牛顿-柯特斯求积公式

下面推导插值型求积公式
设 x0 ,x1 ,…,xn∈[a,b], pn(x)是f(x)的n次Lagrange
插值多项式
n
pn ( x) f ( xi )li ( x)
则有
i0
f (x)
pn( x)
f (n1) ( ( x))
(n 1)! wn1( x)
wn1( x) ( x x0 )( x x1 )L ( x xn ), a ( x) b
b
f ( x)dx
a
b
a pn ( x)dx
b f (n1) ( ( x))
a (n 1)! wn1( x)dx
bn
1
a i0 f ( xi )li ( x)dx (n 1)!
b a
f
(n1) ( ( x))wn1( x)dx
n
1
i0 Ai f ( xi ) (n 1)!
B y=f(x) y=P1(x)
A
f1 f0
0 x0=a
图1
x1=b x
（2）辛卜生公式 (n=2)
x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2 C0(2) =1/6 , C1(2) =4/6 , C2(2) =1/6
b
ba
ab
I=a f(x)dx
6
(f (a) 4 f (
) f (b) ) S 2
i
f
(
xi
)
(6)
i0
i0
二、两种特殊的数值求积公式:
（1）梯形公式(n=1)
x0 =a, x1=b, h= b- a, c0(1)=c1(1) =1/2
b
ba
I=a f(x)dx
( f (a) f (b)) T 2
y
梯形公式的几何意义 是用四边梯形x0 ABx1的 面积代替曲边梯形的面积。
b a
f
(n1) ( ( x))wn1 ( x)dx
b a
f
( x)dx
n i0
Ai
f
( xi )
1 (n 1)!
b a
f
(n1) ( ( x))wn1( x)dx
插值型求积公式
b
n
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi ) R( f )
Ai f ( xi ) (1)
i0
Baidu Nhomakorabea
i0
第七章 数值积分与数值微分
第一节 等距节点的Newton-Cotes求积公式 第二节 复化求积公式 第三节（*） 外推算法 第四节 Gauss型求积公式
引言
Newton Leibnitz公式(其中F( x)为f ( x)的原函数)
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
例如，对概率积分 2 t e x2 dx
i0
从数值逼近的观点看,所谓数值积分，就是用一个
具有一定精度的简单函数(x)代替被积函数f ( x)，而求
出定积分的近似值，即
b
b
a f ( x)dx a ( x)dx
取（x）=pn ( x)得插值型求积公式，
即：用插值多项式pn ( x) f ( x),
b
b
a f ( x)dx a pn ( x)dx
第一节 等距节点的牛顿—柯特斯求积公式
当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为 牛顿—柯特斯(Newton-Cotes) 求积公式。
一、 牛顿—柯特斯求积公式的导出
将积分区间[a,b] n等分，节点xi为 xi=a+ih, i=0,1,2,…,n
其中h=(ba)/n。有
b
n
f ( x)dx
a
或 I b f(x)dx h (f (a) 4 f ( a b ) f (b) ) S
a
3
2
辛卜生公式又称为抛物线公式。
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成 的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积
图2。
y
y=P2(x)
y=f(x)
0 x0
x1
图2
b
f
x2
(x)dx
0
t [0, )
由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿-莱布尼 兹公式也就无能为力了。
所谓数值积分，从近似计算的角度看，就是在区
间[a, b]上适当地选取若干个点xi，然后用这些节点上的
函数值f ( xi )的加权平均方法获得定积分的近似值，即
b
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )
b
a
x
(f
(a)
4
f
(a
b)
f
(b))
a
6
2
例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
求
3 x
I e 2 dx
1
解： I=0.7668010
的近似值。
梯形公式
I
3
x
e 2 dx
2
1
(e 2
3
e2
)
0.829660819
1
2
辛卜生公式
I
3
x
e 2 dx
2
(e
1 2
2
4e 2
3
e2
)
0.766575505
其中
b
Ai a li ( x)dx i 0,1,L , n
(2)
li(x)为Lagrange插值基函数。
截断误差或余项为
R( f ) 1
(n 1)!
b a
f
(n1) ( ( x))wn1( x)dx
(3)
数值求积公式的一般形式
b
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )
i0
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
ji
C (n) i
1 n
n n t j
( 1 )ni
dt
0 j0 i j
i!(n i)!n
nn
(t j)dt
0 j0
(5)
ji
ji
Ci(n) 称为柯特斯系数。
i 0,1,L , n
于是牛顿—柯特斯求积公式为
b
f ( x)dx
a
n
n
Ai f ( xi ) (b a)
C
(n)
1
6
三、牛顿—柯特斯系数
n c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 1 2 3 4 5 6 7 8
例 n=3 为3/8 辛卜生公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3
x3
f ( x)dx
ba ( f 03f13f 2
f 3)
x0
8
n=4为 Cotes 公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4
x4 x0
f (x)dx
ba (7 f
90
0 32 f 1 12 f
2
32
f 3
7 f4)
例：用Newton-Cotes公式计算
Ai f ( xi )
(4)
i0
b
其中 Ai li ( x)dx
a
引进变换 x=a+th , 0≤t≤n
xj=a+jh, j=0,1,2,…,n
Ai
b
b
li ( x)dx
a
a
n j0
x x j dx xi x j
ji
n
h
0
n j0
t i
j j
dt
(b
a
)C
( i
n
)
,
i 0,1,L , n