高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方法
- 格式:doc
- 大小:173.39 KB
- 文档页数:7
函数的定义域与值域的常用方法
(一)求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0;
2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;
3、求函数解析式的一般方法有:
(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;
(3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元法解之;
(4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;
(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;
4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域;
5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;
(三)求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示;
2、在函数f:A→B中,集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C是B的子集;若C =B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;
4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;
5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;
6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结;
(四)求函数的最值
1、设函数y=f(x)定义域为A,则当x∈A时总有f(x)≤f(x o)=M,则称当x=x o时f(x)取最大值M;当x∈A时总有f(x)≥f(x1)=N,则称当x=x1时f(x)取最小值N;
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题;
3、闭区间的连续函数必有最值。
【典型例题】
考点一:求函数解析式
1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1. 已知函数y=f(x)满足xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。
解:由4x2-9y2=36可解得:
3
3
3
x
y
x
⎧
>
⎪
⎪
=±=⎨
⎪
<-
⎪⎩。
说明:
这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成
y=
的形式。
2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值。
例2. 已知在一定条件下,某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m时,水流量为340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
解:设
k
y
x
=
,代入x,y的值可求得反比例系数k=780m3/s,故所求函数关系式为
780
,0
y x
x
=>。
3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。
例3. 已知
2
2
11
()
x x x
f
x x
+++
=
,试求
()
f x。
解:设
1
x
t
x
+
=
,则
1
1
x
t
=
-,代入条件式可得:2
()1
f t t t
=-+,t≠1。
故得:2
()1,1
f x x x x
=-+≠。
说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。
4、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联
立求解。
例4. (1)已知21
()2()345
f x f x x x +=++,试求()f x ;
(2)已知
2
()2()345f x f x x x +-=++,试求()f x ; 解:(1)由条件式,以1x 代x ,则得2111
()2()345f f x x x x +=++,与条件式联立,消去
1f x ⎛⎫
⎪
⎝⎭,则得:
()2
22845333x f x x x x =
+--+。
(2)由条件式,以-x 代x 则得:2
()2()345f x f x x x -+=-+,与条件式联立,消去()f x -,则得:
()25
43f x x x =-+。
说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出。
5、实际问题中的函数解析式:这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系。
例5. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点B 出发,顺次经过C 、D 再到A 停止。
设x 表示P 行驶的路程,y 表示PA 的长,求y 关于x 的函数。
解:由题意知:当x ∈[0,1]时:y =x ;
当x ∈(1,2)时:
2
1y x =+ 当x ∈(2,3)时:()
2
31
y x =
-+
故综上所述,有
[]
()22
,0,11,(1,2]31,(2,3]x x y x x x x ⎧∈=+∈-+∈
考点二:求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分析变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
例6.
求
34
x y x +=-的定义域。
解:由题意知:204x x +>⎧⎪⎨
≠⎪⎩
,从而解得:x>-2且x ≠±4.故所求定义域为:
{x|x>-2且x ≠±4}。
2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。
例7. 已知函数由下表给出,求其定义域
3、求与复合函数有关的定义域:由外函数f (u )的定义域可以确定内函数g
(x )的范围,从而解得x ∈I
1,又由g (x )定义域可以解得x ∈I 2.则I 1∩I 2即为该复合函数的定义域。
也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
()()(())f x g x y f g x =
=
=例8
已知求的定义域.
解:
()3()33f x x g x =≥⇒≥⇒
≥*
由
又由于x 2-4x +3>0 ** 联立*、**两式可解得:
1313x x x x x ≤<<≤⎧⎪
≤<<≤⎨⎪⎪⎩⎭
或
故所求定义域为或
例9. 若函数f (2x )的定义域是[-1,1],求f (log 2x )的定义域。
解:由f (2x )的定义域是[-1,1]可知:2-
1≤2x ≤2,所以f (x )的定义域为[2-
1,2],故log 2x ∈[2
-1
,2]4x ≤≤,故定义域为⎤
⎦。
4、求解含参数的函数的定义域:一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同。
例10.
求函数()f x =
解:若0a =,则x ∈R ; 若0a >,则1
x a ≥-; 若0a <,则1x a
≤-; 故所求函数的定义域:
当0a =时为R ,当0a >时为1|x x a ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭,当0a <时为1|x x a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭。
说明:此处求定义域是对参变量a 进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,必须根据a 的不同取值范围分别论述。
考点三:求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
1、分离变量法
例11. 求函数
23
1x y x +=
+的值域。
解:()2112312111x x y x x x +++===++++,因为10
1x ≠+,故y≠2,所以值域为{y|y≠2}。
说明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量x ,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再行求解。
2、配方法
例12. 求函数y =2x 2+4x 的值域。
解:y =2x 2+4x =2(x 2+2x +1)-2=2(x +1)2-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。
说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域。
类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解,如y =af 2(x )+bf (x )+c 。
3、判别式法
例13. 求函数22
23
456
x x y x x ++=++的值域。
解:22
23456x x y x x ++=++可变形为:(4y -1)x 2+(5y -2)x +6y -3=0,由Δ≥0可解得:
26632663,7171y ⎡⎤-+∈⎢⎥
⎣⎦。
说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。
要注意两点:第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了定义域,那么一般情况下就不能用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故Δ≥0。
4、单调性法 例14. 求函数2
3y x
-=
+,x ∈[4,5]的值域。
解:由于函数
23y x -=
+为增函数,故当x =4时,y min =25;当x =5时,y max =513,所以函数的值域为
513,25⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。
5、换元法
例15. 求函数241y x x =+-的值域。
解:令10t x =-≥,则y =-2t 2+4t +2=-(t -1)2+4,t≥0,故所求值域为{y|y ≤4}。
6、分段函数的值域:应为各区间段上值域的并集。
例16. 求函数2
,[1,2]
,(2,3]21,(3,4]x x y x x x x ∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩
的值域。
解:当x ∈[1,2]时,y ∈[1,2];当x ∈(2,3]时,y ∈(4,9];当x ∈(3,4]时,y ∈(5,7]。
综上所述,y ∈[1,2]∪(3,9]。
7、图像法:
例17设f (x )=2
,2,
,<1,
x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥若f (g (x ))的值域是[0,+∞),则函数y =g (x )的值域是 ( )
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)
B.(-∞,-1]∪[0,+∞)
C.[0,+∞)
D.[1,+∞)
解析:如图为f (x )的图象,由图象知f (x )的值域为(-1,+∞),
若f (g (x ))的值域是[0,+∞),只需g (x )∈(-∞,-1]∪[0,+∞). 故选B.
8、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。
例18求函数1212x
x
y -=+的值域。
解:由1212x x
y -=+解得121x
y y -=+,
∵20x
>,∴
101y
y
->+,∴11y -<< ∴函数1212x
x
y -=+的值域为(1,1)y ∈-。
9、有界性求法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。
例19:求函数221
1
x y x -=+的值域。
解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为R ,对函数进行变形可得2
(1)(1)y x y -=-+,
∵1y ≠,∴2
1
1
y x y +=-
-(x R ∈,1y ≠), ∴1
01
y y +-
≥-,∴11y -≤<, ∴函数221
1
x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<。