5.3《基本不等式的证明》错误解题分析
一、知识导学
1、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0⇔ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0⇔ａ≤ｂ”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1⇔ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1⇔ａ≤ｂ”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2、综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ。
3、分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
4、反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。
5、换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元。
二、疑难知识导析
1、在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。
2、分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯。但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。
3、分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。
4、反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。
5、在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。
三、经典例题导讲
[例1]已知a>b(ab 0≠),比较
a 1与b
1的大小。 【错解】 a>b(ab 0≠)，∴a 1
a b b a -=-11 ，又 a>b(ab 0≠)， (1)当a 、b 同号时，即a>b>0或b0,b －a<0,
0<-ab a b ,∴a 10,b<0,a 1>0,b 1<0∴a 1>b
1。 [例2] 当a 、b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（ ）
A 、2b a +
B 、ab
C 、2
2
2b a + D 、11
1)2(---+b a 【错解】所以选B 。
【错因】是由于在2b a +、ab 、2
2
2b a +中很容易确定ab 最小，所以易误选B 。而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏11
1)2
(---+b a 与前三者的大小比较。 【正解】由均值不等式≥+2b a ab 及a 2+b 2≥2ab,可知选项A 、B 、C 中，ab 最小，而11
1)2(---+b a ＝b
a a
b +2，由当a ≠b 时，a+b>2ab ,两端同乘以ab ，可得（a+b ）·ab ＞2ab,∴b
a a
b +2＜ab ，因此选D 。 [例3]已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b )2的最小值。
【错解】(a+a 1)2+(b+b 1)2=a 2+b 2+21a +21b
+4≥2ab+ab 2+4≥4ab ab 1•+4=8, ∴(a+a 1)2+(b+b
1)2的最小值是8。 【错因】上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=
21,第二次等号成立的条件是ab=ab
1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最
