山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷
（本试卷共4页）
说明：本次考试
为开卷
考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严禁相互借用。
一、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（
2）
式的差别，并解释这个差别；
2、试说明在§中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以
不考虑它；
二、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、对于§传染病的SIR 模型，叙述当σ1
0>s 时)(t i 的变化情
况
并加以证明。
2、在§捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即)0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益
三、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、在§ 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。
2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力
四、（本题满分20分）
某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有
316人，三年级有465人。
现要选20名校级优秀学生，请用下列办 法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）
Q 值法。
另外如果校级优秀学 生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。
五、（本题满分16分） 大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响
就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个
就业岗位可供选择。
层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/15/1213/1531A ，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1272/1147/14/111B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13/17/1313/17312B ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/16/1214/16413B 。
请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。
选择就业岗位 收入 发展 声誉
六、（本题满分16分） 某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定
数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同
终止（退保）。
保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而
制定合适的投保金额和理赔金额。
各种状态间相互转移的情况和概率如图。
试建立马氏链
模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现
退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少
山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷解答
一、 简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、 答：由（1）得vt m m mr =++2
)1(22πωπ， 。
4分 将kn m =代入得)2(22
ωππω++=r v
kn
n v k t ， 。
6分 因为ω>>r 所以r r 22≈+ω，则得（2）。
。
8分
2、答：假设每件产品的生产费用为3c ，则平均每天的生产费用为r c 3，每天的平均费用是 r c rT c T c T C 31211112
)(++=， 。
4分 下面求1T 使)(11T C 最小，发现
dT T dC dT T dC )()(111=，所以 r c c T T 2112=
=，与生产费用无关，所以不考虑。
。
8分 二、 简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、答：由（14）
),1(-=s i dt
di σμ若σ10>s ， 当01s s <<σ时，)(,0t i dt
di >增加; 。
4分 当σ1=s 时，)(,0t i dt
di =达到最大值m i ； 当σ1<s 时，)(,0t i dt
di <减少且由1.知0=∞i 。
8分 2、 答：E bE a S )(-=，则E bE a pEx S T R )(--=-=， 。
2分 将)1(0r E N x -=代入，得 2)()()(E r
pN b E a pN E R -+-=，。
5分 令0='R 得pN rb pN a r E R --⋅=2。
。
8分 三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、由于方程（4）左边随着S 的增加单调递增，因此)(u J 有唯一驻点x S u -=且为最小值点。
从而)(u J 是下凸的。
而由)(u J 和)(x I 的表达式的相似性知)(x I 也是下凸的，而且在S x =处达最小值 )(S I 。
。
4分
此即方程)()(0S I c x I +=的最小正根 。
8分
2、答：（回答要点）培养想象力和洞察力。
。
8分
四、（本题满分20分）
解：20个席位：（1）、
38.4201000219=⨯，32.6201000316=⨯，30.9201000
465=⨯因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。
（2）三方先分得4、6、9个，=⨯=5421921Q ，=⨯=7
63162
2Q =⨯=10
94652
3Q ，3Q 最大，按Q 值法分配结果为4、6、10个。
。
8分 21个席位：（1）599.4211000219=⨯，636.6211000316=⨯，765.9211000
465=⨯因此比例加惯例分配结果为4、7、10个。
（2）三方先分得4、6、10个， =⨯='11104652
3Q ，1Q 最大，按Q 值法分配结果为5、6、10个。
。
16分
显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q 值法分配结果恰好也满足准则2，因此Q 值法分配结果是同时符合准则1和准则2.。
。
20分
五、（本题满分16分）
解：用“和法”近似计算得：
矩阵A 对应的权向量为：T
)12.0,23.0,65.0(，最大特征根为，0018.0=CI ，0031.0=CR 矩阵1B 对应的权向量为：T )60.0,32.0,08.0(，最大特征根为，001.0=CI ，0017.0=CR 矩阵2B 对应的权向量为：T )09.0,24.0,67.0(，最大特征根为，0035.0=CI ，006.0=CR 矩阵3B 对应的权向量为：T )11.0,19.0,70.0(，最大特征根为，0046.0=CI ，008.0=CR 。
12分
组合权向量为T )423664.0,283708.0,292628.0(
因此最佳的岗位为岗位3。
。
16分
六、（本题满分16分） 解：由题意，转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3.06.007.003.001.7.005.015.000100001，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态，此为吸收链。
。
6分
117.06.01.03.0)(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=Q I M = ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡2432324 Me y ==T )6,15(，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过15或6年投保人就会出现
MR F ==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡34.066.028.072.0，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为和；在投保时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为和。
18分
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