初三数学反比例函数及圆相关公式复习

似。
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。

反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。

而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。

反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。

增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。

对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。

2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。

4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。

九年级反比例函数知识点反比例函数是数学中的一种特殊函数类型，它的图像呈现出一条直线，并且函数的定义域和值域都不包括零。

在九年级学习数学的过程中，反比例函数是一个重要的知识点。

本文将为大家介绍九年级反比例函数的相关知识。

一、反比例函数的定义与特征反比例函数是指当自变量x变大时，函数值y变小；当自变量x变小时，函数值y变大。

可以简单地用以下形式表示：y = k/x，其中k为一个常数。

反比例函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。

反比例函数的图像为一条直线，并且经过第一象限和第三象限的两个点：(1, k)和(-1, -k)。

这条直线的渐进线是x轴和y轴，即当x趋近于正无穷或者负无穷时，函数值y趋近于零。

二、反比例函数的性质与运算1. 曲线的平移：若y = k/x关于y轴平移h个单位，则函数变为y = k/(x - h)。

2. 曲线的伸缩：若y = k/x的k值乘以a，则函数变为y = ak/x。

当a>1时，图像在x轴方向上被压缩；当0<a<1时，图像在x轴方向上被展开。

3. 曲线的关于y轴的对称：若y = k/x关于y轴对称，则函数变为y = -k/x。

4. 曲线的关于x轴的对称：若y = k/x关于x轴对称，则函数变为y = -k/x。

三、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中具有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 比例尺：地图上的比例尺就是一个反比例函数。

比如地图上标注1cm代表的实际距离为1km，这个比例尺可以表示为y = 1/x。

2. 速度与时间：当一辆车以恒定的速度行驶时，车辆的速度与时间呈现出反比例关系。

速度越大，所用的时间越短，可以用反比例函数来表示。

3. 某商品的价格与销售数量：在市场中，某商品的价格与销售数量通常是呈反比例关系的。

价格越高，销售数量越小，可以用反比例函数来描述。

四、反比例函数的图像与解析式反比例函数的图像为一条直线，并且经过第一象限和第三象限的两个点：(1, k)和(-1, -k)。

9（上）第五章 反比例函数复习（一）一、 反比例函数的定义例1 下列函数中是反比例函数的是（ ）A y=x+1,B y=x8, C y= —2x, D y=2x 2 【说明】本题的四个选项呈现了一次函数、反比例函数、正比例函数（也是一次函数）、二次函数的表达形式，应让学生会识别、区分它们。

本题答案：B例2 已知函数12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当1x =时，1y =-；当3x = 时，5y =．求y 关于x 的函数关系式．【说明】由于正比例函数定义式是y=kx,反比例函数定义式是y=xk,两式都使用了字母k,受此影响，学生解答此题时易犯的错误是：设y 1=kx 、设y 2=xk，而本题中的正比例和成反比例的比例系数未必相同，因此应设y 1=k 1x 、设y 2=xk 2，以示两个比例系数的不同。

尽管本题最后结论y 关于x 的函数关系式是复合函数的形式，但这类型的题目还是比较常见的，有时也会考到这种题型，还是建议在复习中作补充训练。

本题答案：y=2x-x3二、 反比例函数的图像和性质例3（1）图象经过点（2，-3）的反比例函数是（ ）A y= -x 6B y=x 6C y= x 23D y=-x23 (2) 已知反比例函数y=xk的图象经过点（2，3），那么下列在函数的图象上的点是（ ）A (4,1)B (21,-1)C (-23，-11) D (-3 ,-21)【说明】本例是已知图像上一点的坐标，用待定系数法确定反比例函数解析式。

例4（1）已知反比例函数21m y x-=的图象在一，三象限，那么m 的 取值范围是______________．（2）已知反比例函数xm21－＝y 的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2是，有y 1＜y 2．则m 的取值范围是（ ）．Ａ．m ＜0， B ．m ＞0，Ｃ．ｍ＜21，Ｄ．ｍ＞21【说明】本例是考察对反比例函数图像和性质的理解，并与解不等式知识结合。

九年级数学下册反比例函数知识点总结反比例函数是数学中常见的一种函数形式。

在反比例函数中，当自变量的值增大时，因变量的值会减小；当自变量的值减小时，因变量的值会增大。

下面是九年级数学下册关于反比例函数的知识点总结：1.反比例函数的定义：反比例函数是指一个函数，其方程形式为y = k/x，其中k是常数，x是自变量，y是因变量。

2.反比例函数的特点：当x为正数且逐渐增大，y的值会逐渐减小。

当x为正数且逐渐减小，y的值会逐渐增大。

如果x等于0，函数的值为无穷大或无穷小。

反比例函数的图像通常是一个曲线，经过原点，并且关于y轴和x轴都对称。

3.反比例函数的图像：反比例函数的图像通常是一个双曲线的一支。

当k为正数时，双曲线的开口朝上。

当k为负数时，双曲线的开口朝下。

当k的绝对值变大时，双曲线的形状越陡峭。

4.反比例函数的应用：反比例函数在实际生活中有许多应用，例如：速度与时间的关系：当行驶的时间增加时，速度会减小。

工作的时间与人数的关系：当完成工作的时间减少时，需要的人数会增加。

投资的金额与收益的关系：当投资的金额增加时，收益会减少。

5.反比例函数的求解：给定反比例函数的方程，可以通过代入不同的自变量的值来计算相应的因变量的值。

给定一组包含自变量和因变量的数值对，可以通过取自变量与因变量的乘积的比值来求解反比例函数的常数k。

以上是九年级数学下册关于反比例函数的知识点总结。

反比例函数在数学中扮演着重要的角色，并在实际生活中有许多应用。

通过理解这些知识点，可以更好地应用和解决与反比例函数相关的问题。

例如，在矩形面积一定的情况下，长与宽成反比。
工程技术和科学研究领域应用举例
电路设计
在电子工程中，电阻、电容等元 件的参数之间往往存在反比关系 。利用反比例函数可以优化电路
设计，提高电路性能。
经济学研究
在经济学中，价格与需求之间通 常存在反比关系。价格越高，需 求量越低；反之亦然。反比例函
数可用于描述这种经济现象。
转化思想
将复杂问题转化为简单问题，如将非标准形式的一元二次方程转化为 标准形式，再利用反比例函数的性质进行求解。
05
拓展延伸：反比例函数在 高等数学中地位和作用
高等数学中反比例函数概念引入
01
在高等数学中，反比例函数 作为一种基本的函数类型被 引入，它描述了两个变量之
间的反比关系。
02
反比例函数的一般形式为 y=k/x（k≠0），其中k是常
一元二次方程求解方法回顾
01
配方法
通过配方将一元二次方程转化 为完全平方形式，进而求解。
02
公式法
利用一元二次方程的求根公式 进行求解。
03
因式分解法
将一元二次方程进行因式分解 ，得到两个一元一次方程，分
别求解。
反比例函数在一元二次方程中应用
01
02
03
判别式应用
利用反比例函数的性质， 判断一元二次方程的根的 情况，如判别式的正负等 。
物理学应用
在物理学中，许多物理量之间存 在反比关系。例如，万有引力定 律中两物体之间的引力与它们质 量的乘积成正比，与它们距离的
平方成反比。
跨学科综合问题挑战
环境科学
在研究环境污染问题时，污染物的排放量与治理成本之间 往往存在反比关系。利用反比例函数可以制定合理的治理 方案，实现经济效益和环境效益的平衡。

九年级反比例函数经典复习资料知识梳理知识点1.反比例函数的概念一般地，如果两个变量X、y之间的关系可以表示成“上或y二k* （k为常X 数，kHO）的形式，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下儿点：（1）k是常数，且k不为零；（2）£中分母x的指数为1,如y = 4不是反x •比例函数。

（3）自变量x的取值范围是XH O—切实数.（4）自变量y的取值范围是y = 0一切实数。

知识点2.反比例函数的图象及性质反比例函数y =上的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、X三象限或第二、■四象限。

它们关于原点对称、反比例函数的图象与X轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范圉是XH O,因此不能把两个分支连接起来。

（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0,所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。

反比例函数的性质y = -（k^O）的变形形式为xy=k （常数）所以：X（1）其图象的位置是：当k>0时，x、y同号，图象在第一、三象限；当kvO时，x、y异号，图象在第二、四象限。

（2）若点（m,n）在反比例函数y =上的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，X故反比例函数的图象关于原点对称。

（3）当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当kvO时，在每个象限内，y随x的增大而增大；知识点3.反比例函数解析式的确定。

重点：掌握反比例函数解析式的确定难点：山条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式y =-中，只有一个待定系数k,确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只X 需给出一组X、y的对应值或图象上点的坐标，代入y =上中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。

九年级反比例函数知识点总结讲解【导言】反比例函数是数学中比较重要的一种函数类型。

在九年级的数学课程中，学生们会接触到反比例函数的概念、性质和应用。

本文将对九年级反比例函数的知识点进行总结和讲解。

【1. 反比例函数的定义】反比例函数是指当自变量增大时，因变量以相反的比例减小，或当自变量减小时，因变量以相反的比例增大的函数。

反比例函数通常可以表示为y = \(\frac{a}{x}\)，其中a为常数。

【2. 反比例函数的性质】反比例函数有以下几个重要的性质：1) 定义域和值域：对于反比例函数y = \(\frac{a}{x}\)，其定义域为除了x = 0以外的所有实数，其值域为除了y = 0以外的所有实数。

2) 对称中心和对称轴：反比例函数的对称中心为原点(0, 0)，对称轴为y轴。

3) 渐近线：反比例函数的图像以x轴和y轴为渐近线，即当x 趋近于正无穷或负无穷时，y趋近于0；当y趋近于正无穷或负无穷时，x趋近于0。

4) 变化趋势：反比例函数在定义域内是递减的，在值域内是递增的。

【3. 反比例函数的图像特点】反比例函数的图像具有以下几个特点：1) 形状：反比例函数的图像呈现出一条由左上向右下倾斜的直线。

2) 渐近线：除了x轴和y轴外，反比例函数的图像没有其他渐近线。

3) 均匀变化：反比例函数图像上的任意两点，其纵坐标之积为常数。

4) 原点截距：反比例函数图像与坐标轴的交点为原点(0, 0)。

5) 比例关系：反比例函数图像上的任意点坐标(x, y)，有xy = a 成立。

【4. 反比例函数的应用】反比例函数在实际问题中有广泛的应用，下面分别介绍几个常见的应用场景：1) 电阻和电流关系：根据欧姆定律，电阻R与电流I之间存在反比关系，即R = \(\frac{U}{I}\)，其中U为电压常数。

当电流变大时，电阻减小；当电流变小时，电阻增大。

2) 速度和时间关系：在匀速运动过程中，速度v与时间t之间存在反比关系，即v = \(\frac{s}{t}\)，其中s为位移常数。

初三数学知识点全总结初三数学是初中数学学习的重要阶段，知识点繁多且复杂，需要我们认真梳理和掌握。

以下是对初三数学知识点的全面总结。

一、函数1、一次函数一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）。

当 b ＝ 0 时，函数为正比例函数y ＝kx。

我们需要掌握一次函数的图像和性质，例如斜率 k 决定了函数图像的倾斜程度，k ＞ 0 时函数单调递增，k ＜0 时函数单调递减。

同时，要能根据给定的条件求出函数的解析式，并解决与一次函数相关的实际问题。

2、反比例函数反比例函数的表达式为 y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0）。

反比例函数的图像是以原点为对称中心的两条曲线，当 k ＞ 0 时，图像在一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，图像在二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大。

3、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），顶点式为 y ＝a(x h)²＋ k，交点式为 y ＝ a(x x₁)（x x₂)。

二次函数的图像是一条抛物线，对称轴为 x ＝ b/2a，顶点坐标为（b/2a，（4ac b²)／4a）。

我们要学会求二次函数的解析式、顶点坐标、对称轴，掌握二次函数的图像和性质，并能利用二次函数解决最值问题和实际应用题。

二、几何图形1、圆圆的相关概念包括圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角等。

圆的性质有：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；直径所对的圆周角是直角；圆的切线垂直于过切点的半径等。

我们要掌握圆的周长和面积公式，以及弧长和扇形面积的计算方法，并能解决与圆有关的证明和计算问题。

2、相似三角形相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似。

相似三角形的性质有：对应边成比例，对应角相等；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

初三反比例函数知识点反比例函数知识点概述一、反比例函数的定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。

二、反比例函数的图象1. 形状：反比例函数的图象是一组双曲线。

2. 位置：当 k > 0 时，图象位于第一和第三象限；当 k < 0 0 时，图象位于第二和第四象限。

3. 对称性：反比例函数的图象关于原点对称。

三、反比例函数的性质1. 单调性：在每一象限内，随着 x 的增大，y 也增大；随着 x 的减小，y 也减小。

2. 无界性：当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大；当 x 趋向于无穷大时，y 趋向于 0。

3. 交点：反比例函数的图象不与 x 轴和 y 轴相交。

四、反比例函数的应用反比例函数常用于描述两个变量间的反比关系，如物理中的压力与体积的关系（波义耳定律），化学中的浓度与体积的关系等。

五、反比例函数的运算1. 复合函数：若有两个反比例函数 y = k1/x 和 w = k2/z，它们的复合函数为 v = (k1/x) / (k2/z) = (k1/k2) * z/x。

2. 反函数：反比例函数的反函数仍然是一个反比例函数，形式为 x =k/y。

六、反比例函数的图像变换1. 平移：若原函数为 y = k/x，将其向右平移 a 个单位，向上平移b 个单位，新函数为 y = k/(x-a) + b。

2. 伸缩：若原函数为 y = k/x，将其横向伸缩 m 倍，纵向伸缩 n 倍，新函数为 y = k/(m*x)。

七、反比例函数的极值问题反比例函数没有最大值和最小值，但可以通过求导数来分析函数的增减性。

八、反比例函数的积分与微分1. 微分：对于函数 y = k/x，其导数为 dy/dx = -k/x^2。

2. 积分：对于函数 y = k/x，其不定积分为∫(k/x)dx = k*ln|x| + C。

九、反比例函数的方程求解1. 解析解：通过交叉相乘法等代数方法求解。

反比例函数全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0ky k x=≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0ky k x=≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂406878 反比例函数全章复习 知识要点】 要点一、反比例函数的概念一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x ky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线； ②)0(≠=k x ky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xky x k y -==和(k ≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=， 当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较 正比例函数反比例函数解析式图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置0k >，一、三象限； 0k >，一、三象限0k <，二、四象限 0k <，二、四象限增减性0k >，y 随x 的增大而增大 0k <，y 随x 的增大而减小 0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小 0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大（4）反比例函数y ＝中k 的意义①过双曲线x ky =(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . ②过双曲线x ky =(k ≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k.要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例1】1、（2015•上城区一模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x ＞0，k ＞0）的图象经过点A （m ，n ），B （2，1），且n ＞1，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，求点A 的坐标．【思路点拨】根据图象和△ABC 的面积求出n 的值，根据B （2，1），求出反比例函数的解析式，把n 代入解析式求出m 即可． 【答案与解析】 解：∵B （2，1）， ∴BC=2，∵△ABC 的面积为2， ∴×2×（n ﹣1）=2，解得：n=3， ∵B （2，1），∴k=2， 反比例函数解析式为：y=， ∴n=3时，m=，∴点A 的坐标为（，3）．【总结升华】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，用待定系数法求出k 、根据三角形的面积求出n 的值是解题的关键，解答时，注意数形结合思想的准确运用． 举一反三：【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例2】 【变式】已知反比例函数ky x=与一次函数y ax b =+的图象都经过点P(2，－1)，且当1x = 时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式.【答案】因为双曲线ky x=经过点P(2，－1)，所以2(1)2k xy ==⨯-=-． 所以反比例函数的关系式为2y x-=，所以当1x =时，2y =-．当1x =时，由题意知2y ax b =+=，所以直线y ax b =+经过点(2，－1)和(1，2)，所以有21,2,a b a b +=-⎧⎨+=⎩ 解得3,5.a b =-⎧⎨=⎩所以一次函数解析式为35y x =-+． 类型二、反比例函数的图象及性质2、已知反比例函数ky x=(k ＜0)的图象上有两点A(11x y ，)，B(22x y ，)，且12x x <，则12y y -的值是( )．A ．正数B ．负数C ．非负数D ．不能确定【思路点拨】一定要确定了A 点和B 点所在的象限，才能够判定12y y -的值. 【答案】D ；【解析】分三种情形作图求解．(1)若120x x <<，如图①，有12y y <，12y y -＜0，即12y y -是负数； (2)若120x x <<，如图②，有12y y >，12y y -＞0，即12y y -是正数；(3)若120x x <<，如图③，有12y y <，12y y -＜0，即12y y -是负数． 所以12y y -的值不确定，故选D 项．【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论. 举一反三：【变式】已知0a b ⋅<，点P （a b ，）在反比例函数xay =的图象上，则直线b ax y +=不经过的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C ；提示：由0a b ⋅<，点P （a b ，）在反比例函数xay =的图象上，知反比例函数经过二、四象限，所以00a b <>，，直线b ax y +=经过一、二、四象限.3、（2016•淄博）反比例函数y=（a ＞0，a 为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M 在y=的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交y=的图象于点B ，当点M 在y=的图象上运动时，以下结论： ①S △ODB =S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点． 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【思路点拨】①由反比例系数的几何意义可得答案；②由四边形OAMB 的面积=矩形OCMD 面积﹣（三角形ODB 面积+面积三角形OCA ），解答可知；③连接OM ，点A 是MC 的中点可得△OAM 和△OAC 的面积相等，根据△ODM 的面积=△OCM 的面积、△ODB 与△OCA 的面积相等解答可得． 【答案】D ．【解析】解：①由于A 、B 在同一反比例函数y=图象上，则△ODB 与△OCA 的面积相等，都为×2=1，正确；②由于矩形OCMD 、三角形ODB 、三角形OCA 为定值，则四边形MAOB 的面积不会发生变化，正确；③连接OM ，点A 是MC 的中点，则△OAM 和△OAC 的面积相等，∵△ODM 的面积=△OCM 的面积=，△ODB 与△OCA 的面积相等， ∴△OBM 与△OAM 的面积相等， ∴△OBD 和△OBM 面积相等， ∴点B 一定是MD 的中点．正确； 故选：D ．【总结升华】本题考查了反比例函数y=（k ≠0）中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．4、反比例函数xmy =与一次函数)0(≠-=m m mx y 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）【答案】C ；【解析】一次函数()1y mx m m x =-=-是经过定点（1，0）,排除掉B 、D 答案；选项A 中m 的符号自相矛盾，选项C 符合要求.【总结升华】还可以按照m ＞0，m ＜0分别画出函数图象，看哪一个选项符合要求. 举一反三：【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例7】【变式】已知＞b a ,且,0,0,0≠+≠≠b a b a 则函数b ax y +=与xba y +=在同一坐标系中的图象不可能是( ) .【答案】B ；提示：因为从B 的图像上分析，对于直线来说是<0,0a b <，则0a b +<，对于反比例函数来说，0a b +>，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形. 类型三、反比例函数与一次函数综合5、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+(k ≠0)的图象与反比例函数my x=(m ≠0)的图象相交于A 、B 两点．求：(1)根据图象写出A 、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值． 【答案与解析】解：(1)由图象可知：点A 的坐标为(2，12)，点B 的坐标为(－1，－1)． ∵ 反比例函数(0)m y m x =≠的图象经过点A(2，12)，∴ m ＝1．∴ 反比例函数的解析式为：1y x=．∵ 一次函数y kx b =+的图象经过点A 12,2⎛⎫⎪⎝⎭，点B(－1，－1)， ∴ 12,21,k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩ 解得：1,21.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 一次函数的解析式为1122y x =-． (2)由图象可知：当x ＞2或－l ＜x ＜0时一次函数值大于反比例函数值．【总结升华】一次函数值大于反比例函数值从图象上看就是一次函数的图象在反比例函数的图象上方的部分，这部分图象的横坐标的范围为所求. 举一反三：【变式】如图所示，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数(0)my x x=>的图象交于点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且27DBP S =△，12OC CA =．(1)求点D 的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的表达式；(3)根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 【答案】解：(1)由一次函数3y kx =+可知：D(0，3)(2)设P(a ，b )，则OA ＝a ，13OC a =，得1,03C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 由点C 在直线3y kx =+上，得1303ka +=，ka ＝－9， DB ＝3－b ＝3－(ka ＋3)＝－ka ＝9，BP ＝a ． 由1192722DBP S DB BP a ===△， ∴ a ＝6，∴ 32k =-，b ＝－6，m ＝－36． ∴ 一次函数的表达式为332y x =-+，反比例函数的表达式为36y x=-．(3)根据图象可知：当x ＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．类型四、反比例函数的实际应用6、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y (℃)，从加热开始计算的时间为()min x ．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min 后温度达到60℃．(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？【思路点拨】（1）首先根据题意，材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；（2）把y ＝15代入300y x=中，进一步求解可得答案． 【答案与解析】解：依题意知两函数图象的交点为(5，60) (1)设材料加热时，函数解析式为y kx b =+．有15956015b k k b b ==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩∴915y x =+(0≤x ≤5)． 设进行制作时函数解析式为1k y x=． 则1300k =，∴300y x= (x ≥5)． (2)依题意知300x＝15，x ＝20． ∴从开始加热到停止操作共经历了20min ．【总结升华】把握住图象的关键点，根据反比例函数与一次函数的定义，用待定系数法求解析式，并利用解析式解决实际问题.附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）．A ．33πB ．32π C ．π D ．32π图（1）【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6，由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝，所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6.则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)CB AO【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）． A ．449-π B ．849-π C ．489-π D ．889-π图（1）A EBC F P【答案】连结AD，则AD⊥BC，△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：2 8028=. 3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。

反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

其中，x 是自变量，y 是因变量。

因为 x 在分母上，所以自变量 x 的取值范围是x≠0。

例如，y ＝ 3/x，y ＝－5/x 等都是反比例函数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0）3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0）这三种形式在本质上是相同的，只是形式上有所不同，我们可以根据具体的题目条件灵活选择使用。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

需要注意的是，反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交，因为自变量x≠0，函数值y≠0。

四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。

对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x。

对称中心是坐标原点（0，0）。

2、增减性在每个象限内，当 k＞0 时，y 随 x 的增大而减小；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而增大。

3、渐近线双曲线无限接近于 x 轴和 y 轴，但永远不会与它们相交。

五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y ＝ k/x（k≠0）图象上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝ PM·PN ＝｜y|·｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。

2、三角形面积若连接 PO，则三角形 POM 的面积 S ＝ 1/2 ｜k| 。

六、反比例函数与一次函数的综合应用1、求交点坐标联立反比例函数和一次函数的解析式，组成方程组，解方程组即可得到交点坐标。

一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。

二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。

三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。

四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。

3.对称性：关于y轴对称。

4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。

五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。

六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。

2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。

OM 2.
y
A
作 A C x轴C ,于 B D x轴D .于 N
A 4 C ,B 2 D ,
MD
CO
x
S OM 1 2 B OB M D 1 2 2 22 ,
B
1
1
S OM 2 A OM A C 2244.
S A O S O B M S O B A 2 M 4 6 .
(3)当 x为何值 y1y2 时 或 y1 ， y2？
S OA 2 1 P OA A P 1 2|m |•|n|1 2|k|
y
y
Байду номын сангаасP(m,n)
P(m,n)
oA
x
oA
x
面积性质（二）
（3）设P(m,n)关于原点的对称点P'(-m,-n)， 过点P作X轴的垂线，过点P'作Y轴的垂线，两条 垂线交与点A，则:
SΔPA21|AP AP|21|2 m ||2|n2|k|
3．如图 26-2，点 A 在双曲线 y＝kx上，AB⊥x 轴于 B，且 △AOB 的面积 S△AOB＝2，则 k＝____－__4____.
图 26-2
考点三：函数图像与性质
y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数) yk x或k y1 x 或 x yk (0 k)
y
y
y
y
ox k>0
ox k<0
S 矩 O 形 A O P• B A A P m • n k
y
y
B
P(m,n)
B
P(m,n)
oA
x
oA
x
面积性质（一）
大家有疑问的，可以询问和交流 可以互相讨论下，但要小声

行程问题
匀速直线运动
已知速度和时间成反比例关系， 若速度增加，则时间减少，保持 路程不变。
变速直线运动
已知加速度和时间成反比例关系 ，若加速度增加，则时间减少， 保持速度变化量不变。
工程问题
工作效率问题
已知工作效率和工作时间 成反比例关系，若工作效 率提高，则工作时间减少 ，保持工作量不变。
工程造价问题
灵活运用反比例函数的表达式
在解题过程中，需要灵活运用反比例函数的表达式，将其转化为其他形 式或与其他知识点结合，如与一次函数、二次函数等结合，解决复杂问 题。
易错点提示及纠正方法
忽视反比例函数的定义域
反比例函数的定义域是 $x neq 0$，在解题过程中容易忽 视这一点，导致计算错误。纠正方法是时刻注意函数的定 义域，确保在正确的范围内进行运算。
于第二、四象限。
04
02
反比例函数与直线关系
Chapter
与坐标轴交点
反比例函数图像不会与坐标轴相交。
当$k > 0$时，反比例函数的图像位于第一、三象限，每 一个象限内，从左往右，$y$随$x$的增大而减小； 当$k < 0$时，反比例函数的图像位于第二、四象限，每 一个象限内，从左往右，$y$随$x$的增大而增大。
在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐减小。
当 $k > 0$ 时，图象在第一、三象限； 当 $k < 0$ 时，图象在第二、四象限。
性质
反比例函数的图象是双曲线，且两支分 别位于第一、三象限或第二、四象限。
图象特征
图象形状
01
双曲线。
与坐标轴的关系
02
反比例函数的图象与坐标轴没有交点。

初三数学：?反比例函数?知识点归纳
反比例函数的定义
定义：形如函数y=k/x(k为常数且k0)叫做反比例函数 ,其中k叫做比例系数 ,x是自变量 ,y是自变量x的函数 ,x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质
函数y=k/x称为反比例函数 ,其中k0 ,其中X是自变量 ,
1.当k0时 ,图象分别位于第一、三象限 ,同一个象限内 ,y随x的增大而减小;当k0时 ,图象分别位于二、四象限 ,同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k0时 ,函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时 ,函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。

3.x的取值范围是：x
y的取值范围是：y0。

4..因为在y=k/x(k0)中 ,x不能为0 ,y也不能为0 ,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交 ,也不可能与y轴相交。

但随着x无限增大或是无限减少 ,函数值无限趋近于0 ,故图像无限接近于x轴
5.反比例函数的图象既是轴对称图形 ,又是中心对称图形 ,它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三 ,二四象限角平分线) ,对称中心是坐标原点。

反比例函数的一般形式
一般地 ,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成
1 / 1。

于0的全体实数。
图象特征
二次函数图象为抛物线，反比例 函数图象为双曲线。两者在坐标
系中有明显的区别。
性质
二次函数具有对称性、单调性和 最值等性质；反比例函数具有中 心对称性、单调性和无界性等性
质。
典型例题解析
• 例题1：已知二次函数y=ax^2+bx+c和反比例函数y=k/x，其中a、b、c、k均为常数，且a≠0，k≠0。若两函 数图象有交点，求交点的坐标。
反比例函数的解析式一般可以写成 $y=k/x$（$k neq 0$）的形式。
图象特征与性质
图象
反比例函数的图象是以 原点为对称中心的两条 曲线，这两条曲线与坐 标轴没有交点。
对称性
反比例函数的图象既是 轴对称图形，又是中心 对称图形；它有两条对 称轴$y=x$和$y=-x$， 对称中心是坐标原点。
解析
根据复合函数的定义，将内层函 数$g(x)$代入外层函数$f(x)$中， 得到复合函数的解析式为
典型例题解析
例题2
已知函数$f(x)=sin x$和函数 $g(x)=cos x$，求复合函数 $y=f[g(x)]$的解析式并画出其图象 。
解析
根据复合函数的定义，将内层函数 $g(x)$代入外层函数$f(x)$中，得到复 合函数的解析式为
复合函数表达式
一般地，如果函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成函数$y=f[g(x)]$，就称$y=f[g(x)]$为复合函数。
复合函数图象变换规律
平移变换
若函数图象沿向量$vec{a}=(h,k)$平移，则函数表达式变 为$y=f(x-h)+k$。
对称变换
若函数图象关于直线$x=a$对称，则函数表达式变为 $y=f(2a-x)$；若关于点$(a,b)$对称，则函数表达式变为 $y=2b-f(2a-x)$。