第四讲 力 矩 平 衡

WOA＋GOG ＝POB ＝POC ＋P CB WOA＝P CB
A G OC G
P
A G OC B
W
G
P
解： GOG ＝2POC’
C’比C点更左些
WOA＋GOG ＝2POB’ ＝2POC’＋2PC’B’ WOA＝2PC’B’ C’B’为CB的一半 A G OC’ G 2P A G OC’ B’
（A）物体A对棒端的弹力、摩擦力的合力方向必沿棒的方向，
Ff＝G FNLN ＝GLG＋FfLf
A
Ff FN Ff G’

G
例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放 在水平地面上，一根匀质木棒OA长为3R，重为G。木棒的O端与 地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一 水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢 移动。问：
FN
B
C 30
mg 2L mg cos＝ FNL cos＋FNL sin 3 FN＝2mg/(1＋ tan) ＝200 N
Ff
A
五．平衡综合问题:
解平衡问题的步骤：
（1）确定研究对象，
（2）受力分析，
（3）力的合成分解，
（4）选择平衡条件列方程。
例1：如图所示，光滑水平面上有一长木板，一均 匀杆质量为m，上端铰于O点，下端搁在板上，杆与板 间的动摩擦因数为＝1/2，杆与竖直方向成45角，（1） 为使板向右匀速运动，向右的水平拉力F应多大？（2） 为使板向左匀速运动，向左的水平拉力F应多大？
FNB2L＝FNAL＋mgL 2FNB＝FNA＋mg
FNB
C B D N A
A mg FNA
FNA mg mg FND
FNB2L＝FNAL＋mgL 2FNB＝FNA＋mg
2FNC＝FNB＋mg 2FND＝FNC＋mg
D
C B N A
FNA2L＝mg2L＋FNDL＋mgL
2FNB＝FNA＋mg 2FNC＝FNB＋mg 2FND＝FNC＋mg 2FNA＝FND＋3mg 15FND＝17mg FND＝17mg/15
例1：均匀板重300 N，装置如图，AO长4 m，OB 长8 m，人重500 N，绳子能承受的最大拉力为200 N， 求：人能在板上安全行走的范围。
C A O
2m
30
B
4m
8m
解: G1x1＝G22
G1x2＋G22 ＝FT sin 308 x2＝0.4m x1＝1.2m
Cห้องสมุดไป่ตู้A C 30 B A O
（1）当木棒与地面的夹角＝30时，柱体对木棒的弹力多大？
F G 1.5R cos ＝ FN R cot N 3 FN＝ G sin 2
O
A

R G
F
＝3G/4
例2：如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放 在水平地面上，一根匀质木棒OA长为3R，重为G。木棒的O端与 地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计。现用一 水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢 移动。问：
F2 A’ F3 F4 O
（D）M2＞M1＞M3＞M4。
A
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（2）重力矩的两种计算方法：
a M＝G sin 2
a

G

G
a
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（2）重力矩的两种计算方法：
a M＝G sin 2 G a G M＝ sin ＋ a sin 2 2 4 a G a G/2 G/4
F＝15x＋60/x， 因为15x60/x为常数 所以15x＝60/x时 即x＝2m时 F有最小值。 Fmin＝60N。
F
G2
G1
3．如图，重为G、边长为a的均匀正方形板与长为 2a的轻杆相连，支于轻杆中点，在杆的右端施一竖直向 下的力F，使杆水平，求力F的大小，若为使杆与水平方 向成30角，力F又应多大？
O
F
解：向右匀速运动时
对杆： NL cos 45 ＝GLcos 45 /2＋NL sin 45 N＝mg O 对板： F＝Ff＝FN＝mg ＝mg/2
N
F
f
f
G
解：向左匀速运动时
对杆： NL cos 45 ＝GLcos 45 /2－NL sin 45 N＝mg/3 O 对板：F＝Ff＝FN＝mg/3
（A）M1＝M2＞M3＝M4， （B）M2＞M1＝M3＞M4， （C）M4＞M2＞M3＞M1，
F1 （D）M2＞M1＞M3＞M4。 A’ A F2 F3 F4 O’ O
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（1）将力分解后求力矩， F F F1

L M＝FL sin L

F2
M＝F1L ＝FL sin
F F F
F A

C
F
α
90 A°
α O
90 B°
α O
90 C°
α O
90 D°
O
2.如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆AB在B点用铰链与 墙连接，杆与竖直墙面的夹角为＝37，A端固定一轻质光滑小滑 轮，墙上C点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂有 质量为M的物体G。目前杆AB与物体G都处于静止状态，则杆的质 量与物体的质量的比值为m:M＝________；若略微增加物体G的 质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当________(选填“增 大”或“减小”)θ角的大小。（sin37＝0.6，cos37＝0.8）
a a G
a
a F
A F 乙
甲
解法一：
G（1.5a cos 30－ 0.5a sin30） ＝Fa cos 30 ，
a a G 甲 a a F 乙 A F
G
解法二：
Gcos 301.5a ＝Fa cos 30 ＋G sin30 0.5a
a a F 甲 乙 A F
a a G
G
例4:有四根相同的刚性长薄片A、B、C、D，质量均 为m，相互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点， 放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在D 薄片右端的N点放上质量也为m的小物体，那么D薄片中 点受到的压力为_____________。
A
C
B
L ＋GL ＝F 解： G 2
A
2L
F
A
C
B
C
2G
G
G
B
2．均匀杆，每米长重30 N，支于杆的左端，在离 左端0.2 m处挂一重为300 N的重物，在杆的右端加一竖 直向上的拉力F，杆多长时使杆平衡所需加的拉力F最 小，此最小值为多大？
F
解： Fx＝G1x/2＋G2l ＝x2/2＋G2l
F F F
F A

C
F
α 90 A° O 90 B°
α O 90 C°
α O 90 D°
α
O
解： FLF＝GLG
F
A
G
B
G
C
解： FLF＝GLG
FL＝Ga cos(＋) F
A
B
a G
G
C
练习1：一均匀的直角三形木板 ABC，可绕过C点的水平轴转动，如右 图所示。现用一始终沿直角边AB且作用 在A点的力F，使BC边慢慢地由水平位 B 置转至竖直位置。在此过程中，力F的 大小与α角变化的图线是（ ）
3．力矩的方向： 力分解法：
F1
F
F2
二．平衡与平衡条件： 1．平衡状态：静止或匀速转动。 2．平衡条件：合外力矩为零。
M顺 ＝ M 逆
三．力矩平衡条件的应用： 解题步骤： （1）选取研究对象， （2）受力分析（转动轴上的受力不用分 析）， （3）对无明显转动轴的物体还要选取转 动轴 （4）确定力臂、力矩方向， （5）列方程解。
W
G
2P
解： GOG ＝2POC’
C’比C点更左些
WOA＋GOG ＝2POB’ ＝2POC’＋2PC’B’ WOA＝2PC’B’ C’B’为CB的一半 A G O C’ C G B’ B P
1.如左图匀质直角尺重为2G，C端为水平轴，不计 摩擦，当BC部分处于水平静止时，试求加在A端的最小 作用力。
练习：如图所示，直杆 OA 可绕 O 点转动，图中虚线 与杆平行，杆端 A点受四个力 F1 、 F2 、 F3、 F4 的作用， 力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的 力矩分别为M1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小关 系是（ ） O’
（A）M1＝M2＞M3＝M4， （B）M2＞M1＝M3＞M4， （C）M4＞M2＞M3＞M1， F1
4FNB＝2FNA＋2mg 8FNC＝4FNB＋4mg 16FND＝8FNC＋8mg 2FNA＝FND＋3mg
C B D N A
FNA2L＝mg2L＋FNDL＋mgL
四．动态平衡：
例：如图所示，一根均匀直棒AB，A端用光滑铰链 固定于顶板上，B端搁在一块表面粗糙的水平板上，现 设板向上运动而棒AB匀速转动，则木板对棒的弹力说法 正确的是 （ ） （A）逐渐变大， （B）先变大后变小， （C）先变小后变大， （D）逐渐变小。
有固定转动轴 物体的平衡
一．力矩：
M＝FL 1．力臂：
（1）转动轴到力的作用线的垂直距离， （2）最大可能值为力的作用点到转动轴 的距离。
练习：如图所示，直杆 OA 可绕 O 点转动，图中虚线 与杆平行，杆端 A 点受四个力 F1 、 F2 、 F3 、 F4 的作用， 力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的 力矩分别为 M1、M2、 M3 、 M4，则它们力矩间的大小关 系是（ ）
顺 逆 Ff
M
FN
O
F
Ff
逆F
O
F
F
M
O
F
练习2：如图所示，重为 G的物体A靠在光滑竖直墙上，一端 用铰链铰在另一墙上的匀质棒支持物体 A，棒重为 G’ ，棒与竖直 方向的夹角为，则（ ）
（B）增大棒重G’，物体A对棒的摩擦力将增大， （ C）增大物重 G，且棒仍能支持 A，则 A对棒的摩擦力将增 大，而弹力不变， （D）水平向右移动铰链，使角增大，但棒仍能支持A，则 A对棒的弹力将增大。
FT x2
30 B
x1 O 2m
G1
G2
2m G 2
G1
例2：一杆秤如图，杆及钩的总重为G，秤砣重为P， 已知秤钩与杆的重心到提纽的距离OA和OG，求：（1） 零刻度的位置，（2）证明刻度是均匀的，（3）讨论若 秤砣换成2P，某刻度的读数是否为原来的两倍？
A
G
O P
B
D
解： GOG ＝P OC
MgLsin＋mgLsin /2 ＝MgLcos C 2M(cos－sin)＝msin A Mg m:M＝2(cos－sin)/sin ＝2(cot－1) ＝2:3 Mg G θ 角改变后上面绳不水平了， 上述式子不能用了 B mg
2.如图所示，质量为m粗细均匀的均质细杆AB在B点用铰链与 墙连接，杆与竖直墙面的夹角为＝37，A端固定一轻质光滑小 滑轮，墙上C点固定轻绳的一端，轻绳水平跨过滑轮另一端悬挂 有质量为M的物体G。目前杆AB与物体G都处于静止状态，则杆 的质量与物体的质量的比值为m:M＝________；若略微增加物体 G的质量，仍要使整个系统处于平衡状态，可适当________(选填 “增大”或“减小”)角的大小。（sin37＝0.6，cos37＝0.8）
GLG ＋FNLf ＝FNLN
GL sin /2 FN＝ Lsin－Lcos G /2 ＝ 1－ cot
FN
B

Ff G
A
练习1：一均匀的直角三直形木板 ABC，可绕过C点的水平轴转动，如右 图所示。现用一始终沿直角边AB且作用 在A点的力F，使BC边慢慢地由水平位 B 置转至竖直位置。在此过程中，力F的 大小与α角变化的图线是（ ）
MgLsin＋mgLsin /2 ＝MgLcos
G增大时，逆时针力矩增加的多 要再平衡必须增大顺时针力矩的 力臂而减小逆时针力矩的力臂
C
Mg
A
增大角
θ
B
G Mg
mg
3．如图所示，一根不均匀的铁棒AB与一辆拖车相连接，连 接端B为一固定水平转动轴，拖车在水平面上做匀速直线运动， 棒长为L，棒的质量为40kg，它与地面间的动摩擦因数为 3/3，棒 的重心C距转动轴为2L/3，棒与水平面成30角。运动过程中地面 对铁棒的支持力为_______N；若将铁棒B端的固定转动轴向下移 一些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原 来__________（选填“增大”、“不变”或“减小”）。
＝mg/6
F
N f G f F
练习1：如图所示是一种钳子，O是它的转动轴，在其两手柄 上分别加大小恒为F、方向相反的两个作用力，使它钳住长方体 工件M，工件的重力可忽略不计，钳子对工件的压力大小为FN， 当另外用沿虚线方向的力把工件向左拉动时，钳子对工件的压力 大小为FN1，而另外用沿虚线方向的力把工件向右拉动时，钳子对 工件的压力大小为FN2，则 （A）FN1＞FN＞FN2，（B）FN1＜FN＜FN2， （C）FN1＝FN＝FN2，（D）FN1＞FN，FN2＞FN。