一、解释下列词语(每条词语满分5分，共15分)
1．原型
所谓原型（prototype）就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物（或对象）。
2．数学模型
概言之，就是对某种事物系统的特征和数量关系，借助数学语言而建立起来的符号系统。暗广义理解：凡是以相应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等都称为数学模型。按狭义理解：那些反映特定问题或特定事物系统的数学符号系统就叫做数学模型。
3．思维模型
通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型.
二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1．模型的分类
答：模型一般分为体模型和抽象模型两大类。具体模型有直观模型、物理模型等；抽象模型有思维模型、符号模型、数学模具型等。
2．数学建模的基本步骤
答：按照建模过程，一般基本步骤为
（1）建模准备
建模准备是确立建模课题的过程。
（2）建模假设
建模假设是根据建模的目的对原型进行抽象、简化。把反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化非本质因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件。
（3）构造模型
在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题的数学模型。
（4）模型求解
根据已知条件和数据，分析模型的特征和结构特点，设计或选择求解的数学方法和算法，然后编写程序或运用相适应的软件包，并借助计算机完成求解。
（5）模型分析
根据建模的目的，对模型求解的数字结果进行分析。通过分析，修改或重建不符合要求的模型，对符合要求的模型进行优化。
（6）模型检验
回到客观实际中对模型进行检验，看是否符合客观实际。若不符，修改或重新建模。不断完善，直至获得满意结果。
（7）模型应用
模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型最客观、最公正的检验。
3．数学模型的作用
答：数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济及至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。数学模型给科学研究的对象以定量描述，从而把科学推向更高的阶段。数学模型对很多科学概念的表达、科学规律的揭示以及科学体系的形成都起到了不可缺少的重要作用。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点都是通过数学模型和数学方法借助计算机的计算、控制来实现的。
三、解答题（满分20分）
C 题 (7n+2, 7n+1)
在一个半球形容器的球面上出现了六个小圆孔，我们称这样的容器为残半球容器，往残半球容器中注入液体，如何放置该残半球容器能使其容量尽可能的大？
答：将半球容器边缘的圆称之为边缘圆。首先，确定好所有不在同一直线上的三个孔所确定的平面。如果边缘圆与其他孔都位于其中某平面的一侧，则称该平面为标准面。同时，确定标准面上三个孔的外接圆半径，称之为标准半径;其次，考虑任意两个孔。在边缘圆上确定一点，使它与两个孔所确定的平面和边缘圆相切，如果其他所有孔均位于这一平面边缘圆所在的一侧，则称其为标准面，同时求出标准半径。具体做法是：过两个孔A、B作直线，有两种情况：①与边缘圆
所在的平面相交。那么设交点为C ，过C 点作边缘圆的切线，切点分别为D ，D ＇过直线AB 与直线CD(或C D ＇)的平面与边缘圆相切。②与边缘圆所在平面平行，设边缘圆的圆心为O ，过O 作直线AB 的垂面，设垂面与边缘圆相交于D 和D ＇，则过直线AB 及点D(或D ＇)的平面与边缘圆相切。在上述所有标准半径中，求出最大者。最后使最大标准半径所在的平面与水平面平行，而且让边缘圆位于此标准面之上，这时残半球容器的容量最大。
E 题 (7n+4, 7n+2)
录像带上有一个四位计数器，一盘180分钟的录像带在开始计数时为0000，到结束时计数为1849，实际走时为185分20秒. 我们从0084观察到0147共用时3分20秒.若录像机目前的计数为1428，问是否还能录完一个60分钟节目？建立数学模型给于回答.
答：设录像带的厚度为W ，它被绕在一个半径为r 的圆盘上，如图所示。
磁带转动中线速度为v 。此外，计数器的读数n 与转过的圈数有关，从而与转过的角度θ成正比。
由 得到
且 ， 得到
积分得
即
令 ，
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