蒙日圆及其证明 高考题 (2019年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的 一个焦点为 (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程． 答案：(1)22 194 x y +=；(2)2213x y +=． 这道高考题的背景就是蒙日圆. 普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2019年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是 定理 1 曲线1:22 22=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆 2222b a y x +=+. 定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法： 定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是 )0)((00≠-=-k x x k y y . 由?? ???-=-=+ )(10022 22x x k y y b y a x ，得 由其判别式的值为0，得 因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以 由此，得 进而可得欲证成立. 定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设两个切点分别是)0)(,(),,(21212211≠y y x x y x B y x A .
数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上， 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。
新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案
全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理）） 过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜 率 等 于 （ ） A ．y E B B C CD =++3 B ．3 C ．3± D ．32 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ．25 B ．4 5 C 25 D 453 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 已知中心在原 点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程 是 （ ） A ．22 145 x -= B ．22 145 x y -= C ． 22 125 x y -= D ． 22 125 x -=
4 ．（2013年高考新课标1（理）） 已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近 线 方 程为 （ ） A ．14y x =± B ．13 y x =± C ． 12 y x =± D ．y x =± 5 ．（2013年高考湖北卷（理）） 已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦 距相等 D ．离心率相等 6 ．（2013年高考四川卷（理）） 抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距 离 是 （ ） A ．12 B ．3 2 C ．1 D 3
蒙日圆及其证明 高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>> 的一个焦点为 (1)求椭圆的标准方程； C (2)若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P C 的轨迹方程． 答案：(1)22 194 x y +=；(2)2213x y +=． 这道高考题的背景就是蒙日圆. 普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是 定理1 曲线的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆1:22 22=+Γb y a x . 2222b a y x +=+定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法： 定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是，或. ),(b a ±),(b a -±当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是且，所以可设曲线的过点P 的切线方程是 ,)(,(000a x y x ±≠)0b y ±≠Γ.由，得 )0)((00≠-=-k x x k y y ?? ???-=-=+)(10022 22x x k y y b y a x 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a 由其判别式的值为0，得 )0(02)(220220002220≠-=++--a x b y k y x k a x 因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以 PB PA k k ,k 220220a x b y k k PB PA -+=? 由此，得进而可得欲证成立. 2220201b a y x k k PB PA +=+?-=?定理1的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2
数学圆锥曲线测试高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线 x 2a 2－ y 2 b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,
蒙日圆及其证明 甘志国(已发表于 河北理科教学研究，2015(5)：11-13) 高考题 (2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的 一个焦点为 (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程． 答案：(1)22 194 x y +=；(2)2213x y +=． 这道高考题的背景就是蒙日圆. 普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge ，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是 定理 1 曲线1:22 22=+Γb y a x 的两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹是圆 2222b a y x +=+. 定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法： 定理1的证法1 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是),(b a ±，或),(b a -±. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是,)(,(000a x y x ±≠且)0b y ±≠，所以可设曲线Γ的过点P 的切线方程是 )0)((00≠-=-k x x k y y . 由?? ???-=-=+ )(10022 22x x k y y b y a x ，得 0)()(2)(2220020022222=--+--+b a y kx a x y kx ka x b k a 由其判别式的值为0，得 )0(02)(22 022*******≠-=++--a x b y k y x k a x 因为PB PA k k ,是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以
浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0） 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 一条直线 D ． 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0） 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面 的斜．线．段． ） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A （0,2） 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0） 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上． 若 F 1A 5F 2B ,
数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,
数学圆锥曲线测试高考题 、选择题： 2. （2006全国 II ）已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x 3 2＋y 2 ＝1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 （ A ）2 3 （B ） 二、填空题： 1 设点 A 1, ，则求该椭圆的标准方程为 1. （2006 全国 II ）已知双曲线 a 2 b 2 （C ）54 A)5 3 x 2 y 2 4 1的一条渐近线方程为 y ＝ 3x ，则双曲线的离心率为（ (D)3 2 C) 4 3 D)12 3. （2006全国卷 I ）抛物线 y x 2 上的点到直线 4x 3y 0距离的最小值是（ A ． 4 3 ．3 4．（ 2006 广东高考卷） 已知双曲线 3x 2 y 2 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等 于( ) 22 A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 2006 辽宁卷）方程 2x 2 5x 0 的两个根可分别作为（ Ａ．一椭圆和一双曲线的 离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 6. 2006 辽宁卷）曲线 10 m 2 y 6m 2 1(m 6) 与曲线 x 5m 2 y 1(5 m 9) 的( ) 9m 7． 8. （A ）焦距相等 （B ） 离心率相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同 2 2 x 2006 安徽高考卷）若抛物线 y 2 2 px 的焦点 与椭圆 6 A ． 2 ．4 1的右焦点重合，则 p 的值为（ 22 2006 辽宁卷）直线 y 2k 与曲线 y 2 18k 2 x (k R,且k 0） 的公共点的个数为（ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9. （2006 全国卷 I ）双曲线 mx 2 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 10. （2006 上海卷 ）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为 F （ 3,0） , 右顶点为 D （2,0） ,
江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线 （2008-2018）试题 1、9．（5分）（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A （0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线 OE的方程为，请你完成直线OF的方程：． 2、12．（5分）（2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为． 3、13．（5分）（2009江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆 的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．
4、6．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 ． 5、8．（5分）（2010江苏）函数y=x 2（x ＞0）的图象在点（a k ，a k 2 ）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1，k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5= ． 6、9．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2 =4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ． 7、14．（5分）（2011江苏）设集合 222{(,)| (2),,},{(,)|221,,} 2 m A x y x y m x y B x y m x y m x y =-+∈=++∈R R 若,A B ≠? 则实数m 的取值范围是______________． 8、8．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 的离心率为 ，则m 的值为 ． 9、12．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2 ﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ． 10、3．（5分）（2013江苏）双曲线 的两条渐近线方程为 ． 11、12．（5分）（2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为（a ＞b ＞0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2= ，则椭圆C 的离心率为 ． 12、9．（5分）（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y ﹣3=0被圆（x ﹣2）2 +（y+1）2 =4截得的弦长为 ． 13、10．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 14、12．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2 =1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ． 15、3．（5分）（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 ﹣ =1的焦距是 ． 16、10．（5分）（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ．
蒙日圆及其证明 甘志国（已发表于河北理科教学研究，2015（5） : 11-13） 2 2 高考题（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C :笃?打=1（a ■ b ■ 0）的 a b 一个焦点为（-5,0），离心率为〈. 3 （1）求椭圆C的标准方程； ⑵若动点P（x0,y°）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程. 2 2 答案：⑴、.丄1 ；⑵x2 y2=13 ? 9 4 这道高考题的背景就是蒙日圆? 普通高中课程标准实验教科书《数学 2 ?必修? A版》（人民教育出版社，2007年第3 版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍? 以上高考题第（2）问的一般情形是 2 2 定理1 曲线］:电?电=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 a b x2 y2 =a2 b2. 定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出定理1的两种解析几何证法： 定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（_a, b），或（_a,-b）. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（人，齐）（召址二a,且y。= _b）,所以可设曲线】的过点 P的切线方程是 y -y° =k(x -x°)(k =0). “ 2 2 由＜a2 b2，得 y —y。=k(x —x。) (a2k2 b2)x2—2ka2(kx0—y0)x a2(k\ —y0)2-a2b2 = 0 由其判别式的值为0，得 %2-a2)k2 -2x0y°k y^ b2 = 0(x°2 - = 0) 因为k PA,k PB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以
一、选择题： 1.(2007安徽文)椭圆1422=+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）43 （C ）22 （D ）32 2.(2008上海文)设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 3．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1 22 2=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 4．（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆x 23 ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12
5．（2003北京文）如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ） A ．51 B ．52 C ．55 D ．552 6．（2002春招北京文、理）已知椭圆的焦点是 F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点．如果延 长F 1P 到Q ，使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线 7．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） （A ）32 （B ） 33 （C ）22 （D ）23 8.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）
圆锥曲线小题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．（2016高考新课标1卷）已知方程22 2213x y m n m n -=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（ ） （A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 2．（2016高考新课标2理数）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43- （B ）34 - （C （D ）2 3．（2016年高考四川理数）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ） （A ）3 （B ）23 （C ）2 （D ）1 4．（2016高考新课标2理数）已知12,F F 是双曲线22 22:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠= ,则E 的离心率为（ ） （A （B ）32 （C （D ）2 5．（2016高考浙江理数）已知椭圆C 1：2 2x m +y 2=1（m ＞1）与双曲线C 2：22x n –y 2=1（n ＞0）的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ） A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1 D ．m ＜n 且e 1e 2＜1 6．（2016高考新课标1卷）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准 线于D 、E 两点．已知|AB|=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 7．（2016高考新课标3理数）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>
2015（新课标全国卷2） （11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为 （A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2 （15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为x y 2 1 ±=，则该双曲线的标准方程为 。 20. （本小题满分12分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> , 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.
20．（本小题满分12分）理科 已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。 （1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点(,)3 m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。
2015（新课标全国卷1） （5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （5）（理）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ： 2 212 x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u u r ?2MF u u u u u r ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（- 3，3） （B ）（-6，6 ） （B ）（C ）（3- ，3） （D ）（3-，3 ） （16）已知F 是双曲线C ：x 2 -8 2 y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）. 当△APF 周长最小是，该三角形的面积为 （14）一个圆经过椭圆14162 2=+ y x 错误!未找到引用源。的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆 的标准 方程为 。 （20）（本小题满分12分）理科 在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=2 4 x 与直线y=ks+a(a>0)交与M,N 两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当K 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由。
历届高考中的“椭圆”试题精选 、选择题: (2002春招北京文、理)已知椭圆的焦点是 F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点. 使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线的一支 (D )抛物线 (2004福建文、理)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点， 过R 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 二、填空题: 则该椭圆的离心率 e ___________________ . 10. (2006上海理)已知椭圆中心在原点，一个焦点为 倍，则该椭圆的标准方程是 ___________________________ 11. (2007江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点A( 4,0)和C(4,0)，顶点B 在椭 2 2 圆』L 1上，则弘A sinC ________________________ 25 9 sin B 12. (2001春招北京、内蒙、安徽文、理) 椭圆x 2 4y 2 4长轴上 一个顶点为 A 以A 为直角 顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 _______________ .- 历届高考中的“双曲线”试题精选 1.(2007 (A ) 安徽文)椭圆X 2 2 (B ) 3 4 2. (2008 上海文 ) A . 4 (2005广东) 4y 2 )设p 是椭圆 B . 5 2 x 25 1 的离心率为( 2 (C ) 2 y 16 C. 8 若焦点在x 轴上的椭圆 B. (2006全国n 卷文、理) 点，且椭圆的另外一个焦点在 (B) 6 2 (D )- 3 1上的点. x 2 D. 2 y C. 已知△ ABC 勺顶点B BC 边上，则 △ (C 4 3 (A ) 2 3 (2003北京文)如图，直线l : x 2y 2 F 1和一个顶点B,该椭圆的离心率为( 1 2 5 2, 5 A. B . - C . D . - 5 5 5 5 若F" F 2是椭圆的两个焦点， 10 1 1的离心率为一，则m=( 2 D.- 3 X 2 2 C 在椭圆_ + y = 1上，顶点 ABC 勺周长是( ) D ) 12 0过椭圆的左焦点 ) 则PF 』| PF ?等 A 是椭圆的一个焦 如果延长F i P 到Q, A 、 B 两点，若△ ABF 是正三角形， ^2 爲 (A ) (B ) - 3 3 8. (2007重庆文)已知以F 1 个交 点，则椭圆的长轴长为( 则这个椭圆的离心率是( ) 2 (2 2 2 ),F 2 (2,0 )为焦点的椭圆与直线 x < 3y 4 0有且仅有 ) (C ) (-2,0 26 (C ) 2、、7 9.(2008 全国I 卷文)在厶 ABC 中，A 90o , ta nB ?若以A , B 为焦点的椭圆经过点 C , F (- 2 3 , 0)，且长轴长是短轴长的 2
圆锥曲线高考常考题型: 一、基本概念、基本性质题型 二、平面几何知识与圆锥曲线基础知识的结合题型 三、直线与圆锥曲线的相交关系题型 （一）中点、中点弦公式 （二）弦长 （三）焦半径与焦点三角形 四、面积题型 （一）三角形面积 （二）四边形面积 五、向量题型 （一）向量数乘形式 （二）向量数量积形式 （三）向量加减法运算 （四）点分向量（点分线段所成的比）六、切线题型 （一）椭圆的切线 （二）双曲线的切线 （三）抛物线的切线 七、最值问题题型 （一）利用三角形边的关系
（二）利用点到线的距离关系 为了让各位同学建立关于圆锥曲线专题的基本解题策略和解题方法 体系，我收录高考经典题，结合前一篇《平面解析几何讲义》希望大 家掌握解决圆锥曲线题目的常用思路和方法。 一、基本概念题型：主要涉及到圆锥曲线定义、焦点、焦距、长短轴、 实虚轴、准线、渐近线、离心率等基本概念知识的考查。 2 2 例1:已知椭圆笃爲1(a b 0)的焦距为2,准线为x 4，则该椭圆的离心 a b 率为________________ 2 2 ^5 例2:已知双曲线方程冷与1(a,b 0)的离心率为$ ,则渐近线方程为_ a b 2 2 例3:已知双曲线方程为％2y21(a 1)，则双曲线离心率取值范围为 (a 1) a 例4:已知抛物线方程为y28x，则焦点坐标为 x 2 例5:已知椭圆C:— 2 y 3 1上一点P到左焦点的距离为—，则点P到左准线 432 的距离为到右准线的距离为 22 例6：已知双曲线M L 1上一点P到左准线的距离为2,则点P到右焦点 6 3 的距离为____________ 二、平面几何知识与圆锥曲线基本知识的结合。 该考点主要涉及到平面几何知识中的中位线、中垂线、角平分线定理, 射影定理、勾股定理、余弦定理、相似三角形、三角形四心性质、 等腰梯形、直角梯形性质、圆的性质、长度和坐标的相互转换等当然还会涉及圆锥曲线基本知识，包括定义、基本概念、基本性质。 例1：①过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1, 7)的圆交y轴于M, N两点，贝U | MN | ( ) A. 2 .6 B . 8 C . 4、6 D . 10
2010年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题 1、（2010湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 解析：抛物线的准线为：x=－2，点P 到准线距离为4＋2＝6，所以它到焦点的距离为6。. 2、（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为 (0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k = （A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过 B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得， ，由，得， ∴ 即k= ，故选B. 3、（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切，则p 的值为 [C] （A ） 1 2 （B ）1 （C ）2 （D ）4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线方程为2 p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切，所以2,42 3==+ p p 法二：作图可知，抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切与点（-1,0） 所以2,12 =-=- p p 4、（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一 条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
2018（新课标全国卷2 理科） 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为 A ．2y x =± B ．3y x =± C ．2 2 y x =± D ．32y x =± 12．已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在 过A 且斜率为3 6 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ． 2 3 B ． 12 C ．13 D ． 14 19．（12分） 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 2018（新课标全国卷2 文科） 6．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为 A ．2y x =± B ．3y x =± C ．2 2 y x =± D ．32 y x =± 11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=?， 则C 的离心率为 A ．312 - B ．23- C ． 31 2 - D ．31- 20．（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ， B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 2018（新课标全国卷1 理科） 8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?= A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
圆锥曲线高考题精选 一、选择题： 1、（1995）双曲线3322=-y x 的渐近线方程是 （A ）x y 3±= （B ）x y 3 1 ±= （C ）x y 3±= （D ）x y 33±= 2、（1996）椭圆????+-=?+=.sin 51, cos 33y x 的两个焦点坐标是 （A ）（-3，5），（-3，-3） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1） 3、（1996）设双曲线)0(12222b a b y a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。已 知原点到直线l 的距离为 c 4 3 ，则双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ） 3 3 2 4、（1996文）中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为 2 1 的椭圆方程是 （A ）13422=+y x （B ）1432 2=+y x （C ）1422=+y x （D ）14 22 =+y x 5、（1996文）椭圆091891502522=+++-y y x x 的两个焦点坐标是 （A ）（-3，5），（-3，-5） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1） 6、（1997）曲线的参数方程是)0,(. 1, 112 ≠????? -=-=t t t y t x 是参数，它的普通方程是 （A ）1)1()1(2=--y x （B ）2 )1() 2(x x x y --= （C ）1)1(12--= x y （D ）112 +-=x x y