7提高-坐标系的平移变换

7.2.2 用坐标表示平移
正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A（-2，4），
，将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移
次平移后四个顶点相应变为点E，F，G，H．
H的坐标分别是什么？
）如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形位置
【用类比的思想，把三角形ABC三个顶点的横坐标都加5，纵坐标不变，即三角形个单位长度，因此所得三角形与三角形ABC的大小、形状完全相同．如图，将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，猜想
ABC三个顶点的横坐标都减去 6，同时纵坐标减去5，分别得到的点的坐标，（ -5，-3 ），（-3，-4 ），依次连接这三点，可以发现所得三角形可以由向左平移6个单位长度，再向下平移了5个单位长度．三角形的大小、形状
通过前面问题的探究，你能总结图形上点的坐标的某种变化引起了图形怎样的平移
四、总结升华、反思提升
回顾本节课所学的主要内容，回答以下问题：
）点沿坐标轴方向平移后坐标的变化规律是什么？
）将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图奥。

平移图形的相关性质和坐标的变化规律一、平移图形的定义与性质1.平移图形是指在平面内，将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动。

2.平移不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。

3.平移图形中，对应点、对应线段和对应角都保持平行且相等。

4.平移具有传递性，即若图形A经过平移变成图形B，图形B经过平移变成图形C，则图形A经过平移直接变成图形C。

5.在平移过程中，图形与原图形重合的点、线段和角，分别称为对应点、对应线段和对应角。

二、坐标的变化规律1.坐标系的平移：当坐标系整体向某个方向平移时，所有点的坐标都相应地增加或减少相同的数值。

2.点的平移：一个点在平面内平移，其实质是该点的坐标发生变化。

若点P(x,y)沿x轴平移a个单位，沿y轴平移b个单位，则平移后点的坐标为P’(x+a,y+b)。

3.直线的平移：一条直线平移时，其上的所有点的坐标都按照上述点的平移规律变化。

4.圆的平移：一个圆平移时，其上所有点的坐标同样按照上述点的平移规律变化。

5.其它图形的平移：其它平面图形平移时，其上所有点的坐标也按照上述点的平移规律变化。

三、平移图形的实际应用1.尺规作图：在尺规作图中，平移是一种基本的作图方法，可以用来构造已知图形。

2.图形变换：在计算机图形学、动画制作等领域，平移是实现图形变换的基本操作。

3.地图导航：在地图导航中，平移是实现地图缩放、查看不同区域的基本方法。

4.设计制图：在工程设计、建筑设计等领域，平移可以帮助设计者快速定位和调整图形。

四、平移图形的判定与证明1.判定：若两个图形在形状、大小上完全相同，只是位置不同，则这两个图形一个是另一个的平移。

2.证明：通过证明两个图形对应的点、线段和角相等，可以证明两个图形是平移关系。

五、平移图形的练习与巩固1.绘制：绘制不同形状的图形，并尝试进行平移，观察平移后的图形特点。

2.变换：将已知图形进行平移变换，求出平移后的坐标或位置。

3.应用：结合实际问题，运用平移图形的相关性质解决问题。

初中数学平面直角坐标系与坐标变换平面直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，用于描述二维平面上的点的位置。

学会使用平面直角坐标系及其坐标变换，对于数学的学习和解题能力的提高至关重要。

本文将介绍平面直角坐标系的概念、性质以及常用的坐标变换方法。

一、平面直角坐标系平面直角坐标系是由一个平面上的两个相互垂直的直线（通常称为x轴和y轴）所确定的。

x轴和y轴的交点称为原点O，它是平面直角坐标系的起点。

在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x代表点在x轴上的坐标，y代表点在y轴上的坐标。

二、平面直角坐标系的性质1. 坐标轴：平面直角坐标系中的x轴和y轴互相垂直，且相交于原点O。

x轴是水平方向的，y轴是垂直方向的。

2. 坐标轴的正方向：x轴从左往右延伸，正方向是从左往右；y轴从下往上延伸，正方向是从下往上。

3. 坐标轴的刻度：x轴和y轴上的刻度表示数值，用来表示点在坐标轴上的位置。

沿x轴和y轴的正方向，每个刻度之间的距离相等。

4. 坐标轴的单位：坐标轴上的单位长度可以自行确定，一般用数值表示。

5. 坐标变换：平面直角坐标系可以通过平移、旋转等方式进行坐标变换，不改变原点的位置和坐标轴的方向。

三、坐标变换1. 平移变换：平移变换是平面直角坐标系中最基本的坐标变换。

平移变换只改变点的位置，不改变点的坐标值。

假设有一个点A(x, y)，平移变换后的点A'的坐标为(x+a, y+b)，其中a和b分别表示平移的横向和纵向距离。

例题：已知点A(2, 3)，对平面直角坐标系进行平移变换，使得点A'的坐标为(-1, 4)，求平移的向量。

解答：设平移的向量为（a, b），根据平移变换的定义可得：-1 = 2 + a4 = 3 + b解方程组可得 a = -3，b = 1。

因此，平移的向量为(-3, 1)。

2. 旋转变换：旋转变换是将平面直角坐标系绕原点进行旋转的变换。

旋转变换可以按顺时针或逆时针方向进行。

二维坐标旋转平移变换公式
二维坐标的旋转和平移变换可以分别进行，也可以先旋转后平移。

以下是两种情况下的公式：
1. 先进行旋转，再进行平移：
旋转：使用旋转矩阵，将原坐标系中的点 (x, y) 旋转θ 角度后，得到的新坐标为 (x'，y')，其公式为x' = x cos(θ) - y sin(θ)，y' = x sin(θ) + y
cos(θ)。

平移：平移变换可以使用向量加法实现。

如果平移向量为 (a, b)，则平移
后的新坐标为 (x+a, y+b)。

先进行旋转，再进行平移的公式为x = x' cos(θ) - y' sin(θ) + a，y = x' sin(θ) + y' cos(θ) + b。

2. 先进行平移，再进行旋转：
平移：如果平移向量为 (a, b)，则平移后的新坐标为 (x+a, y+b)。

旋转：使用旋转矩阵，将原坐标系中的点 (x+a, y+b) 旋转θ 角度后，得
到的新坐标为 (x', y')，其公式为x' = (x+a) cos(θ) - (y+b) sin(θ)，y' =
(x+a) sin(θ) + (y+b) cos(θ)。

注意：在二维坐标旋转中，逆时针旋转角度取正值，顺时针旋转角度取负值。

平面直角坐标系复习教学目标：1．能准确画出平面直角坐标系，由点的位置写出坐标，由点的坐标确定点的位置．掌握特殊位置点的坐标特征，并能用坐标表示平移变换．2．会建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示地理位置．3．通过观察、尝试、交流，提高学生数形结合思想，培养学生归纳，整理所学知识和应用数学的意识．教学重点：1．准确确定平面内点的位置和坐标，并能进行综合应用．2．根据实际问题建立适当的平面直角坐标系，并解决实际问题教学难点：1．正确运用坐标特征解决实际问题．2．平面直角坐标系的实际应用．教学方法：启发、讨论、交流．教具准备：多媒体课件．教学过程：一、创设情景，导入新课这是一张某市旅游景点示意图，我们以中心广场所在水平线为横轴，以中心广场所在铅垂线为纵轴建立平面直角坐标系，你们能说出各景点的坐标吗？平面直角坐标系是确定平面内点的坐标的重要工具，用它可以解决很多实际问题，本节课我们大家一起来复习“平面直角坐标系”这一章．（由一个具体实例引出课题，可激发学生的兴趣，创造积极的求知氛围）二、师生互动，构建知识框架1．有序数对：有序数对是指______的两个数组成的数对，它的表示形式是（a，b）．2．平面直角坐标系的意义：在平面内，两条具有、并且______的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做______或_______，取向______方向为正方向，竖直的数轴叫做______或_______，取向______方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的______，平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个象限，这两条数轴的正方向的所夹的象限叫做第______象限，其它三个象限按逆时针方向依次叫做第______、______、______象限，坐标轴不属于任何象限．注意：（1）组成平面直角坐标系的四个要素：①在同一平面内；②两条数轴；③互相垂直；④有公共原点.（2）两个规定：①正方向的规定：横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向；②两条数轴单位长度规定：一般情况下，横轴与纵轴单位长度相同，为了实际需要有时横轴与纵轴单位长度可以不同．3．坐标平面内点的坐标的符号特征（填“+”或“-”）：4．特殊点的坐标性质：（1）平行于坐标轴直线上的点的坐标：平行于x轴的直线上的各点的________相同，_______不同；平行于y轴的直线上的各点的_________相同，__________不同；（2）点P（x，y）在第一、三象限的角平分线上，则，P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，则；（3）对称点的坐标：点P（a，b）关于x轴对称的点为_________，点P（a，b）关于y轴对称的点为__________；（4）点到两轴的距离的意义：点P（x，y）到x轴的距离为_____，到y轴的距离为____；（5）点的坐标与图形平移的关系：一个图形在平面直角坐标系中进行平移，其坐标就要发生相应的变化，可以简单地理解为：左、右平移纵坐标，横坐标，变化规律是，上下平移横坐标，纵坐标，变化规律是．5．用坐标表示地理位置的一般过程：（1）；（2）；（3）．（学生独立思考后与同伴交流各自的答案，学生代表发言，教师纠正学生出现的问题．）评析：复习时以点的坐标特征为主线，把全章知识系统化，条理化，全面化，以便于应用，同时也培养了学生的归纳概括能力．三、运用知识，进行基础训练例1在已给的平面直角坐标系中描出下列各点，并指出各点所在的象限或坐标轴．A（2，3），B（-2，-3），C（4，-3），D（1.5，0），E（-1，5），F（0，-2），G（0，0）．练习1：1．点A(-3，4)在第象限，点B（2，-5）在第象限；2．如果点A( a，b)在第四象限，那么点B（b，-a）在第象限；若C(x，y)满足xy=0，则点C一定在；（根据点的坐标特征确定点的位置）（学生通过描点，加深了对平面直角坐标系和坐标的认识，为解决后面的问题作好铺垫）3．已知点P（1+2a，3-a）在x轴上，则点P的坐标为；4．已知线段AB∥y 轴，且A(-2，3)，AB =5，那么点B的坐标是；5．若点P( 2a+5，4a-3)在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为；6．已知点P( a-4，2-3a)在二、四象限的角平分线上，则点P的坐标为；（根据特殊位置点的坐标特征确定点的坐标）7．在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标是；（根据点的坐标的几何意义确定点的坐标）8．已知点P(2，-3)先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点P′，则点P′坐标为；（根据点的平移变换与坐标变化规律确定点的坐标）9．点P（3，-2）关于y 轴对称点的坐标是．（根据对称点坐标的规律确定点的坐标）评析：这些题型不仅对所学知识能进一步理解和应用，而且也提高了学生用数学知识解决问题的能力．例2如图是某市部分平面简图（图中小正方形的边长代表100 m长），请建立适当的平面直角坐标系，并写出各地的坐标．（学生在自己设计的活动中体验怎样建立平面直角坐标系，训练学生数学表达能力，也给学生极大的创造空间，有利于学生个性发展）四、拓宽知识，实现知识迁移师：平面直角坐标系是建立图形和数量关系的桥梁，反映了数学中重要的思想方法——数形结合，下面我们以图形面积为例说明怎样用数形结合思想、转化思想解决有关问题．例3在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上．（1）平移△ABC，使得点C与坐标原点O重合，请画出平移后的△A′B′C′；（2）写出A、B两点对应点A′、B′的坐标；（3）求△A′B′C′的面积．（学生自己动手画图，作适当的辅助线，将所求图形的面积转化为规则图形的面积差来求，然后同伴相互交流）评析：学生在做数学的过程中掌握了一些数学思想方法，积累了数学解题经验，感受到了数学的应用价值．练习21．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，-4）在象限．2．已知点A（a，－5），B（8，b），根据下列要求，确定a，b的值：（1）A，B两点关于y轴对称；（2）A，B两点关于原点对称；（3）AB∥x轴；（4）A，B两点在第一，三象限的平分线上．3．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为．4．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题：（1）在图中试找出坐标系的原点，并建立直角坐标系；（2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置；（3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC，求△ABC的面积．五、师生小结，概括本章内容通过本节复习课，你对本章知识是否有了更深的认识呢？谈谈你的体会．（通过学生自己总结，加强学生对复习课的认识和学习方法的掌握）六、布置作业，拓展思维空间1．书本P84第1，2，4题；2．请你绘制一幅学校平面分布图，并用坐标表示．（强化用坐标表示地理位置的实际应用）．。

课时6 平面坐标系中几种常见变换一、教学目标：1．了解平面直角坐标系中，图形按向量a 平移的意义，以及平移变换下平面图形的变化情况。

2．了解平面直角坐标系中图形按伸缩系数k 向着x 轴（或y 轴）的伸缩变换的意义，以及伸缩变换下平面图形的变化情况。

二、教学过程：理论建构：1．平面直角坐标系中的平移变换在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移.若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a 平移.在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =，平移后的对应点为),('''y x P ，则有 ),(),(),(''y x k h y x =+，或表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+''y k y x h x ，因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+''yk y x h x 所确定的变换 是平移变换.例1．（1）已知点)3,4(-P 按向量)5,1(=a 平移至点Q ，求点Q 的坐标；（2）求直线01223:=+-y x l 按向量)3,2(-=a 平移后的方程.例2．说明方程01118169422=-+-+y x y x 表示什么曲线.课堂练习：课本P 37 1、22．平面直角坐标系中的伸缩变换一般地，由⎪⎩⎪⎨⎧==''y y x kx 所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换（当1>k 时，表示伸长；当1<k 时，表示压缩），即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍（这里),(y x P 是变换前的点，),('''y x P 是变换后的点）.例3．对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数41=k . （1）0632=-+y x ； （2）1622=+y x .例4．设1M 是),(111y x A 与),(221y x B 的中点，经过伸缩变换后，它们分别为222,,B A M ，求证：2M 是22B A 的中点.课堂练习：课本P 38 7（1）（2）、8课后作业：课本P 37 3、4、7（3）（4）、9、10巩固练习六1．点)0,(m M 按向量a 平移到),0(n N ，则向量a 是________________.2．直线03125=-+y x 按向量)1,3(-平移后的方程是_____________________.3．若点),(y x P 按向量),(k h a =平移到),(''y x Q ，则它们之间的关系可以表示为_______________.4．直经064=-+y x 按伸缩系数21向着x 轴的伸缩变换后，直线的方程是________________. 5．直线032=-y x 按伸缩系数3向着y 轴的伸缩变换后，直线的方程是_________________.6．曲线422=+y x 按伸缩系数2向着y 轴的伸缩变换后，曲线的方程是_________________. 7．曲线1922=+y x 按伸缩系数________向着____轴的伸缩变换后，曲线的方程是122=+y x ；按伸缩系数_________向着____轴的伸缩变换后，曲线的方程是922=+y x .8．运用平移，将下列曲线的方程化为标准方程，并写出平移向量：（1）05683222=++-+y x y x ；（2）019122222=-++-y x y x .9．曲线034222=+---y x y x 按向量)2,1(-平移后的方程是什么？它表示什么曲线？10．抛物线742+-=x x y 按向量a 平移后，得到抛物线的方程是2x y =.求向量a 及平移前抛物线的焦点坐标.11．圆2522=+y x 按向量a 平移后的方程是0204222=-+-+y x y x ，求过点)4,3(的圆2522=+y x 的切线按向量a 平移后的方程.12．求椭圆0918249422=+-++y x y x 的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程.。

人教版数学七年级下册7.2.2《用坐标表示平移》教案4一. 教材分析《用坐标表示平移》是人教版数学七年级下册第七章第二节的一部分，主要介绍平移在坐标系中的表示方法。

通过本节课的学习，学生能够理解平移的性质，掌握平移在坐标系中的表示方法，并能运用平移变换解决实际问题。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了坐标系的基础知识，对点的坐标有所了解。

但是，对于平移在坐标系中的表示方法可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作来理解平移的性质，并掌握平移的表示方法。

三. 教学目标1.理解平移的性质，掌握平移在坐标系中的表示方法。

2.能够运用平移变换解决实际问题。

3.培养学生的动手操作能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.重点：平移的性质，平移在坐标系中的表示方法。

2.难点：平移在坐标系中的表示方法的运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决问题来理解平移的性质。

2.利用数形结合法，让学生通过实际操作来掌握平移在坐标系中的表示方法。

3.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件。

2.坐标纸。

3.三角板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际生活中的平移现象，如电梯上升、滑滑梯等，引导学生关注平移的特点。

提问：这些现象在坐标系中如何表示？2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，介绍平移的性质和坐标系中的表示方法。

让学生观察并理解平移变换对坐标的影响。

3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，利用坐标纸、直尺和三角板，对给定的图形进行平移。

让学生通过实际操作来加深对平移性质的理解。

4.巩固（10分钟）教师提出一些有关平移的问题，让学生回答。

例如：如何判断一个图形是否进行了平移？平移前后坐标的变化规律是什么？5.拓展（10分钟）让学生运用平移变换解决实际问题，如设计一个平面图案、计算物体的位移等。

培养学生的实际应用能力。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，强调平移的性质和平移在坐标系中的表示方法。

《用坐标表示平移》说课稿《用坐标表示平移》说课稿各位评委、老师大家好：我今天说课的内容是人教版七年级下册第六章第二节的内容，下面我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程几个方面对我的教学设计进行说明。

一、教材分析《用坐标表示平移》是人教版七年级下册第六章第二节的内容，本节课是在学生已经学习，平面直角坐标系及点或图形平移及其性质的基础上进行教学的。

从数的角度进一步认识了平移变换，这就是用代数方法研究几何问题，体现了平面直角坐标在数学中的作用，在这部分知识中着重突出了数形结合的思想。

所以本节课知识起到了承上启下的作用，为后续学习图形变换打下基础。

二、教学目标1、掌握坐标变化与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程．2、通过学生动手操作、观察，培养他们主动探索与合作能力，使学生领会数形结合转化的数学思想和方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。

3、使学生认识到数学来源于生活又为生活服务，从而认识到数学的重要性。

三、教学重难点重点：在直角坐标系中，探究点或图形的平移引起的点坐标变化的规律。

难点：在坐标系中结合图形的'平移变换理解和归纳对应点的坐标变化规律并进行应用。

四、教法与学法1、教法分析：基于本节课的特点：课堂教学采用了“问题——观察——思考——提高”的步骤，使学生初步体验到数学是一个充满观察、思考、归纳、类比和猜测的探索过程，本节课主要采用启发引导探索的教学方法。

学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，互相讨论，从而实现教学目标。

2、学法分析：本堂课立足于学生的“学”，要求学生多动手，多观察，从而可以帮助学生形成分析、对比、归纳的思想方法。

在对比和讨论中让学生在“做中学”，提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。

学生通过小组合作学会主动探索——主动总结——主动提高，突出学生是学习的主体。

五、教学过程1、回顾旧知，引出新知通过课件展示飞机的平移过程，通过这样一个动态过程来复习平移概念及性质，从学生已有的数学知识出发，回顾平移的相关知识，为新知识、新课题的学习奠定了基础，从而也很自然地过渡到新课题的学习中去。

平面向量的平移和坐标变换平面向量是解决平面几何问题中常用的数学工具之一。

在平面向量的运算中，除了常见的加法、减法、数乘运算外，平移和坐标变换也是重要的操作。

本文将详细讨论平面向量的平移和坐标变换，并探讨其在实际问题中的应用。

一、平面向量的平移平移是指将平面上的点按照给定的向量进行移动的操作。

平面向量可以表示为一个有方向和大小的箭头，它由起点和终点确定。

当对平面向量进行平移操作时，只需要将所有点按照给定的向量平移相同的距离即可。

以平面向量AB为例，向量AB的平移可以表示为A'B'，其中A'为向量AB的起点沿向量AB平移得到的新点，B'为向量AB的终点沿向量AB平移得到的新点。

设平移向量为a，则平移操作可以表示为A' = A + a，B' = B + a。

这样，我们就实现了向量的平移操作。

值得注意的是，平面向量的平移不改变向量的大小和方向，只改变了向量的起点和终点的位置。

平移操作常被应用于位移、路程等问题的求解中。

二、平面向量的坐标变换坐标变换是指在平面上对向量的坐标进行变换的操作。

当平面上的坐标系发生变换时，相应的向量的坐标也会发生变换。

平面向量的坐标变换可以通过矩阵乘法进行表示。

在平面直角坐标系中，设有向量v，其坐标表示为(x, y)。

若将坐标系进行变换，新的坐标系表示为x'y'，则向量v在新坐标系下的坐标表示为(x', y')。

设变换矩阵为M，则向量v的坐标变换可以表示为：[x'] [M11 M12] [x][y'] = [M21 M22] * [y]其中，M11、M12、M21、M22为变换矩阵的元素，其值取决于坐标系的变换方式。

通过矩阵乘法，我们可以得到向量在新坐标系下的坐标表示。

在实际问题中，坐标变换常被应用于图像处理、几何变换等领域。

通过坐标变换，我们可以方便地进行图像的旋转、缩放、翻转等操作，并且能够准确地计算出变换后图像的位置和大小。

坐标在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换。

实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小，位置都不变，仅仅指改变点的坐标与曲线的方程坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x y）在新坐标系x’O’y’中的坐标（x’y’）设新坐标的原点O’在原坐标系xoy中的坐标是（h k）则（1）x=x’+h y=y’+k或（2）x’=x-h y’=y-k公式（1）（2）叫平移或移轴公式[说明]坐标轴平移时，点的位置，曲线的形状，大小，有关线段的长度都不改变，因而，坐标轴平移前后，圆锥曲线的5个参数a b c p(焦准距), e的值都不改变不含xy项的二元二次方程的化简与讨论用配方法化简不含xy项的二元二次方程的步骤如下表方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0( A、C不同时为0)所表示的圆锥曲线如下当 AC>0 椭圆AC<0 双曲线AC=0 抛物线坐标轴的旋转坐标轴的原点和长度的单位不变，使坐标轴按同一方向绕原点旋转某一角度，这种坐标系的变换叫做坐标轴的旋转，简称轴转。

坐标轴的旋转公式设坐标轴的旋转角度θ，在平面内任取一点M，它在坐标系x0y和x’0’y’的坐标分别为(x y) (x’ y’)那么，M在两个不同的坐标系里的坐标关系是X=x’cosθ-y’sinθ①Y=x’sinθ+y’cosθ由此解出X’=xcosθ+ysinθ②Y’=-xsinθ+ycosθ公式1 是新坐标表示原坐标的旋转变换公式公式2是用原坐标表示新坐标的旋转变换公式统称为旋转转轴公式。