2020年高一暑假数学补习题 (2)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (22)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A. 一定平行B. 一定异面C. 相交或异面D. 一定相交2.若方程(2m2+m−3)x+(m2−m)y−4m+1=0表示一条直线，则实数m满足()A. m≠0B. m≠−32C. m≠1D. m≠1，m≠−32，m≠03.已知直线a，b都在平面α外，则下列推断错误的是()A. a//b，b//α⇒a//αB. a⊥b，b⊥α⇒a//αC. a//α，b//α⇒a//bD. a⊥α，b⊥α⇒a//b4.若球O的表面积值为4π，则它的体积V=()A. 4πB. 43π C. 163π D. 34π5.若三条直线l1:ax−y+1=0，l2:x+y=0，l3:x−y=1交于一点，则a=()A. 1B. −1C. 3D. −36.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 非钝角三角形7.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，A1B1，CD的中点，则平面MNP与正方形BCC1B1相交形成的线段的长度为()A. 1B. √2C. 2D. 2√28.在△ABC中，已知acosB=bcosA，那么△ABC一定是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形9.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AA1=4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B所成的角为θ，则tanθ的最大值为()A. 43B. 53C. 2D. 25910.在△ABC中，A=π3，BC=3,AB=√6，则角C等于()A. π4或3π4B. 3π4C. π4D. π611.已知直线是圆C:x2+y2−4x−2y+1=0的对称轴，过点A(−4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=()．A. 2B. 4√2C. 6D. 2√1012.已知a,b,c是△ABC的三边，其面积为14(a2+b2−c2)，则角C=()A. 2π3B. π6C. π4D. π3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知圆柱及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的体积为__________。

（4） （3） （1） 俯视图 俯视图 俯视图侧视图 侧视图侧视图 侧视图正视图 正视图 正视图 正视图（2） 俯视图·xx 高级中学2020年暑假数学作业（必修2）一、选择题：1．若直线l 经过原点和点A （－2，－2），则它的斜率为（ B ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．02．经过点)3,4(-P ，倾斜角为045的直线方程是（ D ）A ．07=++y xB ．07=-+y xC ．07=--y xD ．07=+-y x3． 如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ C ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台4．圆的方程为02561022=++-+y x y x ，则圆心坐标是（ A ）A ．)3,5(-B ．)3,5(C ．)3,5(-D ．)3,5(--5．下列命题中，错误的命题是（ B ）A ．平行于同一平面的两个平面平行B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交。

D ．一条直线与两个平行平面所成的角相等6．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是（ C ）A ． 3B ．32C ． 34D ． 387．点)0,0(O 到直线052=-+y x 的距离为（ D ）A ．1B ．3C ．2D ．58．直线方程3x+2y-6=0的斜率为k, 在y 轴上的截距为b, 则有( B )A ．3,32=-=b k B ．3,23=-=b k C ．3,32-=-=b k D ． 3,23-=-=b k 9．三角形ABC 的底边B C =2, 底边上的高AD = 2, ，取底边为x 轴，则直观图A ′B ′C ′的面积为（ A ）A ．22 B ．2 C ．22 D ．24 一般情况下，一个三角形取底边为x 轴，直观图的面积为原面积的2/410．在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ． 90°11．半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ D ）A ．322RB ．334R πC ．393RD ． 3398R12．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ A ）A ． 03=--y xB ． 03=+-y xC ．03=++y xD ． 03=-+y x二、填空题13．已知点)1,2(A ，)1,5(-B ，则=AB 根号1314．如图，一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图是边长为2的正方形，则其体积是 4又根号3/315．已知圆心为C )4,3(-，半径为5的圆的标准方程是 （x+3）^2+（y-4）^2=5 。

2020年高一暑假数学补习题 (29)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线2(m−1)x−3y+1=0与直线mx+(m+1)y−3=0平行，则m=()A. 12B. −2 C. −12或3 D. 12或−22.在△ABC中，∠A=60°，a=√6，b=4，满足条件的△ABC()A. 无解B. 有解C. 有两解D. 不能确定3.若点A(−1,3)关于直线x−y=0的对称点为B，则点B到直线l：3x+y−3=0的距离为()A. 3√1010B. √52C. √102D. √54.已知b<2a，3d<c，则下列不等式一定成立的是()A. 2a−c>b−3dB. 2ac>3bdC. 2a+c>b+3dD. 2a+3d>b+c5.若实数x，y满足约束条件{x−3y+4≥03x−y−4≤0x+y≥0，则z=3x−2y的最大值是()A. 2B. 1C. 5D. 76.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=a2+10a1，a5=9，则a1=()A. 2B. 73C. 19D. 37.球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是()A. 1：1B. 2：1C. 3：2D. 4：38.等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a3+a9=()A. 8B. 16C. 24D. 329.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1(底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD)中，点P是正方形A1B1C1D1内一点，则三棱锥P−BCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为()A. 32B. 1C. 2D. 5410.若不等式ax2−2ax+6>0的解集为{x|−1<x<3}，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 12D. −1211.若正实数x，y满足1x +4y=1，且x+y4≥a2−3a恒成立，则实数a的取值范围为()A. [−1,4]B. (−1,4)C. [−4,1]D. (−4,1)12.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E、F分别是BC1、BD的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF平行的截面个数为()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足S n=2n2+n−1，则通项a n=______ ．=________。

【第2讲】 因式分解【基础知识回顾】知识点1 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用． 知识点2 因式分解方法因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．知识点3 常用的乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方和公式：222()2a b a ab b +=++； （3）完全平方差公式：222()2a b a ab b -=-+．（4）2()a b c ++=2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++.（5）33a b +=22()()a b a ab b +-+(立方和公式) （6）33a b -= 22()()a b a ab b -++(立方差公式)【合作探究】探究一 公式法【例1】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -【分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -． 【解析】(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a a b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+归纳总结：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n nab a b =； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【练习1】把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2232(2)y x x y -+【解析】（1）34xy x +=22()()x x y y xy x +-+（2）33n n x x y +-=22()(),n x x y x xy y -++（3）2232(2)y x x y -+=22432(1)(4321)y x x x x x --+++探究二 提取公因式法与分组分解法【例2-1】把22x y ax ay -++分解因式． 【分析】：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.【解析】：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+【例2-2】分解因式：（1）()()255a b a b -+-； （2）32933x x x +++．【解析】（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++． 2(3)3(3)x x x =+++=2(3)(3)x x ++【例2-3】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．【解析】（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+- =222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +---- =(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例2-4】把2222428x xy y z ++-分解因式．【分析】：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．【解析】：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-【练习2】分解因式（1）27()5()2a b a b +-+-(2)22(67)25x x -- 【解析】（1）27()5()2a b a b +-+-=(772)(1)a b a b +++- (2) 22(67)25x x --=22[(67)5][(67)5]x x x x --⋅-+=2(21)(35)(675)x x x x +--+ 探究三 十字相乘法【例3-1】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++ (3) 226x xy y +-【解析】(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x ∴++=++(3) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-归纳总结：这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例3-2】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-3241-⨯1 254y y -⨯【解析】(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-归纳总结：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．【练习3-1】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x -- (3) 222()8()12x x x x +-++【解析】(1)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ (3) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-探究四 拆、添项法【例4】分解因式3234x x -+【分析】：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．【解析】 323234(1)(33)x x x x -+=+--22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-归纳总结：将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．【课后作业】1．把下列各式分解因式： (1)327a +(2) 38m -(3)3278x -+(4) 3311864p q --(5)3318125x y -(6) 3331121627x y c+2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2)33n n x x y +-(3)2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6)2()11()28a b a b -+-+ 4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n aa b a b +++- (3) 22(2)9x x --(4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3)251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +--(7)66321x y x --+ (8)2(1)()x x y xy x +-+【参考答案】1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．。

高一数学暑假复习参考答案1． 101x +； 2． )25,1[； 3．0=x ； 4．2； 5． 2-； 6． 4=x ； 7．8．23； 9． 8-； 10．257-； 11． ︒50； 12． 23C π=；13． 1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，； 14． -10≤≤a ； 15．23π；16． {}2,x x k k Z π=∈； 17． 4； 18． [,2]2π；19．等腰三角形； 20．1(,2)221． (2)(3) ； 22． C ； 23．B ； 24．B ； 25． A ； 26．C ； 27． C ； 28．解：)(,12)(1R x x fx ∈-=-；由已知7412-=-⇒x x0)22)(32(=+-⇒x x 3log 0322=⇒=-⇒x x29．解：(1)因为幂函数过点(2,)2，2a ∴=12a ∴=-12()(0)y f x xx -∴==>(2)(())y f g x ==R240mx mx ∴-+>恒成立 当0m =时，满足当0m ≠时，20160m m m >⎧⎨∆=-<⎩ 016m ⇒<<综上，016m ≤<30．解：(1)()y f x =的定义域为R 关于原点中心对称若()y f x =为奇函数，则(0)0f = 1a ∴=， 此时，2()121x f x =-+ 2222()111()211221x xx x f x f x -⋅∴-=-=-=-+=-+++ 1a ≠当时，2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，(1)(1)f f ∴-≠1a ∴=当时，(x)f 是奇函数；1a ∴≠当时，(x)f 是非奇非偶函数；(2)任取12,x x R ∈，且12x x <，则12()()f x f x -12222121x x a a =--+-- 121212222(22)2121(21)(21)x x x x x x -=-+=++++12x x <12022x x ∴<<，12()()0f x f x ∴-<所以函数()f x 在R 上单调递增 ． 31．(1)解 因为3sin 5α=，2παπ<<，所以，4cos 5α=-，3tan 4α=-所以，22322tan 244tan 271tan 314ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)解 因为3sin 5α=，2παπ<<，所以，4cos 5α=-，42ππα<<．所以，tan32α=32．解：(1)由已知23421sin 2132⨯⨯⨯==b A bc ，得2=b ． 由余弦定理得1221422164cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A b c b a ， ∴32=a ．(2)由正弦定理得B B R A A R cos sin 2cos sin 2=，B A 2sin 2sin =∴， ∴B A 22=或︒=+18022B A ，∴B A =或︒=+90B A ，∴ABC ∆为直角三角形或等腰三角形．33．解：(1)如图，在∆ABC 中，AB=12，AC=2×10=20，∠BAC=120° 由余弦定理得：222222cos 12012212202784BC AC AB AB AC BAC=+-⨯⨯⨯∠⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭=∴28BC =(2)又在∆ABC 中，由正弦定理得：sin sin AC BCB A=故sin sin AC A B BC ==∴38.21B≈5038.2111.7911.8-=≈答：缉私艇航行了28海里追上走私艇，航行方向为北偏西约11.8 34．解：(1)由已知1(,4)2M =，所以21log 2x -<<222231()log log (log )2424x x f x x ==-- 所以，函数f (x )在1(,2单调递减，在4)单调递增(2)因为11()6,,(4)024f f f ==-=所以，函数f (x )的值域为1[,6)4-35．解：(1) 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫⎝⎛-=--=B C B A (2)由正弦定理知：sin410c π=710=c ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=36．(1)：sin 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈ (sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x xf x x x x x-==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=--得：)(x f 的最小正周期为22T ππ== (2)函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈37．解：(1)02sin 22sin 2112sin )(2=--=--x ax x a x f02sin =∴x 或a x -=2sin因为原方程在)2,0(π内有两个相异的实数根，sin 20x ≠，sin 2a x =-所以10<-<a (1,0)a ∴∈-(2)02sin 22sin 211)(2≥+-=x ax x f 即022sin 2sin 2≤--x a x 设x t 2sin =则上述不等式可化为022≤--at t 在]1,1[-∈t 恒成立设2)(2--=at t t g则42)2(2)(222a a t at t t g ---=--=当0≥a 时，10,1,01)1()]([max ≤≤∴≤∴≤-=-=a a a g t g当0<a 时，01,1,01)1()]([max <≤-∴-≥∴≤--==a a a g t g 综上，实数a 的取值范围是]1,1[-．38.解：由已知及正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+ 又()A B C π=-+，故sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin cos cos sin sin cos sin sin B C B C B C C B +=+则sin cos ,tan 1,4B B B B π===得则（2）11sin 2224ABC S ac B ac ac ∆==⨯=又由余弦定理得：2242cos,24,4a c ac ac π=+-≤则ac a c ≤=等号时成立)，故1ABC ∆+39.,0 1.1BP t t CP t =≤≤=-解:（1）设则145,tan(45),1tDAQ DQ tθθ︒︒-∠=-=-=+ - 121.11t tCQ t t-=-=++ 222221(1)()11t t PQ CP CQ t t t+∴=+=-+=++2-211 2.11t t l CP PQ QC t t t +=++=-++=++2=定值-11(2)1221ABP ADQ ABCD t tS S S S t∆∆-=--=--⋅+正方形 当 122(1)2221t t =-++≤-+当且仅当t=2-1时取等号.22-探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少()为平方百米 3sin()2A C +=, 即3sin 2B =, 13sin 3.24ABC S ac B ∆== 3.ac ∴= 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+--若1cos 2B =,则217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+=, 若1cos 2B =-,则217()23(1).2a c =+-⋅-10a c ∴+=,经检验,不成立(舍)故4a c +=41.(1)由题意可得2=A π22=T 即π4=T ,21=ω )21cos(2)(ϕ+=x x f ,1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ,得3πϕ-=函数)321cos(2)(π-=x x f(2)由于1cos 3θ=且θ为锐角,所以322sin =θ DP45θ)2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=42.(1)在POC ∆中,32π=∠OCP ,1,2==OC OP 由32cos2222πPC OC PC OC OP ⋅-+= 得032=-+PC PC ,解得2131+-=PC . (2)∵CP ∥OB ,∴θπ-=∠=∠3POB CPO ,在△POC 中,由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠,即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC . 解法一:记△POC 的面积为)(θS ,则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=, 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时,)(θS 取得最大值为33. 解法二:212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ,又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时,)(θS 取得最大值为33.。

2020年高一数学暑假补习题 (12)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在△ABC 中，若，且，则△ABC 是( )A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形2. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,1),(x >0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 2π3B. π6 C. π4D. π3 3. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B =C,2b =√3a ，则cosA =( )A. √32B. 13C. √22D. 124. 在空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 如图所示，在△ABC 中，CE 是边AB 的中线，O 是CE 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗等于( )A. 12a ⃗ +12b ⃗ B. 14a ⃗ +12b ⃗ C. 14a ⃗ +14b ⃗ D. 12a⃗ +14b ⃗6. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 107. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为，且|a ⃗ |=3,|b ⃗ |=4，则a ⃗ ·(a ⃗ +b ⃗ )等于( ) A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 8. 设i 是虚数单位，复数1+i i=( )A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i9. 若复数z 满足(i −1)z =4−2i(i 为虚数单位)，则z −=( ) A. −3+i B. 3+i C. −3−i D. 3−i10. 已知复数z =2−i ，则z ⋅z −的值为( )A. 5B. √5C. 3D. √3 11. 如图是水平放置的△ABC 按“斜二测画法”得到的直观图，其中B′O′=C′O′=√6，A′O′=√34，那么△ABC 的面积是( )A. √2B. √3C. 3√22D. 3√212. 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中与O′C′对应的线段OC 的长度是( ) A. 1 B. √2 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，共20.0分） 13. 将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为______． 14. 已知|z|=1，则|z −2−3i|的最大值为________． 15. 计算：(1−i)(2+i)= ______ ．16. 向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−1,0)，若(a ⃗ +λb ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数λ等于______ ．17. 如图，在▱ABCD 中，∠DAB =60°，AB =2，E 是DC 中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32，则AD = ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 18. 计算：(1)(2−i)(2i +4)(2)1+ii(3)i 1−i (4)(1−i)219. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ⃗⃗⃗ =(a −b,c),n ⃗ =(a −c,a +b)，且m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 共线，求2sin(π+B)−4cos(−B)的值．20.△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2−c2=2b，且sinB=4cosAsinC，求b．⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为21.已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=2a+6i，z2=−1+i，其中，设ABz．(1)求复数z；x上，求a的值．(2)若复数z对应的点P在直线y=1222.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是，求圆台O′O的母线长．23.如图所示的ΔA′B′C′是用斜二测画法画水平放置的ΔABC的所得的直观图，已知OA′=B′C′=3cm，OB′=2cm，画出原三角形的图形，并求其面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查的是正弦定理及其应用，考查两角和的正弦函数公式，属于基础题． 结合正弦定理和两角和的正弦函数公式对条件进行转化，即可得到A =B ，，即可得出结论．【解答】 解：由，及正弦定理得，即tanA =tanB ，又A ，B 为三角形的内角，则A =B ， 又， 由正弦定理得，即，即， 又sinC ≠0， 所以sinC =1， 由C 为三角形内角，得，所以△ABC 是等腰直角三角形， 故选D ．2.答案：C解析：解：因BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x, 1)，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(1−x)2+1=5， 即x 2−2x −3=0，即(x −3)(x +1)=0，解得x =3或x =−1(舍)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√22， ∴θ=π4故选C ．根据向量的坐标运算和向量的模求出x 的值，再根据向量的夹角公式计算即可． 本题考查了向量的模和向量的夹角公式，属于基础题．3.答案：B解析：解：在△ABC 中，∵B =C,2b =√3a ，∴c =b ， 则cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+b 2−(√3b)22b 2=13．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.答案：C解析：解析：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案为C5.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量基本定理及线性运算，属中档题．由平面向量基本定理及线性运算可得：A0⃗⃗⃗⃗⃗ =12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解． 【解答】解：由题意可得：AE ⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由图可知：A0⃗⃗⃗⃗⃗ =12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，所以A0⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +12b ⃗ ， 故选B ． 6.答案：A解析：解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9． 故选：A ．直接利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力． 7.答案：B解析：【分析】本题考查向量夹角，向量的模及数量积，属于基础题． 直接代入公式求解即可． 【解答】 解：因为a ⃗ ·(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ ·a ⃗ +a ⃗ ·b ⃗=9+3×4×12=15，8.答案：D解析：【分析】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【解答】解：1+ii=(1+i)·(−i)=1−i．故选D.9.答案：C解析：解：由(i−1)z=4−2i得z=4−2ii−1=(4−2i)(i+1)(i−1)(i+1)=6−2i−2=−3+i，则z−=−3−i，故选：C．根据复数的运算法则先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．本题主要考查复数的运算，结合复数的运算法则和共轭复数的定义是解决本题的关键．10.答案：A解析：【分析】由z求出z−，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．【解答】解：由z=2−i，得z⋅z−=(2−i)(2+i)=4−i2=5．故选：A．11.答案：C解析：【分析】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基础题．B′O′=C′O′=√6，A′O′=√34，直接计算△ABC即可．【解答】解：因为B′O′=C′O′=√6，A′O′=√34，所以△ABC的面积为12×2√6×√32=3√22．故选C．12.答案：D解析：【分析】本题考查直观图和原图形之间的关系，斜二测画法的规则，属于基础题．由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，在y轴上，其长度变为原来的2倍．【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′//x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2√2，所以OC=3．故选D．13.答案：√3π解析：【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，由√3−ℎ√3=r2，解得ℎ=√3−√32r可得S侧=2πrℎ=2πr(√3−√32r)，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了旋转体的侧面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，则√3−ℎ3=r2，解得ℎ=√3−√32r故S侧=2πrℎ=2πr(√3−√32r)=√3π(2−r)≤√3π(r+2−r2)2=√3π，当r=1时，S侧的最大值为√3π.故答案为：√3π．14.答案：√13+1解析：【分析】本题考查复数的模，利用复数模的运算性质|z−2−3i|=|z−(2+3i)|≤|z|+|2+3i|即可得到答案．【解答】解：∵|z|=1，∴|z −2−3i|=|z −(2+3i)|≤|z|+|2+3i|=1+√13， ∴|z −2−3i|的最大值为√13+1． 故答案为√13+1．15.答案：3−i解析：解：(1−i)(2+i)=1×2−2i +i −i 2=3−i ， 故答案为：3−i直接按多项式乘法运算法则展开，化简即可． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 16.答案：5解析：解：∵a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−1,0)，∴a ⃗ +λb ⃗ =(1,2)+λ(−1,0)=(1−λ,2)．∵(a ⃗ +λb ⃗ )⊥a ⃗ ， ∴1−λ+4=0， 解得λ=5． 故答案为：5．利用向量的垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量的垂直与数量积的关系，属于基础题． 17.答案：1解析：解：设|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x >0． ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴32=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 化为2x 2−x −1=0， ∵x >0，解得x =1． 故答案为：1．设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x >0.由向量的三角形法则可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32，利用数量积的运算性质展开即可得出． 本题考查了向量的三角形法则、数量积的运算性质，属于基础题．18.答案：解：(1)(2−i)(2i +4)=4i +8+2−4i =10； (2)1+i i =(1+i)(−i)−i 2=1−i ；(3)i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i ； (4)(1−i)2=1−2i +i 2=−2i ．解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个式子的值．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．19.答案：解：∵m⃗⃗⃗ 与n⃗共线，∴c(a−c)−(a−b)(a+b)=0，化为a2+c2−b2=ac，由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac =12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．∴2sin(π+B)−4cos(−B)=−2sinB−4cosB=−2×√32−4×12=−2−√3．解析：利用向量共线定理、余弦定理即可得出．本题考查了向量共线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可得：b=4(b2+c2−a2)2bc×c，化为b2=2(b2+c2−a2)，∵a2−c2=2b，∴b2=2(b2−2b)，化为b2−4b=0，∵b>0，解得b=4．解析：由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可化为b2=2(b2+c2−a2)，把a2−c2=2b 代入即可得出．本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．21.答案：解：(1)∵z1=2a+6i，z2=−1+i，∴z=z2−z1=−1−2a−5i；(2)∵复数z对应的点P在直线y=12x上，∴−5=12(−1−2a)，∴a=4.5．解析：(1)利用复数的减法，求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y=12x上，可得−5=12(−1−2a)，即可求a的值．本题考查复数的运算及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．22.答案：解析：设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，可设截得的圆台上、下底面半径分别为r，4r.如图所示，过轴SO作截面，则ΔSO′A′∼ΔSOA，∵SA′=3cm,SA′SA =O′A′OA，∴33+l=r4r=14，解得l=9.即圆台的母线长为．23.答案：解析：本题考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属基础题．关键是画法规则以及原图形与直观图面积间的关系．第11页，共11页。

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2020部编版⾼⼀年级下学期数学暑假作业答案11.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于()A.{x|x≥3}B.{x|x≥2}C.{x|2≤x<3}D.{x|x≥4}2.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩B=()A.{3,5}B.{3,6}C.{3,7}D.{3,9}3.已知集合A={x|x>0}，B={x|-1≤x≤2}，则A∪B=()A.{x|x≥-1}B.{x|x≤2}C.{x|04.满⾜M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是()A.1B.2C.3D.45.集合A={0,2，a}，B={1，a2}.若A∪B={0,1,2,4,16}，则a的值为()A.0B.1C.2D.46.设S={x|2x+1>0}，T={x|3x-5A.?B.{x|x}D.{x|-7.50名学⽣参加甲、⼄两项体育活动，每⼈⾄少参加了⼀项，参加甲项的学⽣有30名，参加⼄项的学⽣有25名，则仅参加了⼀项活动的学⽣⼈数为________.8.满⾜{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是________.9.已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是________.10.已知集合A={-4,2a-1，a2}，B={a-5,1-a,9}，若A∩B={9}，求a的值.11.已知集合A={1,3,5}，B={1,2，x2-1}，若A∪B={1,2,3,5}，求x及A∩B.12.已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x5}，若A∩B=?，求a的取值范围.13.(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究⼩组，每名同学⾄多参加两个⼩组.已知参加数学、物理、化学⼩组的⼈数分别为26,15,13，同时参加数学和物理⼩组的有6⼈，同时参加物理和化学⼩组的有4⼈，则同时参加数学和化学⼩组的有多少⼈?(集合解析及答案)1.【解析】B={x|x≥3}.画数轴(如下图所⽰)可知选B【答案】B2.【解析】A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B={3,9}.故选D.【答案】D3.【解析】集合A、B⽤数轴表⽰如图，A∪B={x|x≥-1}.故选A.【答案】A4.【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}.故选B.【答案】B5.【解析】∵A∪B={0,1,2，a，a2}，⼜A∪B={0,1,2,4,16}，∴{a，a2}={4,16}，∴a=4，故选D.【答案】D13136.【解析】S={x|2x+1>0}={x|x>-2，T={x|3x-5【答案】D7.【解析】设两项都参加的有x⼈，则只参加甲项的有(30-x)⼈，只参加⼄项的有(25-x)⼈.(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.∴只参加甲项的有25⼈，只参加⼄项的有20⼈，∴仅参加⼀项的有45⼈.【答案】458.【解析】由于{1,3}∪A={1,3,5}，则A?{1,3,5}，且A中⾄少有⼀个元素为5，从⽽A中其余元素可以是集合{1,3}的⼦集的元素，⽽{1,3}有4个⼦集，因此满⾜条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.【答案】49.【解析】A=(-∞，1]，B=[a，+∞)，要使A∪B=R，只需a≤1.【答案】a≤110.【解析】∵A∩B={9}，∴9∈A，∴2a-1=9或a2=9，∴a=5或a=±3.当a=5时，A={-4,9,25}，B={0，-4,9}.此时A∩B={-4,9}≠{9}.故a=5舍去.当a=3时，B={-2，-2,9}，不符合要求，舍去.经检验可知a=-3符合题意.11.【解析】由A∪B={1,2,3,5}，B={1,2，x2-1}得x2-1=3或x2-1=5.若x2-1=3则x=±2;若x2-1=5，则x=±;综上，x=±2或±当x=±2时，B={1,2,3}，此时A∩B={1,3};当x=±B={1,2,5}，此时A∩B={1,5}.12.【解析】由A∩B=?，(1)若A=?，有2a>a+3，∴a>3.(2)若A≠?，解得-≤a≤2.21综上所述，a的取值范围是{a|-或a>3}.2113.【解析】设单独参加数学的同学为x⼈，参加数学化学的为y⼈，单独参加化学的为z⼈.依题意x+y+6=26，y+4+z=13，x+y+z=21，解得x=12，y=8，z=1.∴同时参加数学化学的同学有8⼈，答：同时参加数学和化学⼩组的有8⼈2020部编版⾼⼀年级下学期数学暑假作业答案2⼀、选择题(在每⼩题给出的四个选项中只有⼀项是符合题⽬要求的)1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知集合M={则M中元素的个数是()A.10B.9C.8D.73.已知集合，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.4.下列各组两个集合和表⽰同⼀集合的是()A.B.C.D.5.设全集U=R,集合，则图中阴影部分表⽰的集合为()A.{B.{UABC.{D.{6.设集合则下列关系中成⽴的是()A.PQB.QPC.P=QD.PQ()A.B.C.D.8.设S是⾄少含有两个元素的集合，在S上定义了⼀个⼆元运算“_”(即对任意的，对于有序元素对(a，b)，在S中有确定的元素a_b与之对应).若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成⽴的是()A.B.C.D.⼆、填空题9.已知集合则实数的取值范围是10.若全集，则集合的真⼦集共有个11.已知集合，，若，则实数的取值范围为12.设P是⼀个数集，且⾄少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P(除数b≠0),则称P 是⼀个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b|a,b∈Q}也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集QM,则数集M必为数域;③数域必为⽆限集;④存在⽆穷多个数域.其中正确的命题的序号是?三、解答题(应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)13.含有三个实数的集合可表⽰为{a,，也可表⽰为{求的值.14.已知x∈R，集合A={｝，B={｝，若A∩B=B，求实数m的取值范围.15.设全集，已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.(1)求;(2)若且,求实数的取值范围.(1)当时，求(RB)A;(2)若,求实数的取值范围。

高一年级第二学期数学暑期练习一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.在ABC ∆中，2,30,45,BC A B AC ==== ．2.在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的 面积大于等于14的概率是_________. 3．在等差数列}{n a 中，当292=+a a 时，它的前10项和10S = ． 4.右边的程序语句运行后，输出的S 为 ．5．在直角三角形ABC 中，C 为直角，AC=2, 则AB AC ⋅= ． 6．若△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，a c 2=，则B cos 的值为.7．在△ABC 中,已知a-b=c (cos B-cos A ),则△ABC 的形状为 .8．不等式042<++ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ． 9．设b a b x a 与若),1,2(),3,(-==的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ． 10．已知数列{a n }中, 21,212,2n nn n m a n m+=-⎧=⎨=⎩, m 为正整数, 前n 项和为n S ，则S 9= .11．在△ABC 中，A =60,b =1,3ABC 外接圆的半径为 . 12．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，则=m 。

（用θ表示）13．函数()x f 由右表定义：若()*221,,5,1N n a f a a a n n ∈===+，则2015a 的值为_________ __．14. 若正实数y x ,满足1=+y x ,且yx t 412-+=. 则当t 取最大值时x 的值 为 .x 24f(x )42二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15、（本小题满分16分）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求前20项的和20S 。

高一数学暑假巩固训练二一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b2．在数列{}n a 中，若1n na a +为定值，且42a =，则26a a ⋅等于（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．323．若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．54．设α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝10103，则α＋β的值为( )A ．34πB ．54π C ．4π D ．434ππ或5．若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则2a b + 与a b - 的夹角等于（ ）A ．4π- B ．4π C ．6π D ．34π6．已知cos α＝13，α∈(ππ2,23)，则cos α2等于( )A ．63 B ．－63 C ．33 D ．－337．已知数列{}n a 是等差数列，满足2812a a +=，则5a =（ ） A ．7B ．6C ．5D ．48．（24班）两直线023=--y ax 和015)12(=-+-ay x a 分别过定点B A 、，则AB 等于( )A ．895B ．175C ．135D ．115（3班）已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且a b ⊥，则x =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．39．在ABC ∆中，若)sin()cos(21)sin(C A C B B A +++=-，则ABC ∆的形状一定（ )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 10．已知数列{a n }满足：a 1＝1，221+=+n nn a a a (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．12+=n a n B ．11-=n a n C ．1+=n n a n D ．11+=n a n 11．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2B ．32C ．1D ．1212. 已知数列{}n a 中，1a a =，{}n b是公比为23等比数列．记*2,1n n n a b n N a -=∈-，若不等式1n n a a +>对一切*n N ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2+∞，B ．()1,3C ．()3+∞，D. ()2,4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上。

2020年暑假高一新生数学补习训练题 (3)一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 设S,T 是两个非空集合，且它们互不包含，那么S ∪(S ∩T )等于( )A. SB. TC. ∅D. S ∩T2. 下列各组中的两个函数是同一函数的为( )A. y 1=(x+3)(x−5)x+3，y 2=x −5B. y 1=√x +1√x −1，y 2=√(x +1)(x −1)C. f 1(x)=(√2x −5)2，f 2(x)=2x −5D. f(x)=3x 4−x 3，F(x)=x3x −13. 若不等式(x −a)(x −b)<0的解集为{x|1<x <2}，则a +b 的值为( )A. 3B. 1C. −3D. −14. 已知函数f(x)的定义域为[ 0,2 ]，则f(2x)x 的定义域为( ) A. { x |0<x ≤4 } B. { x |0≤x ≤4 } C. { x |0≤x ≤1 } D. { x |0<x ≤1 }5. 下列图象是函数图象的是( ) A. B.C. D.6. 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项一定正确的是( )A. ca 2>ac 2B. ac >bcC. ab 2>cb 2D. ab >ac7. 已知集合A ={x|1≤x ≤4}，B ={x 2≥9}，则A ∩(∁R B)=( )A. [3,4]B. (−3,4]C. [1,3)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)8. 函数f(x)=√x 2+x −6的单调增区间是( )A. (−∞,−3)B. [2,+∞)C. [0,2)D. [−3,2]9. 已知函数f(x)=x 2+x +a(a >0)，若f(m)<0，则f(m +1)的值是( )A. 正数B. 负数C. 零D. 与符号与a 有关10. 已知函数f (x )={(a −2)x −1,x ≤1ax+1x+a,x >1在(−∞,+∞)上单调递增，则实数a 的 取值范围为( )A. (2,4]B. [1,2]C. (−∞,2]D. (2,+∞)11.已知f(x−1)=3x−1，则f(x)等于()A. 3x−2B. 3x+2C. 2x−3D. 2x+312.已知函数f(x)=√−x2+mx−6的定义域为[2,3]，则实数m的值为()A. 5B. −5C. 10D. −10二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.满足{1,2}∪B={1,2，3}的集合B的个数为______ ．14.已知函数则f(f(−3))=____，f(x)的最小值为_____．15.已知A={x|x≤1或x>3}，B={x|x>2}，则(∁U A)∪B=________．16.若函数f(x)=−x2+2(a−1)x+2在(−∞,4)上是增函数，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）17.已知函数f(x)=√x−3的定义域为集合A，集合B={x|2<x<9}，设全集为R．√6−x(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知C={x|a<x<a+1}，若C∪B=B，求实数a的取值范围．18.判断并证明函数f(x)=−1+1在(0,+∞)上的单调性．x19.已知函数f(x)=ax2−(a2+1)x+a．(1)若当a>0时f(x)<0在x∈(1,2)上恒成立，求a范围;(2)解不等式f(x)>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：因为S,T 是两个非空集合，且它们互不包含，所以(S ∩T )⊆S ，所以S ∪(S ∩T )=S ． 2.答案：D解析：解：A 中，y 1=(x+3)(x−5)x+3=x −5，(x ≠−3)与y 2=x −5的定义域不同，故不表示同一函数；B 中，y 1=√x +1√x −1=√(x +1)(x −1)，(x ≥1)与y 2=√(x +1)(x −1)(x ≤−1或x ≥1)的定义域不同，故不表示同一函数；C 中，f 1(x)=(√2x −5)2=2x −5，(x ≥52)与f 2(x)=2x −5，(x ∈R)的定义域不同，故不表示同一函数；D 中，f(x)=3x 4−x 3=x3x −1与F(x)=x3x −1定义域，解析式均相同，故表示同一函数； 故选D当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素(定义域、值域、对应法则)都相同，分别判断四个答案中函数的定义域和解析式是否一致即可得到答案．本题考查两函数表示同一个函数的条件，当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素(定义域、值域、对应法则)都相同．要求会求函数的定义域和值域，并会化简函数解析式．属简单题 3.答案：A解析：解：∵不等式(x −a)(x −b)<0的解集为{x|1<x <2}，∴1和2为方程(x −a)(x −b)=0的两个根，则有{a =1b =2或{a =2b =1， ∴a +b =1+2=3，即a +b 的值为3．故选：A ．4.答案：D解析：【分析】本题考查函数的定义域，属于基础题．【解答】∵函数f(x)的定义域为[ 0,2 ]∴f(2x)x 的定义域满足{0≤2x ≤2x ≠0,∴0<x ≤1,∴f(2x)x 的定义域为{x |0<x ≤1}．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的定义及其应用，属于基础题．由题意结合函数的定义确定所给图象是否是函数图象即可．【解答】解：由函数的定义可知，函数的每一个自变量对应唯一的函数值，选项A ，B 中，当x =0时，一个自变量对应两个函数值，不合题意，选项C 中，当x >0时，一个自变量对应两个函数值，不合题意，只有选项D 符合题意．故选D ．6.答案：D解析：【分析】本题考查了不等式性质的应用，属于基础题．由题意可得c <0，a >0，b −c >0，a −b >0，再结合不等式的性质、作差法比较大小，依次判断可得答案．【解答】解：由c <b <a ，ac <0，得c <0，a >0，b −c >0，a −b >0．ca 2<0，ac 2>0，则ca 2<ac 2，A 不正确；ac −bc =(a −b)c <0，则ac <bc ，B 不正确；若b =0，则ab 2=cb 2，C 不正确；ab −ac =a(b −c)>0，则ab >ac ，D 正确，故选：D ．7.答案：C解析：解：B ={x|x ≤−3，或x ≥3}；∴∁R B ={x|−3<x <3}；∴A ∩(∁R B)=[1,3)．故选：C ．可求出集合B ，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．注意先求函数的定义域．利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f(x)=√x 2+x −6=√(x +12)2−254， 令t =x 2+x −6≥0，解得x ≥2或x ≤−3，所以函数f(x)的定义域为(−∞,−3]∪[2,+∞)， 又t =x 2+x −6=(x +12)2−254，在[−12,+∞)上递增，所以根据复合函数“同增异减”的单调性判断原则可得，函数f(x)的单调递增区间为[2,+∞) ， 故选B ．9.答案：A解析：设g(x)=x 2+x ，则有零点−1, 0，由f(m)<0得g(m)<−a(a >0)，所以g(m)<0，所以−1<m <0，0<m +1<1，所以g(m +1)>0，g(m +1)+a >0，从而f(m +1)>0，选(A)． 10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．根据f(x)=f (x )={(a −2)x −1,x ≤1ax+1x+a,x >1在(−∞,+∞)上单调递增，可得{a −2>0 1−a 2<0 a −2−1≤ a+1 1+a，由此求得实数a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f (x )={(a −2)x −1,x ≤1ax+1x+a ,x >1={(a −2)x −1,x ≤1a +1−a 2x+a,x >1， ∴{a −2>0 1−a 2<0 a −2−1≤ a +1 1+a求得2<a ≤4，故选A ．11.答案：B解析：∵f(x −1)=3x −1=3(x −1)+2，∴f(x)=3x +2.故选B ．12.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，是基础题．把函数f(x)=2+mx −6的定义域为[2,3]，转化为方程x 2−mx +6=0的两个根为2，3，然后由根与系数关系得答案．【解答】解：∵函数f(x)=√−x 2+mx −6的定义域为[2,3]，即不等式−x 2+mx −6≥0的解集为[2,3]，也就是方程x 2−mx +6=0的两个根为2，3．由根与系数关系得m =2+3=5．∴实数m 的值为5．故选：A ．13.答案：4解析：分析：利用并集定义直接求解．本题考查满足条件的集合个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．解：∵{1,2}∪B={1,2，3}，∴满足条件的集合B可能为：{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2，3}，∴满足{1,2}∪B={1,2，3}的集合B的个数为4．故答案为：4．14.答案：2；−1解析：【分析】本题主要考查分段函数的最值，属于基础题．根据x的范围代入即可求得f(f(−3))的值，分别求两段函数的值域即可求得f(x)的最小值．【解答】解：因为f(−3)=(−3)2+2×(−3)=3，所以．当x≤0时，f(x)=x2+2x=(x+1)2−1，由二次函数性质可知：当x=−1时，函数f(x)取得最小值为−1；当x>0时，为增函数，所以f(x)>f(0)=0，综上所述：f(x)的最小值为−1．故答案为2;−1．15.答案：(1,+∞)解析：【分析】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，求出C U A是解题的关键．利用集合的补集定义求出C U A，再利用两个集合的并集的定义求出(C U A)∪B.【解答】解：U=R，∵集合A={x|x≤1或x>3}，∴C U A={x|1<x≤3}，∴(C U A)∪B={x|1<x≤3}∪{x|x>2}=(1,+∞)．故答案为(1,+∞)．16.答案：[5,+∞)解析：【分析】本题考查了二次函数的性质，结合二次函数的性质，求出对称轴，列出不等式求解即可．【解答】解：因为函数f(x)=−x2+2(a−1)x+2在(−∞,4]上是增函数，二次函数的开口向下， ≥4，即a≥5，所以2(a−1) 2故答案为：[5,+∞)．17.答案：解：(1)解{x −3≥06−x >0得，3≤x <6； ∴A ={x|3≤x <6}；∴A ∩B ={x|3≤x <6}，∁R B ={x|x ≤2，或x ≥9}，(∁R B)∪A ={x|x ≤2，或3≤x <6，或x ≥9}；(2)∵C ∪B =B ；∴C ⊆B ；∴{a ≥2a +1≤9； ∴2≤a ≤8；∴实数a 的取值范围为[2,8]．解析：(1)可求出集合A ，然后进行交集、并集和补集的运算即可；(2)根据C ∪B =B 即可得出C ⊆B ，从而得出{a ≥2a +1≤9，解出a 的范围即可． 考查函数定义域的概念及求法，描述法的定义，交集、并集和补集的运算，子集的定义． 18.答案：解：函数f(x)=−1x +1在(0,+∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0,+∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−1x 1+1)−(−1x 2+1)=x 1−x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0,+∞)，得x 1x 2>0，又由x 1<x 2，得x 1−x 2<0，于是f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)=−1x +1在(0,+∞)上是增函数．解析：本题主要考查函数单调性与单调区间，属于较易题．利用单调性的定义，设x 1，x 2是(0,+∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，，由作差比较法比较f(x 1)与f(x 2)的大小，再由单调性定义得到单调性．19.答案：解：(1)当a >0时，函数f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a 的图象开口方向朝上，若f(x)<0在x ∈(1,2)上恒成立，只需{f(1)≤0f(2)≤0， 即{a −(a 2+1)+a ≤04a −2(a 2+1)+a ≤0， 解得a ∈(0,12]∪[2,+∞)(2)f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a >0⇔(ax −1)(x −a)>0，当a =0时，得到x <0，当a >0时，化为(x −1a )(x −a)>0，当a >1时，得到x <1a 或x >a ，当a =1时，得到x ≠1，当0<a <1时，得到x <a 或x >1a ，当a <0时，化为(x −1a )(x −a)<0，当−1<a <0时，得到1a <x <a当a =−1时，得到x ∈ϕ，当a <−1时，得到a <x <1a ，综上所述，a <−1时，原不等式的解集为：(a,1a )a =−1时，原不等式的解集为：⌀，−1<a <0时，原不等式的解集为：(1a ,a)，a =0时，原不等式的解集为：(−∞,0)0<a <1时，原不等式的解集为：(−∞,a)∪(1a ,+∞)，a >1原不等式的解集为：(−∞,1a )∪(a,+∞)．解析：(1)当a >0时，函数f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a 的图象开口方向朝上，若f(x)<0在x ∈(1,2)上恒成立，只需{f(1)≤0f(2)≤0，解得a 的范围； (2)f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a >0⇔(ax −1)(x −a)>0，对a 值进行分类讨论，可得不同情况下，不等式的解集．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

2020年高一暑假数学补习题 (24)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若a <0<b ，则下列不等式恒成立的是( )．A. √a 3<√b 3B. |a |>bC. a 2>b 2D. 1a >1b2. 在等比数列{a n }中，已知a 3=3，a 3+a 5+a 7=21，则a 5=( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 183. 已知tan (α+π6)=1，则tan (α−π6)=( )A. 2−√3B. 2+√3C. −2−√3D. −2+√34. 在中，，那么一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形5. S n 是等差数列{a n }的前n 项和，如果a 1+a 5=6，那么S 5的值是( )A. 10B. 15C. 25D. 30 6. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5=5，S 10=30，则S 15=( )A. 90B. 125C. 155D. 180 7. 已知3a +2b =2(a >0,b >0)，则ab 的最小值是( )A. 4B. 5C. 6D. 78. 在等差数列{a n }中，公差为d ，且S 10=4S 5，则a 1d 等于( )A. 14B. 8C. 12D. 49. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c =2a ，则cosB =( )A. −25B. 25 C. −34 D. 34 10. 函数f(x)=x −√2sinx 在区间[0,π]上的最大、最小值分别为( )A. π，0B. π2−√2 ,0C. π ,π4−1D. 0 , π4−111. 设S n =12+16+112+⋯+1n(n+1)，且S n ⋅S n+1=34，则n 的值是( )A. 9B. 8C. 7D. 612. 在锐角△ABC 中，∠A =2∠B ，∠A 、∠B 的对边长分别是a 、b ，则bb+a 的取值范围是( )A. (13,1) B. (13,√2−1)C. (√3−12,√2−1)D. (√3−12,12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.cosπ12=______ ．14.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q的值为_______．15.设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点__________，定点在直线kx+y−2=0上，则k=__________．16.设f(x)=√x2−4，若0<a≤1，则f(a+1a)=________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)．(1)求AC边所在的直线方程；(2)求AC边上的高所在的直线方程；(3)求经过两边AB和BC中点的直线的方程．18.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．19.已知数列{√a n−n}是等比数列，且a1=9，a2=36．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n−n2}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x=π8．(1)求φ的值;(2)若函数y=2f(x)+a(a∈R)在[11π24,3π4]上的最大值与最小值之和为1，求a的值．21.已知△ABC的内角A，B，C满足sinA+sinB+sinCsinC =sinBsinB+sinC−sinA．(1)求角A；(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．22.在等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=a n+2n−1，求数列{b n}的前n项和S n．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查了不等式大小比较，考查学生的计算能力，属于基础题． 【解答】解：∵a <0<b ，对于A ，设f(x)=√x 3，√a 3<√b 3恒成立，故A 对， 对于B ，当a =−1，b =2时，|a |<b ，a 2<b 2，1a <1b 故B ，C ，D 错， 故选A ． 2.答案：A解析：解：等比数列{a n }中，设公比为q ，a 3=3，a 3+a 5+a 7=21， ∴3+3q 2+3q 4=21， 解得q 2=2，∴a 5=a 3q 2=6， 故选：A ．根据等比数列的通项公式求出q ，再代值计算即可． 本题考查了等比数列的通项公，属于基础题 3.答案：D解析：【分析】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角和差的正切公式求得tanα的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值． 【解答】解：∵已知tan(α+π6)=1，即tanα+tanπ61−tanα⋅tanπ6=tanα+√331−tanα⋅√33=1，∴tanα=√33+√3=2−√3，则tan(α−π6)=tanα−√331+tanα⋅√33=√3−2，故选：D ． 4.答案：A解析：【分析】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了学生的分析问题的能力．把已知等式中切转化成弦，进而利用正弦定理求得cos A 与cos B 相等，判断出A =B ，进而可知三角形为等腰三角形． 【解答】解：∵atanA =btanB ，∴acosAsinA =bcosBsinB，∵asinA =bsinB，∴cosA=cosB，∴A=B，∴三角形为等腰三角形．故选A．5.答案：B解析：解：S5=5(a1+a5)2=5×62=15．故选：B．利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查等比数列前n项和的性质．【解答】解：因为在等比数列中依次n项和成等比数列，所以S5,S10−S5,S15−S10成等比数列，所以5，30−5=25，S15−30成等比数列，所以252=5×(S15−30),S15=155．故选C．7.答案：C解析：【分析】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵3a +2b=2(a>0,b>0)，∴2=3a +2b≥2√3a⋅2b，化为ab≥6，当且仅当a=3，b=2时取等号．∴ab的最小值是6．故选：C．8.答案：C解析：解：因为S10=4S5，所以10a1+10×92d=4(5a1+5×42d)即2a1=d∴a1d =12故选C ．利用等差数列的前n 项和公式将已知条件S 10=4S 5表示成首项与公差，求出a 1d 的值．考点分析本题考查等差数列的前n 项和，基础题．等差数列的前n 项和公式的运用自然而然的就得出结论． 9.答案：D解析：解：△ABC 中，∵sinA ，sin B ，sin C 成等比数列， ∴sin 2B =sinAsinC ，∴b 2=ac ． ∵c =2a ，∴b 2=2a 2， 则cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34，故选：D ．利用等比数列的定义求得b 2=ac ，再利用c =2a 以及余弦定理求得cos B 的值． 本题主要考查等比数列的定义，余弦定理的应用，属于基础题． 10.答案：C解析：解：函数f(x)=x −√2sinx ， ∴f′(x)=1−√2cosx ； 令f′(x)=0，解得cosx =√22，又x ∈[0,π]，∴x =π4；∴x ∈[0,π4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； x ∈(π4,π]时，f′(x)>0，f(x)单调递增； ∴f (x )min =f(π4)=π4−√2sin π4=π4−1，f(0)=0，f(π)=π；∴函数f(x)在区间[0,π]上的最大、最小值分别为π和π4−1．故选C ．对函数f(x)求导数，利用导数判断f(x)的单调性，并求f(x)在区间[0,π]上的最大、最小值． 本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题． 11.答案：D解析：解：由S n =12+16+112+⋯+1n(n+1)=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1=nn+1． ∴S n+1=n+1n+2．再由S n ⋅S n+1=34，得nn+1⋅n+1n+2=nn+2=34．解得n=6．故选D．利用裂项相消求出S n，代入S n⋅S n+1=34求解n的值．本题考查了数列的求和，考查了裂项相消法，是中档题．12.答案：C解析：解：∵∠A=2∠B，∴∠A+∠B+∠C=3∠B+∠C<π∴0<∠B<π3，①∵∠C=π−3∠B<π2，∴∠B>π6，②∵∠A=2∠B<π2，∴∠B<π4③综合①②得π6<∠B<π4，由正弦定理知bb+a =sinBsinB+sinA=11+sinAsinB=11+sin2BsinB=11+2sinBcosBsinB=11+2cosB，∵π6<∠B<π4，∴√22<cosB<√32，∴√3−12<11+2cosB<√2−1，故选C．先根据三角形为锐角三角形和A与B的2倍关系，求得B的范围，进而利用正弦定理对bb+a变形整理获得cos B的表达式，根据B的范围求得答案．本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是判断出B的范围，这里也是容易出错的地方．13.答案：√6+√24解析：解：根据题意，由π12=π3−π4，则cosπ12=cos(π3−π4)=cosπ3cosπ4+sinπ3cosπ4=12×√22+√32×√22=√6+√24，故答案为：√6+√24．根据题意，由π12=π3−π4，结合余弦的差角公式可得cosπ12=cos(π3−π4)=cosπ3cosπ4+sinπ3cosπ4，代入数据计算可得答案．本题考查余弦的差角公式，关键是将π12用特殊角的差的形式表示出来．14.答案：2解析：【分析】本题考查等比数列的通项及前n项和.根据题意可得a3=2a2，进而即可求得结果．【解答】解：∵S2=2a2+3①，S3=2a3+3②，②−①得a3=2a3−2a2，∴a3=2a2，则q=a3a2=2．故答案为2．15.答案：()5解析：a+b=3，，直线ax+by=1恒过定点().故答案为：().(2) ()在直线kx+y−2=0上，，解得k=5．16.答案：1a−a解析：f(a+)=√(a+1a )2−4=√a2+1a2−2=√(a−1a )2=|a−|.由于0<a≤1，所以a≤．故f(a+)=−a．17.答案：解法1：(1)由A(4,0)，C(0,3)，可得AC边所在的直线方程是：x4+y3=1，即3x+4y−12=0．(2)由(1)可设AC边上的高所在的直线方程为4x−3y+C=0，又∵AC边上的高经过点B(6,7)，∴4×6−3×7+C=0，解得C=−3，故AC边上的高所在的直线方程是4x−3y−3=0．(3)∵经过两边AB和BC中点的直线平行于AC，∴可设所求直线方程为3x+4y+m=0．由已知线段AB的中点为(5,72)，∴3×5+4×72+m=0，解得m=−29，故经过两边AB和BC中点的直线方程为3x+4y−29=0．解法2：(1)由已知k AC=3−00−4=−34，又直线AC过C(0,3)，故所求直线方程为：y=−34x+3，即3x+4y−12=0．(2)因为AC边上的高垂直于AC，由(1)得k AC=−34，∴高所在的直线方程斜率为43，又AC边上的高过点B(6,7)，故所求直线方程为y−7=43(x−6)，故AC边上的高所在的直线方程是4x−3y−3=0．(3)因为经过两边AB和BC中点的直线平行于AC，由(1)得k AC=−34，∴所求直线的斜率为−34．由B(6,7)，C(0,3)，可得线段BC的中点为(3,5)，故所求直线方程为y−5=−34(x−3)，故经过两边AB和BC中点的直线方程为3x+4y−29=0．解析：本题考查了直线方程的求法，利用了中点坐标公式、斜率公式，平行关系等，考查了计算能力，属于基础题．(1)根据截距式求解或求解出斜率，利用点斜式求解即可；(2)根据高所在的直线方程的斜率与AC乘积为−1，利用点斜式求解即可；(3)因为经过两边AB和BC中点的直线平行于AC，故可设所求直线方程，利用中点坐标求解即可．18.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，∴a=30×44+5+6=8．解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．19.答案：解：(1)数列{√a n−n}是等比数列，且a1=9，a2=36.设公比为q，则：q=√a2−2√a−1=6−23−1=2所以：√a n−n=(3−1)⋅2n−1，解得：√a n=n+2n，则：a n=(n+2n)2，所以：a n=n2+n⋅2n+1+4n．(2)由(1)得：a n−n2=n⋅2n+1+4n故：数列{n⋅2n+1}的前n项和：A n=1⋅22+2⋅23+⋯+n⋅2n+1①所以：2A n=1⋅23+2⋅24+⋯+n⋅2n+2②①−②得：−A n=22++⋯+2n+1−n⋅2n+2，解得：A n=(n−1)⋅2n+2+4，所以：S n=(n−1)⋅2n+2+4+4(4n−1)4−1，=(n−1)⋅2n+2+4+4n+1−43．解析：(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(2)利用分组法和乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法和乘公比错位相减法在数列求和中的应用．20.答案：解：(1)∵直线x=π8是f(x)图象的一条对称轴，∴2×π8+φ=kπ+π2(k∈Z)，∴φ=kπ+π4(k∈Z).又−π<φ<0，∴φ=−3π4．(2)由(1)，得f(x)=sin(2x−3π4)，∴y=2sin(2x−3π4)+a．当11π24≤x≤3π4时，π6≤2x−3π4≤3π4，∴y max=2+a，y min=1+a，∴2a+3=1，∴a=−1．解析：本题考查三角函数的基本性质，函数的对称轴方程，最值的应用，考查计算能力，属于基础题．(1)通过函数的对称轴，结合−π<φ<0，求出φ的值．(2)利用(1)以及函数y=2f(x)+a，求出含a的函数表达式，利用最大值和最小值的和，求出a的值即可．21.答案：解：(1)设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由sinA+sinB+sinCsinC =sinBsinB+sinC−sinA，可得a+b+cc =bb+c−a⇒b2+c2−a2=−bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，又因为0<A<π，所以A=2π3．(2)因为asinA =2R⇒a=2R⋅sinA=2sin2π3=√3，所以3=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，即bc≤1，所以S=12bc⋅sinA≤12×1×√32=√34(当且仅当b=c时取等号)．所以△ABC的面积S的最大值为√34．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cos A的值，结合范围0<A<π，可求A的值．(2)由已知利用正弦定理可求a的值，根据余弦定理，基本不等式可求bc≤1，进而根据三角形的面积公式即可求解．22.答案：解：(1)设{a n}的公比为q，由已知得16=2q3,解得q=2,所以a n=2n.(2)S n=(2+22+⋯+2n)+(1+3+⋯+2n−1)=2n+1−2+n2．解析：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．(1)由已知条件利用等比数列的通项公式能求出公比q，由此能求出a n=2n．(2)由b n=a n+2n−1，利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和S n．第11页，共11页。

2020年高一暑假数学补习题 (1)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos160°sin10°−sin20°cos10°=( )A. −√32B. √32C. −12 D. 122. 下列不等式中，正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则a +c >b +dB. 若a >b ，则a +c <b +cC. 若a >b,c >d ，则ac >bdD. 若a >b,c >d ，则ac >bd3. 若一元二次不等式ax 2+bx +2>0的解集为(−12,13)，则a +b 的值是( )A. 10B. −10C. −14D. 144. 下列判断正确的是( )A. 若a//α，b//β，α//β，则a//bB. a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥bC. 若a ⊂α，b ⊂β，a//b ，则α//βD. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α 5.A. 12B. √22C. 2D. √326. 已知圆锥的底面直径为2√3π3π且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是( ) A. 定 B. 有 C. 收 D. 获 8. 三棱锥A −BCD ，顶点A 在平面BCD 内的射影为O ，若AB =AC =AD ，则点O 为△BCD 的( )A. 内心B. 外心C. 中心D. 垂心9. 展开式为ad −bc 的行列式是( )A. ∣∣∣a b dc∣∣∣B. ∣∣acb d ∣∣C. ∣∣∣a d bc∣∣∣D. ∣∣∣b a dc∣∣∣10. 在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若点(a,b )在直线x (sinA +sinB )+ysinB =csinC 上，则角C 的值为( )A. π6B. 56πC. π3D. 23π11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在底面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若PM=√5，则PQ长度的最小值为()A. √2−1B. √2C. 3√55−1D. 3√5512.已知ω>0，|φ|<π2，若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. y=g(x)是奇函数B. y=g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A=3π4，a=2，c=√2，则sin C=____.14.已知m，n为正实数，则当nm =______时9mm+2n+2nm取得最小值．15.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB=2，CF=3.若直线FO与平面BED所成的角为45°，则AE=________．16.在等腰三角形ABC中，∠A=2π，AB=2√3，将它沿BC边上的高AD翻折，使△BCD为正三角3形，则四面体ABCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知f(x)=cos4x+2√3sinxcosx−sin4x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调增区间；]，求f(x)的最大值和最小值．(3)若x∈[0,π218.如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6，高为3，下面是正六棱柱，其底面边长为4，高为2，现从中间挖去一个直径为2的圆柱，求此几何体的体积。

高一暑假数学强化训练试题之二三 角 函 数 第Ⅰ卷 选择题(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.1、已知扇形的圆心角为23π弧度，半径为2，则扇形的面积是( )A ．83πB ．43C ．2πD ．43π 2、已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1 3、已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π44、已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m >－3C ．m <3D ．m >1(x )＝a ·b ，要得到函数个单位9、点为射线与单位圆的交点，若，则（）A. B. C. D.10、将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向右平移个单位后得到函数的图像，若函数在区间与上均单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.11、已知函数为定义在上的偶函数，且当时，，函数，则函数与的交点个数为（）A. 6B. 8C. 10D. 1212、设函数.若,且，则的取值范围为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上.13、设函数 (其中是常数)．若函数在区间上具有单调性，且，则的对称中心坐标为 .14、设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝ .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.⎝⎭⎝⎭的值．4cosαsin2π20．（12分）如图，矩形ABCD的长AD＝23，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．21．（12分）若的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若将图像上所有点沿着方向移动得到的图像，若图像的一个对称轴为，求的最小值；（3）在第（2）问的前提下，求出函数在上的值域．22．（12分）已知，其中，若函数，且它的最小正周期为．（1）求的值，并求出函数的单调递增区间；（2）当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设，求函数的解析式；（3）在第（2）问的前提下，已知函数，，若对于任意，，总存在，使得成立，求实数t的取值范围.参考答案一、选择题1.D;2.A;3.A;4.D;5.B;6.B;7.C;8.D;9.D; 10.B; 11. C; 12.B. 二、填空题三、解答题20.解：过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2， 则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ，所以B (23cos θ＋sin θ，cos θ)， OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3.由0<θ<π2，知π3<2θ＋π3<4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.21.解：（1）由图知周期，∴，且，∴．把代入上式得， ∴，即． 又，∴．即． （2）， 由题意得：，∴，∵，∴当时，的最小值为． （3）此时．当时，，此时，于是函数在上的值域为22.解：（1）∵，∴．∴单调递增区间为：，即．（2）若，，，此时；若，，，此时； 若，，， 此时；若，，，此时．综上所述，．（3）由题意可知．对于，若，；若，；若，；若，．综上所述，，．对于，由于，且等号当时能取到，∴．对于，不难得出，于是．∴，解得：．。

2020年高一数学暑假补习题 (19)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 如图，点O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗B. OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ C. BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 在ΔABC 中，a =1，b =√3，A =30∘，则B =( )A.B.或C.D.或3. 若为实数，则下列命题正确的是( ) A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则4. 在△ABC 中，已知a =6，b =4，C =120°，则c 的值为( )A. 76B. 2√19C. 28D. 2√7 5. 已知数列{a n }为等差数列，且a 7−2a 4=−1，a 3=0，则公差d =( )A. −2B. −12C. 12D. 26. 已知平面向量a =(1,1),b =(1,−1)，则向量12a −32b =( )A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (−1,2)D. (1,2)7. 已知x ，2x +2，3x +3是一个等比数列的前三项，则x 的值为( )A. −4或−1B. −4C. −1D. 4或18. 设公比为q(q >0)的等比数列{a n }的前n 项和S n .若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则q =( )A. 32B. 12C. 2D. 39. 若不等式ax 2+ax −4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( )A. −16≤a <0B. a >−16C. −16<a ≤0D. a <0 10. 函数y =ax 2+bx 与在同一直角坐标系中的图象可能是( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =，，若△ABC 的面积为，则= ．12. 已知a ⃗ ,b ⃗ 为单位向量，其夹角为60∘，则(2a →−b →)⋅b →= ．13. 若函数在区间(−∞,4]上是减函数，则实数a 的取值范围是14. 现有如下结论：(1)在△ABC 中，如果a >b ，则A >B ； (2)在△ABC 中，有acosB =bcosA ； (3)在△ABC 中，有asinB =bsinA ；(4)若数列{a n }是等差数列，则它的前n 项和可以表示为S n =An 2+Bn ； (5)三个数a ，b ，c 若满足ac =b 2，则三个数a ，b ，c 成等比数列． 则上述结论中正确的结论序号为______ .(把所有你认为正确的都填上) 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 设平面内的向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,3)，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，点P 在直线OM 上，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16． (1)求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；(2)求的余弦值； (3)设t ∈R ，求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．16. 在锐角△ABC 中，=(1)求角A ；(2)若a=，求bc的取值范围．17.已知A(m−1,2),B(1,1),C(3,m2−m−1)(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值(2)若AB⊥BC，求实数m的值18.如图，隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距√3km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．(n∈N∗).19.设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+⋯+a n=n3(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．a n20.已知数列{a n}满足a2=6，且其前n项和S n=pn2+12n．(1)求p的值和数列{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查了平面向量的加法、减法运算，属于基础题．根据平面向量的加减运算的平行四边形和三角形法则即可得出． 【解答】解：∵点O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选C ． 2.答案：B解析：【分析】本题主要考查正弦定理，是基础题.利用正弦定理先求sin B ，再求角即可． 【解答】 解：由正弦定理得，得，由于b >a ，所以B >A ， 所以B =60°或120°， 故选B ． 3.答案：B解析：试题分析：选项A :当时，(舍)；选项B :，，即B 正确；选项C :在上为减函数，且，(舍)；选项D :，，所以，即(舍)；故选B ．考点：不等式的性质． 4.答案：B解析：【分析】本题考查余弦定理，属于基础题． 运用余弦定理，即可得到答案． 【解答】解：由余弦定理得：=36+16+24=76， 所以c =2√19．故选B．5.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式的运用，属于基础题.根据等差数列的通项公式直接计算即可．【解答】解：根据题意得a7−2a4=a1+6d−2(a1+3d)=−1，所以a1=1，又因为a3=a1+2d=0，所以d=−12．故选B．6.答案：C解析：【分析】根据平面向量的坐标运算即可算出结果．【解答】因为a=(1,1),b=(1,−1)，所以12a−32b=12(1,1)−32(1,−1)=(−1,2)．故选：C．7.答案：B解析：【分析】本题考查等比中项的性质的应用，解题时要认真审题．由x，2x+2，3x+3是一个等比数列的前三项，利用等比中项的性质能求出x的值．【解答】解：∵x，2x+2，3x+3是一个等比数列的前三项，∴(2x+2)2=x(3x+3)，整理，得x2+5x+4=0，解得x=−1，或x=−4．当x=−1时，x，2x+2，3x+3分别为−1，0，0，构不成一个等比数列，∴x≠−1；当x=−4时，x，2x+2，3x+3分别为−4，−6，−9，能构成一个等比数列，∴x=−4．故选B．8.答案：A解析：【分析】：S2=3a2+2，S4=3a4+2，两式相减可得：2q2−q−3=0，解出即可．本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】：解：S2=3a2+2，S4=3a4+2，∴a1+a1q=3a1q+2，a1(1+q+q2+q3)=3a1q3+2，两式相减可得：2q2−q−3=0，q >0，解得q =32． 故选：A ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查恒成立问题，考查推理能力和计算能力，属于基础题．设y =ax 2+ax −4，x ∈R ，分a =0和a ≠0两种情况讨论即可求解． 【解答】解：设y =ax 2+ax −4，x ∈R ， 则由题意可知y <0恒成立．当a =0时，y =−4<0满足题意；当a ≠0时，需满足{a <0,Δ<0,即{a <0,a 2+16a <0,解得−16<a <0．故−16<a ≤0． 故选C ． 10.答案：D解析：由题意知a,b 同号，故二次函数的对称轴在y 轴左边，排除A ，B ，图C 中由二次函数图象知ba >1，而对数函数中ba <1，故选D ．11.答案：解析：试题分析：根据题意，由于△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =，，若△ABC 的面积为，则可知S =，故答案为考点：解三角形点评：解决的关键是根据三角形面积公式得到a 的值，然后借助于余弦定理得到c 的值，属于基础题。

2020年高一暑假数学补习题 (12)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. 0C. 2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2. sin5π3 的值是( )A. 12B. −12C. √32 D. −√323. 某学校从编号依次为001，002，…，180的180个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中一组的编号为23，相邻间距为15，则该样本中来自最后一组的学生的编号为( ) A. 008 B. 170 C. 180 D. 173 4. 函数f (x )=√22sin (2x +π4)+12的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π5. 随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=15，E(ξ)=1，则方差D(ξ)=( )A. 15B. f′(x)=0C. √55 D. 2√556. 已知sinθ=35，θ∈(π2,π)，则tan(θ+π4)=( )A. −7B. 7C. −17D. 177. 如图所示的程序框图，输出的结果是S =2017，则输入A 的值为( )A. 2018B. 2016C. 1009D. 10088. 一项射击实验的标靶为圆形．在子弹命中标靶的前提下，一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率是( )A. 50%B. 3πC. 0.2πD. 2π9. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,4)，则a ⃗ 2−a ⃗ ·b⃗ =( ) A. 0 B. −1 C. 2或−2D. 1210. 将函数f(x)=sin(2x −π4)图象上的所有点向左平移π4个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A. y =sin(x −π4) B. y =cos(x +π4) C. y =sin(2x +π4)D. y =cos(2x −π4)11. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9 B. 8 C. 7D. 10 12. 函数y =sinxcosx +sinx +cosx 取最大值时x 的值为( )A. 2kπ+π2B. 2kπ−π2C. 2kπ+π4D. 2kπ−π4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−2,1)，则|2a ⃗ −b ⃗ |= ______ ． 14. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则φ的值是________．15. 已知sin(π4−x 2)=35，x ∈(0,π2)，则tanx = ______ ．16. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =2，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB ⃗⃗⃗⃗⃗ .若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12,则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−1,2)，若m a ⃗ +4b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 共线，求m 的值．18.分数区间[50,70][70,90][90,110][110,130][130,150]人数28323820(2)现从成绩在[70,110)中按照分数段，采取分成抽样的方法随机抽取5人，再在这5人中随机抽取2人作小题得分分析，求恰有1人的成绩在[70,90)上的概率．19.已知α，β都是锐角，sinα=4√37，cos(α+β)=−1114，求β的值．20.已知：a⃗=(2cosx,sinx)，b⃗ =(√3cosx,2cosx)，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −√3(x∈R)求：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)的单调递增区间．21.已知函数f(x)=√32sinωx+32cosωx(ω>0)的周期为4．(1)求f(x)的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小．22. 观察研究某种植物的生长速度与温度的关系，经过统计，得到生长速度(单位：毫米/月)与月平均气温的对比表如下：(斜率和截距均保留为三位有效数字)；(2)利用(1)中的线性回归方程，分析气温从−50C 至200C 时生长速度的变化情况，如果某月的平均气温是20C 时，预测这月大约能生长多少．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2=∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−nx2,a ^=y .−b ^x .．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加减法运算，考查了计算能力，属于基础题．根据向量加法的平行四边形法则即可得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出正确选项． 【解答】解：∵ABCD 是平行四边形， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选A ． 2.答案：D解析：【分析】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题，利用诱导公式sin(2π−α)=−sinα即可求得sin 5π3 的值． 【解答】解：∵sin 5π3=sin(2π− π3 )=−sin π3 =− √32．故选D ． 3.答案：D解析：【分析】本题考查系统抽样.因为相邻间距为15，所以样本容量为12，设最后一组的编号为23+15n ≤180，n ≤10，再通过计算即可得出最后一组的学生的编号． 【解答】解： 因为相邻间距为15，所以样本容量为12， 设最后一组的编号为23+15n ≤180，n ≤10， 所以最后一组的编号为23+15×10=173． 故答案选D ． 4.答案：B解析：【分析】本题考查了三角函数的性质，直接利用即可．解析：解：因为f(x)=√22sin (2x +π4)+12，所以周期T =2π2=π，选B ．5.答案：B解析：【分析】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算问题，是中档题．设P(ξ=1)=p ，P(ξ=2)=q ，则由P(ξ=0)=15，E(ξ)=1，列出方程组，求出p =35，q =15，由此能求出D(ξ)． 【解答】解：设P(ξ=1)=p ，P(ξ=2)=q ， 则由已知得p +q +15=1①， E(ξ)=0×15+1×p +2×q =1②，由①②组成方程组，解得p =35，q =15；所以D(ξ)=(0−1)2×15+(1−1)2×35+(2−1)2×15=25． 故选B ．6.答案：D解析：解：∵sinθ=35，θ∈(π2,π)，∴cosθ=−√1−sin 2θ=−45，tanθ=sinθcosθ=−34， 则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=1474=17，故选：D ．利用同角三角的基本关系求得cosθ的值，可得tanθ的值，再利用两角和的正切公式求得tan(θ+π4)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式的应用，属于基础题． 7.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S =2A +1的值， 由题意，可得：2017=2A +1，解得：A =1008． 故选：D ．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案． 本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题． 8.答案：D解析：解：设圆的内接正方形的边长为a ，则圆的半径为√22a.∴在子弹命中标靶的前提下，一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率是2π⋅(√22a)=2π．故选D ．求在子弹命中标靶的前提下，一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率，即以面积为测度，利用面积比可得结论．本题考查几何概型，考查图形面积的计算，属于基础题． 9.答案：A解析：【分析】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，考查了考生的计算能力，属基础题．利用向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,4)，即可得求得a ⃗ 2−a ⃗ ·b ⃗ 的值．【解答】解：因为a⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,4)， 所以a ⃗ 2=|a ⃗ |2=1+4=5，a⃗ ⋅b ⃗ =−1×3+2×4=5， 所以a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =5−5=0． 故选A ． 10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求所得图象的解析式． 【解答】解：把函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移π4个单位， 所得图象的解析式是y =sin[2(x +π4)−π4]=sin(2x +π4)， 故选C ．11.答案：A解析：解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9．故选：A ．直接利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力． 12.答案：C解析：【分析】设sinx +cosx =t ，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出t 的范围，表示出设sin x cosx ，表示出y 与t 的关系式，利用二次函数的性质求出y 最大值时t 的值，即可确定出此时x 的值．此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，辅助角公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 【解答】解：设sinx +cosx =t ，即√2sin(x +π4)=t ，则t ∈[−√2,√2]，sinxcosx =t2−12，∴y =t 2−12+t =12(t +1)2−1，易知当t =√2时，y 取得最大值， 即√2sin(x +π4)=√2，故x+π4=2kπ+π2(k∈Z)，∴x=2kπ+π4(k∈Z)．故选：C．13.答案：5解析：解：∵a⃗=(1,−1)，b⃗ =(−2,1)，∴2a⃗−b⃗ =(4,−3)，∴|2a⃗−b⃗ |=√16+9=5，故答案为：5．由条件求得2a⃗−b⃗ 的坐标，从而求得|2a⃗−b⃗ |的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于基础题．14.答案：−π3解析：【分析】本题考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，是基础题目．根据图形，求出正确与ω的值，再由函数y的图象经过点(5π12,2)，结合|φ|<π2，即可求出φ的值．【解答】解：根据图形知，函数的周期34T=5π12−(−π3)=34π，所以ω=2πT =2ππ=2；又y=2sin(2x+φ)的图象经过(5π12,2)，所以2×5π12+φ=2kπ+π2，k∈Z；所以φ=2kπ−π3，k∈Z；又|φ|<π2，所以φ=−π3．故答案为−π3．15.答案：724．解析：解：∵sin(π4−x2)=sinπ4cos x2−cosπ4sin x2=35，∴cos x2−sin x2=3√25，∴两边平方可得：1−sinx=1825，∴可解得：sinx =725， ∵x ∈(0,π2)， ∴cosx =√1−sin 2x =2425，∴tanx =sinx cosx =7252425=724．故答案为：724．由和差角的公式化简可得cos x2−sin x2=3√25，两边平方可解得sinx =725，由x ∈(0,π2)，从而由同角三角函数关系式解得cos x ，tan x 的值．本题考查同角三角函数的基本关系，以及和差角的三角函数公式，属基础题．16.答案：−43解析：【分析】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积运算，属中档题．建立直角坐标系，根据题意及向量数量积关系解出a ，从而得出向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，最后通过向量数量积关系运算求出CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系， 设A(0,a)，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,a 2)⋅(1,−a)=32−a 22=−12，解得a =2， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−43,43)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−43． 故答案为−43．17.答案：解：m a ⃗ +4b ⃗ =(2m,3m)+(−4,8)=(2m −4,3m +8)，a ⃗ −2b ⃗ =(2,3)−(−2,4)=(4,−1)，由题意得4×(3m +8)−(−1)×(2m −4)=0，解得m =−2． 故m =−2．解析：本题考查了向量的平行的坐标运算，分别得出m a ⃗ +4b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ ，由向量平行的坐标运算得4(3m +8)−(−1)(2m −4)=0，解出即可．18.答案：解：(1)依题意，所求平均成绩为2×60+8×80+32×100+38×120+140×20100=113.2．(2)依题意，由分层抽样方法知[70,90)的抽取1人，记为a ， [90,110)抽取4人，记为A ，B ，C ，D ，则抽取2人，所有情况为：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(B,C)，(B,D)，(B,a)，(C,D)，(C,a)，(D,a)，共10种， 其中满足条件的有：(A,a)，(B,a)，(C,a)，(D,a)，共4种， ∴恰有1人的成绩在[70,90)上的概率为p =410=25．解析：(1)利用得分情况统计表能求出唐老师所任教班级的学生在本次期末数学测试的平均成绩． (2)依题意，由分层抽样方法知[70,90)的抽取1人，记为a ，[90,110)抽取4人，记为A ，B ，C ，D ，利用列举法能求出恰有1人的成绩在[70,90)上的概率．本题考查平均成绩的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.答案：解：∵α，β都是锐角，sinα=4√37，cos(α+β)=−1114， ∴cosα=17，sin(α+β)=5√314，∴cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(−1114)×17+5√314×4√37=12．∵β是锐角，∴β=π3．解析：利用角的范围求出相关的三角函数值，然后利用两角和与差的三角函数求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查角的变换技巧以及计算能力，是基础题． 20.答案：解：(1)函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −√3 =2cosx ⋅√3cosx +2sinxcosx =√3⋅2cos 2x +sin2x =√3(1+cos2x)+sin2x =2(12sin2x +√32cos2x)+√3=2sin(2x +π3)+√3．∴T =2π2=π． (2)由−π2+2kπ≤2x +π3≤π2+2kπ(k ∈Z)．解得−5π12+kπ≤x ≤kπ+π12(k ∈Z)．∴f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,kπ+π12](k ∈Z)．解析：(1)利用数量积和倍角公式即可化简f(x)，再利用周期公式T =2πω即可得出；(2)利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了数量积和倍角公式、三角函数的周期性、单调性等基础知识，属于基础题．21.答案：解：(1)f(x)=√32sinωx +32cosωx(ω>0)=√3(12sinωx +√32cosωx)=√3sin(ωx +π3)， 由于函数的周期为4=2πω，得ω=π2， 故f(x)=√3sin(π2x +π3).(2)将f(x)的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g(x)=√3sin π2x.因为P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴P(1,√3)、Q(3,−√3).所以OP =2，PQ =4，OQ =√12，cosθ=OQ 2+PQ 2−OP 22OQ⋅QP =√32， ∴θ=π6．解析：本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图象周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，属于中档题．(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式为f(x)=√3sin(ωx +π3)，根据函数的周期为4=2πω，求得ω的值，可得f(x)的解析式．(2)由条件根据y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得函数g(x)=√3sin π2x ，求出P 、Q 的坐标，利用余弦定理求得cosθ的值，可得θ的值．22.答案：解：(1)由题可知，t .=17×(−5+0+6+8+12+15+20)=8 y .=17×(2+4+5+6+7+8+10)=6，∑t i 7i=1y i =−10+0+30+48+84+120+200=472，∑t i 27i=1=25+0+36+64+144+225+400=894，则b ^=∑t i 7i=1y i −7ty ∑t i 27i=1−7t 2=472−7×48894−7×64≈0.305， a ^=y .−b ^t .≈6−0.305×8=3.560， 于是生长速度y 关于温度t 的线性回归方程为：y ^=3.560+0.305t ；(2)利用(1)的线性回归方程可以发现，气温从月平均气温从−50C 至200C 时该植物生长速度逐渐增加， 如果某月的平均气温是20C 时，预测这月大约能生长3.56+0.305×2=4.17mm ．解析：(1)由题意计算t .、y .，求出回归系数，即可写出回归方程；(2)利用(1)的线性回归方程，作出概率分析和预测．本题考查了线性回归方程求法与应用问题，是基础题目．。

2020年暑假高一数学补习题 (1)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 直线√2x +√6y +1=0的倾斜角是( )A. 5π6B. π6C. π3D. 2π3 2. 抛掷两颗骰子，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是( )A. 12B. 29C. 14D. 112 3. (1)某学校为了了解2015年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本；(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会． (1)，(2)依次用到的抽样方法正确的是( )A. 分层抽样法，简单随机抽样法B. 简单随机抽样法，系统抽样法C. 系统抽样法，分层抽样法D. 分层抽样法，系统抽样法4. 从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是( )A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”5. 已知不同的两条直线m ，n 与不重合的两平面α，β，下列说法正确的是( )A. 若m//n ，m//α，则n//αB. 若m//α，α//β，则m//βC. 若m//n ，m ⊥α，则n ⊥αD. 若m ⊥n ，m ⊥α，则n ⊥α 6. 如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −，方差为s 2，则2x 1−3，2x 2−3，…，2x n −3的平均数和方差分别为( )A. x −和s 2B. 2x −−3和s 2C. 2x −−3和4s 2D. 2x −−3和4s 2−12s +97. 在△ABC 中，cosA =√55，cosB =3√1010，则△ABC 的形状是( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形8. 如图，在正四棱锥S −ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ⊥AC ；②EP//BD ；③EP//面SBD ；④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为( )A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 圆心是C(−3,4)，半径长为5的圆的方程为__________．10.某中学高一年级有1400人，高二年级有1320人，高三年级有1280人，以每人被抽到的机会为0.02，从该中学学生中抽取一个容量为n的样本，则n=________．11.已知三条直线x−2y=1，2x+ky=3，3kx+4y=5相交于一点，则k的值为________．12.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为83π，则该圆锥的侧面积等于______．13.函数f(x)=cos(x+π6)+cos(x−π6)的最大值为______．14.已知直线l：kx−y−k+2=0与圆C：x2+y2−2y−7=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为______三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.求过点(2,−1)且与直线3x−4y−2=0平行的直线方程．16.某社区有居民500人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了50名居民，统计了他们本月参加户外运动时间(单位：小时)的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于16小时的人数；(Ⅱ)已知这50名居民中恰有2名女性的户外运动时间在[18,20]，现从户外运动时间在[18,20]的样本对应的居民中随机抽取2人，求至少抽到1名女性的概率．17.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，b1−cosB =24，sinA+sinC=43(1)求cos B；(2)求△ABC的面积．18.已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx−cos2ωx+sin2ωx(ω>0)的最小正周期T=π．(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若把f(x)图像向左平移π6个单位，得到g(x)的图像，当x∈[−π2,0]时，求函数g(x)的最大值和最小值及对应的x的值．19.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=√6，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，M，N分别为BC和PB的中点．．(Ⅰ)求证：平面PBC⊥平面PMA；(Ⅱ)求四面体M−AND的体积．20.已知圆C1与y轴相切于点(0,3)，圆心在经过点(2,1)与点(−2,−3)的直线l上．(Ⅰ)求圆C1的方程；(Ⅱ)圆C1与圆C2：x2+y2−2x+2y−9=0相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：直线√2x+√6y+1=0的斜率k=−√33，∴直线√2x+√6y+1=0的倾斜角α=5π6．故选：A．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．2.答案：C解析：【分析】本题考查了古典概型的计算与运用，属于基础题．根据题意，得到抛掷两颗骰子有36种可能，再采用列举法求出颗骰子的点数之和不小于9的可能情况，带入概率公式计算即可求解．【解答】解：根据题意，抛掷两颗骰子有36种可能，其中两颗骰子点数之和不小于9的有9种可能，分别为：(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，∴两颗骰子的点数之和不小于9的概率P=936=14．故选C．3.答案：A解析：由于1200名学生各个学生层次之间存在明显差别，故(1)要采用分层抽样的方法，由于总体数目不多，而样本容量不大，故(2)要采用简单随机抽样．4.答案：B解析：【分析】本题考查了互斥事件、对立事件的概念以及它们之间的联系与区别，属于基础题．由题意知，基本事件为：2个红球，2个黄球，1红1黄，结合互斥事件和对立事件的概念，选出正确的答案．【解答】解：A.“至少一个红球”与“至少一个黄球”都包含1红1黄，所以不正确；B.“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立，所以正确；C.“都是红球”与“都是黄球”是互斥事件但不对立，所以不正确；D.“至少一个红球”与“至多一个黄球”都包含1红1黄，所以不正确．故选B．5.答案：C解析：【分析】本题考查了线面平行、线面垂直的判断与性质定理的应用问题，也考查了符号语言的应用问题．利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，对四个选项分析判断即可 ．【解答】解：对于A ，若m//n ，m//α，可知n 有可能在面α内，故错误；对于B ，若m//α，α//β，可知m 有可能在面β内，故错误；对于C ，若m//n ，m ⊥α，由平行的传递性可知，只要与m 平行的线都与面α垂直，即n ⊥α，故正确；对于D ，若m ⊥n ，m ⊥α，则n 有可能在α内或与α平行，故错误；故选C ．6.答案：C解析：【分析】本题考查一组数据的平均数、方差的求法，是基础题．利用平均数、方差的定义直接求解．【解答】解：∵数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −，方差为s 2，即1n (x 1+x 2+⋯+x n )=x ，1n [(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2]=s 2， ∴2x 1−3，2x 2−3，…，2x n −3的平均数为：1n(2x 1−3+2x 2−3+⋯+2x n −3) =2[1(x 1+x 2+⋯+x n )]−3 =2x −−3，2x 1−3，2x 2−3，…，2x n −3的方差为：1n[(2x 1−3−(2x −3))2+(2x 2−3−(2x −3))2+ …+(2x n −3−(2x −3))2]=1n[(2(x 1−x))2+(2(x 2−x))2+⋯+(2(x n −x))2] =4×1n[(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2] =4s 2，故选：C ．7.答案：B解析：【分析】本题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式及两角和的余弦函数公式，属于基础题．由已知的cos A 和cos B ，根据A 和B 为三角形的内角，求出sin A 和sin B 的值，然后由诱导公式及两角和的余弦函数公式求出cos C 的值，从而判断三角形形状．【解答】解：由A 和B 都为三角形的内角，cosA =√55，cosB =3√1010，得到：sinA=√1−cos2A=2√55，sinB=√1−cos2B=√1010，则cosC=cos[180°−(A+B)]=−cos(A+B)=−cosAcosB+sinAsinB=−√55×3√1010+2√55×√1010=−√210<0，∴C∈(90°,180°)，即角C为钝角，则△ABC的形状是钝角三角形．故选：B．8.答案：A解析：【分析】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．在①中：由已知得SO⊥AC，AC⊥平面SBD，从而平面EMN//平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：EM//BD，只有当P与M重合时，才有EP//BD，所以EP//BD不恒成立，因此不正确；在③中：由平面EMN//平面SBD，从而得到EP//平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，从而得到EP 与平面SAC不垂直．【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由正四棱锥S−ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，又，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM//BD，MN//SD，EM⊂平面EMN，BD⊄平面EMN，故BD//平面EMN，同理SD//平面EMN，BD∩SD=D ，，∴平面EMN//平面SBD，∴AC⊥平面EMN，，∴AC⊥EP.故①正确．在②中：EM//BD，只有当P与M重合时，才有EP//BD，所以EP//BD不恒成立，因此②不正确；在③中：由①可知平面EMN//平面SBD，，∴EP//平面SBD，因此③正确．在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP//EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直．即④不正确．故选A ．9.答案：(x +3)2+(y −4)2=25解析：【分析】本题考查圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，是基础题．利用圆的标准方程的概念求解即可．【解答】解：圆心为C(−3,4)，半径为5的圆的标准方程是：(x +3)2+(y −4)2=25.故答案为：(x +3)2+(y −4)2=25.10.答案：80解析：【分析】本题考查简单随机抽样的运用， 属于基础题．由每个人被抽到的概率等于样本容量与总体人数的比值求解即可.【解答】解：由n 1400+1320+1280=0.02，得n =80．故答案为80．11.答案：k =1或k =−163解析：【分析】本题主要考查直线的交点，属于基础题．先求出其中两条直线的交点，再代入第三条直线即可．【解答】解：解方程组{x −2y =12x +ky =3,得{x =6+k 4+k y =14+k ，将这个点代入第三个直线方程得： 3k 6+k 4+k +414+k =5,∴k =1或k =−163，经验证符合题意， 故答案为k =1或k =−163．12.答案：4√2π解析：【分析】本题考查了圆锥的几何特征与表面积、体积计算，属于基础题．根据体积求出圆锥的底面半径和母线长，代入公式得出侧面积．【解答】解：设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径为r=√2l2，高ℎ=r=√2l2，∴圆锥的体积V=13πr2·ℎ=√2l312π=8π3，∴l=2√2，r=2，∴圆锥的侧面积为S侧=πrl=4√2π．故答案为：4√2π．13.答案：√3解析：【分析】直接展开两角和与差的余弦即可求得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的余弦，是基础题．【解答】解：f(x)=cos(x+π6)+cos(x−π6)=cosxcos π−sinxsinπ+cosxcosπ+sinxsinπ=2cosxcosπ6=√3cosx，∴函数f(x)=cos(x+π6)+cos(x−π6)的最大值为√3．故答案为：√3．14.答案：2√6解析：解：根据题意，圆C：x2+y2−2y−7=0即x2+(y−1)2=8，圆心C的坐标为(0,1)，半径r=2√2，直线l：kx−y−k+2=0，即y−2=k(x−1)，恒过定点M(1,2)，又由圆C的方程为x2+(y−1)2=8，则点M(1,2)在圆内，分析可得：当直线L与CM垂直时，弦|AB|最小，此时|CM|=√(1−0)2+(2−1)2=√2，则|AB|的最小值为2√8−2=2√6；故答案为：2√6根据题意，分析圆C的圆心与半径，将直线l的方程变形为y−2=k(x−1)，恒过定点M(1,2)，分析可得M在圆C内部，分析可得：当直线L与CM垂直时，弦|AB|最小，求出此时|CM|的值，由勾股定理分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过定点，属于基础题．15.答案：解：因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线的方程为3x−4y+c=0(c≠−2)．因为所求直线过点(2,−1)，所以3×2−4×(−1)+c=0，解得c=−10，所以所求直线的方程为3x−4y−10=0．解析：本题主要考查直线的一般式方程及与已知直线平行的直线系方程，是基础题．先设所求直线的方程为3x−4y+c=0(c≠−2)，根据其过点(2,−1)可求得c的值，进而可得所求直线的方程．16.答案：(本小题满分13分)解：(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于16小时人数的频率为：(0.1+0.06)×2=0.32，∵0.32×500=160人，∴本月户外运动时间不小于16小时的人数为160人．……(3分) (II)[18,20]的样本内共有居民50×0.06×2=6人，2名女性，4名男性，设四名男性分别表示为A，B，C，D，两名女性分别表示为E，F………………(4分)则从6名居民中随机抽取2名的所有可能结果为：{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}{C,D}，{C,E}，{C,F}{D,E}，{D,F}{E,F}共15种．………………(9分)(ii)设事件M为“抽取的2名居民至少有一名女性”，则M中所含的结果为：{A,E}，{A,F}，{B,E}，{B,F}，{C,E}，{C,F}，{D,E}，{D,F}，{E,F}共9种……………(12分)∴事件M发生的概率为P(M)=915=35.………………(13分)解析：(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于16小时人数的频率，由此能求出本月户外运动时间不小于16小时的人数．(II)[18,20]的样本内共有居民6人，2名女性，4名男性，设四名男性分别表示为A，B，C，D，两名女性分别表示为E，F，利用列举法能求出事件M发生的概率．本题考查考查频率数和概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：解：(1)b1−cosB =24⇒2×6sinB1−cosB=24∴2(1−cosB)=sinB∴4(1−cosB)2=sin2B=(1−cosB)(1+cosB)∵1−cosB≠0，∴4(1−cosB)=1+cosB，∴cosB=35，(2)∵sinA+sinC=43，∴a12+c12=43，即a+c=16．又∵cosB=35，∴sinB=45．∴S=12acsinB=25ac≤25⋅(a+c2)2=1285．当且仅当a=c=8时，S max=1285．解析：(1)利用正弦定理及条件b1−cosB =24⇒2×6sinB1−cosB=24，可得2(1−cosB)=sinB，再利用平方关系，从而可求得cos B；(2)利用正弦定理及条件sinA+sinC=43，可得a+c=16，利用面积公式表示面积，借助于基本不等式可求△ABC的面积的最大值．本题以三角形为载体，考查正弦定理的运用，考查基本不等式，关键是边角之间的互化．18.答案：解：(1)因为f(x)=2√3sinωxcosωx−cos2ωx+sin2ωx=√3sin2ωx−cos2ωx=2sin(2ωx−π6)，由ω>0，T=2π2ω=π，得ω=1，所以f(x)=2sin(2x−π6)．因为−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z)，所以−π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，所以f(x)的单调増区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)．(2)若把f(x)图象向左平移个π6单位，得到g(x)=2sin(2x+π6)，因为x∈[−π2,0]，所以−5π6≤2x+π6≤π6，则有−1≤sin(2x+π6)≤12，当2x+π6=−π2，即x=−π3时，g(x)有最小值−2，当2x+π6=π6，即x=0时，g(x)有最大值1．解析：本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．(1)由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f(x)的单调増区间．(2)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再根据正弦函数x的范围，求得函数g(x)的最大值和最小值及对应的x的值．19.答案：(Ⅰ)证明：连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵M是BC中点，∴AM⊥BC，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，在平面PMA中AM∩PA=A，∴BC⊥平面PMA．∴平面PBC⊥平面PMA；(Ⅱ)解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=√6，∴V M−AND=V N−AMD=13S△AMD×12PA=13×12×2×ABsin60°×√62=√2．解析：(Ⅰ)连结AC ，由四边形ABCD 是菱形，且∠ABC =60°，得△ABC 是等边三角形，再由M 是BC 中点，得AM ⊥BC ，由已知PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥BC ，在线面垂直的判定得BC ⊥平面PMA ，从而得到平面PBC ⊥平面PMA ；(Ⅱ)由已知直接利用等积法求得四面体M −AND 的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)经过点(2,1)与点(−2,−3)的直线方程为y−1−3−1=x−2−2−2，即y =x −1．由题意可得，圆心在直线y =3上，联立{y =3y =x −1，解得圆心坐标为(4,3)， 故圆C 1的半径为4．则圆C 1的方程为(x −4)2+(y −3)2=16；(Ⅱ)∵圆C 1的方程为(x −4)2+(y −3)2=16，即x 2+y 2−8x −6y +9=0，圆C 2：x 2+y 2−2x +2y −9=0，两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x +4y −9=0．圆C 1的圆心到直线3x +4y −9=0的距离d =√32+42=3．∴两圆的公共弦MN 的长为2√16−9=2√7．解析：本题考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(Ⅰ)求出过两点(2,1)与(−2,−3)的直线方程，与直线y =3联立求得圆心坐标，再求得圆的半径，可得圆C 1的方程；(Ⅱ)求出两圆的公共弦所在直线方程，再由垂径定理求弦长．。

（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
（2）求日销售额S的最大值.
13.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x0，使得f(x0+1)＝f(x0)+1成立.
（1）函数f(x)＝x2是否属于集合M？说明理由；
（2）函数f(x)＝ 是否属于集合M？说明理由；
（3）若对于任意实数a，函数f(x)＝ 均属于集合M，试求实数b的取值范围.
（1）令t＝ ，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
10.函数fn(x)＝xn+bx+c(n∈Z；b，c∈R).
（1）若n＝－1，函数f(x)在区间[2，+∞)上是单调递增函数，求实数b的取值范围；
（2）设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1，1]，|f2(x1)－f2(x2)|≤4恒成立，求b的取值范围.
6.设全集U＝R.若集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2≤x＜3}，则A∩(∁UB)＝.
7.已知全集U＝R，集合P＝{x||x－2|≥1}，则P＝.
8.已知k为合数，且1＜k＜100，当k的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k的“衍生质数”.
（1）若k的“衍生质数”为2，则k＝.
（2）设集合A＝{P(k)|P(k)为k的“衍生质数”}，B＝{k|P(k)为k的“衍生质数”}，则集合A∪B中元素的个数是.
4.某个公园有个池塘，其形状为直角三角形ABC，∠C＝90°，AB＝100米，BC＝50米.
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D、E、F，并且，EF∥AB，EF⊥ED(如图1)，游客要在△DEF内喂鱼，希望△DEF面积越大越好.设EF＝x(米)，用x表示△DEF面积S，并求出S的最大值；