －π·AD 21214＝20－5π.能力提升10．(2019·大庆)如图，在正方形ABCD 中，边长AB ＝1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为(B)A. B. C ．π D ．2ππ4π211．(2019·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 是(异于A ，B)上两点，C 是上一动点，AB ︵ MN ︵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E.当点C 从点M 运动到点N 时，则C ，E 两点的运动路径长的比是(A)A. B. C. D.2π2325212．(2019·保定高阳县模拟)如图，半圆O 的直径AB ＝20，将半圆O 绕点B 按顺时针方向旋转得到半圆O′，A′B 与交于点P ，设旋转角为α(0°＜α＜90°)．AB ︵ (1)如图1，当α＝30°时．①求BP 的长；②求图中阴影部分的面积(结果保留π)；(2)如图2，在AB 的延长线上有一点C ，使BC ＝OB ，过点C 作CD⊥AC 于点C ，当与12A ′B ︵ CD 相切于点E 时，点O′恰好在上，直接写出的长．AB ︵ BE ︵解：(1)①连接AP ，∵AB 是半圆O 的直径，∴∠APB＝90°.又由旋转的性质得∠ABP＝30°，∴BP＝AB·cos30°＝20×＝10.323②连接OP.∵AB＝20，∠ABP＝30°，∴OB＝10，∠BOP＝120°.∴S 阴影＝S 半圆O′－(S 扇形BOP －S △BOP )＝π×102－(－×10×sin30°×10)12120×π×102360123＝50π－(－25)100π33＝π＋25.5033(2)的长为＝π.BE ︵ 60×π×1018010313．(2019·湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围12成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB 时，OC 平分AB)可以求解．现已知弦AB ＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为10平方米．14．(2019·孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S －S 1＝0.14(π取3.14)．万能解题模型(五)　与面积有关的计算 方法指导计算规则图形的面积时，常常直接利用面积公式进行计算．常见的面积公式有：①三角形的面积＝×底×高＝×周长×内切圆的半径；②等边三角形的面积＝×边长的平方；121234③平行四边形的面积＝底×高；④矩形的面积＝长×宽；⑤菱形的面积等于对角线之积的一半；⑥正方形的面积等于边长的平方；⑦圆的面积＝πR 2；⑧扇形的面积＝＝lR ；⑨相似三角形面积的比等于相似比的平方．n πR2360121．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，将△ABC 沿CB 向右平移得到△DEF.若平移距离为2，则四边形ABED 的面积等于(B)A ．2B ．6C ．7D ．102．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为边CD 的中点．若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE 的面积是(A)A. B ．2 C ．2 D ．4333．(2019·保定竞秀区二模)如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a 个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是(C)A ．5∶2B ．3∶2C ．3∶1D ．2∶14．(2019·`乐山)把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置，则图中阴影部分的面积为 (A)A. B. C. D.16131514类型2　利用和差法间接求面积5．(2019·山西)如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝2，BC ＝2，以AB 的中点O 3为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为(A)A.－B.＋ C ．2－π D ．4－534π2534π233π26．(2018·唐山路北区二模)如图为两正方形ABCD ，BPQR 重叠的情形，其中点R 在AD 上，CD 与QR 相交于点S.若两正方形ABCD ，BPQR 的面积分别为16，25，则四边形RBCS 的面积为(C)A. B. C. D ．81722837787．(2019·吉林)如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝90°.D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是AB ︵ 25π－48(结果保留π)．8．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，BC 上的点，AD ＝2BD ，BE ＝CE ，设△ADF 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2.若S △ABC ＝6，则S 1－S 2的值为1．类型3　利用整体思想求阴影部分面积9．(2019·宿迁)如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是(A)A ．6－πB ．6－2πC ．6＋π 333D ．6＋2π3类型4　利用等积变换法间接求面积方法指导当直接求面积较麻烦或根本求不出时，可通过图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件，从而求面积．(1)通过轴对称变换求面积10．(2018·宜昌)如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G ，I ，H ，J ，则图中阴影部分的面积等于(B)A ．1 B. C. D.121314(2)通过平移变换求面积11．(2017·阿坝州)如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为12．(3)通过旋转变换求面积12．如图，直线a ，b 垂直相交于点O ，曲线C 关于点O 成中心对称，点A 的对称点是点A′，AB⊥a 于点B ，A′D⊥b 于点D.若OB ＝3，OD ＝2，则阴影部分的面积之和为6．(4)利用全等三角形进行转换求面积13．(2019·宜宾)如图，∠EOF 的顶点O 是边长为2的等边△ABC 的重心，∠EOF 的两边与△ABC 的边交于E ，F ，∠EOF＝120°，则∠EOF 与△ABC 的边所围成的阴影部分的面积是(C)A. B. C. D.322353334(5)利用“等底等高等积”进行转换14．(2017·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB∥CD∥EF，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8.则图中阴影部分的面积是(A)A.π B ．10π C ．24＋4π D ．24＋5π252。

初中数学圆的有关性质解答题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、解答题（共15题）1、如图，AB 是⊙ O 的直径，CD 是⊙ O 的一条弦，且CD ⊥ AB 于点E ．(1) 求证:∠BCO ＝∠ D ；(2) 若BE ＝ 8 cm ，CD ＝ 6 cm ，求⊙ O 的半径．2、如图，AB 是ABC 的外接圆O 的直径，点D 在半圆上，DC 与AB 交于点E ，过点C 作CF ⊥ DC 交DB 的延长线于点F ，交圆O 于点G ．（ 1 ）求证：ABC ∽ DCF ；（ 2 ）当∠1 ＝∠2 ，DF ＝ 10 ，AE ：EC ＝ 1 ： 2 时，求圆O 的半径．（ 3 ）在（2 ）的条件下，连接DG 交BC 于点M ，则（直接写出答案）．3、如图，⊙ O 的半径为 1 ，点A 是⊙ O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙ O 上的一点，AD ＝CD ，∠ A ＝30° ．（ 1 ）求证：直线AC 是⊙ O 的切线；（ 2 ）求△ABC 的面积；（ 3 ）点E 在上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F ．① 当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；② 当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长．4、ABC 内接于⊙ O ，点D 在弧AC 上，弦BD 交AC 边于点E ，且DE ＝AE ．（ 1 ）如图1 ，求证：BE ＝CE（ 2 ）如图2 ，作射线CO ，交弦BD 于点F ，连接AF 并延长AF ，交⊙ O 于点G ，连接CG ，∠ BFG ＝∠ FCG ，求∠ ACB 的度数．5、已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．（ 1 ）求证：；（ 2 ）若，，求的半径．6、在中，为直径，为上一点．（Ⅰ ）如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小；（Ⅱ ）如图②，为优弧上一点，且的延长线经过的中点，连接与相交于点，若，求的大小．7、如图，⊙ 中，弦与相交于点, , 连接.求证：⑴ ；⑵ .8、如图，是的直径，点C 是上异于A 、B 的点，连接、，点D 在的延长线上，且，点E 在的延长线上，且．（ 1 ）求证：是的切线：（ 2 ）若，求的长．9、如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．（ 1 ）求证：；（ 2 ）当，时，求的长．10、如图，AB 是⊙ O 的弦，半径OD ⊥ AB ，垂足为C ，点E 在⊙ O 上，连接OA 、DE 、BE ．（ 1 ）若∠DEB ＝30°，求∠AOD 的度数；（ 2 ）若CD ＝ 2 ，弦AB ＝ 8 ，求⊙O 的半径长．11、如图 1 ，在中，，，D 为内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90° 得到AE ，连接CE ，BD 的延长线与CE 交于点F ．（ 1 ）求证：，；（ 2 ）如图2 ．连接AF ，DC ，已知，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由．12、如图，A ，B 是上两点，且，连接OB 并延长到点C ，使，连接AC ．（ 1 ）求证：AC 是的切线．（ 2 ）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交于点F ，G ，，求GF 的长．13、如图，是的外接圆，点D 是的中点，过点D 作分别交、的延长线于点E 和点F ，连接、，的平分线交于点M ．（ 1 ）求证：是的切线；（ 2 ）若，，求线段的长．14、如图，是的直径，点C 是上异于A 、B 的点，连接、，点D 在的延长线上，且，点E 在的延长线上，且．（ 1 ）求证：是的切线：（ 2 ）若，求的长．15、如图，是的外接圆，是的直径，于点．（ 1 ）求证：；（ 2 ）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为 5 ，，求和的长．============参考答案============一、解答题1、 (1) 见解析；(2)⊙ O 的半径为cm【解析】【分析】（ 1 ）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO =∠ B =∠ D ；（ 2 ）由垂径定理可求得CE 与DE 的长，然后证得△ BCE ∽△ DAE ，再由相似三角形的对应边成比例，求得AE 的长，继而求得直径与半径．(1)证明：∵ OB = OC ，∴∠ BCO =∠ B ，∵∠ B =∠ D ，∴∠ BCO =∠ D ；(2)解：∵ AB 是⊙ O 的直径，CD ⊥ AB ，∴ CE = DE = CD = ×6=3 ，∵∠ B =∠ D ，∠ BEC =∠ DEA ，∴△ BCE ∽△ DAE ，∴ AE ：CE = DE ：BE ，∴ AE ： 3=3 ：8 ，解得：AE = ，∴ AB = AE + BE = = ，∴⊙ O 的半径为( cm ) ．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△ BCE ∽△ DAE 是关键．2、（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）；（ 3 ）【分析】（ 1 ）证明，结合从而可得答案；（ 2 ）连接OD ，先证明△ AEC ∽△ DCF ，可得DC ＝ 10 ，DE ＝CE ＝ 5 ，AE ＝，设⊙ O 的半径为r ，则OE ＝，OD ＝r ，根据勾股定理列方程可解答；（ 3 ）如图，连接BG ，根据圆周角定理可得DG 是⊙ O 的直径，根据勾股定理计算CG 的长，得FG 的长，知FG ＝DG ，根据等腰三角形三线合一的性质得BD ＝BF ，证明△ OBM ∽△ GCM ，得OD ：OM ：MG ＝ 11 ： 5 ： 6 ，根据同高三角形面积的关系可得结论．【详解】（ 1 ）证明：∵AB 是△ ABC 的外接圆⊙ O 的直径，∴∴ ABC ∽ DCF ；（ 2 ）解：如图，连接OD ，∵，∴ AB ⊥ CD ，∴∠ AEC ＝90° ，∵ DC ⊥ CF ，∴∠ DCF ＝90° ，∴∠ AEC ＝∠ DCF ，∵∠ A ＝∠ ADB ，∴△ AEC ∽△ DCF ，∴ ，∵ AE ：EC ＝ 1 ： 2 ，∴ DC ：CF ＝ 1 ： 2 ，∵ DF ＝，∴ DC ＝ 10 ，（负根舍去）∵ OA ⊥ CD ，∴ DE ＝CE ＝ 5 ，AE ＝，设⊙ O 的半径为r ，则OE ＝，OD ＝r ，在Rt△ ODE 中，由勾股定理得：OD 2 ＝DE 2 + OE 2 ，∴ ，解得：，答：圆O 的半径为；（ 3 ）解：如图，连接BG ，∵∠ DCG ＝90° ，∴ DG 是⊙ O 的直径，∴∠ DBG ＝90° ，由（ 2 ）知：CD ＝ 10 ，DG ＝，由勾股定理得：，∴ FG ＝CF ﹣CG ＝，∵BG ⊥ DF ，∴ BD ＝BF ，∴ S △ DBG ＝S △ BGF ，∵ S △ DGF ＝FG • CD ＝，∴ S △ DGB ＝，∵∠ DEB ＝∠ DCG ＝90° ，∴ ，∴△ OBM ∽△ GCM ，∴ ，∴ OD ：OM ：MG ＝ 11 ： 5 ： 6 ，∴ S △ OMB ＝，∴ S △ OMB ：S △ DGF ＝：．故答案为：．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形和等腰三角形解决问题，属于中考常考题型．3、（ 1 ）见解析；（ 2 ）；（ 3 ）①3 ；②【解析】（ 1 ）连接OC ，利用切线的判定定理，证明OC ⊥ AC 即可；（ 2 ）要求的面积，结合（ 1 ）题，底边AB 可求，只需再求出底边上的高CH 即可；（ 3 ）根据垂径定理可求CE 的长，再利用锐角三角函数，可求CF 的长；由可知，点E 在运动过程中，始终有，所以，求出CE 的最大值，即可得到CF 的最大值．【详解】（ 1 ）证明：连结OC ，如图所示．∵ AD ＝CD ，∠ A ＝30° ，∴∠ ACD ＝∠ A =30° ．∴∠ CDB ＝60° ．∵ OD ＝OC ，∴∠ OCD ＝∠ ODC =60° ．∴∠ ACO ＝∠ ACD ＋∠ OCD ＝30°+60°=90° ．∴ OC ⊥ AC ．∴ 直线AC 是⊙ O 的切线．（ 2 ）过点C 作CH ⊥ AB 于点H ，如图所示．∵ OD = OC ，∠ ODC =60° ，∴ 是等边三角形．∴ ．∴ 在中，．∵ AB ＝AD ＋BD ＝ 3 ，∴ ．（ 3 ）当点运动到与点关于直径BD 对称时，如图所示．此时，CE ⊥ AB ，设垂足为K ．由（ 2 ）可知，．∵ BD 为圆的直径，CE ⊥ AB ，∴ CE ＝ 2 CK ＝．∵ CF ⊥ CE ，∴∠ ECF ＝90° ．∵ ，∴∠ E =∠ CDB ＝60° ．在中，∵ ，∴ ．如图所示：由可知，在中，∵ ，∴ ．∴ 当点E 在上运动时，始终有．∴ 当CE 最大时，CF 取得最大值．∴ 当CE 为直径，即CE =2 时，CF 最大，最大值为．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、锐角三角函数、求线段的最值等知识点，熟知切线的判定方法、垂径定理、圆周角定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．4、（ 1 ）见解析；（ 2 ）45°【分析】（ 1 ）由圆周角定理可直接得出结论．（ 2 ）延长CF 交圆O 于点H ，连接AH ，可证明AH ∥ BD ，从而△ BCE 是等腰直角三角形．【详解】（ 1 ）连接AD∵∴∠ D ＝∠ C ，∠ DAE ＝∠ DBC∵ AE ＝DE∴∠ DAE ＝∠ D∴∠ DBC ＝∠ C∴ BE ＝CE（ 2 ）延长CF 交⊙ O 于点H ，连接AH ，则CH 是⊙ O 的直径∴∠ HAC ＝90°∵∴∠ FCG ＝∠ HAG∵∠ BFG ＝∠ FCG∴∠ BFG ＝∠ HAG∴ AH ∥ BD∴∠ BFC ＝∠ HAC ＝90°∵∠ ACB ＝∠ DBC∴∠ ACB ＝45°【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，熟练通过圆周角定理找到角度相等是解题的关键．5、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；（ 2 ）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．【详解】（ 1 ）连接，如图，是的切线，，，，，，，．（ 2 ）连接是的直径，，，，，，，，，．即的半径为．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键．6、（Ⅰ ）26°；（Ⅱ）69°．【分析】（Ⅰ ）连接OC ，如图①，根据切线的性质得∠OCP=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB=32°，则利用三角形外角性质可计算出∠POC ，然后利用互余计算∠P 的度数；（Ⅱ ）如图②，根据垂径定理的推论，由点 E 为AC 的中点得到OD⊥AC ，则利用三角形外角性质得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106°，再根据圆周角定理得到，然后利用三角形外角性质可计算出∠DPA 的度数．【详解】（Ⅰ ）连接，如图① ，为切线，，，，，，；（Ⅱ ）如图②，点为的中点，，，，，．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．7、（ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析.【分析】（ 1 ）由AB=CD 知，即，据此可得答案；（ 2 ）由知 AD=BC ，结合∠ADE=∠CBE ，∠DAE=∠BCE 可证△ADE≌△CBE ，从而得出答案．【详解】证明（ 1 ）∵AB=CD ，∴ ，即，∴ ；（ 2 ）∵，∴AD=BC ，又∵∠ADE=∠CBE ，∠DAE=∠BCE ，∴△ADE≌△CBE （ASA ），∴AE=CE ．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，① 圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“ 知一推二” ，一项相等，其余二项皆相等．8、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ ACB =90° ，根据等量代换得到∠DCO =90° ，即可证明DC 是圆O 的切线；（ 2 ）根据已知得到OA =2 DA ，证明△ DCO ∽△ DEB ，得到，可得DA = EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（ 1 ）如图，连接OC ，由题意可知：∠ ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ ACB =90° ，∵ OC ，OB 是圆O 的半径，∴ OC = OB ，∴∠ OCB =∠ ABC ，又∵∠ DCA =∠ ABC ，∴∠ DCA =∠ OCB ，∴∠ DCO =∠ DCA +∠ ACO =∠ OCB +∠ ACO =∠ ACB =90° ，∴ OC ⊥ DC ，又∵ OC 是圆O 的半径，∴ DC 是圆O 的切线；（ 2 ）∵，∴ ，化简得OA =2 DA ，由（ 1 ）知，∠DCO =90° ，∵ BE ⊥ DC ，即∠ DEB =90° ，∴∠ DCO =∠ DEB ，∴ OC ∥ BE ，∴△ DCO ∽△ DEB ，∴ ，即，∴ DA = EB ，∵ BE =3 ，∴ DA = EB = ，经检验：DA = 是分式方程的解，∴ DA = ．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．9、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接，，因为，所以，从而易证，所以，继而可证明；（ 2 ）设的半径为，则，在中，，从而可求出的值．【详解】解：（ 1 ）证明：连接，，，，，，，，，与边相切于点，，，；（ 2 ）在，，，，，设的半径为，则，在中，，，．【点睛】本题考查了圆中弧、弦之间的关系，圆周角定理的推论，切线的性质和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键．10、（ 1 ）60°；（ 2 ） 5 ．【分析】（ 1 ）根据圆周角定理得到∠BOD 的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD ＝∠BOD ＝60°；（ 2 ）设⊙O 的半径为 r ，则OC ＝r−2 ，根据垂径定理得到AC ＝BC ＝ 4 ，然后利用勾股定理得到（r−2 ） 2 ＋ 4 2 ＝ r 2 ，再解方程即可得出结果．【详解】解：（ 1 ）∵∠BOD ＝2∠DEB ，∠DEB ＝30°，∴∠BOD ＝60°，∵OD⊥AB ，∴ ＝，，∴∠AOD ＝∠BOD ＝60°；（ 2 ）设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r−2 ，∵OD⊥AB ，∴AC ＝BC ＝AB ＝×8 ＝ 4 ，在Rt△OAC 中，由勾股定理得：（r−2 ） 2 ＋ 4 2 ＝ r 2 ，解得： r ＝ 5 ，即⊙ O 的半径长为 5 ．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．11、（ 1 ）见解析；（ 2 ），理由见解析【分析】（ 1 ）首先根据旋转的性质，判断出∠DAE =90° ，AD = AE ，进而判断出∠ BAD =∠ CAE ；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ ABD ≌△ ACE ，即可判断出BD = CE ．再证明，即可证明；（ 2 ）由得，再证明A ，D ，F ，E 在以DE 为直径的圆上，即可证明，从而可证明AF // CD ．【详解】解（ 1 ）由旋转的性质，可得∠DAE =90° ，AD = AE ，∵∠ BAD +∠ DAC =∠ BAC =90° ，∠CAE +∠ DAC =∠ DAE =90° ，∴∠ BAD =∠ CAE ，在△ ABD 和△ ACE 中，，∴△ ABD ≌△ ACE （SAS ），∴ BD = CE ，∵∴ ，即∴∴∴ ，即;（ 2 ），理由如下：∵∴由（ 1 ）知，∴ A ，D ，F ，E 在以DE 为直径的圆上，如图，∵ AD = AE∴ 弧AD = 弧AE ，∴∴∴ ；【点睛】此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① 对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．另外此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及四点共圆的知识，要熟练掌握．12、（ 1 ）见解析；（ 2 ） 2【分析】（ 1 ）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠ OAB =60° ，利用三角形外角的性质得出∠C =∠ CAB =30° ，由此可得∠OAC =90° 即可得出结论；（ 2 ）过O 作OM ⊥ DF 于M ，DN ⊥ OC 于N ，利用勾股定理得出AC = ，根据含30° 的直角三角形的性质得出DN = ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（ 1 ）证明：∵AB = OA ，OA = OB∴ AB = OA = OB∴△ AOB 为等边三角形∴∠ OAB =60° ，∠OBA =60°∵ BC = OB∴ BC = AB∴∠ C =∠ CAB又∵∠ OBA =60°=∠ C +∠ CAB∴∠ C =∠ CAB =30°∴∠ OAC =∠ OAB +∠ CAB =90°∴ AC 是⊙ O 的切线；（ 2 ）∵OA =4∴ OB = AB = BC =4∴ OC =8∴ AC = = =∵ D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴ OE // BC ，DC =过O 作OM ⊥ DF 于M ，DN ⊥ OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴ DN = OM在Rt △ CDN 中，∠ C =30° ，∴DN = DC = ∴ OM =连接OG ，∵ OM ⊥ GF∴ GF =2 MG =2 = =2【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．13、（ 1 ）见详解；（ 2 ） 2【分析】（ 1 ）连接OD ，由垂径定理得OD ⊥ BC ，从而得OD ⊥ EF ，进而即可得到结论；（ 2 ）由平行线分线段定理得DN = ，再证明，可得BD =2 ，最后证明∠BMD =∠ DBM ，进而即可求解．【详解】（ 1 ）证明：连接OD ，如图，∵ 点D 是的中点，∴ ，∴ OD ⊥ BC ，∵ BC ∥ EF ，∴ OD ⊥ EF ，∴ EF 为⊙ O 的切线；（ 2 ）设BC 、AD 交于点N ，∵ ，，，∴ ，∴ DN = ，∵ 点D 是的中点，∴∠ BAD =∠ CAD =∠ CBD ，又∵∠ BDN =∠ ADB ，∴ ，∴ ，即：，∴ BD =2 ，∵ 的平分线交于点 M ，∴∠ ABM =∠ CBM ，∴∠ ABM +∠ BAD =∠ CBM +∠ CBD ，即：∠ BMD =∠ DBM ，∴ DM = BD =2 ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理相似三角形的判定和性质，平行线分线段定理，等腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，是解题的关键．14、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ ACB =90° ，根据等量代换得到∠DCO =90° ，即可证明DC 是圆O 的切线；（ 2 ）根据已知得到OA =2 DA ，证明△ DCO ∽△ DEB ，得到，可得DA = EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（ 1 ）如图，连接OC ，由题意可知：∠ ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ ACB =90° ，∵ OC ，OB 是圆O 的半径，∴ OC = OB ，∴∠ OCB =∠ ABC ，又∵∠ DCA =∠ ABC ，∴∠ DCA =∠ OCB ，∴∠ DCO =∠ DCA +∠ ACO =∠ OCB +∠ ACO =∠ ACB =90° ，∴ OC ⊥ DC ，又∵ OC 是圆O 的半径，∴ DC 是圆O 的切线；（ 2 ）∵，∴ ，化简得OA =2 DA ，由（ 1 ）知，∠DCO =90° ，∵ BE ⊥ DC ，即∠ DEB =90° ，∴∠ DCO =∠ DEB ，∴ OC ∥ BE ，∴△ DCO ∽△ DEB ，∴ ，即，∴ DA = EB ，∵ BE =3 ，∴ DA = EB = ，经检验：DA = 是分式方程的解，∴ DA = ．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．15、（ 1 ）见详解；（ 2 ），【分析】（ 1 ）由题意易得，然后问题可求证；（ 2 ）由题意可先作图，由（ 1 ）可得点E 为BC 的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（ 1 ）证明：∵是的直径，，∴ ，∴ ；（ 2 ）解：由题意可得如图所示：由（ 1 ）可得点E 为BC 的中点，∵ 点O 是BG 的中点，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ 的半径为 5 ，∴ ，∴ ，∴ ．【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．。