线性变换矩阵表示

x1
T (
)
A
x2 xn
,
T ( ) A .
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例11 在P[ x]3中,取基
p1 x3 , p2 x2 , p3 x, p4 1, 求微分运算D的矩阵.
Dp1
3x2
0
p1
3
p2
0
p3
0
p4 ,
解
Dp2
2x
0
p1
0
p2
2
p3
0
p4 ,
Dp3 1 0 p1 0 p2 0 p3 1 p4 ,
(2)取基为 i , j , i j k ,求T的矩阵.
解
Ti i ,
(1)
TTkj
j, 0,
即
1 T(i , j,k) (i , j,k)0
0 1
0 0.
0 0 0
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T i ,
(2)
T T
j i
,
j
,
即
1 T(i , j,k) (i , j,k)0
总之, Rn中任何线性变换T ,都能用关系式 T ( x) Ax( x Rn )
表示, 其中A (T (e1 ), ,T (en )).
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定义7 设T是线性空间Vn 中的线性变换, 在
Vn中取定一个基1 , 2 , , n , 如果这个基在变换
T下的象(用这个基线性表示)为
T (1 ) a111 a21 2 an1 n ,
性
变
换
在
基
1
,
下
2
的
矩
阵
为
A
a11 a21
a12 a22
,
求T在
基
2
,
1下的矩阵.
解
(
2
,
1
)
(
1
,
2
)
0 1
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反之, 如果一个线性变换T使T (ei ) ai (i 1, 2, , n), 那么T必满足关系式
T ( x) T[(e1 , , en ) x] T ( x1e1 xnen ) x1T (e1 ) xnT (en ) (T (e1 ), , xnT (en )) x (a1 , , an ) x Ax.
定义7及以上讨论表明，在Vn 中取定一个基以后， 由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A，由一个矩阵A 也可以唯一地决定一个线性变换T。
这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关
系。
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由关系式(6)可见与T ( )在基1, 2 ,
,
下
n
的
坐
标分别为:
x1
x2 xn
,
即 按 坐 标 表 示, 有
(1, 2, , n )B T(1, 2, , n ) T[(1,2 , ,n )P] [T (1,2 , ,n )]P (1,2 , ,n )AP (1, 2 , , n )P 1 AP,
因为1 , 2 ,
,
线
n
性
无
关,
所以
B P 1 AP.
证毕.
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例13
设V2中
的
线
T
(
2
)
a12 1
a22
2
an2 n ,
T ( n ) a1n1 a2n 2 ann n ,
记T (1 , 2 , , n ) (T (1 ),T ( 2 ), ,T ( n )), 上
式可表示为
T (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) A, (5)
,
下
n
的
矩
阵,
也
就
给
出
了
这
个
基在
变换T下
的
象.下
面根据变换T保持线性关系的特性来推导变换T必须
满足的关系式:
n
Vn中的任意元素记为 xi i , 有 i 1
T n xi i n xiT ( i )
i1
i1
x1
x1
T (1 ),T ( 2 ),
,T ( n )
x2 xn
1 , 2 ,
么B P 1 AP.
定理表明 B 与 A 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 P 就是相似变换矩阵。
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证
于是
按 定 理 的 假 设, 有
(1, 2 , , n ) (1 , 2 , , n )P, P可逆; T (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n )A, T(1, 2, , n ) (1, 2, , n )B,
Rn中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示.
为此, 考虑到a1 Ae1 , a2 Ae2 , , an Aen (e1 , e2 , , en为单位坐标向量),即
ai T (ei ) (i 1,2, , n) 可见如果线性变换T有关系T ( x) Ax, 那么矩阵A应以
T (ei )为列向量.
Dp4 0 0 p1 0 p2 0 p3 0 p4 ,
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所以D在这组基下的矩阵为
0 0 0 0
A
3 0 0
0 2 0
0 0 1
0 00
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例12 在R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线 性变换,即
T ( xi yj zk ) xi yj , (1)取基为i , j , k ,求T的矩阵;
0 1
1 1.
0 0 0
由上例可见，同一个线性变换在不同的基下有 不同的矩阵。
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线性变换在不同基下的矩阵之间关系
定理3 设 线性空间Vn中取定两个基
1,2, ,n;
1, 2, , n ,
由基1 , 2 ,
,
到
n
基
1
,
2
,
,
的
n
过
渡
矩
阵
为P
,Vn
中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B, 那
, n A
x2 xn
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即T 1 , 2 ,
, n
x1 x2
xn
1 , 2 ,
, n A
x1
x2 xn
,
(6)
这个关系式唯一地确定一个变换 T ，可以验证所确定
的变换 T 是以 A 为矩阵的线性变换，总之，以 A 为
矩阵的线性变换 T 由关系式(6) 唯一确定。
§5 线性变换的矩阵表示
★线性变换的矩阵 ★线性变换在不同基下的
矩阵之间的关系 ★线性变换的秩
为了将线性变换的讨论转化为矩阵的讨论， 我们必须建立线性变换与矩阵之间的联系。
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线性变换的矩阵
上 节 例10中, 关 系 式
T( x) Ax ( x Rn )
简单明了地表示出Rn中的一个线性变换.我们自然希望
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其中
a11 a12
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
,
那么,
A就称为线性变换T在基1 , 2 ,
,
下
n
的
矩阵.
显然, 矩阵A由基的象T (1 ),T (2 ), ,T (n )
唯一决定.
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如果给出一个矩阵A作为线性变换T在基1 , 2 ,