《§3.4.1基本不等式》的教学设计
黑龙江省七台河市第二中学王世艳
教材：人教版高中数学必修5第三章
一、教学内容解析
本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。
二、教学目标设置
1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；
2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。
三、学生学情分析
对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。
四、教学策略分析
在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点
五、教学过程：
（一）情景引入
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。
通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。
探究一：观察上面的会标。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。将代数与几何紧密的结合在了一起。
【设计意图】
1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发现基本不等式的本质和成立条件。
2．鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解基本不等式的实质。 师：从图形上你能观察到了什么？
生：边、角、三角形、正方形
师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？ 生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。
师：那么面积之间又有怎样的关系呢？
生：大正方形面积22a b +，四个直角三角形面积2ab ，并且22
a b +>2ab 。
师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？
生：还会相等。 a b =时会相等。
（教师投影展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。）
结论：22
2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）
师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可）
生：由222a b ab +≥，则2220a b ab +-≥⇒2()0a b -≥恒成立。则a b =时取等号。 师：一般的我们都用a ，b 表示，那么若将上式中的a ，b
，你又会得出什么结
论？如何证明？
【设计意图】
用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。
生：
0,0)a b a b +≥>> 当且仅当a b =时取等号。
师：很好，还可以写成
(0,0)2
a b a b +≤
>>，如何证明这个结论成立呢？
生投影展示：要证2a b +≥
，只要证a b +≥
，只要证0a b +-≥
，只要证20≥，显然式子成立，当且仅当a b =取等号。
师：这样我们又一次得到了基本不等式。根据以上证明学生已经基本了解了基本不等式的形式 和推导方法，同学们是否真正理解了基本不等式的含义。
探究二： 如右图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =，BC b =。过点C 作垂直于AB 的弦DE ,连接AD 、BD
(0,0)2a b a b +≤
>>的几何解释吗？ 【设计意图】
对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。
（学生口述证明过程，教师给以引导）
证明：因为ACD BCD ∆∆:
，所以CD =
。 由于CD 小于或等于圆的半径，
(0,0)2
a b a b +≤>> 显然不等式当且仅当点C 与圆心结合，
即当a b =时，等号成立
A B D C O
结论:（教师投影展示学生口述结果）
a 、
b 的几何平均数，2
a b +是a 、b 的算术平均数。 代数解释是几何平均数不大于算术平均数。
几何解释为半弦不大于半径。
师：以上利用代数法和几何法推导基本不等式，过程详细，内容明确，学生们对基本不等式理解了吗？我们来看看以下几个问题是否正确？
例：判断对错
（1）由,,a b R ∈则a b +≥。 （ ）
（2）若0,x <则12x x
+
≥。 （ ）
（3）当0,0a b ≥≥时，2
a b +≥ （ ） （4）函数1y x x =+的最小值为2. （ ） 【设计意图】
考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了基本不等式并能注意运用公式时需要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。
（学生先独立思考，组内再探讨，最后小组派代表解答。）
师：基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，看下面的例题。 合作探究：下面两道例题都由学生先独立完成，然后组内探讨，最后组内出代表完成。
例：（１）用篱笆围一个面积为１００平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？
【设计意图】
1．总结归纳利用基本不等式求最值问题，实现积与和的转化。
2．培养学生在实际生活中对不等式的感性认识提炼为理性认识的过程，感受不等式和生活的紧密联系和指导意义。
解：设矩形菜园的长为x ｍ，宽为y ｍ，则100xy =，篱笆的长为()2x y +ｍ．
由2
x y +≥，可得x y +≥，()240x y +≥。等号当且仅当x y =时成立，此时10x y ==.
因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m ．
师：完成此例题你有什么发现？
