天津大学高数15-16学年第一学期期末试卷

2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试天津大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim 2x xx →= 。

2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。

3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。

4．不定积分⎰=。

5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定 （） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导2．曲线y =4x =处的切线方程是 （ ）A ．114y x =- B ．112y x =+C ．114y x =+ D ．124y x =+3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 （ ）A ．21x B ．3x C ．x D ．211x +4．设()f x 为连续函数，则下列等式中正确的是 （ ）A ．()()f x dx f x '=⎰B ．()()df x dx f x C dx =+⎰C ．()()d f x dx f x =⎰D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．已知()0232ax x dx -=⎰，则a = （ ）A ．1-B ．0C ．12 D ．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求函数 的极值与拐点.解：函数的定义域（－∞，+∞）。

2. 设抛物线上有两点，，在弧A B 上，求一点使的面积最大.3. 已知()x f 的一个原函数为2ln x ，则试求：()⎰'xf x dx . 确定2x y e =2(x -2)的单调区间.4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d yx 。

中国传媒大学2015─2016学年第二学期期末考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准考试科目： 高等数学A （下） 课程编码： 123002 考试班级： 2015级工科及网工与自动化 考试方式： 闭卷5小题, 每小题3分, 共15分)1．过点(,,)203-并与直线x y z x y z -+-=+-+=⎧⎨⎩247035210垂直的平面的方程为161411650x y z ---= .2. 函数f x y xyx y x y x y (,)(,)(,)(,)(,)=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪20000022在点(0,0)处所具有的分析性质(连续、偏导数存在、可微)是 偏导数存在 . 3. 设Ω是由222z x y =+及0z a =>所围的闭区域，将22()f x y dv Ω+⎰⎰⎰化成柱面坐标下的三次积分式为 220()a ard rdr f r dz πθ=⎰⎰⎰ .4. 设C 为平面上从点11(,)A x y 到点22(,)B x y 的有向曲线弧，函数()f x 是连续函数，则积分()Cf x dx =⎰ 21()x x f x dx ⎰ .5. 设∑是柱面224x y +=介于13z ≤≤之间的部分曲面，它的法向指向含oz 轴的一侧，则=_____ 0__ .4小题, 每小题3分, 共12分)1. 函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( A )(A).必要条件,但不是充分条件 (B).充分条件,但不是必要条件 (C).充分必要条件 (D).既不是充分条件,也不是必要条件 2. 设22()DI x y dxdy =+⎰⎰,其中D 由222x y a +=所围成,则I =( B )(A).22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B).2240012a d r rdr a πθπ⋅=⎰⎰(C).2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D).224002a d a adr a πθπ⋅=⎰⎰3. 设Ω是由2223,1xy z z x +==-所围的有界闭区域，且(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰( C )(A).10(,,)dz f x y z dx ⎰ (B).222112034(,,)x x y dx f x y z dz -+⎰⎰(C).2221113(,,)x x y dy f x y z dz --+⎰⎰(D).222132112(,,)x y x dx f x y z dz +--⎰⎰4. 设∑为球面2222x y z a ++=在z h ≥部分，0h a <<,则zdS∑=⎰⎰( D )(A). 22200a h d πθ-⎰⎰(B). 20d πθ⎰ (C). 20d πθ⎰ (D). 20d πθ⎰2小题，每小题9分，共18分） 1．（本小题9分）求质点沿椭圆22:44L x y +=的逆时针方向绕行一周时，力(3)(2)F y x i y x j =++-u r r r所做的功.解:LW F ds =⋅⎰u r rÑ, (3分)设L 所围区域为D ,由格林公式LW F ds =⋅⎰u r r Ñ(3)(2)Ly x dx y x dy =++-⎰Ñ(2)Ddxdy =-⎰⎰4π=-. (9分)2．（本小题9分）设向量场3322()()(33)A x yz i y zx j xyz x z y z k =++++--u r r r r ,∑是由平面1,2,3x y x y z ==++=及坐标面围成立体的整个边界曲面，求A u r通过∑外侧的流量.解:设∑所围立体为Ω,由高斯公式流量A d S ∑Φ=⋅⎰⎰u r u rÒ (3分)3322()()(33)x yz dydz y zx dzdx xyz x z y z dxdy ∑=++++--⎰⎰Ò P Q R dv x y z Ω⎡⎤∂∂∂=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎰⎰⎰xydv Ω=⎰⎰⎰ (5分)1230x yxdx ydy dz --⎰⎰⎰73=. (9分)2小题，每小题8分，共16分） 1．（本小题8分） 讨论函数z x y x y x x =-+++233322的极值.解:由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+++=03301266222x y z x xy x z y x ，得驻点-⎛⎝ ⎫⎭⎪1212, (4分) D z z z z x y x xy xx xy yxyy==++-1262666D -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-<121260,(6分)点-⎛⎝ ⎫⎭⎪1212,非极值点,故函数z 无极值. (8分)2．（本小题8分）设(,)f xy 为连续函数，交换二次积分110111(,)(,)(,)dx f x y dy fx y dy f x y dy -++⎰⎰的积分次序.解:原式211(,)ydy f x y dx -=⎰ (8分)2小题，每小题10分，共20分） 1．（本小题10分）求级数()∑∞=++⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+21)1ln(ln 111ln n n n n n n n n 的和. 解:记 ()()u n n n n n n nn =+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⋅++ln ln ln 11111，于是有()()u n n n n n =-++1111ln ln （5分）所以1111112ln 23ln33ln34ln 4ln (1)ln(1)n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-++122111ln ()ln()n n （8分） 故和 S S n n ==→∞lim ln 122.（10分）2．（本小题10分）设f x ()在[,]-L L 内有连续的导函数，且f L f L ()()-=.已知f x ()展成以2L 为周期的傅立叶级数的系数为a a b n n n 0123,,,,,,=⋅⋅⋅.试用a a b n n 0,,表示'f x ()的傅立叶系数A A B n n n 0123,,,,,,=⋅⋅⋅.解:由傅立叶系数的计算公式A L f x x L f x L L L L0110='==--⎰()d ()（3分） A L f x n xLx L f x n x L n L f x n xL xn L L LLLL='=+---⎰⎰112()cos d ()cos ()sin d ππππ==⋅⋅⋅n Lb n n π,,,,123 （7分）B L f x n xLx L f x n x L n L f x n xL xn L L LLLL='=----⎰⎰112()sin d ()sin ()cos d ππππ=-=⋅⋅⋅n La n n π,,,,123 （10分）2小题，共19分） 1．（本小题9分）设幂级数∑∞=0n nn x a ，∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为21,R R ，()21,m in R R R =，证明：当R x <时，幂级数()0n n n n a b x ∞=+∑绝对收敛.证:对于任意R x < ，由于()11,R R x -∈，()22,R R x -∈所以∑∞=0n nn x a ，∑∞=0n n n x b 绝对收敛. ( 4分)又()n n n n n n n x b x a x b a +≤+, ( 6分) 由比较判别法知()∑∞=+0n n n n x b a 绝对收敛。

上海海洋大学试卷（本答卷不准使用计算器）诚信考试承诺书本人郑重承诺：我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。

承诺人签名： 日 期：考生姓名： 学号： 专业班名：一、选择题(2143'=⨯')1．当0→x 时，函数()csc cot f x x x =-是x 的（ ）无穷小 A ．高阶 B. 低阶 C. 同阶但非等价 D. 等价2．设()2arcsin(1)x f x x x-=-，则下列说法中错误的是（ ） A ．0=x ，1=x 都是()x f 的间断点. B ．1x =是()x f 的第二类间断点.C ． 0x =是()x f 的第二类间断点.D ．1=x 是()x f 的第一类可去间断点. 3．设函数)(x f 在),(∞+-∞内连续，其导数的图形如图所示，则)(x f 有( )A ．一个极小值点和两个极大值点B ．两个极小值点和一个极大值点C ．两个极小值点和两个极大值点D ．三个极小值点和一个极大值点4.若()xf x e-=，则(ln )f x dx x=⎰（ ） 11..ln ..ln A c B x cC cD x cxx++-+-+二、填空题(3618''⨯=)1.微分方程2x y y x =-'在初始条件(1)0y =下的特解为 2．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导,则至少存在一点),(b a ∈ξ,使得 =-)()(a f b f e e成立3．若xe 是)(xf 的原函数，则(ln )xf x dx ⎰=4．2212_______x x dx --=⎰5．函数220(1)x t y t e dt =-⎰的极大值点为6.401xdxx +∞=+⎰三、计算题（必须有解题过程，否则不给分） (本大题共60分)：1. ()4x x 012tan x x cosx lim 3 ln 13x →++ （5分） 2. 220ln(1) lim arcsin x x t dtx x-→+⎰（5分）3. 1lim(1)tan2x xx π→- （5分） 4．22011lim()sin x x x →- （5分）5．设函数()1sin ,0,0x x f x xx αβ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，问,αβ分别取何值，有： （1）函数()f x 在0x =处连续；（3分） （2）函数()f x 在0x =处可导；（3分）（3）函数()f x 在0x =处导函数连续。

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分， 共1６分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .(A)(0)2f '= (B ）(0)1f '=（C)(0)0f '= (D)()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα．（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; （B)()()x x αβ与是等价无穷小;（Ｃ)()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则（ ).(A)函数()F x 必在0x =处取得极大值; （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值;(Ｃ)函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D)函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x (B)222x+（C)1x - (D)2x +．二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共1６分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则．7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ ．8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x ．三、解答题（本大题有5小题，每小题8分,共4０分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题１0分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的２倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程． 五、解答题（本大题1０分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及ｘ 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x ＝ e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有２小题，每小题４分，共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx．17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f （提示:设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题（本大题有4小题， 每小题4分， 共１６分) 1、D 2、A ３、C 4、Ｃ二、填空题(本大题有４小题,每小题4分，共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. ８.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共４０分）9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

2015-2016学年天津市六校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1．（5分）k＞9是方程表示双曲线的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件2．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β3．（5分）下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈R，使得sinx0﹣cosx0=﹣1.5B．∀x∈R，总有x2﹣2x﹣3≥0C．∀x∈R，∃y∈R，y2＜xD．∃x0∈R，∀y∈R，y•x0=y4．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．5．（5分）设F1，F2是双曲线=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，的值为（）A．2 B．3 C．4 D．66．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．1127．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2二、填空题、（每小题5分，共30分）9．（5分）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=．10．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为．11．（5分）用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．12．（5分）若点（3，1）是抛物线y2=2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=．13．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．14．（5分）若曲线y=与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．（13分）命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点；命题q：曲线﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．16．（13分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）已知不过原点的直线l与圆C相切，且与x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．18．（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．（Ⅰ）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．20．（14分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由．2015-2016学年天津市六校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1．（5分）k＞9是方程表示双曲线的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵k＞9，∴9﹣k＜0，k﹣4＞0，∴方程表示双曲线，∵方程表示双曲线，∴（9﹣k）（k﹣4）＜0，解得k＞9或k＜4，∴k＞9是方程表示双曲线的充分不必要条件．故选：B．2．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交、异面，故不正确；对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m、β相交或平行，或m⊂β，故不正确．故选：C．3．（5分）下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈R，使得sinx0﹣cosx0=﹣1.5B．∀x∈R，总有x2﹣2x﹣3≥0C．∀x∈R，∃y∈R，y2＜xD．∃x0∈R，∀y∈R，y•x0=y【解答】解：∵sinx﹣cosx=sin（x﹣）＞﹣＞﹣1.5，故A错误；当x=0时，x2﹣2x﹣3=﹣3＜0，故B错误；当x=0时，y2＜x恒不成立，故C错误；当x=1时，∀y∈R，y•x=y，故D正确；故选：D．4．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选：C．5．（5分）设F1，F2是双曲线=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：双曲线的两个焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）设P的坐标为（x，y），则∵△F1PF2的面积为2∴∴|y|=1，代入双曲线方程解得|x|=∴=（﹣2﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=x2﹣4+y2=3故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，故该几何体的体积是64+8=72．故选：B．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选：A．8．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+=0，a1=3a2，e1•e2=•==1，解得e2=．故选：A．二、填空题、（每小题5分，共30分）9．（5分）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=﹣7．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．10．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为﹣1．【解答】解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，即，∵焦点坐标为（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案为：﹣1．11．（5分）用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．【解答】解：设圆锥底面的半径为r，由题意可得圆锥的母线长为6，再根据圆锥底面的周长等于半圆的弧长，可得2πr=•2π•6，求得r=3，故圆锥的高为h==3，故此圆锥的体积是•πr2•h=•π•9•3=9π，故答案为：9π．12．（5分）若点（3，1）是抛物线y2=2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=2．【解答】解：过点（3，1）且斜率为2的直线方程为y=2x﹣5，代入抛物线y2=2px，可得（2x﹣5）2=2px，即4x2﹣（20+2p）x+25=0，∴=6，∴p=2，故答案为：2．13．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．【解答】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，又|AF|=2csinα，②|BF|=2ccosα，③把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴=，即e==，∵α∈[]，∴，∴，∴．故答案为：．14．（5分）若曲线y=与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是．【解答】解：x2﹣9≥0，曲线y=，可化为x2﹣y2=9（y≥0），x2﹣9＜0，曲线y=，可化为x2+y2=9（y≥0），图象如图所示，直线与半圆相切时，m=3，双曲线的渐近线为y=±x∴实数m的取值范围是．故答案为：．三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．（13分）命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点；命题q：曲线﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．【解答】解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（5分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（10分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（13分）16．（13分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）已知不过原点的直线l与圆C相切，且与x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+Dx+3=0的坐标C（﹣，），∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称，∴C（﹣，）在直线x+y﹣1=0上，即﹣﹣1=0，即D+E+2=0，半径R=，即D2+E2=20，解得或，此时圆心为（2，﹣1），或（﹣1，2），∵圆心在第二象限，∴圆心坐标为（﹣1，2），则圆C的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=2．（2）设不经过直线截距相等的直线方程为x+y=a，即x+y﹣a=0，则圆心到直线的距离d==，即|a﹣1|=2，解得a=﹣1或a=3，故直线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．18．（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．（Ⅰ）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x﹣4），由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分）因为点F到直线l的距离为，所以，…（3分）解得，所以直线l的斜率为．…（5分）（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，…（7分）直线AB的方程为，…（8分）联立方程消去x得，…（10分）所以，…（11分）因为N为AB中点，所以，即，…（13分）所以x0=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分）19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．【解答】解：（1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）∵PA=PD=AD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0）∴=（﹣，，），设是平面MBQ的一个法向量，则，，∴，∴，又∵平面BQC的一个法向量，∴cos＜＞=，∴二面角M﹣BQ﹣C的大小是60°．20．（14分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆M：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，∴2a=4，解得a=2，又∵椭圆M与椭圆+=1有相同的离心率，∴e==，解得c=2，∴b2==4，∴椭圆M的方程为．（Ⅱ）假设存在圆C：x2+y2=r2（r＞0），（i）若l的斜率不存在，设l：x=r，则A（r，y0），B（r，﹣y0），由，得到，又，消去y0，得到，∴．（ii）若l的斜率存在，设l：y=kx+m，∵l与C相切，∴r=，即m2=r2（1+k2），①又将直线l方程代入椭圆M的方程．得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，得，，由=0，得到+m2=0，化简，得3m2=8+8k2，②联立①②得，综上所述，存在圆C：，由，得|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）[（）2﹣4•]===∈（]．当k=0时，，∴|AB|∈[，]．又当k不存在时，|AB|=，∴|AB|的取值范围是[，]．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u=为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

上海海洋大学试卷（本答卷不准使用计算器）学年学期20 15 ~ 20 16 学年第一学期考核方式闭卷课程名称高等数学A（上）A/B卷（ A ）卷课程号学分 5 学时80题号一二三四五六七八九十总分分数阅卷人诚信考试承诺书本人郑重承诺：我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。

承诺人签名：日期：考生姓名：学号：专业班名：一、选择题()1．当时，函数是的（）无穷小A．高阶 B. 低阶 C. 同阶但非等价 D. 等价2．设，则下列说法中错误的是（）A．，都是的间断点. B．是的第二类间断点.C．是的第二类间断点.D．是的第一类可去间断点.3．设函数在内连续，其导数的图形如图所示，则有( )A．一个极小值点和两个极大值点B．两个极小值点和一个极大值点C．两个极小值点和两个极大值点D．三个极小值点和一个极大值点0 yx1 / 54.若，则（）二、填空题()1.微分方程在初始条件下的特解为2．若在上连续，在内可导,则至少存在一点, 使得成立3．若是的原函数，则=4．5．函数的极大值点为6.三、计算题（必须有解题过程，否则不给分）(本大题共60分)：1. （5分）2. （5分）3.（5分）4．（5分）2 / 55．设函数，问分别取何值，有：（1）函数在处连续；（3分）（2）函数在处可导；（3分）（3）函数在处导函数连续。

（4分）；（8分）6．设，求，7. 设的一个原函数为，求（8分）3 / 58. 已知, 求在内的表达.（8分）9．（6分）四、(7分)求由抛物线和所围图形的面积4 / 5五．(3分)若在上连续，在上可导，，证明：必使得：。

5 / 5。

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

2015-2016学年高三调研考试理科数学答案选择题： CDBBA CBACD BD 填空题：13. 3; 14.352; 15. 2; 16. 42λ-<<- 解答题：17.解：（1）3sin cos sin cos()m n A B AB A B ⋅==+ (2分)cos C C +=sin()62C π∴+=(0,)C π∈ 6C π∴=或2C π=(4分) (缺少一种情况扣1分)（2）当6C π=时，由余弦定理得a=321sin 264S π∴==(7分) 当2C π=时，由勾股定理得a=322128S ∴==(10分) (缺少一种情况扣3分) 18. （1）证明：∵11463,n n n nb b b b ++=- 即142,3n n b b +=- (2分)1442(),33n n b b +∴-=- 又14233b -=0≠ (若没有写首项不为0，不扣分)所以42{},233n b q -=是首项为公比的等比数列. (5分)（2）解：由（1）知41142,2(1).3333n n n n b b n -=⋅=⋅+≥即 (7分)因为11,2n n a b =+112n n n a b b ∴=+ (9分) ∴1122n n n S a b a b a b =+++121(12)153()2123n n b b b n n -=++++=+-1(251)3n n =+-(12分)19．解：(1) 1022102015152015153350503579928392392C C C C C C P C C =+=+=. (4分) (2)ξ的可能取值为0，1，2，3， (5分)又33035029(0)140C P C ξ===，12203035087(1)196C C P C ξ===，21203035057(2)196C C P C ξ===，32035057(3)980C P C ξ===， (9分) ∴随机变量ξ的分布列是2901231401961969809802455E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯===. (不约分不扣分) (12分)20. 解法一：⑴∵平面PAB ⊥平面ABC ,且AB BC ⊥,BC ∴⊥平面PAB ,BC PB ∴⊥. (4分)（2）如图建立空间直角坐标系，则1(0,,0)2A ，(0,0,0)B ，(1,0,0)C （6分）平面PAB ⊥平面ABC ，∴点P 在坐标平面yBz 内， 3PC = ,1BC =, BC PB ⊥ PB ∴=作PQ 垂直于直线AB 于Q , 则sin sin14PQ PB PBA π=⋅∠==，1QB =，(0,1,1)P ∴(0,1,1)BP =， )1,1,1(--=，1(1,,0)2AC =- (8分)设平面PBC 的法向量为1(,,)n x y z =，则110000BP y z x y z PC ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨--=⎩⋅=⎪⎩uu r uu u rn n 可得1(0,1,1)n =- ，同理可求出平面PAC 的法向量2(1,2,1)n =- （10分）1212123cos ,2|||||n n n n n n ∙∴==⋅，由图知，二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的大小是6π. （12分） 解法二：⑴∵平面PAB ⊥平面ABC ,且AB BC ⊥,BC ∴⊥平面PAB ,BC PB ∴⊥. (4分)⑵作PO ⊥直线AB 于O ,则PO ⊥平面ABC ，4PBA π∠=，PB =1PO BO ==如图，作AE PB ⊥于E ，则AE ⊥平面PBC ，,AE PC ∴⊥取PC 中点F ,连接AF ,EF ,1,1,2AO AB PO BC ====2AP AC ∴==AF PC ∴⊥ PC ∴⊥平面AEF PCEF ∴⊥ ∴AFE ∠就是二面角A PC B --的平面角. （8分）AF ==，AE AB == 1sin 2AE AFE AF ∴∠==，6AFEπ∠=， ∴二面角A PC B --的大小是6π. (12分)21．解（1）易得A 点坐标为， (1分)联立方程组222244024y m x m x y ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩(2分)因为A 、B 、D 三点两两互不重合28640m ∴∆=-+>，m ∴-<<0m ≠m ∴的取值范围是((0,22)- (4分) (没有舍去0扣1分)（2）设11(,),B x y 22(,)D x y ，2121244m x x x x -+== ①12BD x =-=(6分)设d 为点A 到直线BD y m =+的距离,则d =. (7分)12ABD S BD d ∆∴=⋅⋅=,当且仅当2m =±时取等号.2(22,0)(0,22),±∈-∴当2m =±时，ABD ∆(9分)（3）证明：设直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k 、AD k ，则1212121212()211(1)(1)AB AD y y x m x x mk k x x x x +-+++=+=---- 将①代入上式整理得0AB AD k k +=∴直线AB 、AD 的斜率之和为定值0. (12分)22. 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当1=a 时，()ln 1f x x x x =-+'()ln f x x =，令'()0f x >，则1x >；令'()0f x <，则1x <()f x ∴在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增min ()(1)0f x f ∴== (4分)（2）法1:'()ln 1(1)f x a x a x =+->①0a =时，'()10f x =-<，()f x 在(1,)+∞单调递减，()(1)0f x f <=恒成立与已知相矛盾 (6分)②当0a >时，由1'()0a af x x e->⇒>，由1'()00a af x x e-<⇒<<，()f x ∴的单调减区间是1(0,)a ae-，单调增区间是1(,)a ae -+∞.当11a a e -≤，即1a ≥时，()f x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0f x f >=恒成立 当11a ae->，即01a <<时，()f x 在1(1,)a ae-单调递减，在1(,)a ae-+∞单调递增，存在1()(1)0a af ef -<=，与已知相矛盾综上：实数a 的取值范围是[1,)+∞. (8分) 法2:1ln x a x x->在(1,)+∞上恒成立(5分)设1()ln x h x x x -=22ln 1()(ln )x x h x x x -+'= 令()ln 1x x x ϕ=-+ 11()10xx x xϕ-'∴=-=< ()x ϕ∴在(1,)+∞单调递减,又(1)0ϕ= ()(1)0x ϕϕ∴<=()0h x '∴<()h x ∴在(1,)+∞单调递减,又因为1x →时由洛必达法则知()1h x →实数a 的取值范围是[1,)+∞(8分) （3）法1:1m n >> ∴要证：11n m m n --<，只需证(1)ln (1)ln n m m n -<-只需证：ln ln 11m nm n <--． (10分) 设ln ()(1)1x g x x x =>-，则'21ln ()(1)x x xg x x x --=-． 由（1）知当1a =时，()ln 1(1)0f x x x x f =-+>= 1ln 0x x x ∴--<∴'()0g x < ∴()g x 在(1,)+∞上是减函数，而m n >．()()g m g n ∴< 故原不等式成立． (12分)法2:1m n >> ∴要证：11n m m n --<，只需证(1)ln (1)ln n m m n -<-只需证：11ln ln m n m n -->． 设1()(1)ln x g x x x-=> '2ln 1()(ln )x x x g x x x -+=由(1)知1x >时()0g x '> ∴()g x 在(1,)+∞上是增函数，而m n >．()()g m g n ∴> 故原不等式成立． (12分)2015-2016学年高三调研考试文科数学答案选择题： CDBBA CBACD DB填空题：13. 3; 14.3 ; 15.2; 16. 40λ-<< 解答题：17.解：（1）3sin cos sin cos()m n A BA B A B ⋅==+ (2分)cos C C +=sin()6C π∴+=(0,)C π∈ 6C π∴=或2C π=(4分) (缺少一种情况扣1分)（2）当6C π=时，由余弦定理得a=321sin 26S π∴==(7分) 当2C π=时，由勾股定理得a=32212S ∴==(10分) (缺少一种情况扣3分) 18. （1）证明：∵11463,n n n nb b b b ++=- 即142,3n n b b +=- (2分)1442(),33n n b b +∴-=- 又14233b -=0≠ (若没有写首项不为0，不扣分)所以42{},233n b q -=是首项为公比的等比数列. (5分)（2）解：由（1）知41142,2(1).3333n n n n b b n -=⋅=⋅+≥即 (7分)因为11,2n n a b =+112n n n a b b ∴=+ (9分) ∴1122n n n S a b a b a b =+++121(12)153()2123n n b b b n n -=++++=+-1(251)3n n =+-(12分) 19．解：（1）设两名女生编号为A 、B ，男生编号为1、2、3、4 则所有组队情况列基本事件如下：(A,B,1）、（A,B,2）、(A,B,3)、(A,B,4)、(A,1,2)、 (A,1,3)、(A,1,4)、(A,2,3)、(A,2,4)、(A,3,4)、(B,1,2）、（B,1,3）、（B,1,4）、（B,2,3）、（B,2,4）、 (B,3,4）、(1,2,3)、(1,2,4)、(1,3,4)、(2,3,4)共20个. (8分) （2）由（1）可知“只有一名女生入选”的基本事件共有12个 (A,1,2)、(A,1,3)、(A,1,4)、(A,2,3)、(A,2,4)、(A,3,4)、(B,1,2）、（B,1,3）、（B,1,4）、（B,2,3）、（B,2,4）、(B,3,4） (10分) 所以只有一名女生入选的概率是123205=. (12分) 20. 解：（1）在三棱锥B AEF -中，//NP EF //MN ∴平面AEF//MN AF //MN ∴平面AEF ，平面//MNP 平面AEF (4分)（2）法1:∵AB BE ⊥，AB BF ⊥，BEBF B =，∴AB BEF ⊥平面，(6分)11111123323A BEF BEF V S AB -∆∴=⨯=⨯⨯⨯⨯= (8分)111124824P MNE M PEN M BEN M BEF A BEF V V V V V -----∴===== (12分)法2: ∵AB BE ⊥，AB BF ⊥，BEBF B =，∴AB BEF ⊥平面，(6分)1111113232224P MNE M PEN PEN V V S AB --∆∴==⨯=⨯=(12分) 法3:38MNP S ∆=(6分) 13h =(有必要证明)(10分) 11324P MNEMNP V S h -∆=⨯=(12分) 21．解（1）易得A点坐标为， (1分)联立方程组222244024y m x m x y ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ (3分) 因为A 、B 、D 三点两两互不重合28640m ∴∆=-+>，m ∴-<<0m ≠m ∴的取值范围是((0,22)- (6分)(没有舍去0扣2分)（2）设11(,),B x y 22(,)D x y，2121244m x x x x -+== ①12BD x =-=(9分)设d 为点A 到直线BD y m =+的距离,则d =. (10分)12ABD S BD d ∆∴=⋅⋅=,当且仅当2m =±时取等号.2(22,0)(0,22),±∈-∴当2m =±时，ABD ∆(12分)22. 解：(1)由)1()(2+-+=a ax x e x f x 可得]1)2([)(2+++='x a x e x f x ． 当1a =时,e f e f 5)1(,2)1(='= (1分)所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为)1(52-=-x e e y 即035=--e y ex （3分）（2） 由(1)知]1)2([)(2+++='x a x e x f x ，若)(x f 在其定义域内存在减区间，则()0f x '<有解，(4分)即2(2)10x a x +++<有解，∴2(2)40a ∆=+->，4a ∴<-或0a >，所以a 的取值范围为(,4)(0,)-∞-+∞． （6分）（3）令)()()(2a ax x e e x f x g xx-+=-=，则关于x 的方程k x g =)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根. (7分)令0))2(()(2=++='x a x e x g x，解得(2)x a =-+或0x =．(8分) 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，0)(≥'x g ， 所以)(x g 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程k x g =)(在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根． (9分) 当(2)0a -+>，即2a <-时，)(),(x g x g '随x 的变化情况如下表由上表可知函数)(x g 在[0,)+∞上的最小值为2))2((+=+-a e a g ． 因为 函数)(x g 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数，(10分) （且容易看出，当x →+∞时，g （x ）→+∞或：当x a ≥-时，22()()()x g x e x ax a x ax a x x a a a =+-≥+-=+-≥-）(11分) 所以要使方程k x g =)(即k e x f x +=)(在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是],4(2a ea a -++. （12分）。

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题， 每小题4分， 共16分） 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f 。

(A ）(0)2f '= （B)(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A)()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小; (B ）()()x x αβ与是等价无穷小；(C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( ）.(A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；(C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x (B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +。

二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。

7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。

8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。

三、解答题(本大题有5小题，每小题8分,共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。