高中数学全套讲义 必修5 等差数列 基础学生版

学习目标核心素养１．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．（重点）２．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．（重点）３．等差数列的证明及其应用．（难点）１．通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．２．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.１．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．思考１：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？[提示] 第１项前面没有项，无法与前一项作差．思考２：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．２．等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a１＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.思考３：已知等差数列{a n}的首项a１和公差d能表示出通项公式a n＝a１＋（n—１）d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项公式a n？[提示] 设等差数列的首项为a１，则a m＝a１＋（m—１）d，变形得a１＝a m—（m—１）d，则a n＝a１＋（n—１）d＝a m—（m—１）d＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.１．已知等差数列{a n}的首项a１＝４，公差d＝—２，则通项公式a n＝（）Ａ．４—２nＢ．２n—４Ｃ．6—２nＤ．２n—6C[a n＝a１＋（n—１）d＝４＋（n—１）×（—２）＝４—２n＋２＝6—２n.]２．等差数列—6，—３,0,３，…的公差d＝________.３[（—３）—（—6）＝３，故d＝３．]３．下列数列：１0,0,0,0；２0,１,２,３,４；３１,３,５,7,9；４0,１,２,３，….其中一定是等差数列的有________个．３[１２３是等差数列，４只能说明前４项成等差数列．]４．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以２B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝１80°，所以３B＝１80°，所以B＝60°.]等差数列的判定与证明【例１】（１）在数列{a n}中，a n＝３n＋２；（２）在数列{a n}中，a n＝n２＋n.思路探究：错误!―→错误!―→错误![解] （１）a n＋１—a n＝３（n＋１）＋２—（３n＋２）＝３（n∈N*）．由n的任意性知，这个数列为等差数列．（２）a n＋１—a n＝（n＋１）２＋（n＋１）—（n２＋n）＝２n＋２，不是常数，所以这个数列不是等差数列．１．定义法是判定（或证明）数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：（１）作差a n＋１—a n；（２）对差式进行变形；（３）当a n＋１—a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋１—a n不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．２．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．提醒：当n≥２时，a n＋１—a n＝d（d为常数），无法说明数列{a n}是等差数列，因为a２—a１不一定等于d.１．已知函数f（x）＝错误!，数列{x n}的通项由x n＝f（x n—１）（n≥２且x∈N*）确定．（１）求证：数列错误!是等差数列；（２）当x１＝错误!时，求x２0１9.[解] （１）因为f（x）＝错误!，数列{x n}的通项x n＝f（x n—１），所以x n＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!，所以错误!—错误!＝错误!，所以错误!是等差数列．（２）x１＝错误!时，错误!＝２，所以错误!＝２＋错误!（n—１）＝错误!，所以x n＝错误!，所以x２0１9＝错误!.等差数列的通项公式【例２】已知数列{a n}是等差数列，且a５＝１0，a１２＝３１．（１）求{a n}的通项公式；（２）若a n＝１３，求n的值．思路探究：建立首项a１和d的方程组求a n；由a n＝１３解方程得n.[解] （１）设{a n}的首项为a１，公差为d，则由题意可知错误!解得错误!∴a n＝—２＋（n—１）×３＝３n—５．（２）由a n＝１３，得３n—５＝１３，解得n＝6．１．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n＝a１＋（n—１）d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．２．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n＝a m＋（n—m）d.２．已知递减等差数列{a n}前三项的和为１8，前三项的积为66．求该数列的通项公式，并判断—３４是该数列的项吗？[解] 依题意得错误!∴错误!解得错误!或错误!∵数列{a n}是递减等差数列，∴d<0．故取a１＝１１，d＝—５．∴a n＝１１＋（n—１）·（—５）＝—５n＋１6，即等差数列{a n}的通项公式为a n＝—５n＋１6．令a n＝—３４，即—５n＋１6＝—３４，得n＝１0．∴—３４是数列{a n}的第１0项．等差数列的应用[探究问题]１．若数列{a n}满足错误!＝错误!＋１且a１＝１，则a５如何求解？[提示] 由错误!＝错误!＋１可知错误!—错误!＝１．∴{错误!}是首项错误!＝１，公差d＝１的等差数列．∴错误!＝１＋（n—１）×１＝n，∴a n＝n２，∴a５＝５２＝２５．２．某剧场有２0排座位，第一排有２0个座位，从第２排起，后一排都比前一排多２个座位，则第１５排有多少个座位？[提示] 设第n排有a n个座位，由题意可知a n—a n—１＝２（n≥２）．又a１＝２0，∴a n＝２0＋（n—１）×２＝２n＋１8．∴a１５＝２×１５＋１8＝４8．即第１５排有４8个座位．【例３】某公司经销一种数码产品，第１年可获利２00万元．从第２年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少２0万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．[解] 由题设可知第１年获利２00万元，第２年获利１80万元，第３年获利１60万元，…，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第１年起，第n年的利润为a n，则a n—a n—１＝—２0，n≥２，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a１＝２00，公差d＝—２0．所以a n＝a１＋（n—１）d＝２２0—２0n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝２２0—２0n<0，得n>１１，即从第起，该公司经销此产品将亏损．１．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．２．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．３．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t（s）１２３...？ (60)距离s（cm）9．8１9．6２9．４…４9…？（２）利用建立的模型计算，甲虫１min能爬多远？它爬行４9 cm需要多长时间？[解] （１）由题目表中数据可知，该数列从第２项起，每一项与前一项的差都是常数9．8，所以是一个等差数列模型．因为a１＝9．8，d＝9．8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9．8t.（２）当t＝１min＝60 s时，s＝9．8t＝9．8×60＝５88 cm.当s＝４9 cm时，t＝错误!＝错误!＝５s.１．判断一个数列是否为等差数列的常用方法（１）a n＋１—a n＝d（d为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（２）２a n＋１＝a n＋a n＋２（n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（３）a n＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．２．由等差数列的通项公式a n＝a１＋（n—１）d可以看出，只要知道首项a１和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a１，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．１．判断正误（１）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（）（２）等差数列{a n}的单调性与公差d有关．（）（３）若三个数a，b，c满足２b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．（）[答案] （１）×（２）√（３）√[提示] （１）错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．（２）正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．（３）正确．若a，b，c满足２b＝a＋c，即b—a＝c—b，故a，b，c为等差数列．２．在等差数列{a n}中，若a１＝8４，a２＝80，则使a n≥0，且a n＋１<0的n为（）Ａ．２１Ｂ．２２Ｃ．２３Ｄ．２４B[公差d＝a２—a１＝—４，∴a n＝a１＋（n—１）d＝8４＋（n—１）（—４）＝88—４n，令错误!即错误!⇒２１<n≤２２．又∵n∈N*，∴n＝２２．]３．若数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a n＋２，则a n＝________.２n—１[由a n＋１＝a n＋２，得a n＋１—a n＝２，∴{a n}是首项a１＝１，d＝２的等差数列，∴a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．]４．已知数列{a n}，a１＝a２＝１，a n＝a n—１＋２（n≥３），判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n＝a n—１＋２（n≥３），所以a n—a n—１＝２（常数）．又n≥３，所以从第３项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数２，而a２—a１＝0≠a３—a２，所以数列{a n}不是等差数列．。

第2课时等差数列的性质1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.(重点、易错点)2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.(难点)[基础·初探]教材整理等差数列的性质阅读教材P37第二自然段～P37例3及P38练习B第1,2题，完成下列问题.1.等差数列的图象等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是一固定常数；当d≠0时，a n相应的函数是一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.2.等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.)时，a m＋a n＝2a k.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列.(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列.(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q 是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列.(5){a n}的公差为d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列.1.下列说法中正确的有________.(填序号)①若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列.②若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列.③若{a n}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.④数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等.【解析】①错误.如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列.②错误.如数列－1,2，－3,4，－5，其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列.③正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立.④正确.因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.【答案】③④2.在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.【解析】∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.【答案】333.在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.【解析】因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.【答案】1804.已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.【解析】在等差数列{a n}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15.【答案】15[小组合作型]灵活设元解等差数列四个数.【精彩点拨】(1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？(2)等差数列相邻四项和为26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？【自主解答】法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得⎩⎨⎧b－a＝c－b＝d－c，a＋b＋c＋d＝26，bc＝40，解得⎩⎨⎧a＝2，b＝5，c＝8，d＝11或⎩⎨⎧a＝11，b＝8，c＝5，d＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得⎩⎨⎧a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋3d)＝26，(a1＋d)(a1＋2d)＝40，化简，得⎩⎨⎧4a1＋6d＝26，a21＋3a1d＋2d2＝40，解得⎩⎨⎧a1＝2，d＝3，或⎩⎨⎧a1＝11，d＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得⎩⎨⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋ (a ＋3d )＝26， (a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎨⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝±32. ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程组求出a 1和d ，即可确定数列.2.当已知数列有2n 项时，可设为a －(2n －1)d ，…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，a ＋(2n －1)d ，此时公差为2d .3.当已知数列有2n ＋1项时，可设为a －nd ，a －(n －1)d ，…，a －d ，a ，a ＋d ，…，a ＋(n －1)d ，a ＋nd ，此时公差为d .[再练一题]1.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.【导学号：18082023】【解】 (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎨⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9， (a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎨⎧a ＝3， d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.等差数列的实际应用两个不同的信息图如图2-2-1.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.甲 乙图2-2-1请你根据提供的信息回答问题.(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.【精彩点拨】 解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列.【自主解答】 由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n .(1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎨⎧ a 1＝1，a 1＋5d 1＝2，∴⎩⎨⎧ a 1＝1， d 1＝0.2，得a 2＝1.2； 由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎨⎧ b 1＝30，b 1＋5d 2＝10，∴⎩⎨⎧b 1＝30，d 2＝－4，得b 2＝26. ∴c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只.(2)∵c 6＝a 6b 6＝2×10＝20<c 1＝a 1b 1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.1.在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量.[再练一题]2.某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【导学号：18082024】【解】由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为a n，则a n－a n－1)，每年获利构成等差数列{a n}，且首项a1＝200，公差d ＝－20，(n≥2，n∈N＋＝－20.所以a n＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n＝－20n＋220<0，解得n>11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.[探究共研型]等差数列的性质2,4,6,8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？【提示】这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列.探究2在等差数列{a n}中，若a n＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？【提示】由a n＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.＋对于任意等差数列{a n}，设其公差为d.则a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d＝2a 1＋(m ＋n －2)d ，a p ＋a q ＝a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d＝2a 1＋(p ＋q －2)d ，因m ＋n ＝p ＋q ，故a m ＋a n ＝a p ＋a q 对任意等差数列都适用. 探究3 在等差数列{a n }中，2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n >1)成立吗？2a n ＝a n ＋k ＋a n －k (n >k >0)是否成立？【提示】 在探究2的结论中令m ＝n ，p ＝n ＋1，q ＝n －1，可知2a n ＝a n ＋1＋a n －1成立；令性质(2)中的m ＝n ，p ＝n ＋k ，q ＝n －k ，可知2a n ＝a n ＋k ＋a n －k 也成立.在公差为d 的等差数列{a n }中，(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d .【精彩点拨】 解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a 1和d 后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决.【自主解答】 法一：(1)化成a 1和d 的方程如下：(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48，即4(a 1＋12d )＝48.∴4a 13＝48.∴a 13＝12.(2)化成a 1和d 的方程如下：⎩⎨⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52， 解得⎩⎨⎧ a 1＝1， d ＝3或⎩⎨⎧a 1＝16， d ＝－3， ∴d ＝3或－3.法二：(1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，及a 2＋a 24＝a 3＋a 23＝2a 13. 得4a 13＝48，∴a 13＝12.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，及a 3＋a 4＝a 2＋a 5得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17.解⎩⎨⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，得⎩⎨⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎨⎧a 2＝13，a 5＝4.∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.1.利用等差数列的通项公式列关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d ，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法.2.巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程.3.通项公式的变形形式a n ＝a m ＋(n －m )d ，(m ，n ∈N ＋)，它又可变形为d ＝a m －a n m －n，应注意把握，并学会应用.[再练一题]3.设数列{a n }，{b n }都是等差数列.若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.【解析】 法一：设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3＋b 3＝(a 1＋2d 1)＋(b 1＋2d 2)＝(a 1＋b 1)＋2(d 1＋d 2)＝7＋2(d 1＋d 2)＝21，所以d 1＋d 2＝7，所以a 5＋b 5＝(a 3＋b 3)＋2(d 1＋d 2)＝21＋2×7＝35.法二：∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，∴数列{a n ＋b n }也构成等差数列，∴2(a 3＋b 3)＝(a 1＋b 1)＋(a 5＋b 5)，∴2×21＝7＋a 5＋b 5，∴a 5＋b 5＝35.【答案】 351.已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A.b n ＝－a nB.b n ＝a 2nC.b n ＝a nD.b n ＝1a n【解析】 ∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数).对于A ：b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如数列{a n }＝{n }，则b n ＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C ，D ：a n 及1a n不一定有意义，故选A.【答案】 A2.在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A.40B.42C.43D.45【解析】 由⎩⎨⎧ a 1＝2， a 2＋a 3＝13，即⎩⎨⎧ a 1＝2， 2a 1＋3d ＝13，得d ＝3. 所以a 5＝2＋4×3＝14.所以a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝42，故选B.【答案】 B3.在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝9，a 8＝6，则a 2＝______.【导学号：18082025】【解析】 法一：由⎩⎨⎧ a 2＋a 5＝9，a 8＝6，∴a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝15，∴a 5＝5，a 2＝4.法二：由⎩⎨⎧ a 2＋a 5＝9，a 8＝6，得⎩⎨⎧ 2a 2＋3d ＝9，a 2＋6d ＝6，解之得a 2＝4.【答案】 44.若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________.【解析】 由题意得该等差数列的公差d ＝9－25－1＝74， 所以c －a ＝2d ＝72.【答案】 725.在等差数列{a n}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求该数列的通项公式.【解】因为a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，所以a5＝3法一：a3＋a7＝2a5＝6. ①所以a3·a7＝－7. ②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2.由a n＝a3＋(n－3)d，得a n＝2n－7或a n＝－2n＋13.法二：a3·a7＝－7∴(a5－2d)(a5＋2d)＝－7∴(3－2d)(3＋2d)＝－7解得d＝±2.若d＝2，a n＝a5＋(n－5)d＝3＋2(n－5)＝2n－7若d＝－2，a n＝a5＋(n－5)d＝3－2(n－5)＝13－2n∴a n＝2n－7或a n＝－2n＋13.。

高一数学等差数列及其求和知识点1. 数列的相关基本概念1.数列：按照一定顺序排列着的一列数。

（有穷数列，无穷数列）（数列{}n a ） 数列中的每一个数叫做项。

递增数列：d > 0 递减数列：d,< 0 常数列：d = 0 摆动数列 数列表示法：（1）通项公式：数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可用一个式子来表示。

（2）递推公式：若已知前项且任一项n a 与其他项之间的关系可用一式子表示的公式 （注意：有的数列无通项公式 有的数列有多个通项公式）知识点2. 等差数列等差数列：若一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差为常数的数列。

思考：如何证明一个数列是等差数列？等差中项：如，a ，A , b 组成等差数列可看成最简单的的等差数列，则A 为a ，b 的等差中项。

等差数列的通项公式： 1(1),()n n m a a n d a a n m d =+-=+-知识梳理知识点3.等差数列的相关应用和性质 1.等差数列的判定：（1）d a a n n =-+1（常数）⇔{}n a 是等差数列 （2）b kn a n +=（b,k 为常数）⇔{}n a 是等差数列 （3）212+++=n n n a a a （n ∈*N )⇔{}n a 是等差数列2.等差数列的常用设法：（1）若有3个数成等差数列⇒(一般设为）b a a b a +-,, （2）若有4个数成等差数列⇒d a d a d a d a 3,,,3++-- 3.常用性质：（若{}n a 数列，d 公差）（1）0d >，递增数列；0<d ，递减数列；0d =常数列 （2）mn a a n a a d m n n --=--=11 （m,n ∈*N ) （3）若q p n m +=+ （m,n,p,q ∈*N ),则q p n m a a a a +=+ （4）若K 为常数，则数列{}n ka 也是等差数列，公差为kd4.等差数列{}n a 的前n 项和： d n n na a a n S n n2)1(2)(11-+=+= 5.n n n n n n n n S S S S S S S S 23232,,,,--⇒成等差数列：}n S {n 也是等差数列。

北师大版高中数学 等差数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。

1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d 来表示。

用递推关系系表示为_________________或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则________________3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数）（3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数）（4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列（7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n =A.669B.673C.662D.663 练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n =A.669B.668C.662D.663例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-5 练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==- 其中n N +∈设221n n b a =-（1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n a 的通项公式练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1n nb a = （1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （）A.24B.22C.20D.18练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（） A.0 B.1 C.2 D.1或2练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b（1） 求1b 和2b（2） 求{}n b 的通项公式（3）{}n b中的第503项是{}n a的第几项1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6 C．8 D．102.在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．523. 如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21 C．28 D．354. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 5. 等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30 B．27 C．24 D．216. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11 B．12 C．13 D．142.若数列{a n}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝()A．24 B．27 C．30 D．333.已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15 B．30 C．31 D．64 4.等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于()A．100 B．120 C．140 D．1605.已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A.3B.2C.13D.126. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.7. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______. 8. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．179. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________.10. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________．11. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤32513. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．5114. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23D ．－1 15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3416. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．17. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根 18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －119. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________.20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．21. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.22. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项；(3)从第几项开始出现负数？(4)在区间(－31,0)中有几项？23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？24. 已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100的值． 25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．。

【苏教版】高中数学必修五第 2 课时：§2.2 等差数列 课时讲义【三维目标】：一、知识与技能1.通过实例，理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2.掌握“叠加法”求等差数列公式的方法，掌握等差数列的的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；3.掌握等差数列的常规简单性质，并能应用于解题；4.正确认识使用等差数列的多种表达形式，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项，能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；5.探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力。

二、过程与方法1.经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程（让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念）；2.由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

三、情感、态度与价值观1. 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。

2.培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

【教学重点与难点】：重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式。

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法；体会等差数列与一次函数之间的联系。

【学法与教学用具】：1.学法：引导学生概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.教材33P 引例：①第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004②某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++⨯+⨯③如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月，2个月，3个月，……12个月，所得的本利和依次为100001000016.5,1000016.52,1000016.512++⨯+⨯问题：上面这些数列有何共同特征？2.看这些数列有什么共同特点呢？0，5，10，15，20，…… ① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③48，53，58，63 ② 3，3，3，3，3，…… ④引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0 ；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。