概率论与数理统计-数学期望_图文

因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子 内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个 盒子内的概率为(1-1/M)n ，即
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章 数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量 。如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现 ： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
这是以频率为 权的加权平均
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为：
这样，就得到一个确定的数
这是以概率为 权的加权平均
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
解：设组织货源 t 吨。显然，应要求
2000≤t ≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X
的函数Y=g(X)。表达式为
由已知条件, 知X的概率密度函为
可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。 因此，应组织3500吨货源。
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前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关 于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。
因此，在对随机变量的研究中，确定随 机变量的某些数字特征是非常重要的。
所以，
3.1.4 期望的性质
(1). 设C是常数，则E(C)=C; (2). 若k是常数，则E(kX)=kE(X);
注意:由E(XY)=E(X)E(Y)
(3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2不);一定能推出X,Y独立
推广：
(4). 设 X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
可以得到这100天中每天的平均废品数为
可以想象：若另外再统计100天，其中不出废 品，出一件、二件、三件废品的天数与前面
的100天一般不会完全相同，即另外100天每
天的平均废品数也不一定就是1.27。
一般来说, 若统计了n天 ,
(假定每天至多出三件废品)
n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.
推广：
(诸Xi 独立时)。
期望性质的应用
例9: 求二项分布的数学期望。
分析：若 X ~ B(n, p)，则 X 表示n重贝努 里试验中“成功”的次数。
设
i=1,2,…n.
则 X = X1+X2+…+Xn，
因为 P{Xi =1}= p,
E (Xi ) = p ， 所以 E(X)=
P{Xi =0}= 1-p，
若X 服从参数为 λ 的指数分布，则
若X 服从
，则
已知某地区成年男子身高X~
这意味着：若从该地区抽查很多成年男 子，分别测量他们的身高。则这些身高的平 均值近似地为1.68。
例4：设某型号电子管的寿命X服从指数分布, 平均寿命为1000小时, 计算 P{1000<X≤1200}
。解：由 E(X) = 1/λ = 1000，知 λ = 0.001，X
如果
有限, 则称
为X 的数学期望(或均值) 。
也就是说：离散型随机变量的数学期望
是一个绝对收敛的级数和。
在 X 取可列无穷个值时，级数绝对收敛 可以保证“级数之值不因级数各项次序的改 排而发生变化”，这样E(X)与X取值的人为 排列次序无关。
例1： 有4只盒子，编号为1, 2, 3, 4。现有3个 球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去 。用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小 号码，E(X)。
于是，
常用离散型随机变量的数学期望
1.两点分布：X ∼ B(1, p), 0 < p < 1，则
E(X)= 1p + 0(1-p) = p .
2.二项分布：X ∼ B(n, p)，其中 0 < p < 1， 则
例2：某种产品次品率为 0.1。检验员每天检验 4 次, 每次随机抽取10件产品进行检验，如发现次品数大 于 1, 就调整设备。 若各件产品是否为次品相互独 立, 求一天中调整设备次数的期望。
= np .
由此可见：服从参数为n, p的二项分布的 随机变量X的数学期望是 np。
例10：将 n个球放入M个盒子中, 设每个球落 入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的 期望。 解：引入随机变量
则 X=X1+X2+…+XM .于是, E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(XM).
每个Xi都服从两点分布，i =1,2,…,M。
说明
前面我们给出了求g(X)的期望的方法。实 际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量函 数 Z = g(X,Y)的情形。
设二维离散型随机向量 (X, Y) 的概率分布为 pij, i=1, 2, ， j=1, 2, . 则：
设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函 数为 f (x, y), 则:
的概率密度为
4.1.3 随机变量函数的数学期望 I. 问题的提出：
设随机变量X的分布已知，需要计算的量 并非X的期望，而是X的某个函数的期望，比 如说是 g(X) 的期望。那么，如何计算呢？
一种方法是：由于g(X) 也是随机变量， 故应有概率分布，其分布可以由X的分布求 出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期 望的定义把 E[g(X)] 计算出来。
阴影面Байду номын сангаас≈
这正是
的渐近和式 。
小区间[Xi, Xi+1)
从该启示出发，我们给出如下定义。
定义2：设X是连续型随机变量，概率密度为
f (x), 如果
有限，则称
为X的数学期望。
也就是说：连续型随机变量的数学期望 是一个绝对收敛的积分值.
例3：设随机变量X 的概率密度为
求 E(X) 。 解：
由随机变量数学期望的定义，不难计算出： 若X ~ U[a, b], 即X服从[a, b]上的均匀分布, 则
例7：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分 布如下表所示，求Z=X2+Y的期望.
解： E(Z)= g(1,1)0.125+g(1,2)0.25 +g(2,1)0.5+g(2,2)0.125 = 4.25.
例8：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分 别为
求 E(XY)。 解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。
该公式的重要性在于：当我们求 E[g(X)] 时, 不必求g(X)的分布，而只需知道X的分布 足矣。这对求 g(X) 的期望带来了极大方便 。
例5： 设 X ∼ N(0 , 1)，求 E(X2)。 解：
例 6：设国际市场上对我国某种出口商品每年 的需求量是随机变量X(单位: 吨)。X服从区间 [2000, 4000] 上的均匀分布。每销售出一吨商 品,可为国家赚取外汇3万元；若销售不出, 则 每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货 源，才能使国家收益最大?
解：用X 表示10件产品中的次品数，则 X~B(10, 0.1)，
每次检验后需要调整设备的概率为
用 Y 表示一天中调整设备的次数，则 Y~B(n, p)，其中n=4, p=0.2639。所求期望
3. 泊松分布: X ∼ P()，其中 > 0 ，则 E(X)= .
4.1.2 连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，密度函数 f(x) 在
但使用该方法 必须先求出g(X)的分布。 一般说来，这是比较复杂的事。
那么, 可否不求g(X)的分布，而只根据X 的分布来计算 E[g(X)] 呢？
答案是肯定的。且有如下公式：
设X是一个随机变量，Y=g(X)，则
当X为离散型时, P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时, X 的密度函数为 f(x)。
数轴上取很密的点 x0< x1< x2<…, 则X 落在小 区间 [xi , xi+1) 的概率是
阴影面积≈
在小区间[xi, xi+1)上
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值
可用 xi 来近似地替代。
因此, X与以概率
取值 xi 的离散型r.v
近似, 该离散型r.v 的 数学期望是
解：首先求X 的概率分布。X 所有可能取的 值是1, 2, 3, 4。{X=i} 表示i号盒中至少有一 个球，i=1, 2, 3, 4。
为求 P{X=1}，考虑 {X=1} 的对立事件： {1号盒中没有球}，其概率为 (3/4)3，因此
{X=2} 表示 {1号盒中没有球，而2号盒中至少 有一个球}，类似地得到：