3.1 二维形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)

2 2 2 2
x y 当且仅当 ＝ 时等号成立， 3 4
3x＋4y＝2， 由x y 3＝4. 6 x＝25， 得 y＝ 8 . 25 6 8 因此， x＝ ，y＝ 时，x2＋y2 取得最小值， 当 25 25 4 最小值为 . 25
[悟一法] 利用柯西不等式求最值的方法 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不
[读教材· 填要点]
1．二维形式的柯西不等式
(ac＋bd)2， (1)若 a， c， 都是实数， b， d 则(a ＋b )(c ＋d )≥
2 2 2 2
当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论：
( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)； (a＋b)(c＋d)≥
∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝2，
∴由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2， 得(ac＋bd)2≤1×2＝2. ∴－ 2≤ac＋bd≤ 2. c d 当且仅当 ad＝bc，即a＝b＝ 2时取最大值 2. ∴ac＋bd 的最大值为 2.
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[通一类] 3．如何把一条长为m的绳子截成3段，各围成一个正方 形，使这3个正方形的面积和最小？ 解：设这 3 段的长度分别为 x，y，z，则 x＋y＋z＝m，且 3 个
正方形的面积和 x2 y2 z2 1 2 2 2 S＝( ) ＋( ) ＋( ) ＝ (x ＋y ＋z )． 4 4 4 16 因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2， m 等号当且仅当 x＝y＝z＝ 时成立，所以 x2＋y2＋z2 有最小值 3 m2 m2 ，从而 S 有最小值 . 3 48 把绳子三等分后，这 3 段所围成的 3 个正方形的面积和最小．
将以上三个同向不等式相加，即得
3 2 a1＋a2a2＋a1a2＋a3＋ a3＋a2a3＋a2a2＋a2＋ 1 2 2 2 3 3 3 a3＋a2a1＋a3a2＋a3≥2( a3＋ a3＋ a3)． 3 1 1 1 2 3
[例 2]
设 a，b，c，d 是 4 个不全为零的实数，求证：
ab＋2bc＋cd 2＋1 ≤ . 2 a2＋b2＋c2＋d2 [精讲详析] 本题考查柯西不等式的灵活应用，解答
a2＋b2· c2＋d2≥ |ac＋bd| (a，b，c，d∈R)； a2＋b2· c2＋d2≥ |ac|＋|bd| (a，b，c，d∈R)．
2．柯西不等式的向量形式 设 α， 是两个向量， β 则|α·β|≤ |α||β| ， 当且仅当 β 是 零向量 ，
或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 (1) x1 2＋y1 2＋ x2 2＋y2 2≥
[研一题] [例3] 若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值． [精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用． 解答本题需
要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后 利用柯西不等式求最值． 由柯西不等式 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2 得 4 25(x ＋y )≥4，所以 x ＋y ≥ . 25
a2＋c2＋b2＋d2 a2＋b2＋c2＋d2 ≤ 2· ＋ 2 2 2＋1 2 ＝ (a ＋b2＋c2＋d2)． 2 ab＋2bc＋cd 2＋1 ∴ 2 . 2 2 2≤ 2 a ＋b ＋c ＋d
[悟一法] 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学 表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧， 必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、 拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能 发现问题的本质，找到突破口．
同理： 2· b2＋c2≥b＋c， 2· a2＋c2≥a＋c， 将上面三个同向不等式相加得： 2( a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2)≥2(a＋b＋c)， ∴ a2＋b2＋ a2＋c2＋ b2＋c2≥ 2· (a＋b＋c)．
[悟一法]
利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等 式的基本特征： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中 a，b，c，d∈R 或(a ＋b)· (c＋d)≥( ac＋ bd)2，其中 a，b，c，d∈R＋.
[通一类]
2．设 a，b∈R*，且 a＋b＝2. a2 b2 求证： ＋ ≥2. 2－a 2－b
证明：根据柯西不等式，有 a2 b2 [(2－a)＋(2－b)]( ＋ ) 2－a 2－b a 2 b 2 ＝[( 2－a) ＋( 2－b) ][( ) ＋( )] 2－a 2－b
2 2
a b 2 ≥( 2－a· ＋ 2－b· ) 2－a 2－b ＝(a＋b)2＝4. a2 b2 4 ∴ ＋ ≥ ＝2. 2－a 2－b 2－a＋2－b ∴原不等式成立.
x1－x22＋y1－y22 (x1，y1，x2，y2∈R)．
(2)推论： x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32≥
x1－x22＋y1－y22 ，(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．
[小问题· 大思维]
1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的ຫໍສະໝຸດ Baidu a c 件可以写成b＝d吗？
本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的 变形，创造利用柯西不等式的条件． ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad) ≤ 2[ab＋cd2＋bc－ad2]＋ b2＋a2c2＋d2 ＝ 2· a2＋c2b2＋d2＋ a2＋b2c2＋d2
等式求解的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但 只要适当添加上常数项或为常数的各项，就可以应用柯西 不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才 能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立 的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多 次反复运用柯西不等式的方法也是常用的技巧之一．
[例 1]
[研一题] 设 a，b，c 为正数，
本题考查柯西不等式的应用．解答本题
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
[精讲详析]
需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各 组不等式相加即可． 由柯西不等式： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2· a2＋b2≥a＋b，
柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点.2012年 郑州模拟以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的 应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 郑州模拟)已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋ d2＝2，求ac＋bd的最大值．
[命题立意]
[解]
本题考查柯西不等式在求最值中的应用．
a c 提示：不可以．当 b· d＝0 时，柯西不等式成立，但b＝d不 成立．
2 2．不等式 x2＋y2＋ x2＋y2≥ x1－x22＋y1－y22 1 1 2
(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？
提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线， 且P1，P2在原点两旁时，等号成立．
2 3 于是 a3＋a1a2＋a1a2＋a2≥( a3＋ a3)2. 1 2 1 2 3 故 a1＋a2a2＋a1a2＋a3≥ a3＋ a3， 1 2 2 1 2 2 同理 a3＋a2a3＋a2a2＋a3≥ a3＋ a3， 2 3 3 2 3
3 a3＋a2a1＋a3a2＋a3≥ a3＋ a3. 3 1 1 3 1
[通一类]
1．设 a1，a2，a3 为正数，求证：
3 a3＋a2a2＋a1a2＋a3＋ a2＋a2a3＋a2a2＋a3＋ 1 1 2 2 2 3 3
a3＋a2a1＋a3a2＋a3≥2( a3＋ a3＋ a3)． 3 3 1 1 1 2 3
证明：因为 a3＋a2a2＋a1a2＋a3＝(a1＋a2)· 2＋a2)， (a1 2 1 1 2 2 由柯西不等式得 [( a1)2＋( a2)2](a2＋a2)≥(a1 a1＋a2 a2)2， 1 2