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2009 年上海市初中毕业统一学业考试
数学卷
(满分 150 分,考试时间 100 分钟) 考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题; 2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一 律无效. 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤.
一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上.】
1.计算 (a3 )2 的结果是(B )
A. a5
B. a6
C. a8
D. a9
x 1 0, 2.不等式组 x 2 1 的解集是( C )
A. x 1
B. x 3
C. 1 x 3
D. 3 x 1
3.用换元法解分式方程 x 1 3x 1 0 时,如果设 x 1 y ,将原方程化为关于 y 的
x x 1
x
整式方程,那么这个整式方程是( A )
A. y2 y 3 0
B. y2 3y 1 0
C. 3y2 y 1 0
D. 3y2 y 1 0
4.抛物线 y 2(x m)2 n ( m,n 是常数)的顶点坐标是( B )
A. (m,n)
B. (m,n) C. (m, n)
D. (m, n)
5.下列正多边形中,中心角等于内角的是( C )
A.正六边形 B.正五边形 C.正四边形 C.正三边形
6.如图 1,已知 AB ∥CD ∥ EF ,那么下列结论正确的是(A ) A
B
A. AD BC DF CE
B. BC DF CE AD
C
D
C. CD BC EF BE
D. CD AD EF AF
二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)
E
F
图1
【请将结果直线填入答题纸的相应位置】
用心 爱心 专心
1 7.分母有理化:. 5
5 5
8.方程 x 1 1的根是 x=2
.
1
9.如果关于
x
的方程
x2
x
k
0
(
k
为常数)有两个相等的实数根,那么
k
. 4
10.已知函数 f (x) 1 ,那么 f (3) —1/2
.
1 x
11.反比例函数 y 2 图像的两支分别在第 I x
III 象限.
12.将抛物线 y x2 向上平移一个单位后,得以新的抛物线,那么新的抛物线的表达式
是 y x2 .
13.如果从小明等 6 名学生中任选 1 名作为“世博会”志愿者,那么小明被选中的概率是
1/6
.
14.某商品的原价为 100 元,如果经过两次降价,且每次降价的百分率都是 m ,那么该商
品现在的价格是 100*(1—m)^2
元(结果用含 m 的代数式表
示).
A
15.如图 2,在 △ABC 中, AD 是边 BC 上的中线,设向量 ,AB a BC b
如果用向量 a , b 表示向量 AD ,那么 AD = a +( b /2).
B
D
C
16.在圆 O 中,弦 AB 的长为 6,它所对应的弦心距为 4,那么半
图2
径OA 5 .
A
17.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 互相平分,交点为
O .在不添加任何辅助线的前提下,要使四边形 ABCD 成为矩形,
还需添加一个条件,这个条件可以是 AC=BD 或者有个内角等 B
于 90 度 .
M
18.在 Rt△ABC 中, BAC 90°,AB 3,M 为边 BC 上的
点,联结 AM (如图 3 所示).如果将 △ABM 沿直线 AM 翻折
图3
C
后,点 B 恰好落在边 AC 的中点处,那么点 M 到 AC 的距离是
2.
三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分)
19.(本题满分 10 分)
计算: 2a 2 (a 1) a2 1 .
a 1
a2 2a 1
= —1
20.(本题满分 10 分)
y x 1,
①
解方程组:
2
x
2
xy
2
0.
②
(X=2 y=3 )
(x=-1 y=0)
用心 爱心 专心
21.(本题满分 10 分,每小题满分各 5 分)
如图 4,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC,AB DC 8,B 60°,BC 12 ,联结 AC .
(1)求 tan ACB 的值;
(2)若 M、N 分别是 AB、DC 的中点,联结 MN ,求线段 MN 的长.
(1) 二分之根号 3 (2)8
A
D
B
C
图4
22.(本题满分 10 分,第(1)小题满分 2 分,第(2)小题满分 3 分,第(3)小题满分 2 分,第(4)小题满分 3 分) 为了了解某校初中男生的身体素质状况,在该校六年级至九年级共四个年级的男生中,分别 抽取部分学生进行“引体向上”测试.所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示; 各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图 5 所示(其中六年级相关数据未标出).
次数 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
人数 1
1
2
2
3
4
2
2
2
0
1
表一
根据上述信息,回答下列问题(直接写出结果):
( 1) 六 年 级 的 被 测 试 人 数 占 所 有 被 测 试 人 数 的 百 分 率 是
20%
;
(2)在所有被测试者中,九年级的人数是 6 ;
(3)在所有被测试者中,“引体向上”次数不小于 6 的人数所
占的百分率是 35%
;
( 4) 在 所 有 被 测 试 者 的 “ 引 体 向 上 ” 次 数 中 , 众 数 是
5
.
八年级 九年级
25%
30%
七年级 25% 六年级
图5
23.(本题满分 12 分,每小题满分各 6 分)
已知线段 AC 与 BD 相交于点 O ,联结 AB、DC , E 为 OB A
D
的中点, F 为 OC 的中点,联结 EF (如图 6 所示).
O
(1)添加条件 A D , OEF OFE ,
求证: AB DC .
B
E
F C
证明:由已知条件得:2OE=2OC OB=OC 又 A D
图6
角 AOB=角 DOC 所以三角形 ABO 全等于三角形 DOC
所以 AB DC
(2)分别将“ A D ”记为①,“ OEF OFE ”记为②,“ AB DC ”记为③,
添加条件①、③,以②为结论构成命题 1,添加条件②、③,以①为结论构成命题 2.命题 1
用心 爱心 专心
是 真 命题,命题 2 是 假
命题(选择“真”或“假”填入空格).
24.(本题满分 12 分,每小题满分各 4 分)
在直角坐标平面内, O 为原点,点 A 的坐标为 (1,0) ,点 C 的坐标为 (0,4) ,直线 CM ∥ x
轴(如图 7 所示).点 B 与点 A 关于原点对称,直线 y x b ( b 为常数)经过点 B ,且
与直线 CM 相交于点 D ,联结 OD .
(1)求 b 的值和点 D 的坐标;
y
(2)设点 P 在 x 轴的正半轴上,若 △POD 是等腰
三角形,求点 P 的坐标;
4C
D
(3)在(2)的条件下,如果以 PD 为半径的圆 P 与 圆 O 外切,求圆 O 的半径.
解:(1)点 B(—1,0),代入得到 b=1 直线 BD: y=x+1 Y=4 代入 x=3 点 D(3,1)
3
2
1
B
A
1 O 1
(2)1、PO=OD=5 则 P(5,0)
2、PD=OD=5 则 PO=2*3=6 则点 P(6,0)
图7
3、PD=PO 设 P(x,0) D(3,4)
则由勾股定理 解得 x=25/6 则点 P(25/6,0)
(3)由 P,D 两点坐标可以算出:
1、PD=2 5 r=5—2 5
2、PD=5 r=1
3、PD=25/6 r=0
y xb
M
x
25.(本题满分 14 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 5 分)
已知 ABC 90°,AB 2,BC 3,AD ∥ BC,P 为线段 BD 上的动点,点 Q 在射线
AB 上,且满足 PQ AD (如图 8 所示). PC AB
(1)当 AD 2 ,且点 Q 与点 B 重合时(如图 9 所示),求线段 PC 的长;
(2)在图 8 中,联结 AP .当 AD 3 ,且点 Q 在线段 AB 上时,设点 B、Q 之间的距离 2
为 x , S△APQ S△PBC
y ,其中 S△APQ 表示 △APQ 的面积, S△PBC 表示 △PBC 的面积,求 y 关
于 x 的函数解析式,并写出函数定义域;
(3)当 AD AB ,且点 Q 在线段 AB 的延长线上时(如图 10 所示),求 QPC 的大小.
A
D
P
A
D
P
A
D
P
Q
B
C B(Q)
图8
图9
)
CB
C
图 10 Q
用心 爱心 专心
解 : ( 1) AD=2, 且 Q 点 与 B 点 重 合 , 根 据 题 意 , ∠ PBC=∠ PDA, 因 为 ∠ A=90。
PQ/PC=AD/AB=1,所以:△PQC 为等腰直角三角形,BC=3,所以:PC=3 /2,
(2)如图:添加辅助线,根据题意,两个三角形的面积可以分别表示成 S1,S2, 高分别
是 H,h,
则:S1=(2-x)H/2=(2*3/2)/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2
S2=3*h/2 因为两 S1/S2=y,消去 H,h,得:
2
Y=-(1/4)*x+(1/2),
定义域:当点 P 运动到与 D 点重合时,X 的取值就是最大值,当 PC 垂直 BD 时,这时 X=0,
连接 DC,作 QD 垂直 DC,由已知条件得:B、Q、D、C 四点共圆,则由圆周角定理可以推知:
三角形 QDC 相似于三角形 ABD
QD/DC=AD/AB=3/4,令 QD=3t,DC=4t,则:QC=5t,由勾股定理得:
直角三角形 AQD 中:(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2
直角三角形 QBC 中:3^2+x^2=(5t)^2
整理得:64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0
得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:
Y=-(1/4)*x+1/2 的定义域为[0,7/8]
(3)因为:PQ/PC=AD/AB,假设 PQ 不垂直 PC,则可以作一条直线 PQ′垂直于 PC,与 AB 交于 Q
′点,
则:B,Q′,P,C 四点共圆,由圆周角定理,以及相似三角形的性质得:
PQ′/PC=AD/AB,
又由于 PQ/PC=AD/AB 所以,点 Q′与点 Q 重合,所以角∠QPC=90。
A
D
P
A
D
P
A
D
P
Q
B
C B(Q)
图8
)
图9
CB
C
图 10 Q
用心 爱心 专心