5-3 电偶极辐射

ip i ( i ) p0 ( x )e it p p0 ( x )e
2 it
从而得到： |2 p 2 4 | p 0
P 1 4
0
p0
2
4
3c
3
五、短天线的辐射 辐射电阻 当天线的长度远小于辐 射波长时，它的辐射就 是电偶极辐射。 馈电点处电流有最大值 I0，在天线两段电流为 零。若天线长度l<<，
2
3
பைடு நூலகம்
sin d
S

2 | | p
32 0 c
2 2 | | p 2
3

2
0
d sin d
3 0


32 0 c
3
2
4 3

1 40

2 | | p
3c
3
如果偶极子作简谐振动，角频率为ω ，且有 it p( x, t ) p0 ( x )e 则 ip ip0 ( x )e it p
2n x 一般是不能忽略的，因此
x 要保留，
所以，
A( x )
0
4

V
)eik ( R n x ) J(x R

dV
把相因子对 kn x 展开，得
e
ikn x
1 ikn x
1 2!
) 2 (ikn x
从而得到矢势A的展开式为：
2 x 2n x r R 1 2 R R 1 2
2
z
r
l o x
x
P y
x
, J
由二项式展开得到（略去 x 2 / R 2 等高次项）： r R n x 由此得到
A( x )
0
4

V
J ( x )e
ik ( R n x )
稳恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，
磁场也和稳恒场相似。 b) 远区（辐射区）r>>λ，而且也保证r>>l。 在此区域中场强E和B均可略去
1 R 1 | x |
的高次项，
该区域内的场主要是横向电磁场。
c) 感应区（过渡区），r ~ λ，但满足r>>l。 这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和辐射区
辐射角分布定义为：在 , 方向单位立体角内平均辐射
能流，即
f ( , )
S ds d
2 | | p
当 R 一定时， sin 2 显然 S
f ( , ) S R dn
2
d

32 0 c
2
3
sin
2
z

S
由此可见
当 时 , 辐射最强 2 当 0或时 , 辐射为0
A( x )
则有
ikr
0
4

V
J ( x )e r
dV
式中因子eikr是推迟作用因子，它表示电磁波传到场 点时有相位滞后kr。 由电荷守恒定律，在一定频率的交变电流情形中有
i J
可见，只要电流密度给定，则电荷密度也自然确定， 标势也随之确定。 r ( x , t ) c dV ( x, t ) 40 r
1. 辐射场的能流密度
在波动区域中，电磁场能流密度的平均值为
S S c 20 1 20 Re( E B )
* 2 | | p
1 20
3 2
Re c( B n) B
*



|B| n
2
32 0 c R
2
sin n
2
2. 辐射场的角分布
所谓辐射场的角分布，就是讨论辐射的方向性。
R n x
dV
根据小区域的意义
l ~| x | , l ~| x | r.
因此，在计算辐射场时只须保留1/R的最低次项。 而 R r , r | x |，所以分母中可以去掉 n x 项。但分子不能去掉 n x 项，这是因为这项贡献 一个相因子： ikn x i 2n x / e e 所以涉及的是小参数 x 而不是 x R ，相位差
V
由于
JdV p
V
，所以 A ( x )
(1)
0 e
ikR
4 R
p
可见A(1)表示振荡电偶极矩产生的辐射，简称为电 偶极辐射。 由于讨论远区场时，只保留1/R的最低次项，因而 算符▽不需作用到分母上，而仅需作用到相因子 ikR e 上即可达到要求。
作用结果相当于代换： ikn ,
Ρ 1 2 Rr I0
2
2
所以
Rr

6
0 l 0
l 197
2
天线的辐射电阻越大，表示在一定输入电流下， 辐射功率愈大。因此，辐射电阻通常是用来表征 天线辐射能力的一个量。
t
i
由此得到，辐射场为
B A ikn A i 0 k 4R e
ikR
n p

1 40 c R
3
e
ikR
in p
1 40 c R
3
e
ikR
n p
E
ic k
B 1
ic k
ikn B cB n
40 c R
的过渡区域中。
2. 辐射场的矢势展开式（远区） 选坐标原点在电流分布区域内，则 量级， x , R
z
r
r x x
x
与l 同数
。
P
l
x
o , J
x
y
x
由图可知：
r | x x | | x | x 2 x x
2 2 2 2 2 R x 2 Rn x
2
这个式子适用于l<<情形。若保持天线电流 I0 不 变,则短天线的辐射功率正比于(l/)2 。
思考：是否随着l的增加，P可无限制地增加？
电磁能量不断向外辐射，电源需要供给一定的功 率来维持辐射。辐射功率正比于I02 ，因此辐射功 率相当于一个等效电阻上的损耗功率。这个等效 电阻称为辐射电阻Rr。
这就是我们在日常生活中，经常通过拨动收音机或电视机 天线的方位为获得最佳音响和清晰图象的缘故。
3 辐射功率 单位时间内通过半径为 R 的球面向外辐射的平均
能量，称为辐射功率。
把 S 对球面积分即得总辐射功率，即
P


| S | ds
2 | | p
S

| S | R d
2
2
S
32 0 c
J ( x, t ) r

V
dV
若电流 J ( x, t ) 是一定频率ω的交变电流，有
J ( x, t ) J ( x)e
it
因此
Α( x,t)
0
4

J ( x ) e
i ( k r t )
dV
r
式中 k c 为波数
如果令 A( x, t ) A( x )e it
2 k
第二，波长
的线度；
第三，电荷到场点的距离r。 我们研究分布于一个小区域内的电流所产生的辐 射。所谓小区域是指：l 对于r 和λ的关系，可分为三种情况：
l r
a) 近区（似稳区） r , 但仍满足 r l
在近区内，kr <<1，推迟因子eikr~1，因而场保持
则沿天线上的电流分布近似为线性形式
I ( z ) I 0 (1 2 l z) z l/2
电偶极矩变化率
p

l/2
l / 2
ˆ I ( z ) dz e z
1 2
I 0l
短天线的辐射功率：
Ρ
0I
2 0
l
2
2
48 c


12
0 0
2 l I 0
2
e
ikR
( n) n p
如果取球坐标，原点在电荷电流分布
区域内，并以p方向为极轴，则由上
式可知： B沿纬线上振荡，E沿经线上振荡。
B E 1 40 c R
3
z

e
ikR
ˆ | | sin( )e p ˆ | | sin( )e p
1 40 c R
由此可见，由矢势公式就可以完全确定电磁场。 磁场
Β Α
ic k Β
电场（在电荷分布区域外面） Ε
二、矢势A的展开式
1. 小区域内的电流所产生的辐射的特点： 对于矢势
A( x )
0
4

V
)eikr J(x r
dV
注意到其中三个线度问题：
第一，电荷分布区域的线度l ，它决定积分区域 内| x’ |的大小；
1 2 A( x ) J ( x) 1 ikn x 2! (ikn x) dV 4 R V
0 e
ikR
展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。
三、电偶极辐射
展开式的第一项
A
(1)
( x)
0 e
ikR
4 R
J ( x )dV
§5.3 电偶极辐射
电磁波是交变运动的电荷系统辐射 出来的，在宏观情形电磁波由载有交变 电流的天线辐射出来；在微观情形，变 速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。 本节研究宏观电荷系统在其线度远 小于波长情形下的辐射问题。
一、计算辐射场的一般公式