第一章
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程
()⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ
其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与
+x x ∆。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两
端的坐标分别为：
),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++
其
相
对
伸
长
等
于
)
,()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ 令
0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克
定律，张力),(t x T 等于
),()(),(t x u x E t x T x =
其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为
x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+
于
是
得
运
动
方
程
tt
u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx
ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+
利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得
tt u x s x )()(ρx
∂∂
=
x ESu () 若=)
(x s 常量，则得
22)(t u x ∂∂ρ=))((x
u
x E x ∂∂∂∂
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x
==,0两点则相应的边界条
件为
.0),(,0)
,0(==t l u t u
(2)若
l x =为自由端，则杆在
l
x =的张力
x
u x E t l T ∂∂=)(),(|l
x =等于零，因此相应的边界条件为
x
u
∂∂|l x ==0 同理，若
0=x 为自由端，则相应的边界条件为
x
u ∂∂∣
00
==x
(3)若l x
=端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某
点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支
承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有
x
u
E
∂∂∣)](),([t v t l u k l x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
)(
u x
u
σ+∂∂∣
)
(t f l
x == 其中
E
k =
σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件
)(
u x
u
σ+∂∂∣0==l x 。 同理，若0=x
端固定在弹性支承上，则得边界条件
x u
E ∂∂∣)](),0([0t v t u k x -==
即 )(u x
u
σ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为
22
22)1(])1[(t
u h x x u h x x E
∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1) 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x
点处截面的半径l 为：
h
x
l -
=1 所以截面积2
)1()(h
x x s -=π。利用第1题，得
])1([)1()(222
2
x u
h x E x
t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ
若E x E =)
(为常量，则得
22
22)1(])1[(t
u
h x x u h x x E
∂∂-=∂∂-∂∂ρ 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力
)(x T 为
)()(x l g x T -=ρ
且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻
t
沿垂直于
x
轴方向的位移，取弦段
),,(x x x ∆+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为
)
(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+--θρθρ
其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角
又 .
sin x u tg ∂∂=
≈θθ 于是得运动方程
x u
x x l t u x
∂∂∆+-=∂∂∆)]([2
2ρ∣
x
u
x l g x x ∂∂--∆+]
[ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得
])[(2
2x u
x l x g t
u ∂∂-∂∂=∂∂。 5. 验证
2
2
2
1),,(y
x t t y x u --=
在锥
222y x t -->0中都满足波动方程
222222y u
x u t u ∂∂+∂∂=∂∂证：函数
2
2
2
1),,(y
x t t y x u --=
在锥2
22
y x t
-->0内对变量
t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t
u ⋅---=∂∂-2
3
222)(
2
52222
32222
2)
(3)
(t
y x t y x t t
u ⋅--+---=∂∂-
-
)2()(2
2223
222y x t y x t ++⋅--=-
x y x t x
u
⋅--=∂∂-
23
222)(
()()
2
22232222
23y x t y x t x
u -
---+--=∂∂
(
)()222
25
2222y x t y x t -+-
-=-
同理 ()()222252222
22y x t y x t y
u
+---=∂∂-
所
以
()()
.22
22
2225
222222
2t
u y x t y x t y
u x
u ∂∂=++--=∂∂+
∂∂-
