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集合与图论
哈斯图实例
例5：已知偏序集(A,R)的哈斯图如下图所示， 试 求出集合A和关系R的表达式。
A={a, b, c, d, e, f, g, h} R={(b,d),(b,e),(b,f),(c,d), (c,e),(c,f),(d,f),(e,f), (g,h)}∪IA
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集合与图论
等价关系的运算
R的等价闭包(R的自反对称传递闭包)，记为e(R), e(R)是X上包含R的那些等价关系的交集。
定理4 设R为X上的一个二元关系，则 e(R)=(R∪R-1)*。
定理5 设R,S是X上的等价关系，则RS是等价关 系的充要条件是RS=SR。
推论 设R,S是X上的等价关系，则RS是等价关 系的充要条件是RSSR。
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第9节 等价关系与偏序关系
主要内容：
• 等价关系 • 偏序关系
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集合与图论
1 等价关系
定义1 集合X上的二元关系R称为等价关系，如果R 同时具有以下三个性质： 1. R是自反的，即xX，xRx; 2. R是对称的，即如果xRy，则yRx; 3. R是传递的，即如果xRy，yRz，则xRz。
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集合与图论
上确界与下确界的定义
定义7 设(X,≤)是一个偏序集，BX。如果B有上 界且B的一切上界之集有最小元素，则这个最小上界 称为B的上确界，记为supB。
如果B有下界且B的一切下界之集有最大元素， 则这个最大下界称为B的下确界，记为infB。 例8：令A={2,3,6,12,24,36}，A在整除关系“”下构 成一个偏序集(A,)。 6,12,24,36都是子集{2,3}的上界。 6是子集{2,3}的上确界。 2,3,6,12都是子集{24,36}的下界。 12是子集{24,36}的下确界。
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实 例
例6：设A＝{a, b, c, d}, 给定 1, 2, 3, 4, 5, 6 如下： 1={{a, b, c},{d}}， 2={{a, b},{c},{d}} 3={{a},{a, b, c, d}}， 4={{a, b},{c}} 5={,{a, b},{c, d}}， 6={{a,{a}},{b, c, d}} 1和 2是A的划分，其他都不是A的划分。
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集合的划分
定义3 设X为非空集合，X的若干个子集形成的集 族称为X的一个划分，如果具有性质： (1) ； (2) x,y，若xy，则x∩y=; (3)
。
称 中的元素为X的划分块。 如果是X的一个划分，则当=k时， 被称为X 的一个k-划分。
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A关于模 3 等价关系R 的商集为： A/R = { {1, 4,7}, {2, 5, 8}, {3, 6} }
A关于恒等关系和全域关系的商集为： A/IA = { {1},{2}, … ,{8}} A/EA = { {1, 2, … ,8} }
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集合与图论
实 例
例8：给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系。 求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写出 对应的等价关系。
集合与图论
实 例
例10：设偏序集(A, ≤)如下图所示，求A 的极小元、 最小元、极大元、最大元。 设B＝{ b, c, d }, 求B 的下界、上界、下确界、上确界。
解：极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元。 B的下界和最大下界都 不存在； 上界有d 和 f； 最小上界为 d。
实数间的常用的“小于或等于”关系是不是全序关 系? 是全序关系，相应的偏序集也是全序集。 集合的包含关系与自然数间的整除关系是不是全 序关系? 二者都不是全序关系。
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盖住的定义
定义4 设(X,≤)是一个偏序集，称y盖住x，如果 x<y且对每个zX，若x≤z≤y，则x=z或y=z。 如果y盖住x，则y被称为x的后继，而x称为y的前 驱。 例3：偏序集(N,≤)中，称3盖住2，3是2的后继，2是3 的先驱。 {1, 2, 4, 6}集合上的整除关系, 2覆盖1, 4 和 6 覆 盖2；但4不覆盖1.
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集合与图论
实 例
例2：自然数集合N上的整除关系“”是不是偏序关 系? 自然数集合N上的整除关系“”是偏序关系。 (N,)是一个偏序集。 设≤是X上的偏序关系，则≤的逆≤-1也是X上的偏 序关系，以后用“≥”表示≤的逆关系，并读成“大 于或等于”。 若x≥y且xy，则简记为x>y。
②上界与下界可能有很多元素 6,12,24,36都是子集{2,3}的上界。
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集合与图论
最大与最小元素
定义6 设(X,≤)是一个偏序集，BX。如果存在一个 元素aB使得对B中每个元素x有x≤a，则称a是B中的最 大元素。 如果存在一个元素bB，使得对B的每一个元素x有 b≤x，则称b是B中的最小元素。 ①最大元素一定是上界，最小元素一定是下界; ②有上下界不一定有最大与最小元素, 因为上下界不一定在子集中; ③最大元素与最小元素若有一定是唯一的。
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集合与图论
2 偏序关系
定义1 集合X上的二元关系R称为偏序关系，如 果R同时满足以下三个性质： 1. R是自反的； 2. R是反对称的； 3. R是传递的。 当抽象地讨论X上的偏序关系时，常用符号“” 表示偏序关系。如果xy，则读作“x小于或等于y”。 约定xy且xy时，就记为x<y。 如果存在x,yX使得xy与yx中有一个成立，则称x 与y可比较; 在偏序关系中，并不是X中所有元素都可比较; 15/30 如果x,yX，xy并且yx，则称x与y不可比较。
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全序关系的哈斯图
例6：设A={a1,a2,...,an}是一个全序集，则其元素 可以“从小到大”排列为： ai1<ai2<...<ain (A,≤)的哈斯图象一条链子一样。 所以，全序关系也叫做线性序关系， 全序集又称为线性序集。
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上界与下界的定义
定义5 设(X,≤)是一个偏序集，BX。如果存在一 个元素aX使得对B中每个元素x有x≤a，则称a为B的 一个上界。 如果存在一个元素bX，使得对B的每一个元素x 有b≤x，则称b为B的一个下界。 ①上界与下界都不一定存在。 例7：令A={2,3,6,12,24,36}，A在整除关系“”下构成 一个偏序集(A,)。 {24,36}不存在上界, {2,3}不存在下界,
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商 集
等价关系R确定的划分是R的所有等价类之集 {[x]xX}
定义4 设R是X上的等价关系，由R所确定的X的 划分也就是R的所有等价类之集称为X对R的商集， 并记X/R。 即：X/R={[x] xX，[x]是x的等价类}。
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实 例
例7：令A={1, 2, …, 8}。
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等价关系与集合的划分
定理1 设R是X上的一个等价关系，则R的所有等 价类的集合是X的一个划分。 定理2 设是集合X的一个划分，令 R ={(x,y) | x,yX∧x与y在的同一划分块中} 则R是X上的一个等价关系，并且就是R的等价类之 集。 注： 由定理1、2可得：X上的等价关系与X的划分 是一一对应的，并且互相确定。
Ker(f)是X上的等价关系。
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等价关系的关系图
例5：设 A={1, 2, …, 8}, 如下定义 A上的关系R： R={(x,y)| x,yA∧x≡y (mod 3)}
R 的关系图如下：
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等价类的定义
定义2 设R是X上的一个等价关系，xX，X 的子集Ex={yyX且xRy}称为x关于R的等价类，或 简记为x的等价类。 x的等价类常记为[x]，即[x]={yyX且xRy}。 例5：设 A={1, 2, …, 8}, 如下定义 A上的关系R： R={(x,y)| x,yA∧x≡y (mod 3)} A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7}
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哈斯(Hasse)图的特点
哈斯图就是利用偏序的自反、反对称、传 递性简化了的关系图。
特点： (1)每个结点没有环; (2)两个连通的结点之间的序关系通过结点 位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前; (3)具有覆盖关系的两个结点之间连边。
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哈斯图实例
例4：({ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除) (P({a, b, c}), R)
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实 例
例9：令A={2,3,6,12,24,36},A在整除关系“”下构成一 个偏序集(A,)。 A中有最大元素和最小元素吗？ A中没有最大元素也没有最小元素。 因为24与36不可比，2与3也不可比。 但是A中没有比24和36更大的元素，也没有比2与 3更小的元素。 称24和36都是极大元素,2与3都是极小元素。
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哈斯(Hasse)图
首先偏序关系≤是自反的，所以偏序关系的关系图 中每个顶点都有一个环，因此可以省略每个顶点的环。 其次由于偏序关系是传递的，那么只要在前驱与 后继间联线即可。 最后由于反对称性，若x<y，xy，则点y画在x 的上方，这样就不必用矢线了，按上述方法画出的图 称为(X,≤)的哈斯图。
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偏序集
定义2 设是X上的一个偏序关系，则称二元 组(X,)为偏序集。 一个集合上可能存在多个偏序集。
例如实数集上存在(R,)和(R,≥)两个偏序集。
例1：设S是一个集合，S的子集间的包含关系是不 是偏序关系？ S的子集间的包含关系是2S上的偏序关系， (2S,)是一个偏序集。 在这个偏序集中，存在着不可比较元素。 例如：S={a,b,c}，则{a}与{b,c}不可比较。
例1：集合X上的恒等关系是不是X上的等价关系？
是X上的等价关系。
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等价关系实例
例2：考虑整数集Z上的模n同余关系。
是等价关系。 例3：实数集上的“>”、“<”、“≧”、“≦”是 不是R上的等价关系？
实数集上的“>”、“<”、“≧”、“≦”都不 是R上的等价关系。
例4：设f:XY，Ker(f)={(x,y)x,yX，且f(x)=f(y)}。
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
[3]=[6]={3,6}
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等价类的性质
定理1 设R是非空集合X上的等价关系, 则 (1) xX, [x]≠ 。
(2) x, yX, 如果(x, y)R, 则 [x]=[y]。 (3) x, yX, 如果(x, y)R, 则 [x]∩[y]=。 (4) ，即所有等价类的并集就是X。
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实 例
A上的等价关系与划分之间的对应： 4对应于全域关系EA； 5对应于恒等关系IA； 1, 2和 3分别对应于等价关系 R1, R2和R3，其中 R1={(2,3),(3,2)}∪IA R2={(1,3),(3,1)}∪IA R3={(1,2),(2,1)}∪IA 问题：设集合X为有限集，|X|=n，则X上有多少个 等价关系？
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集合与图论
全序关系与全序集
定义3 集合X上的偏序关系叫做全序关系，如果 x,yX，xy与yx至少有一个成立。全序关系也称为 线性序关系。X与全序关系≤构成的二元组(X,≤)称为全 序集。
偏序集与全序集的主要区别在于全序集中任两个 元素均可比较“大小”，而在偏序集中任意两个元素 不一定都能比较大小。
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集合与图论
极大元素与极小元素的定义
定义8 设(X,≤)是一个偏序集，AX，A中元素s称为 A的极大元素，如果A中没有元素m使得ms且s≤m。 如果A中有元素d，使得xA，若xd，则x≤d不 成立，那么d被称为A的极小元素。 ①若A中有极大元素，则极大元素属于A，而且未必 唯一，甚至可能有无穷多个。 同样若A中有极小元素，则极小元素属于A，而且 未必唯一，甚至可能有无穷多个。 ②极大元素不一定是最大元素，但最大元素一定是 极大元素。 同样极小元素不一定是最小元素，但最小元素一定 29/30 是极小元素。
